對一道二元函數(shù)最值的解法探究與推廣

劉海濤

(安徽省蕪湖市第一中學(xué) 241000)

《中國高考評價體系》指出：高考要求學(xué)生能夠觸類旁通、融會貫通，既包括同一層面橫向的交互融合，也包括不同層面之間縱向的融會貫通.在教學(xué)過程中，對于一些典型問題，如果我們能夠從不同角度思考，尋求不同的解法，以一題多解的方式尋求知識間的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建知識的網(wǎng)絡(luò)體系，加深對問題的本質(zhì)認識，定會拓寬解題視野，發(fā)散解題思維，提升學(xué)習(xí)興趣，提高解題能力.本文是筆者對一道二元函數(shù)最值題的研究，現(xiàn)與讀者分享交流.

1 試題呈現(xiàn)與分析

分析該題形式上以二元高次方程為背景命題，主要考查分析、解決二元高次問題的能力，強化對轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、消元與不等式求最值等數(shù)學(xué)思想方法的考查，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).試題結(jié)構(gòu)雖簡單、明了，但內(nèi)涵豐富，本文嘗試對該題從不同的角度予以思考，給出不同的解法.

2 解法探究

角度1 化二元為一元，借助導(dǎo)數(shù)或均值不等式求最值.

解法1由y3(5-2x3)=3，得

由x>0，得P″>0.

則導(dǎo)函數(shù)P′在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

注意到當(dāng)x=1時P′=0，于是易得函數(shù)P在(0,1)上單調(diào)遞減，在[1,+∞)上單調(diào)遞增，故當(dāng)x=1時,函數(shù)P取得最小值5.

評注化二元為一元是解決二元函數(shù)的最直接做法，通法是消去其中一個變量，得到關(guān)于另一變量的函數(shù)，接著利用不等式、對勾函數(shù)、求導(dǎo)等求出最值.

解法2由y3(5-2x3)=3，得

設(shè)f(x)=(5-2x3)x2=-2x5+5x2(x>0)，

求導(dǎo)得f′(x)=-10x4+10x=-10x(x3-1).

當(dāng)00，當(dāng)x>1時f′(x)<0，所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在[1,+∞)上單調(diào)遞減.

于是f(x)max=f(1)=3.

故當(dāng)x=y=1時函數(shù)P取得最小值5.

即(5-2x3)x2≤3，當(dāng)且僅當(dāng)5-2x3=3x3，即x=1時等號成立.

所以當(dāng)x=y=1時P取得最小值5.

評注解法3是對解法2 的優(yōu)化，在將目標(biāo)式放縮為關(guān)于x的一元分式函數(shù)后，再次利用五元均值不等式求出最值.

解法4由y3(5-2x3)=3，得

所以當(dāng)x=y=1時P取得最小值5.

角度2根據(jù)條件式與目標(biāo)式的系數(shù)不同，配湊出不等式所需結(jié)構(gòu).

解法5由y3(5-2x3)=3，得

故P的最小值為5.

解法6由y3(5-2x3)=3，得

所以當(dāng)x=y=1時P取得最小值5.

解法7由y3(5-2x3)=3，得

所以P取得最小值5.

解法8由y3(5-2x3)=3，得

=55，

所以P取得最小值5.

3 問題的推廣

由上述解法不難想到，該問題可以做如下推廣：

證明由赫爾德不等式，知

4 反思總結(jié)

用多種方法解答同一道數(shù)學(xué)題，不僅能更牢固地掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，還能更靈活地運用所學(xué)知識．通過一題多解，分析、比較各種解法，可以找到最佳的解題途徑，從而發(fā)散學(xué)生的思維能力，對鞏固知識和解題能力大有裨益，是提高數(shù)學(xué)成績的一條捷徑．但是我們在日常學(xué)習(xí)中，要結(jié)合自身掌握程度和實際情況，選擇最佳的解題方法，不要一味追求某一種解法，要學(xué)會從不同解法中汲取不同的數(shù)學(xué)思想，提高自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).筆者對問題做了一個簡單的一般化推廣，與讀者分享交流，以發(fā)揮該題的最大價值，歡迎讀者給出更多的推廣.