采用模糊小波網(wǎng)絡(luò)的移動(dòng)機(jī)械臂反步魯棒控制

孫銀生，徐瑞麗，李風(fēng)雷，姚利娜

（1.鄭州機(jī)械研究所有限公司，河南 鄭州 450002；2.河南職業(yè)技術(shù)學(xué)院電氣工程學(xué)院，河南 鄭州 450046；3.鄭州大學(xué)電氣工程學(xué)院，河南 鄭州 450001）

1 引言

移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)[1]由輪式平臺(tái)和機(jī)械臂兩部分構(gòu)成，能夠在控制方法的作用下按照控制信號(hào)使機(jī)械臂末端到達(dá)指定位置來(lái)完成相應(yīng)的工作任務(wù)，廣泛地應(yīng)用于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和物流裝配等領(lǐng)域[2?4]。眾所周知，控制方法和策略對(duì)移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)起著至關(guān)重要的作用，但是系統(tǒng)模型與實(shí)際之間的誤差會(huì)嚴(yán)重影響控制效果[5?6]。另外，由于移動(dòng)機(jī)械臂是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，在實(shí)際工作的過(guò)程中不可避免地會(huì)受到的外界干擾，如：機(jī)械摩擦、輪式平臺(tái)驅(qū)動(dòng)電機(jī)以及機(jī)械臂各關(guān)節(jié)電機(jī)的動(dòng)態(tài)特性等，也會(huì)影響整個(gè)系統(tǒng)的工作狀態(tài)[7?9]。

目前針對(duì)移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)控制的研究已經(jīng)取得了一定成果，如：文獻(xiàn)[10]采用極限學(xué)習(xí)機(jī)設(shè)計(jì)了包含模型不確定性機(jī)械臂的自適應(yīng)神經(jīng)控制方法，但沒(méi)有考慮外界干擾和電機(jī)動(dòng)態(tài)的影響；文獻(xiàn)[11]提出了一種由事件驅(qū)動(dòng)的多關(guān)節(jié)機(jī)械臂自適應(yīng)魯棒控制方法，來(lái)解決跟蹤精度問(wèn)題，但是該方法的設(shè)計(jì)過(guò)程比較復(fù)雜，并且沒(méi)有考慮電機(jī)動(dòng)態(tài)對(duì)機(jī)械臂控制的影響；文獻(xiàn)[12]針對(duì)帶有摩擦和擾動(dòng)等不確定因素的機(jī)械臂系統(tǒng)控制問(wèn)題，通過(guò)模糊系統(tǒng)逼近摩擦，設(shè)計(jì)了反饋控制律來(lái)補(bǔ)償擾動(dòng)影響，但該方法需要已知擾動(dòng)上界，且沒(méi)有考慮電機(jī)動(dòng)態(tài)的影響；文獻(xiàn)[13]設(shè)計(jì)了魯棒自適應(yīng)滑?？刂品椒?，并利用李亞普諾夫泛函和線性矩陣不等式方法解算出空間機(jī)械臂控制系統(tǒng)的魯棒漸近穩(wěn)定條件，但沒(méi)有考慮電機(jī)動(dòng)態(tài)對(duì)機(jī)械臂控制的影響。為了進(jìn)一步提高移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)的控制效果，建立了包含模型誤差和外界干擾等不確定性以及電機(jī)動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)了基于模糊小波網(wǎng)絡(luò)的反步魯棒控制方法，實(shí)現(xiàn)了移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)的魯棒控制。

2 建立移動(dòng)機(jī)械臂數(shù)學(xué)模型

移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)不僅可自主移動(dòng)，還可模擬人的手臂自由活動(dòng)，移動(dòng)機(jī)械臂示意圖，如圖1所示。

圖1 移動(dòng)機(jī)械臂示意圖Fig.1 Schematic Diagram of Mobile Manipulator

這里以輪式平臺(tái)和兩關(guān)節(jié)機(jī)械臂構(gòu)成的移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)作為研究對(duì)象，其中輪式平臺(tái)包括2個(gè)驅(qū)動(dòng)輪和1個(gè)從動(dòng)輪，1個(gè)驅(qū)動(dòng)輪在電機(jī)的作用下帶動(dòng)整個(gè)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)。機(jī)械臂各關(guān)節(jié)在伺服電機(jī)的驅(qū)動(dòng)下繞關(guān)節(jié)點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，由于移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)會(huì)受到模型誤差和外界干擾等不確定性的影響，考慮不確定性的移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型［14?16］描述為：

移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)包括4個(gè)電機(jī)，分別用來(lái)驅(qū)動(dòng)輪式平臺(tái)的兩個(gè)驅(qū)動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)和機(jī)械臂的兩個(gè)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)。通常針對(duì)移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)的研究都不考慮電機(jī)動(dòng)態(tài)特性對(duì)于系統(tǒng)整體的影響，然而在實(shí)際應(yīng)用中，電機(jī)的輸出力矩是非線性的，容易受到機(jī)械摩擦等不確定性因素的影響。為了更加符合工程實(shí)際，給出了移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)的電機(jī)模型如下：

