多策略改進(jìn)的烏燕鷗算法及應(yīng)用

王國柱，周強(qiáng)，陳慧波

（1.河南工學(xué)院電氣工程與自動化學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453003；2.鄭州大學(xué)電氣工程學(xué)院，河南 鄭州 450001；3.衛(wèi)華集團(tuán)，河南 長垣 453400）

1 引言

近年來，制造業(yè)的綠色制造一直是比較熱門的研究方向，為實現(xiàn)這一目的，各類工程優(yōu)化問題變得尤為重要，然而，現(xiàn)實各類工程問題變得越來越復(fù)雜，這些問題具有非線性、復(fù)雜性、多約束等特征。數(shù)值方法很難獲取較好的結(jié)果。元啟發(fā)式算法可以克服數(shù)值方法的缺點（如求解時間長、精度較低等），高效地解決各類工程優(yōu)化問題。主梁輕量化設(shè)計一直是起重機(jī)設(shè)計過程中關(guān)注的主要問題，對實現(xiàn)起重機(jī)綠色制造目的尤為重要。主梁輕量化設(shè)計問題通?？珊喕癁槭軓?fù)雜荷載作用下箱型結(jié)構(gòu)的簡支梁的問題，此問題是一個復(fù)雜的非線性多約束的優(yōu)化問題。目前，文獻(xiàn)[1]采用并行策略，基于DE、ABC和PSO算法提出混合粒子群算法（DAPSO）對跨度為31.5m 橋式起重機(jī)系列化輕量化設(shè)計。文獻(xiàn)[2]狼群算法與DOE 技術(shù)相結(jié)合的方法對16T主梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行輕量化設(shè)計。文獻(xiàn)[3]采用改進(jìn)微粒群算法對主梁進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。文獻(xiàn)[4]利用混合遺傳算法（GA）和人工魚群算法（AFSA）的AFSA?GA串行算法有效地解決了50t/22.5m的橋式起重機(jī)主梁輕量化設(shè)計問題。

文獻(xiàn)[5]利用混行算法對主梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。文獻(xiàn)[6]將改進(jìn)螢火蟲算法用于主梁結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，主梁的質(zhì)量降低了6.87%，實現(xiàn)了輕量化設(shè)計的目的。文獻(xiàn)[7]采用中心引力搜索算法實現(xiàn)了箱型主梁質(zhì)量減輕14.5%的目的?？傊?，元啟發(fā)式算法可以有效地解決復(fù)雜的現(xiàn)實問題（如主梁優(yōu)化問題），但是，對于主梁結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計的問題，這些方法可以獲得較好的結(jié)果，但是，仍存在求解效率較低、陷入局部最優(yōu)等問題。

烏燕鷗優(yōu)化算法（STOA）是比較新穎的一種元啟發(fā)式群智能算法，已被廣泛地用于求解各類復(fù)雜的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題[8]。與其他存在的元啟發(fā)式算法相比，它具有設(shè)置參數(shù)少、易實現(xiàn)、收斂較快等優(yōu)點。對于多數(shù)問題，STOA算法可以提供較好的優(yōu)化設(shè)計結(jié)果，但STOA算法對于求解多維問題時依舊存在收斂精度低、種群多樣性弱、易陷入局部最優(yōu)等缺點。為提高STOA 算法的性能，文獻(xiàn)[9]提出了一種STOA?GA混合算法，有效地解決了特征選擇問題。

鑒于此，旨在提高STOA算法的收斂性能和工程實際應(yīng)用能力，提出一種多策略改進(jìn)的烏燕鷗算法（Multi?Strategy Improved Sooty Tern Optimization Algorithm，MISTOA）。具體地：首先，對算法的初始種群采用Cat混沌映射初始化，保證種群的多樣性。其次，在遷徙階段，采用自適應(yīng)因子和高斯變異算子對算法的位置更新方式進(jìn)行改進(jìn)增強(qiáng)算法全局搜索能力。在攻擊行為階段，在烏燕鷗位置更新后對烏燕鷗種群進(jìn)行自適應(yīng)鄰代交叉變異，提高種群的多樣增強(qiáng)算法跳出局部最優(yōu)的能力。此外，對最優(yōu)烏燕鷗個體進(jìn)行高斯變異擾動，增強(qiáng)算法的全局探索和局部開發(fā)能力之間的平衡能力。最后，針對32t/22.5m主梁輕量化設(shè)計問題，驗證了MISTOA算法的工程實際應(yīng)用能力。

