火箭發(fā)動機七機并聯(lián)機架預(yù)應(yīng)力模態(tài)分析及優(yōu)化

李 斌，呂 軍，曾耀祥，王 檑，劉 暉，張 盛，崔 苗

(1. 大連理工大學(xué)航空航天學(xué)院，大連 116024； 2. 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，大連 116024；3. 遼寧省空天飛行器前沿技術(shù)重點實驗室，大連 116024； 4. 中國運載火箭技術(shù)研究院，北京 100076； 5. 大連理工大學(xué)工程力學(xué)系，大連 116024)

0 引 言

為能夠保障更大規(guī)模的載人航天活動以及開展載人深空探測任務(wù)，需探索新型載人運載火箭。目前正在論證的新型載人運載火箭芯一級采用5 m直徑的模塊，安裝七臺新型液氧煤油發(fā)動機[1]?；鸺l(fā)動機機架作為火箭發(fā)射時的主要承力結(jié)構(gòu)，尤其是在具有大推力的運載火箭上，發(fā)動機工作產(chǎn)生的振動問題不容忽視，需進行深入研究。在火箭起飛瞬間，較大的加速度和結(jié)構(gòu)自身重力會使機架結(jié)構(gòu)承受很大的預(yù)應(yīng)力載荷，勢必會對機架的動力學(xué)特性產(chǎn)生重要影響。因此，有必要開展多臺并聯(lián)火箭發(fā)動機機架結(jié)構(gòu)在預(yù)應(yīng)力載荷作用下的非線性動力學(xué)行為分析研究。

對于一些輕型運載火箭發(fā)動機機架的力學(xué)響應(yīng)和設(shè)計優(yōu)化問題，國內(nèi)外學(xué)者從靜態(tài)、動態(tài)響應(yīng)等方面開展了研究[2-4]。Yoo等[5]研究了75噸級液體火箭發(fā)動機的靜態(tài)和動態(tài)結(jié)構(gòu)響應(yīng)，分析了靜態(tài)載荷對應(yīng)力分布和結(jié)構(gòu)自由振動的影響。湯波等[6]對我國新一代中型運載火箭分析了懸掛工裝對箭體模態(tài)的影響。另有一些學(xué)者[7-9]通過使用加筋、材料更換、參數(shù)化建模等方法優(yōu)化單或雙臺發(fā)動機機架，提高機架動靜強度并對結(jié)構(gòu)有效減重。上述研究側(cè)重于單機或雙機火箭發(fā)動機機架的計算和優(yōu)化，且大多僅以結(jié)構(gòu)線性動力學(xué)參數(shù)作為考量因素。

新型載人運載火箭芯一級通常并聯(lián)安裝多臺發(fā)動機，每臺發(fā)動機與箭體之間通過獨立的小機架結(jié)構(gòu)進行連接，相比單、雙機問題，此類機架的傳力情況更復(fù)雜，因此并聯(lián)多臺火箭發(fā)動機機架的設(shè)計具有新的挑戰(zhàn)性[10-11]。目前國外學(xué)者開展了SpaceX研發(fā)的獵鷹-9的八爪式推力架，以及土星-5運載火箭十字橫梁結(jié)構(gòu)的設(shè)計與分析[12-14]，通過試驗驗證，兩種機架結(jié)構(gòu)在動靜上都能滿足多機并聯(lián)火箭的強度要求。另一方面，王建民等[15]總結(jié)了捆綁火箭的模態(tài)分布特點，給出了捆綁火箭橫、縱、扭模態(tài)互相耦合的特征。黃道瓊等[16]開展了四機并聯(lián)發(fā)動機機架低頻模態(tài)分析研究，指出了軸向運動較大的各階頻率。杜飛平等[17]基于子結(jié)構(gòu)試驗建模綜合技術(shù)，開展了四機并聯(lián)液體火箭發(fā)動機結(jié)構(gòu)動力學(xué)研究。上述研究中忽略了實際工況中預(yù)應(yīng)力載荷的影響，且已有相關(guān)研究大多都針對于四機及其以下并聯(lián)火箭或捆綁火箭，對于五機及其以上并聯(lián)火箭發(fā)動機推力傳遞結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性研究還處在起步階段。如何輕質(zhì)高效地實現(xiàn)并聯(lián)七臺新型發(fā)動機的推力向箭體傳遞，同時確保在該推力下箭體不發(fā)生動力學(xué)失穩(wěn)是該型運載火箭機架研制的關(guān)鍵問題。

