飛翼布局飛行器結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設計

王一為，雷銳午，汪輝

(西北工業(yè)大學航空學院，西安 710072)

采用電力推進的飛行器方案具有減少噪聲、排放和燃料消耗的優(yōu)勢[1-2]。目前，NASA 為實現(xiàn)N+3性能目標設計了分布式混合電推進飛行器N3-X[3-4]，該飛行器采用洛馬混合翼身（hybrid wing body，HWB）構(gòu)型，相比傳統(tǒng)構(gòu)型可以提供更高的氣動效率和更大的升阻比，而使用結(jié)構(gòu)優(yōu)化可以帶來更大的減重效益。因此，結(jié)構(gòu)優(yōu)化技術(shù)的應用是實現(xiàn)未來飛行器設計目標的重點。

拓撲優(yōu)化作為結(jié)構(gòu)優(yōu)化的重要組成部分被廣泛應用在航空航天領域[5]。Eschenauer 和Olhoff[6]使用氣泡法（bubblemethod）并基于柔度最小化對翼肋的拓撲結(jié)構(gòu)進行了優(yōu)化；K rog 等[7]對A380 機翼翼肋進行了拓撲優(yōu)化設計，總結(jié)了用于優(yōu)化翼肋的不同方法。上述2 項工作在固定的布置方式下進行，可以減輕構(gòu)件質(zhì)量，但是沒有對結(jié)構(gòu)的布置方式進行優(yōu)化。宋龍龍等[8]對全動舵面進行熱彈性拓撲優(yōu)化，并且根據(jù)優(yōu)化結(jié)果進行重構(gòu)，通過3D 打印將優(yōu)化結(jié)果制作出來，體現(xiàn)了3D 打印在未來拓撲優(yōu)化應用上的重要作用；Maute 和Allen[9]使用固體 各 向 同 性 材 料 懲 罰（solid isotropicmaterial w ith penalty,SIMP）模型，在考慮流固耦合的基礎上，對平板機翼的剛度進行了拓撲優(yōu)化，但是優(yōu)化結(jié)果特征不夠清晰。同樣針對機翼結(jié)構(gòu)，Aage 等[10]建立了一種優(yōu)化求解工具，用于使用拓撲優(yōu)化設計全尺寸飛機機翼的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，根據(jù)拓撲優(yōu)化結(jié)果構(gòu)建了彎曲梁結(jié)構(gòu)的機翼；Locatelli 等[11]采用彎曲翼梁和翼肋的翼盒結(jié)構(gòu)進行了拓撲和尺寸優(yōu)化，證明超聲速飛行器采用彎曲翼梁和翼肋相比于直梁和直翼肋減重19%。上述工作只關(guān)注了彎曲梁結(jié)構(gòu)的減重效果，與簡單直梁結(jié)構(gòu)機翼對比突出彎曲構(gòu)件的減重效果，未與具備標準內(nèi)部結(jié)構(gòu)的機翼進行比較。隨后，朱繼宏等[12]總結(jié)了拓撲優(yōu)化在航空航天領域結(jié)構(gòu)設計中的最新進展和應用，目前對航空飛行器的拓撲優(yōu)化設計主要是針對飛行器部件進行的，機翼作為提供升力的重要部分，是近年來拓撲優(yōu)化設計研究的重點。針對機翼拓撲優(yōu)化的研究多采用常規(guī)機翼或簡化翼盒，具有內(nèi)外翼轉(zhuǎn)折和后掠角，沿展向厚度均勻變化，而飛翼布局采用全機一體化設計，將機身和機翼融合，形成特殊的翼身結(jié)構(gòu)。

基于此，本文以飛翼布局飛行器作為研究對象，基于變密度法和序列二次規(guī)劃（sequential quadratic programm ing,SQP）算法，以柔順度作為目標函數(shù)對飛翼布局飛行器整機進行拓撲優(yōu)化，分析拓撲優(yōu)化結(jié)果的減重機理，并對拓撲優(yōu)化結(jié)果進行模型重構(gòu)，通過尺寸優(yōu)化分析，驗證拓撲優(yōu)化的減重和增加剛度的效果，最終建立針對全機復雜構(gòu)型結(jié)構(gòu)優(yōu)化的優(yōu)化流程。

