等和線的深入研究

程志松

(山東省寧陽縣第一中學(xué) 271400)

在同一平面中相交于原點的兩條數(shù)軸，如果它們的度量單位相等，稱為笛卡爾坐標(biāo)系，其中兩條數(shù)軸互相垂直的笛卡爾坐標(biāo)系，稱為笛卡爾直角坐標(biāo)系，否則稱為笛卡爾斜角坐標(biāo)系.笛卡爾平面直角坐標(biāo)系是我們平時使用最多的坐標(biāo)系.那么若兩數(shù)軸的度量單位不一定相等時就構(gòu)成了平面仿射坐標(biāo)系.仿射變換是一種線性變換，能夠保持圖象的平行性與平直性，借助仿射變換這一特點，我們可以構(gòu)建仿射坐標(biāo)系.

已知向量a，b不共線，令a方向為x軸正方向，b方向為y軸正方向，如圖1建立仿射坐標(biāo)系.

圖1

仿射坐標(biāo)系同樣擁有四個象限，其坐標(biāo)符號與平面直角坐標(biāo)系一樣，第一象限(+，+)，第二象限(-,+)，第三象限(-,-)，第四象限(+,-).

我們首先研究一下在笛卡爾平面直角坐標(biāo)系中直線方程截距式在向量基底作用下的幾何意義.

圖2

所以x=λa,y=μb.

通過分析發(fā)現(xiàn)，基底作用下向量表示與直線方程的截距式是等價的.那么在仿射坐標(biāo)系中，我們能否得到相同的結(jié)論呢？

如圖3，{m,n}為仿射坐標(biāo)系下的一組基底.

圖3

則OP=λam+μbn.

所以x=λa，y=μb.

下面我們以高考題為例，淺析等和線的應(yīng)用.

1 等和線求取值范圍

由題意可知P(x,y)在第二象限，所以x<0.

圖4

圖5

由等和線可得直線OB為x+y=1，直線OM為x+y=0.

因為點P在由射線OM，線段OB及AB的延長線圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)，所以0

2 等和線求面積

圖6

因為|λ|+|μ|≤1，

所以λ>0,μ>0時，λ+μ≤1；

λ<0,μ>0時，-λ+μ≤1；

λ<0,μ<0時，-λ-μ≤1；

λ>0,μ<0時，λ-μ≤1.

3 等和線求最值

圖7

令λ+μ=m，由等和線可知當(dāng)EF∥BD且與圓C相切時m取最大值.

作AN⊥EF,垂足為點N，交BD于點M.

因EF∥BD，故△AMB∽△ANF.

由等和線可知此時λ+μ=3.

所以λ+μ最大值為3.

17世紀(jì)初，笛卡爾建立了他的坐標(biāo)系，這是變量數(shù)學(xué)的先導(dǎo)和基礎(chǔ)，深刻地影響了數(shù)學(xué)的發(fā)展道路.我們現(xiàn)在看來十分簡單的笛卡爾坐標(biāo)系，經(jīng)過仿射變換成為仿射坐標(biāo)系，借助平面向量基本定理的推導(dǎo)讓我們進(jìn)一步地理解直線截距式方程就是等和線的概念.向量是連接幾何與代數(shù)的有效手段，通過建系使點坐標(biāo)化，進(jìn)而幾何的目標(biāo)可以通過代數(shù)達(dá)到，而代數(shù)的語言也可以用幾何解釋.