2 烏燕鷗算法（STOA）數(shù)學(xué)模型

根據(jù)烏燕鷗群體的生物習(xí)性，烏燕鷗算法數(shù)學(xué)簡化模型可分為包含遷徙和攻擊兩個搜索階段，其具體的數(shù)學(xué)模型描述如下：

2.1 遷徙階段

在烏燕鷗群體遷徙過程中，為保證能夠烏燕鷗群體有序的遷徙，需滿足三種假設(shè)條件：（a）避免烏燕鷗個體之間發(fā)生碰撞，（b）在滿足條件（a）的假設(shè)前提下，烏燕鷗群體沿最佳的搜索方向進(jìn)行遷徙，（c）在滿足條件（a）和（b）的情況下，烏燕鷗群體位置發(fā)生更新。首先，條件（a）可由式（1）和式（2）來表示。

2.2 攻擊階段

烏燕鷗群體在遷徙過程中，會采取螺旋方式來進(jìn)行自我防御，通過頻繁地改變攻擊速度和攻擊角度，不斷地改變自身飛行高度，對獵物進(jìn)行攻擊。此攻擊行為可被式（6）來描述。

式中：R—每個螺旋的半徑；θ—攻擊角度范圍為[0，2π]；u、v—螺旋形狀的相關(guān)常數(shù)；e—自然對數(shù)的底數(shù)。烏燕鷗的位置更新可由式（7）描述。

3 多策略改進(jìn)的烏燕鷗算法（MISTOA）

3.1 Cat映射初始化種群

算法種群的隨機(jī)生成方式易增加算法種群喪失多樣性的可能性，造成種群初期迭代時多樣性較弱，使得算法收斂效率低下，難以跳出局部最優(yōu)。

因此，初始種群的多樣性是否豐富對算法性能影響較大，在STOA算法中，種群的初始化采用Cat 混沌映射來提高種群的多樣性，Cat 混沌映射可由式（8）來描述[10]。

3.2 自適應(yīng)高斯變異策略

在STOA算法中，烏燕鷗個體在遷徙過程中，由于搜索步長固定且種群多樣性后期減弱，可以使得算法陷入局部最優(yōu)的概率大幅增加，因此，（1）采取自適應(yīng)的權(quán)重方法[11]，權(quán)重的動態(tài)變化可以使得烏燕鷗種群的多樣性增加，進(jìn)而跳出局部最優(yōu)值，如式（9）所示。（2）種群搜索空間靠近全局最優(yōu)附近時，無法高效的利用最優(yōu)種群的多樣性減弱，降低全局最優(yōu)搜索的能力，為避免此問題，引入高斯變異分布函數(shù)Gaussian(μ，σ2)［12］增加烏燕鷗個體的種群多樣性，擴(kuò)大搜索空間，提高算法的全局搜索能力。

因此，在遷徙階段過程中，融合自適應(yīng)權(quán)重和高斯變異改進(jìn)算法全局遷徙方式，即將式（5）可修改為式（10）。同時，當(dāng)種群接近全局最優(yōu)解時候，對最優(yōu)烏燕鷗個體進(jìn)行高斯擾動，增加全局搜索能力?？捎墒剑?1）表示。

3.3 自適應(yīng)鄰代交叉學(xué)習(xí)策略

在標(biāo)準(zhǔn)的STOA算法中，烏燕鷗個體在搜索空間內(nèi)進(jìn)行搜索全局最優(yōu)解過程中，缺乏自我學(xué)習(xí)經(jīng)驗，容易造成難以吸收差解，造成烏燕鷗個體陷入局部搜索空間內(nèi)，從而導(dǎo)致算法出現(xiàn)停滯現(xiàn)象，陷入局部最優(yōu)。

因此，為增加種群個體之間的信息交流，提高算法跳出局部最優(yōu)解的可能性。在算法攻擊位置更新后，對種群進(jìn)行自適應(yīng)鄰代交叉學(xué)習(xí)變異如式（12），在保證種群多樣性的同時提高算法的跳出局部最優(yōu)的能力。