1 問題描述

將飛翼布局飛行器N3-X 作為拓撲優(yōu)化設計的研究對象，如圖1 所示。N3-X 飛行器為HWB 構(gòu)型，翼展65.5m，機身長4 1m[13-14]，為后續(xù)表述更加清楚，在圖1 中定義了機身和機翼的界限。中心體和機翼部分的厚度差距較大，機體沿展向弦長和厚度變化都較為劇烈，機翼部分具有大后掠、厚度小、機翼面積小的特點，這樣的特殊結(jié)構(gòu)提高了拓撲優(yōu)化設計的難度。

圖1 N3-X模型Fig.1 N3-X model

在建立模型后，通過計算流體動力學（computational f luid dynam ics，CFD）數(shù)值模擬獲得巡航狀態(tài)下的氣動載荷作為拓撲優(yōu)化的優(yōu)化條件，針對拓撲優(yōu)化結(jié)果的材料分布建立重構(gòu)模型，對重構(gòu)模型進行尺寸優(yōu)化分析，與標準模型對比，驗證拓撲優(yōu)化結(jié)果的減重和增加剛度的效果，流程如圖2 所示。

圖2 結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計流程Fig.2 Flowchart of structural optimization

2 優(yōu)化數(shù)學模型及靈敏度分析

2.1 優(yōu)化方程

為了得到結(jié)構(gòu)剛度最大的結(jié)構(gòu)布置方式，將整體結(jié)構(gòu)的柔順度作為優(yōu)化目標，這也是拓撲優(yōu)化設計中最經(jīng)常使用的目標函數(shù)：

蒙皮柔順度的定義為

式中， ?s代 表蒙皮整體結(jié)構(gòu)；C為柔順度；K為剛度矩陣；U為有限元單元的位移量。

結(jié)合有限元數(shù)值方法，將結(jié)構(gòu)設計域離散為n個單元，將密度函數(shù)離散為一個N維向量，假設該向量為X=(x1,x2,···,xn)，xi為單元i的偽密度值。偽密度值用來表述每個單元材料的有無，偽密度值為1 代表有材料，偽密度值為0 代表沒有材料?？梢詫⑼負鋬?yōu)化問題轉(zhuǎn)化為

式中：vi為 單位i的 體積；V為結(jié)構(gòu)總體積；fU為給定的體分比上限。

在采用基于密度的優(yōu)化模型后，有限元離散后形成大規(guī)模0-1 規(guī)劃問題，提高求解難度，為此需要引入連續(xù)函數(shù)建立0 和1 之間設計變量和材料密度之間的映射關(guān)系，將式（4）中的離散問題轉(zhuǎn)換為連續(xù)變量的問題，采用SIMP 模型[15-16]。材料密度與彈性模量的關(guān)系可以表達為

式中：E0為材料完全填充時的彈性模量；p為懲罰因子，一般設p=3。

得到優(yōu)化模型為

式中： δ為極小的正數(shù)來避免有限元分析中剛度矩陣的奇異性。

使用SQP 算法[17]作為拓撲優(yōu)化過程中的優(yōu)化算法，在每輪迭代都會產(chǎn)生新的設計變量，作為驗證柔順度數(shù)值的輸入變量，計算柔順度數(shù)值和靈敏度后再進行迭代產(chǎn)生新設計變量，直到滿足收斂條件。

