靈活運用函數(shù)的單調(diào)性處理不等式問題

洪昌強(qiáng)

(浙江省臺州市第一中學(xué) 318000)

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，在研究比較大小時發(fā)揮了重要作用.但在解決一些稍為復(fù)雜或者含有多變量不等式問題時，若生搬硬套直接使用單調(diào)性去處理不等式問題，往往會束手無策，感覺無能為力.正確的思路是需要對不等式或函數(shù)先進(jìn)行適當(dāng)變形、變更主元、重構(gòu)函數(shù)、變換問題的角度，然后再利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解決.如何靈活運用函數(shù)的單調(diào)性處理不等式問題呢？下面舉例介紹.

1 變更主元

由題意知a>0，解關(guān)于a的二次方程

所得的式子較復(fù)雜，要確定a的范圍更為困難.絕大多數(shù)學(xué)生的解題思路在此受阻、中斷.其實此題需要逆向思維，重新審視題目中信息，調(diào)整思維，改變解題思路.

首先從特殊情況出發(fā)， 由題意，得

評注此題以函數(shù)、不等式等核心知識為背景，是不等式恒成立條件下求參數(shù)范圍問題.本題通過變換主元，將不等式恒成立問題化歸為二次不等式恒成立問題，然后使用單調(diào)性進(jìn)行處理.需要解題者用批判性思維審視問題，破解新情境對問題的迷惑.此題不僅考查了數(shù)學(xué)基本知識和基本技能，還重點考查了考生的靈活應(yīng)變的能力和自我調(diào)控能力.

2 重構(gòu)函數(shù)

例2 (2020年山東新高考第22題第(2)問)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna．若f(x)≥1，求a的取值范圍．

分析本題若從f(x)的最小值入手，需要知道f(x)=aex-1-lnx+lna的單調(diào)性，但f(x)的單調(diào)性不明顯.能否調(diào)整原來的函數(shù)式，重構(gòu)新的函數(shù)？

仔細(xì)觀察f(x)式子的結(jié)構(gòu)特征，不難發(fā)現(xiàn)

aex-1-lnx+lna=elna+x-1-lnx+lna，

即f(x)≥1等價于

elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx.

設(shè)g(x)=ex+x,則上式不等式等價于

g(lna+x-1)≥g(lnx).

易知g(x)是單調(diào)遞增函數(shù).

所以lna+x-1≥lnx.

即lna≥lnx-x+1恒成立.

下面只需求函數(shù)h(x)=lnx-x+1的最大值.利用導(dǎo)數(shù)易求h(x)最大值為0，所以a≥1.

評注此法對代數(shù)式運算能力要求較高，正如章建躍博士所說：推理是數(shù)學(xué)的命根子，運算是數(shù)學(xué)的童子功.通過調(diào)整原函數(shù)的結(jié)構(gòu)，重新建構(gòu)一個“好”的函數(shù)，單調(diào)性發(fā)揮其應(yīng)有的作用，使問題起死回生.

3 變換問題

(1)若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)處導(dǎo)數(shù)相等，證明：f(x1)+f(x2)>8-8ln2；

(2)若a≤3-4ln2，證明：對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點．

因為x1≠x2，再由基本不等式，得x1x2>256．

所以g(x)在(16，+∞)上單調(diào)遞增.

故g(x1x2)>g(256)=8-8ln2.

即f(x1)+f(x2)>8-8ln2．

所以對于任意k∈(0,+∞)，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點.

評注一些不等式證明以及研究方程解的個數(shù)和解的范圍問題，若從函數(shù)的目光去審視，可將方程問題化歸為函數(shù)問題進(jìn)行處理，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，問題一蹴而就.同時，也表明函數(shù)、不等式、方程三者之間密切相關(guān)，相互之間互為轉(zhuǎn)化.

分析由f′(x)=ex-b=0,得x=lnb.

所以f(x)在(0，lnb]上單調(diào)遞減，在(lnb，+∞)上單調(diào)遞增.

因為b>e4，則極小值f(lnb)=b-blnb+e2<0.

結(jié)合圖1，直觀猜測x1<2.

事實上，易證f(2)<0.

圖1

通過對零點x1放縮處理，將含2個零點的不等關(guān)系問題,轉(zhuǎn)化為只含一個零點的范圍證明.

再由函數(shù)的單調(diào)性知，即證

且b>e4，

評注此題的處理方法充分利用了函數(shù)單調(diào)性的特有功能，比較變量大小問題與比較函數(shù)值大小問題可以進(jìn)行互化.此法利用函數(shù)單調(diào)性先得一個零點x1<2，然后通過放縮變換，將原不等式中含2個零點不等關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為一個零點的范圍問題，再利用函數(shù)的單調(diào)性，將函數(shù)零點大小問題化歸為函數(shù)值符號問題.一些函數(shù)的零點往往較難求出，它們零點之間的不等關(guān)系問題，常常通過函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為函數(shù)值大小問題進(jìn)行處理.處理函數(shù)的單調(diào)性常用方法有觀察法、定義法、導(dǎo)數(shù)法，其中導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性的重要工具.