3.4 MISTOA算法步驟與流程

MISTOA 算法步驟與流程，如圖1所示。

圖1 多策略改進(jìn)的烏燕鷗算法流程Fig.1 Flowchart of MISTOA

（1）MISTOA 算法參數(shù)設(shè)置，種群數(shù)量N，最大迭代次數(shù)Maxiteration及β。

（2）種群由式（8）進(jìn)行初始化生成，并計算適應(yīng)度函數(shù)的值。

（3）烏燕鷗的遷徙位置由式（1）～式（4），式（9）～式（10）進(jìn)行更新。

（4）根據(jù)式（6）和式（7）進(jìn)行烏燕鷗位置更新，進(jìn)一步利用式（12）對烏燕鷗種群進(jìn)行學(xué)習(xí)并更新位置。

（5）根據(jù)式（11）進(jìn)行烏燕鷗最優(yōu)個體位置更新。

（6）判斷算法是否滿足迭代條件，如果是則輸出最優(yōu)結(jié)果，否則重復(fù)（2）至（6）。

4 MISTOA算法性能評估

通過測試函數(shù)可以評估MISTOA 算法的尋優(yōu)性能。選取7個測試函數(shù)包含單峰、多峰和固定維度多峰函數(shù)，如表1 所示。同時選取STOA［8］，MFO［16］，CS［14］，GWO［13］和ALO［15］算法與MIS?TOA 算法進(jìn)行對比分析。各種算法種群數(shù)量為30，迭代次數(shù)為1000，其余參數(shù)設(shè)置對于STOA和MISTOA算法α=2，對于MFO算法b=2，對于CS 算法Pa=0.25，β=1.5。對于GWO 算法a=[2，0]，實驗環(huán)境仿真軟件為MATLAB R2020b，系統(tǒng)為Windows 7 64位家庭版系統(tǒng)，16G內(nèi)存，處理器為Intel Core i7，2.1GHz。

表1 測試函數(shù)Tab.1 Benchmark Functions

所有算法測試在相同的實驗環(huán)境下進(jìn)行。采用統(tǒng)計分析的結(jié)果，即所有算法的結(jié)果均是在獨立運(yùn)行30次后獲取的最優(yōu)值、最差值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。實驗統(tǒng)計結(jié)果，如表2所示。

表2 測試函數(shù)實驗結(jié)果Tab.2 Experimental Results of Benchmark Functions

由表2統(tǒng)計結(jié)果可知，算法的收斂精度和尋優(yōu)效果一般以最優(yōu)值和平均值來衡量。對于函數(shù)F1 和F5，STOA 和MISTOA 算法尋優(yōu)得到了全局最優(yōu)解0，其結(jié)果優(yōu)于CS、GWO、MFO 和ALO算法。對于函數(shù)F5，GWO 算法獲得了最優(yōu)解0。對于函數(shù)F2，F(xiàn)3 和F6，MISTOA算法尋優(yōu)精度要優(yōu)于STOA、CS、GWO、MFO和ALO算法。對于函數(shù)F7，CS、GWO、MFO和ALO算法獲得最優(yōu)解和平均解優(yōu)于STOA 和MISTOA 算法，但是MISTOA 算法結(jié)果優(yōu)于STOA算法。

總之，對于F1至F7函數(shù)，MISTOA算法獲取最優(yōu)結(jié)果的占比達(dá)到了約85.7%。與其他5種算法相比，對于多峰函數(shù)，MISTOA算法獲取的結(jié)果優(yōu)于其他方法。這充分說明了MISTOA算法具有較強(qiáng)的尋優(yōu)能力和收斂精度。

由表2中，最差值和標(biāo)準(zhǔn)差值統(tǒng)計結(jié)果可知，對于函數(shù)F1，F(xiàn)4和F5，STOA和MISTOA算法的最差值和標(biāo)準(zhǔn)差值尋優(yōu)精度相同，尋優(yōu)精度優(yōu)于CS、GWO、MFO 和ALO 算法。對于函數(shù)F1 和F5，STOA和MISTOA算法的最差值和標(biāo)準(zhǔn)差值尋優(yōu)精度均為0。對于函數(shù)F2，MISTOA 算法的最差值和標(biāo)準(zhǔn)差值的精度均達(dá)到了1E?01。

二者結(jié)果優(yōu)于STOA、CS、GWO、MFO 和ALO 算法。對于函數(shù)F3，MISTOA算法的最差值和標(biāo)準(zhǔn)差值的精度至少達(dá)到了1E?04，且尋優(yōu)精度明顯高于其他算法。對于函數(shù)F7，所有算法的尋優(yōu)精度相同，但是MISTOA算法尋優(yōu)結(jié)果優(yōu)于STOA算法。