本文擬開展某新一代載人運載火箭芯一級七臺并聯(lián)發(fā)動機機架在預(yù)應(yīng)力作用下的動響應(yīng)研究。通過研究機架桿結(jié)構(gòu)在大推力作用下的幾何非線性表達式，分析由發(fā)動機推力產(chǎn)生的預(yù)應(yīng)力對機架結(jié)構(gòu)頻率和模態(tài)的影響，在此基礎(chǔ)上，開展機架結(jié)構(gòu)的材料等效替換方法研究。擬采用預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)頻率優(yōu)化方法，在維持結(jié)構(gòu)整體預(yù)應(yīng)力模態(tài)不變的條件下，實現(xiàn)機架結(jié)構(gòu)的材料等效替換，從而有效降低多機并聯(lián)機架動靜聯(lián)合試驗成本。最后，開展某型號七機火箭發(fā)動機機架結(jié)構(gòu)的材料等效替換應(yīng)用研究。在不改變結(jié)構(gòu)傳力路徑的情況下，實現(xiàn)不銹鋼和鈦合金的等效替換，并通過優(yōu)化替換后機架關(guān)鍵部位尺寸等參數(shù)來確保低階預(yù)應(yīng)力下的動力學(xué)的特性不發(fā)生變化。

1 機架結(jié)構(gòu)非線性振動理論分析方法

新一代載人運載火箭芯一級并聯(lián)安裝七臺發(fā)動機的機架結(jié)構(gòu)，是一種基于推進劑貯箱箱底與箭體殼體聯(lián)合傳力的高效率推力傳遞結(jié)構(gòu)方案，其主要的傳力結(jié)構(gòu)，為主梁-機架桿-傳力環(huán)結(jié)構(gòu)?；鸺l(fā)動機產(chǎn)生推力，由該傳力結(jié)構(gòu)向上方箱底和殼體傳遞。

多機并聯(lián)發(fā)動機機架結(jié)構(gòu)，一般采用高強度金屬材料焊接而成的梁結(jié)構(gòu)。在工作時需承受大推力載荷，容易發(fā)生非線性變形，導(dǎo)致其動力學(xué)特性相對復(fù)雜。因此，機架的動力學(xué)特性研究中需考慮梁結(jié)構(gòu)的非線性振動因素。當(dāng)梁結(jié)構(gòu)發(fā)生大變形產(chǎn)生幾何非線性時，其側(cè)向剛度會相應(yīng)地變化，本文僅考慮幾何非線性條件下機架梁結(jié)構(gòu)的非線性動力學(xué)行為[18]。

不失一般性，以三維桿梁結(jié)構(gòu)為例，其軸向應(yīng)變由軸向位移u和橫向位移v,w以及橫向曲率所產(chǎn)生。其中，由軸向位移u和橫向位移v,w所產(chǎn)生的軸向應(yīng)變?yōu)閇19-21]：

(1)

橫向曲率產(chǎn)生的軸向應(yīng)變?yōu)椋?/p>

(2)

可推導(dǎo)出應(yīng)變矩陣為：

(3)

式中：γ為剪切應(yīng)變，式右邊第一項為線性項，第二項含有高階非線性項。

根據(jù)最小勢能及變分原理，空間梁結(jié)構(gòu)幾何非線性能量方程為：

(4)