式中：Le—電機(jī)的電感矩陣；Re—電機(jī)的電阻矩陣；Ke—電機(jī)的反電勢(shì)常數(shù)矩陣—電機(jī)的不確定性；u—電機(jī)的輸入電壓。

令x1=q，x2=3=ie，則考慮不確定性和電機(jī)動(dòng)態(tài)特性的移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)模型為：

3 反步魯棒控制律設(shè)計(jì)

針對(duì)包含不確定性和電機(jī)動(dòng)態(tài)特性的移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)模型（式（3）），設(shè)計(jì)了模糊小波網(wǎng)絡(luò)［17?18］的反步魯棒控制律，實(shí)現(xiàn)包容不確定性的高精度穩(wěn)定控制。反步魯棒控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，如圖2所示。

圖2 反步魯棒控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of Back?Stepping Robust Control System

3.1 自適應(yīng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

由于存在模型誤差和外界干擾等不確定性，測(cè)量得到的系統(tǒng)狀態(tài)是不準(zhǔn)確的，為了提高控制效果和控制精度，設(shè)計(jì)一個(gè)自適應(yīng)觀測(cè)器作為輔助系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的準(zhǔn)確估計(jì)。

自適應(yīng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)如下：

3.2 基于模糊小波網(wǎng)絡(luò)的不確定性估計(jì)

雖然小波網(wǎng)絡(luò)對(duì)于確定性輸入具有很好的估計(jì)和逼近能力，但對(duì)于不確定性輸入的估計(jì)能力有限。為了提高小波網(wǎng)絡(luò)的估計(jì)精度和效果，將模糊算法引入小波網(wǎng)絡(luò)中，構(gòu)成模糊小波網(wǎng)絡(luò)［19］，來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)中不確定性和的快速估計(jì)。模糊小波網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如圖3所示。

圖3 模糊小波網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.3 Fuzzy Wavelet Network Structur e

式中：W?—最優(yōu)權(quán)值矩陣；c?—最優(yōu)中心向量；ω?—最優(yōu)參數(shù)向量；εf—有界誤差向量。

選取小波隸屬函數(shù)為：

式中：?j(x)—第j個(gè)小波隸屬函數(shù)；

ωji—?j(x)的第i個(gè)參數(shù)；

xji—?j(x)的第i個(gè)輸入值；

cji—?j(x)的第i個(gè)中心值。

在小波隸屬函數(shù)的基礎(chǔ)上，選取模糊小波基函數(shù)為：

式中：ψk(x)—第k個(gè)模糊小波基函數(shù)。

3.3 反步魯棒控制律設(shè)計(jì)

在自適應(yīng)觀測(cè)器（式（5））和不確定性估計(jì)（式（13）、式（14））的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)的反步魯棒控制律，實(shí)現(xiàn)包容不確定性的魯棒控制。

（1）移動(dòng)機(jī)械臂的控制指令為qd，那么x1的跟蹤誤差S1為：

設(shè)計(jì)虛擬控制指令為：

其中，k1>0。為了克服微分爆炸現(xiàn)象，設(shè)計(jì)如下濾波器對(duì)式（16）進(jìn)行濾波。

式中：x2f—輸出值；

T2—時(shí)間常數(shù)；

y2—誤差，y2=x2f?。

（2）由式（16）和式（17）可得到移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)狀態(tài)x2的跟蹤誤差S2為：

設(shè)計(jì)虛擬控制指令為：

其中，k2>0。

的自適應(yīng)律為：

式中：λ2>0。為了克服微分爆炸現(xiàn)象，設(shè)計(jì)如下濾波器對(duì)虛式（19）進(jìn)行濾波。

式中：x3f—輸出值；

T3—時(shí)間常數(shù)；

y3—誤差，y3=x3f?。

（3）由式（20）、式（21）可得到移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)狀態(tài)x3的跟蹤誤差S3為：

設(shè)計(jì)實(shí)際控制指令u為：

其中，k3>0。

的自適應(yīng)律為：

其中，λ3>0。

3.4 穩(wěn)定性分析

定理1：針對(duì)考慮不確定性和電機(jī)動(dòng)態(tài)特性的移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)（式（3）），設(shè)計(jì)的反步魯棒控制律能夠確保移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)穩(wěn)定跟蹤控制信號(hào)。反步魯棒控制律包括自適應(yīng)觀測(cè)器（式（5）），基于模糊小波網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)律式（（11）和式（12））以及魯棒控制律式（（16）、式（19）和式（23））。

證明：考慮如下Lyapunov函數(shù)V：

將自適應(yīng)觀測(cè)器（式（5））、基于模糊小波網(wǎng)絡(luò)的不確定性自適應(yīng)律式（式（13）和式（14）），以及魯棒控制律（式（16）、式（19）和式（23））代入式（26）化簡(jiǎn)得：