因此，對于大部分測試函數(shù)，相比5種其他算法，MISTOA算法的最差值和標(biāo)準(zhǔn)差值尋優(yōu)精度高于其他算法，這可以看出，MISTOA算法穩(wěn)定性和魯棒性較好。部分測試函數(shù)的收斂曲線,如圖2所示。

圖2 測試函數(shù)收斂曲線Fig.2 Convergence Curve of Some Benchmark Functions

可以明顯看出，STOA 算法初期收斂速度明顯緩慢，迭代后期不易跳出局部最優(yōu)。但是，MISTOA算法收斂速度快于其他5種算法，可以用最少的迭代次數(shù)獲取更好的尋優(yōu)結(jié)果。同時，與STOA算法相比，MISTOA算法收斂曲線下降較快，不易陷入局部最優(yōu)?？傮w來看，MISTOA算法明顯改善了STOA算法收斂速度緩慢和局部停滯的問題，尤其對于多峰函數(shù)。這是由于采用了Cat混沌映射保持了種群的多樣性。融合自適應(yīng)因子、高斯算子和鄰代交叉學(xué)習(xí)策略，使得算法收斂速度加快。因此，MISTOA算法是一種高效的算法。

綜上所述，采用多策略改進(jìn)后的MISTOA算法改善了STOA算法的性能，使得算法的尋優(yōu)能力更好。

5 橋式起重機(jī)主梁輕量化設(shè)計

5.1 優(yōu)化模型及約束條件確定

根據(jù)起重機(jī)設(shè)計手冊可知，橋式起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)受復(fù)雜荷載的作用下，應(yīng)滿足3S（即剛度、強(qiáng)度和穩(wěn)定性）要求。主梁的輕量化設(shè)計目的是減重，通常將其等價為在非線性約束的條件下求解主梁截面面積最小的優(yōu)化問題。

為驗證所提算法MISTOA算法的工程實際應(yīng)用能力，以32t?22.5m橋式起重機(jī)主梁結(jié)構(gòu)為輕量化設(shè)計對象，其主梁主要結(jié)構(gòu)可簡，如圖3所示。

圖3 主梁截面等效結(jié)構(gòu)Fig.3 Main Girder Structure

圖中：x1—主梁腹板高度；x2—主梁下翼緣板寬度；x3—上翼緣板厚度；x4—下翼緣板厚度；x5—主腹板厚度；x6—副腹板厚度。

（1）此優(yōu)化問題的目標(biāo)是主梁截面面積最小，因此，目標(biāo)函數(shù)可由式（13）確定。

5.2 約束條件確定

5.2.1 強(qiáng)度約束

當(dāng)小車位于主梁跨中時，一方面，主梁受的復(fù)合應(yīng)力σc和最大應(yīng)力σ應(yīng)該均小于材料的許用應(yīng)力，另一方面，主梁在跨端處產(chǎn)生的最大剪應(yīng)力τ應(yīng)該小于材料的許用剪應(yīng)力且主梁跨中處的焊縫處的疲勞應(yīng)力σmax應(yīng)該小于材料的拉壓疲勞許用應(yīng)力。因此，強(qiáng)度約束條件可由式（14）～式（17）確定。

式中：[σ]—材料許用應(yīng)力；[τ]—材料許用切應(yīng)力；[σri]—焊縫拉伸疲勞許用應(yīng)力。

5.2.2 剛度約束

主梁跨中位置處的最大垂直撓度Y和水平撓度X應(yīng)該均小于許用值，且自振頻率fv應(yīng)該大于許用值。因此，剛度約束條件可由式（18）～式（20）確定。

式中：[Y]—許用垂直靜剛度；[X]—許用水平慣性位移；[fv]—許用自振最小頻率。

5.2.3 穩(wěn)定性及幾何尺寸約束

根據(jù)穩(wěn)定性要求，主梁高度h與腹板間距b1應(yīng)滿足式（21），主腹板之間的翼緣板b2應(yīng)滿足式（22）及主梁的高跨比λ應(yīng)滿足式（23）。主梁的幾何尺寸應(yīng)該滿足式（24）。

5.3 輕量化設(shè)計結(jié)果分析及有限元校核

針對此問題，利用MISTOA和STOA算法分別對主梁進(jìn)行輕量化設(shè)計，收斂曲線，如圖4所示。與其他文獻(xiàn)中的方法相比較的輕量化設(shè)計統(tǒng)計結(jié)果由表3給出。