式中：B為幾何矩陣；σ為應(yīng)力矩陣；p為載荷矩陣。

根據(jù)式(3)可知，應(yīng)變矩陣ε由線性和非線性兩項組成。因此，根據(jù)幾何應(yīng)變公式，幾何矩陣B可展開為:

B=B0+BL

(5)

(6)

式中：N′i(x)為空間梁單元位移插值向量對x的偏導(dǎo)數(shù)，其中i=u,v,w；d為單元節(jié)點位移向量。

通過式(4)和(5)變分，可以推導(dǎo)出預(yù)應(yīng)力和非線性條件下的單元剛度矩陣KT，可以表示為：

KT=K0+KL+Kσ

(7)

其中，小位移的線性剛度矩陣K0、初位移剛度矩陣KL、幾何剛度矩陣Kσ分別為：

將上述非線性剛度矩陣代入結(jié)構(gòu)動力學(xué)運動方程可知：

(8)

預(yù)應(yīng)力條件下的結(jié)構(gòu)特征值方程為：

Kφi-λiMφi=0

(9)

綜上，預(yù)應(yīng)力模態(tài)分析，先需要開展預(yù)應(yīng)力載荷的非線性靜力分析，之后提取非線性靜力分析的剛度矩陣以計算預(yù)應(yīng)力條件下的特征值。

2 頻率尺寸優(yōu)化分析方法

2.1 預(yù)應(yīng)力材料物性和結(jié)構(gòu)截面尺寸等效替代方法

考慮鈦合金機架實際加工時間及制造成本，在不影響試驗效果的基礎(chǔ)上，可以采用成本較低的材料進行等效替換，比如將鈦合金材料替換為不銹鋼材料。由于二者的模量、密度等參數(shù)不同，直接替換易導(dǎo)致動力學(xué)特性發(fā)生較大變化，尤其是預(yù)應(yīng)力模態(tài)的變化。因此，在保留當(dāng)前已有的設(shè)計下，可通過優(yōu)化結(jié)構(gòu)截面尺寸消除材料屬性所帶來的低階預(yù)應(yīng)力模態(tài)的誤差。

不失一般性，本文以二維受軸向力作用的簡支梁為例，推導(dǎo)材料物性和結(jié)構(gòu)尺寸等效替代公式。

假設(shè)軸向力作用下的梁初始變形滿足彎曲變形的平截面假定，則彎曲變形運動方程滿足：

(10)

式中：m為分布質(zhì)量；u為梁上某點的豎向位移；P為作用在梁上的外力；EI為梁的抗彎剛度；N為軸向預(yù)應(yīng)力；t為時間。

代入簡支梁邊界條件，可得預(yù)應(yīng)力下固有頻率算式為[22]：

(11)

式中：n為頻率階數(shù)；L為簡支梁長度。

材料替換后，為保持各階自振頻率不變，則有：

(12)

式中：E1I1和m1分別為材料替換前的抗彎剛度和單位質(zhì)量；E2I2和m2分別為材料替換后的抗彎剛度和單位質(zhì)量。

化簡可得：

(13)

式中：ρ1和A1為材料替換前的密度和簡支梁截面面積，ρ2和A2為材料替換后的密度和簡支梁截面面積。

式(13)中，截面面積A和慣性矩I與結(jié)構(gòu)截面的尺寸有關(guān)，密度ρ和模量E為材料的物性。對于簡單結(jié)構(gòu)，可根據(jù)材料替換前后的物性參數(shù)計算出替換后材料的等效截面尺寸，可實現(xiàn)保證頻率不變情況下材料等效替換。

2.2 機架頻率優(yōu)化列式

對于復(fù)雜的機架結(jié)構(gòu)，可以采用預(yù)應(yīng)力條件下機架頻率優(yōu)化方法實現(xiàn)等效材料的等效替換。

以機架總體質(zhì)量最小為目標(biāo)函數(shù)，機架關(guān)鍵部位的尺寸參數(shù)為設(shè)計變量，預(yù)應(yīng)力頻率上下限以及結(jié)構(gòu)整體剛度與初始設(shè)計的剛度比作為約束函數(shù)。由此，可以得到最終的優(yōu)化列式為：