2.2 拓撲優(yōu)化模型

為得到最優(yōu)的材料布局形式，分別選用機體柔順度和蒙皮柔順度作為拓撲優(yōu)化設計的目標函數(shù)，采用相同的設計變量和約束條件：

式中：C(x)和Cs(x)分別為機體和蒙皮的柔順度。

2.3 靈敏度分析

使用SQP 算法需要提供設計目標和約束條件關(guān)于設計變量的梯度以進行迭代優(yōu)化過程。推導針對柔順度相對偽密度設計變量的靈敏度，由式（1）得

對KU=F方程兩邊關(guān)于設計變量求導得

結(jié)合式（8）和式（9）可得

根據(jù)SIMP 插值模型，結(jié)合式（5）得

式中：Ci=K i U i為 單元i對應的柔順度。

同理，針對蒙皮柔順度相對偽密度設計變量的靈敏度為

2.4 拓撲優(yōu)化流程

建立如圖3 所示的拓撲優(yōu)化流程。在定義模型設計域、設計載荷、約束和邊界條件后，基于SIMP模型求解離散有限元單元的材料特性和單元剛度矩陣，進行目標函數(shù)和靈敏度分析，再基于SQP 優(yōu)化算法進行設計變量的更新。經(jīng)過收斂條件的判斷和優(yōu)化流程的迭代得到最優(yōu)的材料分布結(jié)果。

圖3 拓撲優(yōu)化問題求解流程Fig.3 Flowchart of topology optimization

2.5 尺寸優(yōu)化模型

為保證拓撲優(yōu)化效果的評估不受人為因素影響，對標準模型和重構(gòu)模型進行尺寸優(yōu)化，使用最優(yōu)的尺寸布置方式進行比較：

式中：yi為 每個設計單元的厚度；m為設計變量的數(shù)目；ymin、ymax分別為設計變量的上、下界，分別設定為ymin=0.003m ；ymax=0.03 m，σM和σd分 別為Von M ises最大應力和設計許用應力，表示應力約束。

3 N3-X 全機拓撲優(yōu)化

3.1 有限元模型

對N3-X 飛行器進行有限元網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格采用四面體網(wǎng)格，最大網(wǎng)格單元尺寸為0.35m，最小網(wǎng)格單元尺寸為0.03m，平均網(wǎng)格單元尺寸為0.1 5 m。網(wǎng)格量為109 萬。有限元模型如圖4 所示。

圖4 N3-X有限元模型Fig.4 Finite element model of N3-X

3.2 氣動載荷提取

為得到拓撲優(yōu)化所需的氣動載荷，需要對N3-X 飛行器建立數(shù)值分析網(wǎng)格，如圖5 所示，使用結(jié)構(gòu)網(wǎng)格進行劃分，總網(wǎng)格量為1493 萬。數(shù)值模擬巡航狀態(tài)：10668m 高度，飛行速度0.84Ma，3°迎角[18]。

圖5 CFD結(jié)構(gòu)網(wǎng)格Fig.5 Structured mesh for CFD

3.3 拓撲優(yōu)化結(jié)果及機理分析

以機體柔順度作為目標函數(shù)，共109 萬設計變量（n=1 0 9 0 000），體分比0.25（fU=0.25），使用鋁合金作為機體和蒙皮的材料，材料特性如表1 所示。

表1 材料屬性Table 1 Material properties

在巡航載荷下得到的拓撲優(yōu)化迭代過程如圖6所示，共經(jīng)過50 次迭代，圖中展示了第10、20 和30次迭代的優(yōu)化結(jié)果。

由圖6 可以看出,材料在機翼前后緣聚集，在對稱面沒有產(chǎn)生完整的傳力路徑，機翼內(nèi)部結(jié)構(gòu)不清晰，難以針對優(yōu)化結(jié)果進行后處理，因此以機體柔順度作為優(yōu)化目標無法得到清晰的結(jié)果。目標函數(shù)為蒙皮柔順度的拓撲優(yōu)化過程如圖7 所示。

圖6 機體柔順度為優(yōu)化目標的拓撲優(yōu)化迭代歷程Fig.6 Iteration history with body compliance as optimization object

圖7 蒙皮柔順度為優(yōu)化目標的拓撲優(yōu)化迭代歷程Fig.7 Iteration history with skin compliance as optimization object

圖8 為拓撲優(yōu)化結(jié)果的材料分布。材料在機身和機翼處的連續(xù)性較好，傳力路徑完整，材料沒有在機翼前后緣位置堆積，構(gòu)成了完整的梁結(jié)構(gòu)，并從對稱面延伸到翼梢。

