數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

林明霞

(福建省莆田市秀嶼區(qū)實驗中學(xué)，福建 莆田 351100)

1 數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵

“數(shù)”與“形”是初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中最為基本的兩個概念.數(shù)形結(jié)合的思維運用其關(guān)鍵就是通過數(shù)量和圖形相互結(jié)合，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)解題有更加深刻的解題思維.數(shù)形結(jié)合需要將數(shù)學(xué)定理、公式與圖形相結(jié)合，并引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題進行思考.在日常的教學(xué)過程中，普遍使用的教學(xué)形式主要表現(xiàn)在用數(shù)來研究圖形與用圖形來研究數(shù)，根據(jù)教學(xué)形式的不同分為了“以形助數(shù)”與“以數(shù)解形”兩個方面.在初中數(shù)學(xué)中，數(shù)量問題主要分為代數(shù)問題、函數(shù)問題、集合問題等.在初中數(shù)學(xué)的解題步驟中要運用好數(shù)形結(jié)合的思想,將抽象的數(shù)量問題轉(zhuǎn)化為具體的圖形問題,或者將直觀的圖形轉(zhuǎn)化為準確的數(shù)量.

2 數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的意義

2.1 培養(yǎng)學(xué)生的解題興趣

初中數(shù)學(xué)題目涉及邏輯和思維，難度大，初中學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過程中感到枯燥乏味，容易導(dǎo)致學(xué)生失去學(xué)習的信心.在日常教學(xué)過程中，教師要充分調(diào)動學(xué)生對數(shù)學(xué)這一課程的學(xué)習欲望，教師要對自身的教學(xué)觀念進行不斷更新.比如教師在教學(xué)過程中引入圖像的表現(xiàn)方式，將二次函數(shù)以形象化的方式表現(xiàn)出來.同時可以結(jié)合互聯(lián)網(wǎng)PPT對教學(xué)圖像進行展示，從而達到吸引學(xué)生學(xué)習二次函數(shù)的欲望，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習熱情，也實現(xiàn)了使學(xué)生在學(xué)習數(shù)學(xué)的解題思路中快樂學(xué)習的教學(xué)初衷.

2.2 發(fā)展學(xué)生的解題思維

初中數(shù)學(xué)的難度隨著知識的深入不斷加大，很多學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)困難.數(shù)學(xué)解題過程中需要大量的思維能力，通過對數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)的剖析，數(shù)量關(guān)系與圖形能夠相互轉(zhuǎn)化和補充，讓學(xué)生能夠快速把握問題的關(guān)鍵，并對題意有了更加深刻的印象，解題的思路也變得更加清晰，從而提高學(xué)生在數(shù)學(xué)問題中的審題與解題能力，拓寬了學(xué)生思維的發(fā)展.例如，在教授運用幾何方法解決代數(shù)問題的課程時，教師可以通過代數(shù)與幾何圖形的關(guān)聯(lián)度，剖析二者共同點，尋找到科學(xué)的解決方案，提高學(xué)生的邏輯思維能力.

2.3 提升學(xué)生的解題能力

數(shù)形巧妙結(jié)合的思想含義是通過兩個數(shù)形概念之間存在的關(guān)系進行深入分析，同時對幾何空間、數(shù)量關(guān)系等進行一個巧妙的結(jié)合,從而逐步找到一些解題方面的頭緒,讓許多問題可以從復(fù)雜變得更加清楚簡單,最終得到解決問題的方案.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中比較常見到的幾何代數(shù)問題，就可以借助直角三角形、矩形、橢圓等解決.例如,可以考慮借助直角三角形來解決所有與勾股定理緊密相關(guān)的代數(shù)問題.

3 數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)知識的基本概念有著抽象性的特點，導(dǎo)致學(xué)生對基本概念的理解容易產(chǎn)生偏差，影響了學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力.比如:求得出任何一個二元一次方程和其中任意一個一元一次二方程間的正交點的坐標.在教學(xué)過程中,要讓學(xué)生自己先以畫圖的解題思維方式，在一個坐標系圖中畫出表示兩個方程式交點的一個函數(shù)圖像,并能夠在這個函數(shù)圖中找到這兩個方程式交點坐標.而在“以形助數(shù)”的教學(xué)過程中，要通過圖像將抽象的數(shù)學(xué)概念正確地表達出來，圖像還要表現(xiàn)出數(shù)字與數(shù)字之間的異同關(guān)系.例如，學(xué)生在解一元二次不等式時，可以直接將代數(shù)代入進行運算，但存在解題時間長、解題思路混亂的問題.通過圖形可以充分解決一元二次不等式的這些問題，將不等式兩邊分別看做是一元一次方程和一元二次方程，并把兩個方程的以圖像的方式在坐標系中畫出，同時根據(jù)不等式的方向，選擇與方程有交集的圖像，而不等式的解集便是被截取的那一部分.綜上所述，數(shù)形結(jié)合的解題方式對學(xué)生了解初中數(shù)學(xué)解題思路有著極大幫助.