(14)

2.3 頻率優(yōu)化靈敏度分析

根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程特征值方程[23]：

Kφ=ω2Mφ

(15)

式中：φ為振型。兩邊同時進行微分并乘以φT可得：

(16)

(17)

式(17)代入式(16)得：

(18)

考慮振型φ對于M是歸一化的，即：

φTMφ=1

(19)

則可得：

(20)

式(20)為結(jié)構(gòu)的固有頻率靈敏度列式。

2.4 非線性條件結(jié)構(gòu)頻率優(yōu)化設(shè)計流程

結(jié)合上述幾何非線性和頻率靈敏度分析，機架預(yù)應(yīng)力條件下的頻率優(yōu)化方法流程如圖1所示。首先對材料替換后的模型進行非線性靜力計算，通過非線性迭代，提取出新剛度矩陣Kn，再進行預(yù)應(yīng)力模態(tài)計算；判斷是否滿足頻率的約束范圍，若滿足則進行柔度約束的判斷，否則進行尺寸優(yōu)化，并重新進行迭代計算。

圖1 機架結(jié)構(gòu)材料替換頻率尺寸優(yōu)化技術(shù)路線Fig.1 The technical route about the frequency and size optimization to replace the material of the frame structure

3 算例驗證

為驗證本文提出材料等效替代公式(11)的有效性，現(xiàn)對簡支梁進行預(yù)應(yīng)力頻率分析，并將結(jié)果與公式推導(dǎo)的理論解進行對比。假設(shè)簡支梁為長度1800 mm、截面為外徑20 mm×10 mm、壁厚1 mm的鈦合金方管，材料參數(shù)如表1所示。該簡支梁受到預(yù)應(yīng)力為軸向力。

表1 鈦合金和不銹鋼的材料物性參數(shù)Table 1 Material property parameters of titanium alloys and stainless steels

通過仿真計算不同軸向預(yù)應(yīng)力時頻率的數(shù)值解與式(11)所求得的各階預(yù)應(yīng)力頻率理論解相比較，結(jié)果顯示，兩種解的各階頻率誤差均在1‰以內(nèi)。

將上述鈦合金簡支梁材料更換成不銹鋼，并通過調(diào)整簡支梁截面壁厚，使得簡支梁的一階預(yù)應(yīng)力頻率保持不變。通過式(13)可以獲得不同預(yù)應(yīng)力下的不銹鋼簡支梁截面等效厚度值，并可以進一步獲得該厚度值條件下的簡支梁預(yù)應(yīng)力頻率數(shù)值解和理論解。如表2所示，在兩種給定預(yù)應(yīng)力下，材料替換后的簡支梁一階預(yù)應(yīng)力頻率數(shù)值解與理論值誤差最大為0.54‰，表明該等效替換公式的有效性。

表2 不同預(yù)應(yīng)力鈦合金/不銹鋼簡支梁頻率等效計算結(jié)果Table 2 Frequency equivalent calculation results for different pre-stressed titanium/stainless steel simple-supported beam

4 七機并聯(lián)機架非線性頻率分析及優(yōu)化方法

4.1 七機并聯(lián)機架預(yù)應(yīng)力模態(tài)分析

新一代載人運載火箭芯一級并聯(lián)安裝7臺發(fā)動機。箭體直徑5 m，采用中心1臺、周圍6臺的發(fā)動機布局方式。如圖2(a)所示，每臺發(fā)動機與箭體之間通過獨立的小機架結(jié)構(gòu)進行連接，共同連接上方的主梁。

圖2 七臺火箭發(fā)動機推力傳遞結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Layout of the seven parallel engines of the new generation rocket and the rocket thrust transmission structure