圖8 拓撲優(yōu)化結(jié)果Fig.8 Result of topology optimization

N3-X 飛翼布局飛行器中心體厚度較大，使用框結(jié)構(gòu)和蒙皮可以產(chǎn)生較大的結(jié)構(gòu)強度，因此在機頭位置沒有材料分布。拓撲優(yōu)化結(jié)果的材料分布構(gòu)成了多個彎曲梁構(gòu)件，與傳統(tǒng)的直梁相比，彎曲梁具有彎扭耦合的特點，并且可以提高蒙皮抗屈曲能力[19]。Jutte 等[20]研究了基于彎曲梁、翼肋結(jié)構(gòu)的氣動彈性問題，證明了機翼內(nèi)部采用彎曲部件可以有效降低機翼質(zhì)量。拓撲優(yōu)化結(jié)構(gòu)在外翼交接處建立了3 個彎曲梁結(jié)果加強該位置的結(jié)構(gòu)強度，并且可以作為新的傳力路徑將外翼段載荷傳輸?shù)饺珯C中心體位置，符合飛翼布局飛行器的受力特點[21]。大部分飛翼布局飛機的受力特點相似，綜合上述分析，拓撲優(yōu)化結(jié)果不僅針對N3-X 飛行器適用，對于具備相似受力特點的飛翼布局飛行器都可以作為結(jié)構(gòu)布置的參考。

4 優(yōu)化結(jié)果分析

4.1 重構(gòu)模型創(chuàng)建

為后續(xù)使用尺寸優(yōu)化來驗證拓撲優(yōu)化效果，需要在遵循優(yōu)化結(jié)果和飛行器傳力基本原則的基礎上，對拓撲優(yōu)化結(jié)果進行重構(gòu)。圖9 為重構(gòu)后的飛行器內(nèi)部結(jié)構(gòu)布置情況。設置3 根主梁，前梁延伸到翼梢，采用彎曲梁的形式進行布置，中梁以較小的彎曲曲率從對稱面延伸到翼梢，后梁在靠近外翼交接處有一個轉(zhuǎn)折，并且在外翼交界處連接到中梁。拓撲優(yōu)化通過加強外翼交接處的結(jié)構(gòu)強度來得到更大的總體剛度，因此，在外翼交接處再設置3 個主要的承力構(gòu)件，在靠近中梁的位置從對稱面延伸出的1 根輔助梁在外翼交接處連接到中梁，1 根彎曲梁從前梁和第2 根翼肋交接處延伸到前梁，最后在上述2 根輔助梁之間建立連接構(gòu)件（第3 根輔助梁）。

圖9 拓撲優(yōu)化結(jié)果的重構(gòu)模型Fig.9 Rebuilt model for topology optimization

4.2 標準模型創(chuàng)建

為研究拓撲優(yōu)化帶來的減重效益，需要建立一個對照模型。飛翼布局飛行器需要承擔雙重功能，作為客艙需要承載壓力載荷，作為機翼需要承載機翼彎曲載荷，N3-X 飛行器屬于HWB 構(gòu)型，氣動載荷主要由中心體承載[21]，翼身融合體（blended w ing body，BWB）構(gòu)型因為受到的機翼彎矩和剪力峰值小于常規(guī)客機構(gòu)型，結(jié)構(gòu)布置也主要考慮的是建立中心體結(jié)構(gòu)來承受客艙的壓力載荷[22]，所以HWB 和BWB 構(gòu)型的受載特點十分相似。因此，該對照模型根據(jù)更具代表性的BWB 構(gòu)型的內(nèi)部結(jié)構(gòu)進行建模。以Boeing 設計的第二代結(jié)構(gòu)布置作為參考[20]，對N3-X 飛行器進行結(jié)構(gòu)布置。

如圖10 所示，該結(jié)構(gòu)布置包括前梁、后梁、和中梁，其中中梁作為中間加強梁。前梁在外翼交接處和機翼中段處有一個拐折，中間加強梁考慮到常規(guī)的構(gòu)型布置，需要在外翼段給副翼和方向舵留出足夠的安裝空間，僅在中心體和外翼交接處有轉(zhuǎn)折，在外翼段都為直線，考慮到發(fā)動機的傳來的載荷，布置后梁進行發(fā)動機載荷的傳遞。結(jié)構(gòu)布置一共31 個翼肋，中心體的肋條和自由來流方向垂直，外翼段的大部分翼肋和前梁保持垂直。