3.1 數(shù)形結(jié)合解決概念問題

初中數(shù)學(xué)概念的課程教學(xué)設(shè)計目標，不僅強調(diào)要讓廣大學(xué)生了解數(shù)學(xué)的基本概念,還要對其含義形成初步的正確理解.教師們必須反復(fù)對數(shù)學(xué)的教學(xué)理論進行分析，通過比對、總結(jié)和歸納概括三個環(huán)節(jié),對數(shù)形結(jié)合相關(guān)概念論證的完整邏輯過程進行了詳細的解析,讓所有學(xué)生從中感知了解每個數(shù)學(xué)概念背后蘊含的數(shù)學(xué)思想.

3.2 數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)問題

在初中數(shù)學(xué)課程設(shè)計中，往往會遇到學(xué)生對典型的函數(shù)問題或復(fù)雜型函數(shù)問題的主要概念性質(zhì)關(guān)系無法正確理解.函數(shù)問題研究其實是一個包含各種簡單代數(shù)知識內(nèi)容與微分幾何知識內(nèi)容的有機數(shù)學(xué)綜合體.教師在數(shù)形結(jié)合的教學(xué)基本思想中可以使用“以形助數(shù)”的教學(xué)思維方式.例如,小東正在擊打羽毛球,其中小東的實際身高約為1.25m，且只能以直線高度BC來予以表示,而此時當他進行擊打后，打飛出來后的羽毛球的實際最高直線飛行點的直線高度則恰為2.25 m,此時若羽毛球與小東的實際水平距離正好約為1 m,那么羽毛球?qū)嶋H的直線最終的拍落點A和小東的實際垂直距離應(yīng)是約有多少米長?這個數(shù)學(xué)問題同樣也有涉及到了關(guān)于“拋物線”知識中的“應(yīng)用型函數(shù)”的一個知識點.通過圖1我們可以很清楚準確地看到,題目主干信息是所要求函數(shù)的所求B點到函數(shù)所求的A點之間的一條直線距離,通過這個圖，學(xué)生們可以對該函數(shù)題干信息整體有了一個更加清晰和直觀地了解.

圖1

3.3 數(shù)形結(jié)合解決不等式問題

“不等式”是初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中重要的的一個知識點，在解一元一次不等式的過程中要注意兩點：第一是未知數(shù)前面的系數(shù)是負數(shù)時，當系數(shù)化1 后，不等式的不等號要變方向，“>”要變?yōu)椤?”；第二是“≤、≥”表示實心，“>、<”表示空心.

如圖2，在求不等式的解集時，為了清楚地得到不等式在數(shù)軸上的解集，重點在于x<1是空心，x≥-2的方向, 因而選擇B.

圖2

利用數(shù)軸也可以解決找眾數(shù)和中位數(shù)的問題，眾數(shù)是指所有變量中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，中位數(shù)是將各個變量按大小的順序排列后，處于中間的變量值.

3.4 數(shù)形結(jié)合解決幾何問題

幾何問題是初中數(shù)學(xué)的重要部分之一,是每年中考數(shù)學(xué)重點考查的問題.通過幾何問題,不僅可以考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的實際掌握情況及應(yīng)用情況,還能考查學(xué)生的綜合能力及數(shù)學(xué)思維.在圖3中,已知正方形和另一直角三角形邊長的三邊長應(yīng)各應(yīng)分別設(shè)為3cm、4cm、5cm.若是要我們分別都是以上所述三條邊中各一條為直徑來分別去計算這樣一幅的半圓形,那么該形圖形中的陰影部分的投影總陰影面積是多少平方厘米呢?

圖3

通過對題干的分析可以看到，該題目的圖形由三個直徑分別是5cm、4cm和3cm的半圓和一個三條邊長為5cm、4cm和3cm的直角三角形組成，要計算出陰影面積，就要計算出直徑為3cm和4cm的兩個半圓總面積，再減去它們各自的弧形面積.怎樣計算這兩個弧形面積的總和呢？是用直徑為5cm的半圓面積減去直角三角形面積得出的.所以要想正確解答這道題，首先要計算出直徑為5cm的半圓面積，然后減去直角三角形的面積，從而得到兩個弧形面積的總數(shù).隨后將計算出直徑為3cm與直徑為4cm的半圓面積進行相加，然后減去兩個弧形的總面積即可得到圖中陰影部分的面積.通過這個例子，可以發(fā)現(xiàn)在幾何問題的解答思路中數(shù)形結(jié)合思維邏輯的重要性，能夠讓學(xué)生快速審題，并得出問題的正確答案.

綜上所述，數(shù)學(xué)結(jié)合思想對于初中數(shù)學(xué)學(xué)習與解題具有重要作用.數(shù)形結(jié)合思維邏輯可以讓學(xué)生對數(shù)字與圖形之間的關(guān)系產(chǎn)生更加深刻的理解，降低解題難度.教師要教會學(xué)生在數(shù)學(xué)解題的過程中將數(shù)形結(jié)合的思維邏輯運用起來，實現(xiàn)提高數(shù)學(xué)成績的目標.