圖4 主梁優(yōu)化收斂曲線Fig.4 Convergence Curve of Main Girder

圖4 可以明顯看出MISTOA 算法比STOA 算法求解效率要高，收斂速度較快且精度要高。由表3可知，MISTOA算法可以獲得主梁截面面積最小為30427.37mm2，STOA算法可獲得主梁截面面積最小值為30910.31mm2，顯然采用MISTOA算法求得結(jié)果優(yōu)于STOA算法。

表3 主梁優(yōu)化結(jié)果對比Tab.3 Statistical Results of Lightweight Design of Main Girder

與文獻(xiàn)中的方法相比，MISTOA算法獲得的結(jié)果與混行策略方法接近，優(yōu)于PSO 算法，網(wǎng)格法，并行模塊方法。與原有設(shè)計相比，MISTOA 算法、混行算法、STOA 算法、PSO 算法、并行模塊法和網(wǎng)格法的減重率分別可達(dá)到20.76%，20.96%，19.50%，17.61%和2.08%。因此，MISTOA 算法可以很好地處理復(fù)雜的非線性約束問題。

主梁的輕量化設(shè)計是否滿足安全設(shè)計要求，因此，采用有限元分析對采用MISTOA算法優(yōu)化主梁的力學(xué)性能進(jìn)行校核。優(yōu)化后主梁的應(yīng)力、變形和一階固有模態(tài)，如圖5～圖7所示。

由圖5可知，主梁優(yōu)化后的最大應(yīng)力為74.23MPa，發(fā)生在主梁跨端處，主梁的應(yīng)力小于其許用應(yīng)力[σ]H=175MPa，滿足強(qiáng)度要求。由圖6可知，主梁優(yōu)化后的最大變形為3.45mm，發(fā)生位置處于主梁跨中，主梁的最大變形小于許用垂直變形[Y]=28.125mm，滿足剛度要求。

圖5 主梁優(yōu)化后最大應(yīng)力Fig.5 Maximum Stress of Main Girder by MISTOA

圖6 主梁優(yōu)化后最大變形Fig.6 Maximum Deformation of Main Girder by MISTOA

由圖7可知，主梁優(yōu)化后的一階固有頻率為6.81Hz，方向沿水平方向上下擺動，主梁的一階固有頻率大于其許用自振頻率[fv]=2Hz，滿足穩(wěn)定性要求。

圖7 主梁優(yōu)化后一階固有頻率Fig.7 First?order Natural Frequency of Main Girder by MISTOA

因此，采用MISTOA 算法對主梁進(jìn)行輕量化設(shè)計結(jié)果是合理，滿足安全設(shè)計要求。

綜上所述，采用MISTOA算法對橋式起重機(jī)主梁進(jìn)行輕量化設(shè)計的結(jié)果較好，充分表明了MISTOA算法具有較好的工程應(yīng)用價值。

6 結(jié)論

融合多種改進(jìn)策略，提出了一種多策略改進(jìn)的烏燕鷗算法（MISTOA），并對所提出的算法尋優(yōu)性能和工程實際應(yīng)用性進(jìn)行評估。得出以下結(jié)論：

（1）在MISTOA算法中，對算法的初始種群采用Cat混沌映射初始化，保證種群的多樣性。在遷徙階段，采用自適應(yīng)因子和高斯變異算子對算法的位置更新方式進(jìn)行改進(jìn)增強(qiáng)算法全局搜索能力。在攻擊階段，在烏燕鷗位置更新后對烏燕鷗種群進(jìn)行自適應(yīng)鄰代交叉學(xué)習(xí)變異，提高種群的多樣增強(qiáng)算法跳出局部最優(yōu)的能力。最后，對最優(yōu)烏燕鷗個體進(jìn)行高斯變異擾動，增強(qiáng)算法的全局探索和局部開發(fā)能力之間的平衡能力。

（2）結(jié)果表明，MISTOA算法尋優(yōu)能力優(yōu)于STOA、CS、GWO、MFO 和ALO 算法。對橋式起重機(jī)主梁的輕量化設(shè)計采用MIS?TOA算法可實現(xiàn)主梁減重達(dá)20.76%，減重效果優(yōu)于文獻(xiàn)中已有的大部分方法。因此，MISTOA算法是一種高效的、實用性較強(qiáng)的智能優(yōu)化算法。

（3）未來可對MISTOA算法的應(yīng)用范圍進(jìn)行擴(kuò)展，將其應(yīng)用于其他領(lǐng)域內(nèi)進(jìn)一步驗證它的實際應(yīng)用性能。