新型七臺火箭發(fā)動機并聯(lián)機架結(jié)構(gòu)有限元模型如圖2(b)所示。模型由主梁、機架桿和傳力環(huán)三部分組成。主梁與上方的貯箱箱底相連，下方與七組機架桿相連，機架桿下方連接七個傳力環(huán)。各部件之間均用主從節(jié)點綁定的方式進行連接，來模擬焊接以及螺栓連接。綜合考慮結(jié)構(gòu)形式以及網(wǎng)格的收斂性，傳力環(huán)結(jié)構(gòu)采用三維實體單元，共計68964個單元，而機架桿、主梁采用薄殼單元，共計159690個單元。

首先，開展鈦合金材料和不銹鋼材料機架結(jié)構(gòu)預(yù)應(yīng)力模態(tài)分析。二者材料物性參數(shù)如表1所示。邊界條件和預(yù)應(yīng)力載荷如圖3所示，對傳力環(huán)的下端面進行完全固定，主梁的上端面施加值為8.4×106N的壓力，模擬該結(jié)構(gòu)在進行傳力時所受載荷。

圖3 發(fā)動機機架結(jié)構(gòu)約束與載荷Fig.3 The boundary and load conditions applied on theengine frame structure

當(dāng)機架材料為鈦合金時，主梁的厚度為14 mm，機架桿的厚度為8 mm，機架整體質(zhì)量為2539 kg。此時，結(jié)構(gòu)前五階無預(yù)應(yīng)力模態(tài)和預(yù)應(yīng)力基頻結(jié)果如表3所示，其前五階中典型振型如圖4所示。對比有無預(yù)應(yīng)力下的結(jié)構(gòu)模態(tài)分析結(jié)果可以看出，預(yù)應(yīng)力對前三階模態(tài)的影響較為明顯，尤其在第一階主梁扭轉(zhuǎn)模態(tài)，使一階頻率下降了3.75%，表明推力產(chǎn)生的預(yù)應(yīng)力對機架低階頻率影響較大。在低階振型中，機架在大推力作用下部分桿件產(chǎn)生了非線性大變形，幾何剛度矩陣發(fā)生變化，導(dǎo)致機架結(jié)構(gòu)的整體剛度產(chǎn)生了變化。

表3 鈦合金材料機架結(jié)構(gòu)前五階頻率Table 3 The first five order frequency of frame structure of titanium alloy material

圖4 鈦合金發(fā)動機機架結(jié)構(gòu)預(yù)應(yīng)力模態(tài)Fig.4 The pre-stress modal of titanium alloy engine frame structure

為了開展機架材料替換方法研究，本文進一步開展了不銹鋼材料機架預(yù)應(yīng)力條件下的動力學(xué)特性分析。將機架材料換為不銹鋼，各部件厚度保持不變，此時機架整體的質(zhì)量為4328 kg。將兩種材料的預(yù)應(yīng)力模態(tài)頻率計算結(jié)果進行對比，如表4所示。相比于鈦合金機架，質(zhì)量增加了1789 kg，兩種材料的機架在預(yù)應(yīng)力作用下，一階模態(tài)的變化幅度達到了5.25%，機架材料的替換使機架整體性能發(fā)生了改變。為了消除材料替換帶來的結(jié)構(gòu)基頻的變化，尤其預(yù)應(yīng)力條件下的非線性變化，需要在不改變機架幾何構(gòu)型的條件下開展鋼材機架關(guān)鍵部件尺寸優(yōu)化研究。

表4 鈦合金機架與不銹鋼機架預(yù)應(yīng)力模態(tài)Table 4 The pre-stress modal of steel frame and titanium frame

4.2 七機機架材料替換尺寸優(yōu)化設(shè)計

鈦合金和不銹鋼材料物性參數(shù)的不同使得機架動力學(xué)特性發(fā)生變化。本文采用頻率尺寸優(yōu)化方法，在不改變機架整體布局和結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，通過改變局部結(jié)構(gòu)的厚度尺寸，使得兩種材料在低階預(yù)應(yīng)力頻率變化幅度盡可能減小。

