概率統(tǒng)計中決策性問題的解題策略及技巧

浙江省湖州市行知中學 孫平

概率統(tǒng)計作為高考考查的重要知識點,是高考命題的熱點與重點。解答題主要涉及三個方面:一是統(tǒng)計圖表與分布列的綜合性解答題;二是統(tǒng)計數(shù)據(jù)的數(shù)字特征與回歸分析、獨立性檢驗等的綜合性解答題;三是統(tǒng)計圖表與函數(shù)內(nèi)容的結(jié)合,包括函數(shù)解析式的求解與應用等。以上三類問題的重心均在決策上,不同背景僅僅是為給出決策所進行的數(shù)據(jù)收集、數(shù)據(jù)分析和必要的數(shù)據(jù)處理。本文從兩個類型的決策問題來分析如何在概率統(tǒng)計問題中給出合理的決策結(jié)果,并總結(jié)了一些答題策略及技巧,希望對同學們的復習有所幫助。

題型一、用回歸分析來決策

統(tǒng)計圖表與回歸分析是高考?？嫉囊活悊栴},常對具有現(xiàn)實情境的統(tǒng)計圖表與回歸分析問題進行創(chuàng)新性命題。解決這類問題的方法離不開靈活運用相關(guān)系數(shù)公式、經(jīng)驗回歸方程等分析與計算,最后對實際問題作出合理的決策性選擇。

例12020 年1 月15 日教育部制定出臺《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學科招生改革試點工作的意見》,也稱“強基計劃”?！兑庖姟沸?2020 年起不再組織開展高校自主招生工作,改為實行強基計劃,強基計劃主要選拔培養(yǎng)有志于服務國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學科拔尖的學生,據(jù)悉強基計劃的?？加稍圏c高校自主命題,?？歼^程中通過筆試后才能進入面試環(huán)節(jié)。

(1)為了更好地服務于高三學生,某研究機構(gòu)對隨機抽取的5名高三學生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計,得到表1中的數(shù)據(jù)。

表1

請用相關(guān)系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中y與x之間的關(guān)系可用線性回歸模型進行擬合,并求y關(guān)于x的線性回歸方程

(2)現(xiàn)有甲、乙兩所大學的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨立,若某考生報考甲大學,每門筆試科目通過的概率均為,該考生報考乙大學,每門筆試科目通過的概率依次為,其中0＜m＜1,根據(jù)規(guī)定每名考生只能報考強基計劃的一所試點高校,若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學期望為依據(jù)作出決策,求該考生更希望通過乙大學筆試時m的取值范圍。

參考公式:①線性相關(guān)系數(shù)r=一般地,相關(guān)系數(shù)r的絕對值在0.95以上(含0.95)認為線性相關(guān)性較強;否則,線性相關(guān)性較弱。

點評:回歸分析問題經(jīng)常用大量文字和數(shù)據(jù)來說明實際現(xiàn)象和解讀生活規(guī)律。解題時需要注意以下幾個方面:①把握相關(guān)概念的本質(zhì),掌握基本模型;②在解題中重點關(guān)注數(shù)據(jù)的感悟、統(tǒng)計思維、統(tǒng)計語言;③多了解一些新興科技技術(shù),如“大數(shù)據(jù)”“人工智能”“云計算”等,將會越來越多地用到概率統(tǒng)計方面的知識,今后很可能在這方面出題;④與其他知識的組合(數(shù)列、導數(shù)、函數(shù))。

題型二、用獨立性檢驗來決策

獨立性檢驗的問題是高考重點考查的一類問題,一般是中檔題。解決獨立性檢驗問題的基本方法是代入相關(guān)公式求解,查表比較與臨界值的大小,從而判斷兩個變量是否有關(guān)系。

例2為落實十三五規(guī)劃節(jié)能減排的國家政策,某職能部門對市場上兩種設(shè)備的使用壽命進行調(diào)查統(tǒng)計,隨機抽取A型和B型設(shè)備各100 臺,得到如圖1 和圖2 所示的頻率分布直方圖。

(1)估算A型設(shè)備的使用壽命的第80百分位數(shù)。

圖1

(2)將使用壽命超過2 500 小時和不超過2 500 小時的臺數(shù)填入表2所示的列聯(lián)表:

圖2

表2

根據(jù)上面的列聯(lián)表,能否有99%的把握認為使用壽命是否超過2 500小時與型號有關(guān)?

(3)已知用頻率估計概率,現(xiàn)有一項工作需要10臺同型號設(shè)備同時工作2 500 小時才能完成,工作期間設(shè)備損壞立即更換同型號設(shè)備(更換設(shè)備時間忽略不計),A型和B型設(shè)備每臺的價格分別為1 萬元和0.6 萬元,A型和B型設(shè)備每臺每小時耗電分別為2度和6度,電價為0.75元/度。只考慮設(shè)備的成本和電費,你認為應選擇哪種型號的設(shè)備? 請說明理由。

表3

解析：(1)前三組的頻率之和為(0.000 2+0.000 4+0.000 6)×500=0.6,前四組頻率之和為(0.000 2+0.000 4+0.000 6+0.000 5)×500=0.85,所以第80 百分位數(shù)一定位于[3 000,3 500)內(nèi),故第80百分位數(shù)為(小時)。

(2)由頻率分布直方圖可知,A型設(shè)備超過2 500小時的有100×(0.000 6+0.000 5+0.000 3)×500=70(臺),則A型設(shè)備不超過2 500小時的有100-70=30(臺),B型設(shè)備超過2 500小時的有100×(0.000 6+0.000 3+0.000 1)×500=50(臺),則B型設(shè)備不超過2 500小時的有100-50=50(臺),故可得到完整的2×2列聯(lián)表,如表4所示:8.333＞6.635,所以有99%的把握認為使用壽命是否超過2 500小時與型號有關(guān)。

表4

(3)A型設(shè)備每臺變換的頻率為0.3,所以10臺A型設(shè)備估計要更換3臺,B設(shè)備每臺變換的頻率為,所以10臺B型設(shè)備估計要更換5臺,選擇A型設(shè)備的總費用y1=(10+3)×1+10×2×0.75×2 500×10-4=16.75(萬元),選擇B型設(shè)備的總費用y2=(10+5)×0.6+10×6×0.75×2 500×10-4=20.25(萬元),故選擇A型設(shè)備。

點評:求解獨立性檢驗問題的基本步驟:①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)整理出列聯(lián)表;②將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入相關(guān)公式求出隨機變量的觀測值;③查臨界值表,根據(jù)概率的大小給出相應的決策。

總之,處理概率統(tǒng)計中決策性問題的求解策略和步驟簡稱為“定、算、判”,即先定統(tǒng)計量:根據(jù)題設(shè)所問,如利潤最大,合理性判斷或估值等,確定需要計算的統(tǒng)計量,如平均數(shù),方差或期望,概率等;再算統(tǒng)計量:根據(jù)第一步確定的方向,利用定義及公式準確計算出所需統(tǒng)計量的數(shù)值;最后判斷作出決策:根據(jù)第二步計算出的數(shù)值的大小,將其進行比較,得出所需的結(jié)論,作出合理的決策。