審清題意，辨明模型
——備考概率與統(tǒng)計(jì)解答題

四川省綿陽(yáng)實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 黃芹

概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)主要考查同學(xué)們的數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng),在新高考背景下,概率與統(tǒng)計(jì)解答題常常通過(guò)構(gòu)建真實(shí)的情境將數(shù)學(xué)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)貫通,注重同學(xué)們的實(shí)踐體驗(yàn),并常常會(huì)出現(xiàn)合理決策的問(wèn)題,呈現(xiàn)考題應(yīng)用化的特點(diǎn)。從題目呈現(xiàn)形式上來(lái)看,大致為以下三種類型。

類型一、模型分析類——通過(guò)對(duì)問(wèn)題情境的分析轉(zhuǎn)化,得出概率模型,利用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題

例1深受廣大球迷喜愛(ài)的某支足球隊(duì),在對(duì)球員乙的使用上需要進(jìn)行數(shù)據(jù)分析,根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),乙球員能夠勝任前鋒、中鋒、后衛(wèi)及守門員四個(gè)位置,且出場(chǎng)率分別為0.2、0.5、0.2、0.1,當(dāng)出任前鋒、中鋒、后衛(wèi)及守門員時(shí),球隊(duì)輸球的概率依次為0.4、0.2、0.6、0.2。

(1)當(dāng)他參加比賽時(shí),求球隊(duì)某場(chǎng)比賽輸球的概率;

(2)當(dāng)他參加比賽時(shí),在球隊(duì)輸了某場(chǎng)比賽的條件下,求乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒的概率;

(3)如果你是教練員,請(qǐng)應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)有關(guān)知識(shí),分析該如何使用乙球員?

解析：(1)設(shè)A1表示“乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒”;A2表示“乙球員擔(dān)當(dāng)中鋒 ”;A3表示“乙球員擔(dān)當(dāng)后衛(wèi)”;A4表示“乙球員擔(dān)當(dāng)守門員”;B表示“球隊(duì)輸?shù)裟硤?chǎng)比賽”,則P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4)=0.2×0.4+0.5×0.2+0.2×0.6+0.1×0.2=0.32。

所以應(yīng)該多讓乙球員擔(dān)當(dāng)守門員,來(lái)擴(kuò)大贏球場(chǎng)次。

點(diǎn)睛：本題主要考查條件概率模型及決策性問(wèn)題。

類型二、數(shù)據(jù)分析處理類——用圖形或者表格給出數(shù)據(jù),通過(guò)數(shù)據(jù)分析,構(gòu)建模型解決實(shí)際問(wèn)題

例2為了保護(hù)學(xué)生的視力,讓學(xué)生在學(xué)校專心學(xué)習(xí),促進(jìn)學(xué)生身心健康發(fā)展,教育部于2021年1 月15 日下發(fā)文件《關(guān)于加強(qiáng)中小學(xué)生手機(jī)管理工作的通知》,對(duì)中小學(xué)生的手機(jī)使用和管理作出了相關(guān)的規(guī)定。某中學(xué)研究型學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究“中學(xué)生每日使用手機(jī)的時(shí)間”,從該校學(xué)生中隨機(jī)選取了100名學(xué)生,調(diào)查得到表1中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。

表1

(1)從該校任選1名學(xué)生,估計(jì)該學(xué)生每日使用手機(jī)的時(shí)間小于36 min的概率;

(2)估計(jì)該校所有學(xué)生每日使用手機(jī)的時(shí)間t的中位數(shù);

(3)以頻率估計(jì)概率,若在該校學(xué)生中隨機(jī)挑選3人,記這3人每日使用手機(jī)的時(shí)間在[48,72]內(nèi)的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)。

解析：(1)由題表知,該校學(xué)生每日使用手機(jī)的時(shí)間t小于36 min的有6+30+35=71(人),所以從該校任選1名學(xué)生,估計(jì)該學(xué)生每日使用手機(jī)的時(shí)間小于36 min 的概率

(2)設(shè)中位數(shù)為x0,因?yàn)樵撔Ｋ袑W(xué)生每日使用手機(jī)的時(shí)間t小于24 min 的頻率為,每日使用手機(jī)的時(shí)間t小于36 min 的頻率為,所以x0∈[24,36)。

用樣本估計(jì)總體,所以可估計(jì)該校所有學(xué)生每日使用手機(jī)的時(shí)間t的中位數(shù)為28.8 min。

(3)由題意知X的所有可能取值為0,1,2,3。

所以X的分布列為表2。

表2

故X的數(shù)學(xué)期望

點(diǎn)睛：本題主要考查用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征及二項(xiàng)分布。

例3某興趣小組為了解某城市不同年齡段的市民每周的閱讀時(shí)長(zhǎng)情況,在市民中隨機(jī)抽取了300 人進(jìn)行調(diào)查,并按市民的年齡是否低于45 歲及周平均閱讀時(shí)間是否少于5小時(shí)將調(diào)查結(jié)果整理成如表3所示的列聯(lián)表?，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)得出樣本中周平均閱讀時(shí)間少于5小時(shí)的人數(shù)占樣本總數(shù)的50%;45歲以上(含45 歲)的樣本占樣本總數(shù)的歲以下且周平均閱讀時(shí)間少于5小時(shí)的樣本有120人。

表3

(1)請(qǐng)根據(jù)已知條件將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并依據(jù)小概率值α=0.01 的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析周平均閱讀時(shí)間長(zhǎng)短與年齡是否有關(guān)聯(lián)。如果有關(guān)聯(lián),解釋它們之間如何相互影響。