頻率優(yōu)化中需要保證結(jié)構(gòu)靜強度不發(fā)生大的變化。通過兩種材料非線性靜力下的最大位移之比，可以近似為兩種材料結(jié)構(gòu)的剛度之比，即在式(14)中的應(yīng)變能之比。兩種材料下非線性靜力計算結(jié)果如圖5所示，即二者最大位移之比為α=1.845。根據(jù)優(yōu)化列式，對該不銹鋼機架結(jié)構(gòu)開展非線性頻率尺寸優(yōu)化。其中，f′1∈(ωmin,ωmax),f′1為鈦合金機架一階預(yù)應(yīng)力模態(tài)，為使優(yōu)化后一階頻率接近于原鈦合金材料機架一階頻率50.32 Hz，頻率上下界取ωmin=50.3 Hz，ωmax=50.4 Hz；厚度范圍限定為2～20 mm。

圖5 非線性靜力計算位移云圖Fig.5 Nonlinear static calculation displacementcontour

預(yù)應(yīng)力條件下的優(yōu)化結(jié)果如表5所示，上段主梁的最優(yōu)厚度為7.76 mm，機架桿的最優(yōu)厚度為5.20 mm。將優(yōu)化后與優(yōu)化前的前五階模態(tài)頻率對比，結(jié)果如表6所示。

表5 機架關(guān)鍵部件幾何尺寸對比Table 5 Comparison of the geometric properties of the key components

表6 機架優(yōu)化前后的預(yù)應(yīng)力頻率對比結(jié)果Table 6 Comparison results of pre-stress frequency before and after the size optimization

從表6可以看出，不銹鋼機架優(yōu)化后減重38.19%，機架桿的厚度由原來的8 mm，減小為5.2 mm，減幅達35%；主梁和轉(zhuǎn)接環(huán)的厚度由原來的14 mm，減小到7.76 mm，減幅達44.5%。

從式(13)中可知，當(dāng)材料物性替換前后模量的增量大于密度的增量，為使等式成立，需要減小結(jié)構(gòu)尺寸以縮小材料替換前后的慣性矩。上述優(yōu)化結(jié)果滿足此規(guī)律，驗證了機架結(jié)構(gòu)在動力學(xué)試驗進行材料等效替代的可行性。

此外，優(yōu)化后的低階預(yù)應(yīng)力頻率與原始鈦合金機架頻率基本保持一致，優(yōu)化后的剛度也與原始結(jié)構(gòu)基本保持一致。另一方面，機架材料等效替代后，機架結(jié)構(gòu)中的機架桿作為主要的承力結(jié)構(gòu)，其厚度的優(yōu)化空間較小，而主梁的厚度則可以有較大的優(yōu)化空間，相關(guān)結(jié)論給后續(xù)該類型的機架設(shè)計提供了參考。

5 結(jié) 論

1) 針對新一代載人運載火箭七臺火箭發(fā)動機并聯(lián)機架在大推力作用下的非線性振動問題，開展了非線性條件下預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)頻率分析。推導(dǎo)了預(yù)應(yīng)力非線性剛度表達形式，應(yīng)用于并聯(lián)機架預(yù)應(yīng)力頻率分析。在預(yù)應(yīng)力載荷作用下，機架結(jié)構(gòu)的低階頻率相比無預(yù)應(yīng)力情況降低3.75%，隨著頻率階次升高，變化幅度降低。

2) 針對動靜聯(lián)合試驗中機架材料替換問題，提出了一種預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，通過優(yōu)化特征尺寸，可以使得不銹鋼與鈦合金機架結(jié)構(gòu)在傳力路徑不變的情況下動靜強度的誤差顯著減小，從而滿足動靜聯(lián)合試驗的要求。優(yōu)化結(jié)果滿足了等效替代公式的規(guī)律，證明了該優(yōu)化方法的可行性。

3) 分析了不同部件尺寸對頻率和剛度的影響規(guī)律，這為今后對此類多臺發(fā)動機機架的優(yōu)化改進方法具有重要的參考意義。