構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

孫利萍

(云南省怒江州民族中學(xué) 673100)

近年來(lái)，隨著經(jīng)濟(jì)社會(huì)的不斷發(fā)展，我國(guó)也加快了課程改革，其中包含數(shù)學(xué)學(xué)科，這使得對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的研究也在不斷地深入.作為一種技巧性和創(chuàng)新性很強(qiáng)的非常規(guī)性解題方法，數(shù)學(xué)構(gòu)造法的應(yīng)用有一定的前提條件，不僅要求學(xué)生有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，還能夠全面分析高中數(shù)學(xué)解題的特點(diǎn).

1 構(gòu)造幾何圖形解題

從整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的角度來(lái)講，其包含代數(shù)和幾何兩大部分的內(nèi)容.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，將構(gòu)造法應(yīng)用其中，不僅能夠解決各種代數(shù)問(wèn)題，還能夠應(yīng)對(duì)和處理幾何圖形問(wèn)題.通過(guò)切實(shí)構(gòu)建幾何圖形，能夠有機(jī)融合所研究問(wèn)題的特征和圖形，達(dá)成解決幾何問(wèn)題的目的.

圖1

解析教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用構(gòu)造法切實(shí)解決幾何圖形問(wèn)題，根據(jù)題目中的cosα2+ cosβ2+cosγ2=1，連接長(zhǎng)方體對(duì)角線，構(gòu)造如圖1所示的圖形.通過(guò)構(gòu)造長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的方式，不僅能夠?qū)㈤L(zhǎng)方體對(duì)角線DB1和其三條側(cè)棱對(duì)應(yīng)∠α，∠β，∠γ三個(gè)夾角明確下來(lái)，還能夠?qū)⑷龡l棱AD，DD1，DC的長(zhǎng)分別設(shè)置為a，b和c，以此來(lái)保證其能夠被證實(shí).基于這種狀況，當(dāng)且僅當(dāng)三條棱相等的時(shí)候，才能夠保證不等式取等號(hào)的原問(wèn)題被證實(shí).

2 構(gòu)造輔助角解決幾何問(wèn)題

通過(guò)構(gòu)造輔助角解決問(wèn)題的方式被稱為構(gòu)造輔助角法.在實(shí)際解決幾何問(wèn)題的時(shí)候，常常會(huì)依托輔助角，建立起相應(yīng)的聯(lián)系，這樣一來(lái)就能夠使幾何問(wèn)題得到切實(shí)的解決.對(duì)已知條件的角度和結(jié)論進(jìn)行深入分析，采取構(gòu)造兩個(gè)或者多個(gè)角的方式，構(gòu)造出與題目相應(yīng)的輔助角.

例2在棱長(zhǎng)全都相等的四面體A-BCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，連接AF，CE，如圖2所示.

(1)求異面直線AF，CE所成的角；

(2)求CE與底面BCD所成角的大小.

圖2

解析(1)構(gòu)造∠AFG，連接AG，則∠AFG就是AF和CE所形成的角.

(2)通過(guò)構(gòu)造∠ECM，BD⊥面EMN，而B(niǎo)D?平面BCD,所以平面EMN⊥平面BCD.

由此EH⊥平面BCD.

即∠ECH就是CE和平面BCD所成的角.

因?yàn)椤鱁MD和△NMD都是直角三角形，MD為公共邊，則∠EDM=∠NDM=60°.

所以△EMD≌△NMD.

3 構(gòu)造向量解決幾何問(wèn)題

例3已知定點(diǎn)A(-1，0)和B(1，0)，P是圓(x-3)2+(y-4)2=4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則|PA|2+|PB|2的最大值和最小值是多少.

圖3

點(diǎn)P在圓(x-3)2+(y-4)2=4上，

4 構(gòu)造輔助多邊形解決幾何問(wèn)題

為了切實(shí)解決平面幾何或者立體幾何當(dāng)中的重要問(wèn)題，可以采取構(gòu)造更加復(fù)雜的幾何圖形方式.要想保證構(gòu)造的多邊形是切實(shí)有效的，必須要結(jié)合題目中所給出的各種已知條件或者結(jié)論等內(nèi)容.一般情況下，涉及到三角形的幾何題，需要利用三角形的某些特性來(lái)構(gòu)造三角形.如果題目中已知的條件或者結(jié)論涉及到正方形或者平行四邊形，則可以采取構(gòu)造相應(yīng)的正方形或者平行四邊形的方式.

圖4

證明(采取構(gòu)造法，將△CFG構(gòu)造出來(lái))

(1)因?yàn)锳D⊥CD，所以△ADC與△ADF都是直角三角形.

又因?yàn)椤螩AD=∠FAD，AD為公共邊，

所以△ADC≌△ADF.所以CD=FD.

即D為CF的中點(diǎn).

同理可得E是CG的中點(diǎn)

即DE=FG，故DE∥AB.

(2)由 △ADC≌△ADF，得出AC=AF.

由△BEC≌△BEG，得出BC=BG.

5 構(gòu)造輔助圓來(lái)解決幾何問(wèn)題

通過(guò)添加輔助圓，充分考慮圓的性質(zhì)，尋求解決幾何問(wèn)題的已知條件和隱含條件.這種借助構(gòu)造圓解決問(wèn)題的方式叫做構(gòu)造輔助圓.采取這種方式可以將平面幾何中關(guān)于角度和線段相等等方面的問(wèn)題得到解決.同時(shí)，還要考慮平面幾何中的計(jì)算題和極值等問(wèn)題，以此來(lái)構(gòu)造輔助圓.

例5在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在三點(diǎn)，即A,B,C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-6，0)，點(diǎn)C在y軸上，并且是一個(gè)動(dòng)點(diǎn).當(dāng)∠BCA=45°的時(shí)候，點(diǎn)C的坐標(biāo)可以表示為_(kāi)___.

圖5

解析設(shè)點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，AB=10，點(diǎn)E可以表示為(-1，0)，由于點(diǎn)C的位置存在兩種可能，即在y軸正半軸或者y軸負(fù)半軸，所以要分情況討論.

其一：假設(shè)點(diǎn)C在y軸的正半軸，如圖5所示.

此時(shí)以點(diǎn)P為圓心，PA當(dāng)作半徑，

過(guò)點(diǎn)P作垂直于y軸的點(diǎn)F，則OF=PE=5.

根據(jù)勾股定理，在Rt△PFC中，可得CF=7.

由此OC的長(zhǎng)度為5+7=12，即C(0，12).

其二：假設(shè)點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸，則類比第一種解法，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，-12).

綜上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 (0，12)和(0，-12).

綜上所述，采取了具體的高中數(shù)學(xué)解題案例的方式，利用數(shù)學(xué)構(gòu)造法，并且將其應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)解題當(dāng)中.教師應(yīng)當(dāng)盡可能引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的隱藏條件，盡可能降低構(gòu)造法的具體應(yīng)用意識(shí).同時(shí)，高中數(shù)學(xué)教師在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)思維能力的過(guò)程中，并未完全融入構(gòu)造法的技巧和能力，還受到了一定的研究因素和條件限制.為此，對(duì)構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題當(dāng)中的應(yīng)用還需要更進(jìn)一步的探究，從而保證學(xué)生形成正確合理的構(gòu)造法幾何解題策略.