(2)現(xiàn)從45 歲以上(含45 歲)的樣本中按周平均閱讀時(shí)間是否少于5小時(shí)用分層抽樣法抽取8人做進(jìn)一步訪談,然后從這8 人中隨機(jī)抽取3 人填寫調(diào)查問(wèn)卷,記抽取的3人中周平均閱讀時(shí)間不少于5小時(shí)的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望。

表4

解析：(1)因?yàn)闃颖局兄芷骄喿x時(shí)間少于5小時(shí)的人數(shù)占樣本總數(shù)的50%,所以樣本中周平均閱讀時(shí)間少于5 小時(shí)的人數(shù)為300×50%=150(人),則其中年齡在45歲以上(含45歲)的人數(shù)為150-120=30(人)。

所以45歲以下周平均閱讀時(shí)間不少于5小時(shí)的人數(shù)為300-80-120=100(人)。

補(bǔ)充完整的列聯(lián)表如表5所示:

表5

假設(shè)H0:周平均閱讀時(shí)間長(zhǎng)短與年齡無(wú)關(guān)聯(lián),因?yàn)椤?.818＞6.635,所以依據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)分析判斷H0不成立,即周平均閱讀時(shí)間長(zhǎng)短與年齡有關(guān)聯(lián)。

在45歲以下的樣本人群中,周平均閱讀時(shí)間不少于5 小時(shí)的頻率為,在45歲以上(含45歲)的樣本人群中周閱讀時(shí)間不少于5小時(shí)的頻率為,用頻率估計(jì)概率,可以認(rèn)為,隨著年齡的增長(zhǎng),周平均閱讀時(shí)間也會(huì)有所增長(zhǎng)。

(2)由題意可知,抽取的8 人中,周平均閱讀時(shí)間少于5小時(shí)的有(人),不少于5小時(shí)的有(人)。

由題意知X的所有可能取值為0,1,2,3,所以

所以X的分布列為表6。

表6

點(diǎn)睛：本題主要考查樣本的獲取、獨(dú)立性檢驗(yàn)、古典概型及超幾何分布。

例4為鍛煉學(xué)生的綜合實(shí)踐能力,長(zhǎng)沙市某中學(xué)組織學(xué)生對(duì)雨花區(qū)一家奶茶店的營(yíng)業(yè)情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),得到表7中的數(shù)據(jù):

表7

(2)從相關(guān)系數(shù)的角度確定哪一個(gè)模型的擬合效果更好,并據(jù)此預(yù)測(cè)次年2月(記x=14)的凈利潤(rùn)(保留1位小數(shù))。

因?yàn)閞1更接近1,所以模型y=2.5lnx-0.95的擬合效果更好,據(jù)此估計(jì)次年2月凈利潤(rùn)為y≈2.5ln 14-0.95≈5.6(萬(wàn)元)。

點(diǎn)睛：本題主要考查兩個(gè)變量的線性相關(guān)關(guān)系,以及相關(guān)關(guān)系強(qiáng)與弱的判定。

類型三、綜合應(yīng)用類——通過(guò)對(duì)問(wèn)題情境的分析轉(zhuǎn)化,得出數(shù)學(xué)模型,綜合利用概率統(tǒng)計(jì)、函數(shù)、數(shù)列、不等式等知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題

例5隨著互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展和應(yīng)用,越來(lái)越多的人開(kāi)始選擇網(wǎng)上購(gòu)買產(chǎn)品和服務(wù)。某網(wǎng)購(gòu)平臺(tái)為提高2022年的銷售額,組織網(wǎng)店開(kāi)展“秒殺”搶購(gòu)活動(dòng),甲,乙,丙三人計(jì)劃在該購(gòu)物平臺(tái)分別參加A,B,C三家網(wǎng)店各一個(gè)訂單的“秒殺”搶購(gòu),已知三人在A,B,C三家網(wǎng)店訂單“秒殺”成功的概率均為p,三人是否搶購(gòu)成功互不影響。記三人搶購(gòu)到的訂單總數(shù)為隨機(jī)變量Z。

(1)求Z的分布列及數(shù)學(xué)期望E（Z）;

(2)已知每個(gè)訂單由k（k≥2,k∈N*）件商品構(gòu)成,記三人搶購(gòu)到的商品總數(shù)量為T,假設(shè),求E（T）取最小值時(shí)正整數(shù)k的值。

解析：(1)由題意知Z的所有可能取值為0,1,2,3,則Z～B(3,p)。

所以P(Z=0)=(1-p)3;

所以Z的分布列為表8。

表8

所以E(Z)=1×3p(1-p)2+2×3p2×(1-p)+3×p3=3p。

則當(dāng)k=2時(shí),S3＜S2;

當(dāng)k=3時(shí),S3=S4;

當(dāng)k＞3時(shí),Sk+1＞Sk。

所以E(T)取最小值時(shí)正整數(shù)k的值為3或4。

點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)分布、數(shù)學(xué)期望的概念理解及數(shù)列的單調(diào)性。

概率與統(tǒng)計(jì)解答題,?？嫉闹R(shí)點(diǎn)有古典概型、條件概率、正態(tài)分布、獨(dú)立事件概率、二項(xiàng)分布、超幾何分布、回歸直線方程、獨(dú)立性檢驗(yàn)、概率與統(tǒng)計(jì)的綜合等,在備考中需要厘清概率、統(tǒng)計(jì)的有關(guān)概念,理解相關(guān)公式,熟練掌握經(jīng)典模型,提高閱讀理解能力、識(shí)圖能力、數(shù)據(jù)處理能力等,同時(shí)要關(guān)注近幾年高考題中很少涉及的冷門考點(diǎn)。在做概率統(tǒng)計(jì)題目時(shí),需要仔細(xì)審題,明確已知與待求之間的內(nèi)在聯(lián)系,構(gòu)建合適的模型,問(wèn)題便可迎刃而解。