圖10 標準模型結(jié)構(gòu)布置Fig.10 Standard model configuration

4.3 重構(gòu)模型和標準模型對比分析

重構(gòu)模型采用彎曲梁的形式，后梁和中梁的位置與標準模型相似，但沒有在機頭位置布置梁構(gòu)件，前梁直接從機身中間位置向?qū)ΨQ面延伸到翼梢，前梁布置方式的改變可以減少翼梁長度，減小結(jié)構(gòu)質(zhì)量。需要加強的位置主要集中在機翼和外翼交接處。在外翼交接處，重構(gòu)模型根據(jù)拓撲優(yōu)化結(jié)果建立彎曲輔助梁，優(yōu)化結(jié)果只具備梁的特征，為了和標準模型進行對比并保證蒙皮不發(fā)生變形，需要在重構(gòu)模型中構(gòu)建翼肋，為保證對比的合理性（見圖11），在重構(gòu)模型中設置和標準模型完全相同的翼肋布置方式，研究采用根據(jù)拓撲優(yōu)化結(jié)果構(gòu)建的彎曲梁所帶來的減重和增加剛度的效果。

圖11 重構(gòu)模型結(jié)構(gòu)布置Fig.11 Rebuilt model configuration

重構(gòu)模型內(nèi)部結(jié)構(gòu)的布置方式是在典型飛翼布局飛行器N3-X 基礎上建立的，對于用途相似的飛翼布局飛行器都可以作為結(jié)構(gòu)布置的參考，重構(gòu)模型精確的減重效果通過使用尺寸優(yōu)化獲得。

4.4 尺寸優(yōu)化分析

對比重構(gòu)模型和標準模型可以看出，兩者在構(gòu)件數(shù)量和構(gòu)件布置方式上存在較大差異，難以直接進行部件尺寸設定從而對比質(zhì)量與剛度等特性，而尺寸優(yōu)化則可以直接得到最優(yōu)的尺寸布置來進行比較，這也是使用尺寸優(yōu)化進行結(jié)果分析的優(yōu)勢。因此，使用TACS 求解器[23]，對標準模型和重構(gòu)模型進行尺寸優(yōu)化，使用最優(yōu)的尺寸布置方式進行比較。

為進行尺寸優(yōu)化分析，建立重構(gòu)模型和標準模型的有限元模型，如圖12 所示，均采用四邊形網(wǎng)格單元，單元尺寸為0.2m，標準模型共3 5 116 個網(wǎng)格單元，334 8 9 個單元節(jié)點，重構(gòu)模型共3 7 225 個網(wǎng)格單元，35234 個單元節(jié)點。

圖12 重構(gòu)模型和標準模型的有限元模型Fig.12 Finite element model of rebuilt model and standard model

根據(jù)結(jié)構(gòu)特點，標準模型設置191 個設計變量，重構(gòu)模型設置217 個設計變量，如圖13 所示。

圖13 標準模型和重構(gòu)模型的設計變量分布Fig.13 Distribution of design variables of standard model and rebuilt model

對標準模型和重構(gòu)模型進行以質(zhì)量為目標函數(shù)的尺寸優(yōu)化，迭代過程中質(zhì)量和柔順度的收斂曲線如圖14 所示。經(jīng)過尺寸優(yōu)化，重構(gòu)模型的質(zhì)量相比標準模型減少了5116 kg，降低了19.71%，但是重構(gòu)模型的柔順度大于標準模型的柔順度，這是因為減重過多，導致總剛度下降。因此，為了更加準確地通過尺寸優(yōu)化對比拓撲優(yōu)化的效果，將標準模型尺寸優(yōu)化結(jié)果的質(zhì)量和柔順度作為重構(gòu)模型尺寸優(yōu)化的約束條件，通過對比等柔順度下質(zhì)量和等質(zhì)量下柔順度來判斷拓撲優(yōu)化的效果。

圖14 標準模型和重構(gòu)模型的尺寸優(yōu)化迭代過程Fig.14 Iteration history of sizing optimization for standard model and rebuilt model

