“倍角”條件下橢圓與向量的交匯

蒲冬生

(甘肅省隴南市康縣第一中學 746500)

在知識交匯點處命題是近年新課標高考理念，側重考查考生對所學相關數(shù)學知識、思想方法的綜合運用能力.基于此，本文特選取如下一道橢圓與向量的交匯問題，旨在說明此類問題往往以橢圓的焦點三角形為背景，側重考查解三角形、橢圓以及平面向量等知識的綜合運用，能夠較好地培養(yǎng)學生的數(shù)形結合能力、化歸能力以及數(shù)學運算求解能力，進而提升學生在直觀想象與數(shù)學運算方面的核心素養(yǎng).

多解探究為了便于幫助學生理解、分析，依據(jù)題意，先畫出對應的平面圖形，如圖1所示.

圖1

接下來，可給出三種不同的求解思路.

所以n×2sinαcosα=msinα，化簡得m=2ncosα.

化簡，得n3=nm2+4n-2m2.

①

②

視角2 從已知條件看，由于∠PF2F1=2∠PF1F2，且涉及平面圖形，所以可考慮有關平面幾何與解三角形知識的綜合運用；從解題目標看，可考慮數(shù)量積的定義a·b=|a|·|b|cosθ的靈活運用.

圖2

③

④

⑤

評注(1)該解法以有關平面幾何知識的充分運用做為解題的切入點，同時又涉及橢圓的定義、余弦定理以及數(shù)量積的定義在解題中的綜合運用.此外，參考該解法可得如下一般性結論：設△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若B=2A，則有b2=a(a+c).

圖3

以上通過多視角分析，給出了“倍角”條件下橢圓與向量交匯問題的多解探究.從知識層面看，涉及解三角形、三角恒等變換、平面幾何、解析幾何、平面向量等知識的綜合運用；從數(shù)學思想方法的靈活運用看，涉及數(shù)形結合思想、化歸思想、方程思想的綜合運用.一言以蔽之，本題設計較好，數(shù)與形兼?zhèn)?，綜合性較強，解法靈活多樣，能夠考查不同考生各自的數(shù)學潛能，故本題具有較強的研究價值，值得我們?nèi)ゼ毤毱肺叮?/p>