由Lyapunov穩(wěn)定性定理可得到定理1成立。即所設(shè)計(jì)的反步魯棒控制律能夠確保移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)穩(wěn)定跟蹤控制信號(hào)。

4 仿真及對(duì)比分析

為了證明提出的反步魯棒控制方法的控制效果，在MATLAB環(huán)境中進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，并與文獻(xiàn)[20]的方法對(duì)比。

4.1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置

移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)中輪式平臺(tái)、關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的質(zhì)量分別為：20.2kg、1.3kg、1.3kg；關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的長(zhǎng)度均為0.2m；電機(jī)參數(shù)為：

設(shè)置控制律參數(shù)，如表1所示。

表1 控制律參數(shù)Tab.1 Control Law Parameters

4.2 輪式平臺(tái)位移和方位角的跟蹤對(duì)比

輪式移動(dòng)平臺(tái)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和方位角的仿真結(jié)果，如圖4～圖6所示。

圖4 橫坐標(biāo)仿真結(jié)果Fig.4 Simulation Results of x

圖5 縱坐標(biāo)仿真結(jié)果Fig.5 Simulation Results of y

圖6 方位角仿真結(jié)果Fig.6 Simulation Results of Azimuth

由橫坐標(biāo)仿真結(jié)果圖4可看出：文獻(xiàn)［20］基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法能夠使輪式平臺(tái)的橫坐標(biāo)在2s后基本跟蹤控制信號(hào)，跟蹤誤差在（?0.5～0.5）m間波動(dòng)；而提出方法能夠確保輪式平臺(tái)的橫坐標(biāo)在0.45s內(nèi)準(zhǔn)確跟蹤控制信號(hào)，最大跟蹤誤差為僅0.05m。

由縱坐標(biāo)仿真結(jié)果圖5可看出：文獻(xiàn)［20］基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法能夠使輪式平臺(tái)的縱坐標(biāo)在2s后基本跟蹤控制信號(hào)，跟蹤誤差在（?1～0.2）m間波動(dòng)；而提出方法能夠確保輪式平臺(tái)的縱坐標(biāo)在0.45s內(nèi)準(zhǔn)確跟蹤控制信號(hào)，最大跟蹤誤差僅為0.05m。由方位角仿真結(jié)果圖6可看出：文獻(xiàn)［20］基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法能使輪式平臺(tái)的方位角在1s后基本跟蹤控制信號(hào)，跟蹤誤差在（?5～5）°間波動(dòng)；而提出方法能夠確保輪式平臺(tái)的方位角在0.45s內(nèi)準(zhǔn)確跟蹤控制信號(hào)，最大跟蹤誤差僅為0.5°。

4.3 機(jī)械臂關(guān)節(jié)角位移跟蹤對(duì)比

關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的角位移仿真結(jié)果，如圖7、圖8所示。由關(guān)節(jié)1角位移仿真結(jié)果圖7可看出：文獻(xiàn)［20］基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法能夠使關(guān)節(jié)1角位移在1s后基本跟蹤控制信號(hào)，跟蹤誤差在（?4～4）°間波動(dòng)；而提出方法能夠確保關(guān)節(jié)1角位移在0.45s內(nèi)準(zhǔn)確跟蹤控制信號(hào)，最大跟蹤誤差更低，僅為0.5°。

圖7 關(guān)節(jié)1角位移仿真結(jié)果Fig.7 Simulation Results of Joint 1 Angular Displacement

圖8 關(guān)節(jié)2角位移仿真結(jié)果Fig.8 Simulation Results of Joint 2 Angular Displacement

由關(guān)節(jié)2角位移仿真結(jié)果圖8可看出：文獻(xiàn)［20］基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法能夠使關(guān)節(jié)2角位移在1s后基本跟蹤控制信號(hào)，跟蹤誤差范圍在（?6～6）°間波動(dòng)；而提出方法能夠確保關(guān)節(jié)2角位移在0.45s內(nèi)準(zhǔn)確跟蹤控制信號(hào)，最大跟蹤誤差也僅為0.5°。

5 結(jié)論

針對(duì)考慮不確定性和電機(jī)動(dòng)態(tài)的移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)控制問(wèn)題，提出了一種基于模糊小波網(wǎng)絡(luò)的反步魯棒控制方法。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：設(shè)計(jì)的控制方法可保證移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)在0.45s內(nèi)準(zhǔn)確跟蹤到控制信號(hào)，表現(xiàn)出了更快的響應(yīng)速度和更高的準(zhǔn)確性。同時(shí)，模糊小波網(wǎng)絡(luò)可準(zhǔn)確估計(jì)移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)的不確定性，并包容不確定性帶來(lái)的影響，確保移動(dòng)機(jī)械臂系統(tǒng)輪式平臺(tái)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、方位角、關(guān)節(jié)1角位移和關(guān)節(jié)2角位移的最大跟蹤誤差分別僅為0.05m、0.05m、0.5°、0.5°和0.5°，控制效果更佳。