對重構(gòu)模型分別進行包含柔順度約束和質(zhì)量約束的尺寸優(yōu)化，得到圖15 所示的迭代過程曲線。在等柔順度條件下，采用彎曲梁結(jié)構(gòu)的重構(gòu)模型的質(zhì)量相比標準模型減少了3455kg；在等質(zhì)量條件下，重構(gòu)模型的柔順度相比標準模型減少了245844J。

圖15 質(zhì)量約束和柔順度約束的尺寸優(yōu)化結(jié)果Fig.15 Sizing optimization with mass and compliance constraint

圖16 對比了z向的位移大小，更直觀地表現(xiàn)剛度的增加效果，翼梢z向位移相比標準模型降低了1.133m，降低了標準模型翼梢位移的44.87%。尺寸優(yōu)化結(jié)果證明，在等質(zhì)量條件下拓撲優(yōu)化結(jié)果有明顯的剛度增加效果。

圖16 z向位移對比Fig.16 Comparison of displacement in z direction

將尺寸優(yōu)化結(jié)果整理如表2 所示，表中重構(gòu)模型1 代表在應力約束和質(zhì)量約束下得到的結(jié)果，重構(gòu)模型2 代表在應力約束和柔順度約束下得到的結(jié)果，相比標準模型，重構(gòu)模型具有14.53%的減重效果，可以減少47.90%的柔順度和44.87%的z向位移。通過尺寸優(yōu)化證明了采用彎曲梁結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化結(jié)果具備良好的減重和增加剛度的性能。目前，因為彎曲構(gòu)件的加工難度較大，彎曲梁還沒有實現(xiàn)工程層面的大規(guī)模應用，但宋龍龍等[8]建立的完整拓撲優(yōu)化和制造流程表明了3D 打印技術(shù)可以有效解決加工難度大等問題的可能性，將拓撲優(yōu)化和更為成熟的3D 打印技術(shù)相結(jié)合，未來就可以實現(xiàn)全機大規(guī)模拓撲優(yōu)化的工程應用。

表2 優(yōu)化結(jié)果Table 2 Optim ization results

綜合上述研究工作，構(gòu)建針對復雜構(gòu)型的拓撲優(yōu)化和尺寸優(yōu)化分析流程，具體如圖17 所示。該流程包括拓撲優(yōu)化設計、針對拓撲優(yōu)化結(jié)果建立重構(gòu)模型、對重構(gòu)模型進行尺寸優(yōu)化從而評估拓撲優(yōu)化結(jié)果的有效性。

圖17 拓撲優(yōu)化設計與尺寸優(yōu)化Fig.17 Topology optimization design and sizing optimization

5 結(jié) 論

通過對電推進飛翼布局N3-X 全機進行拓撲優(yōu)化并對結(jié)果建立重構(gòu)模型，再使用尺寸優(yōu)化與標準模型對比來驗證拓撲優(yōu)化效果，得到如下結(jié)論：

1）通過拓撲優(yōu)化，獲得了傳力路徑完整、結(jié)構(gòu)清晰的材料分布結(jié)果，使用彎曲梁的布置方式，可以減少構(gòu)件數(shù)量，提高外翼交接處的結(jié)構(gòu)強度，使用輔助梁可以增加傳力路徑，將載荷傳遞到中心體位置。

2）從彎曲梁的布置、質(zhì)量、柔順度及z向形變4 個方面證明了飛翼布局N3-X 飛行器拓撲優(yōu)化結(jié)果的合理性。在等柔順度時，重構(gòu)模型相比標準模型質(zhì)量減少14.53%；在等質(zhì)量時，重構(gòu)模型相比標準模型全機柔順度降低47.90%，證明了拓撲優(yōu)化結(jié)果的減重效果。并進一步驗證了彎曲構(gòu)件具備減重效果。

3）建立了針對復雜構(gòu)型的優(yōu)化-評估機制，證明了尺寸優(yōu)化不僅可以作為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計的一部分，還可以作為拓撲優(yōu)化效果的驗證工具。

4）根據(jù)典型飛翼布局飛行器建立的優(yōu)化評估機制對于用途相同、構(gòu)型和受力特點相似的飛翼布局飛行器的內(nèi)部結(jié)構(gòu)布置具有參考價值。