折紙活動(dòng)：架起理論知識(shí)和實(shí)踐的橋梁

陳修文

摘 要：本文意圖通過折紙活動(dòng)，獲得軸對(duì)稱性質(zhì)的直觀感知，讓學(xué)生體驗(yàn)從折等腰三角形遷移到折等邊三角形方法的探索過程，在折等腰三角形探索過程中加深對(duì)教材理論知識(shí)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，從而反過來再利用理論知識(shí)來指導(dǎo)實(shí)踐的方法，探索如何折等邊三角形方法，把理論知識(shí)和生活時(shí)間相結(jié)合.

關(guān)鍵詞：折紙；軸對(duì)稱；等腰三角形；等邊三角形

1 教材背景

本節(jié)課是蘇科版八年級(jí)上冊(cè)第二章末尾的一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課，教材意圖通過折等腰三角形和等邊三角形的探究過程及說理過程，對(duì)本章的知識(shí)進(jìn)行回顧復(fù)習(xí)，進(jìn)而構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)和方法結(jié)構(gòu).筆者曾聽過一次從章節(jié)復(fù)習(xí)課的角度上這節(jié)課，從而對(duì)這節(jié)課有了一些新的認(rèn)識(shí)，筆者從探究課的角度出發(fā)，在探究過程中感知實(shí)踐中存在的知識(shí)，進(jìn)行知識(shí)的建構(gòu)；再運(yùn)用到新的探究過程中，利用知識(shí)指導(dǎo)探究的方法，進(jìn)行方法的建構(gòu). 本節(jié)課以折紙活動(dòng)為載體，讓學(xué)生玩中學(xué)；以說理為手段，讓學(xué)生做中思；以思維為核心，讓學(xué)生思中得.學(xué)生“手腦并用”，達(dá)到“啟思明理”、“整體建構(gòu)”的效果.

2 教學(xué)過程及設(shè)計(jì)意圖

2.1 情境創(chuàng)設(shè)

師：請(qǐng)同學(xué)們欣賞.（用多媒體展示一組生活中的折紙圖案）

師：觀察后你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：都是軸對(duì)稱圖形.

生2：每個(gè)圖形沿著對(duì)稱軸折疊，被對(duì)稱軸分開的兩部分完全重合.

設(shè)計(jì)意圖：給學(xué)生展示一組漂亮的軸對(duì)稱折紙圖案，讓學(xué)生感知折紙的趣味、作用和文化，感受到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生探究折紙的欲望.

2.2 活動(dòng)探究

熱身活動(dòng) ：用長(zhǎng)方形紙片折三角形

師：你能用一張長(zhǎng)方形紙片折一個(gè)角形嗎？動(dòng)手試試看，并嘗試畫出圖形.

學(xué)生完成情況：一部分學(xué)生折法如圖1，絕大多數(shù)的學(xué)生折出的如圖2所示，少數(shù)其他較復(fù)雜折法，全部學(xué)生均能完成活動(dòng).在畫圖過程中，絕大部分的學(xué)生遇到困難，因此在本節(jié)課的第一個(gè)圖的繪制過程中，筆者在黑板上演示圖形的畫法.

師：上述兩種折法得到的三角形是什么三角形？請(qǐng)說明理由.

生3：圖1得到的是直角三角形.因?yàn)殚L(zhǎng)方形紙片的四個(gè)角是90°，所以是直角三角形.

生4：圖2得到的是等腰直角三角形.由折疊可以得到∠1＝∠2，且∠1+∠2＝90°，所以∠1＝∠2＝45°，∠B＝90°，可知△ABC是等腰直角三角形.

生5：關(guān)于圖2有不同的解釋，因?yàn)槭情L(zhǎng)方形的紙片，那么紙片的對(duì)邊平行，可以得到∠2＝∠ACB，折疊得到∠1＝∠2，所以∠1＝∠ACB，且∠B＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形.

師：在上述折紙的過程中用到了哪些知識(shí)？

生6：長(zhǎng)方形紙片的特征，四個(gè)角均為90°，對(duì)邊平行.

生7：翻折的特點(diǎn)，翻折可以得到軸對(duì)稱圖形，就會(huì)有軸對(duì)稱圖形的一些特征.

設(shè)計(jì)意圖：熱身活動(dòng)是一個(gè)非常簡(jiǎn)單的開放性問題，學(xué)生通過簡(jiǎn)單的折紙操作，初步嘗試獲得成功，激發(fā)學(xué)生探究的激情，在簡(jiǎn)單圖形的基礎(chǔ)上嘗試畫圖、說理，一方面回顧本長(zhǎng)方形紙片和軸對(duì)稱圖形的基本特征，另一方面鍛煉學(xué)生從實(shí)際紙片抽象出數(shù)學(xué)圖形的能力和利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行說理的能力，從而進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識(shí)，并初步感性的感知數(shù)學(xué)知識(shí)和實(shí)踐相結(jié)合.體驗(yàn)簡(jiǎn)單折紙?zhí)剿?，圖形說理的過程，為折等腰三角形和等邊三角形的過程做鋪墊.

師：通過熱身活動(dòng)，同學(xué)們能否嘗試折出等腰三角形呢.請(qǐng)同學(xué)們先獨(dú)立探索折法并畫出相應(yīng)圖形，再小組內(nèi)交流，比比看哪一組折法更多.

活動(dòng)一：用長(zhǎng)方形紙片折等腰三角形

1. 折一折：你能用一張矩形紙片折一個(gè)等腰三角形嗎？（最多折2次）

2. 畫一畫：嘗試畫出圖形.（折痕用虛線表示）

3. 說一說：你能說明理由嗎？

生8：把長(zhǎng)方形紙片對(duì)折，然后剪下直角三角形，再展開，就可得到一個(gè)等腰三角形.理由是有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.

生9：我認(rèn)為還有不同的解釋.折疊并剪下直角三角形后，得到兩個(gè)重合的三角形，重合的角是相等的，因此得到兩個(gè)相等的角，根據(jù)“等角對(duì)等邊”可以判定這個(gè)三角形是等腰三角形.

師：很好，這兩位同學(xué)利用了軸對(duì)稱的性質(zhì)，很快就可以構(gòu)造兩條相等的邊或兩個(gè)相等的角，可以從“等腰三角形的定義”和“等角對(duì)等邊”兩個(gè)方面得到等腰三角形.

生10：熱身活動(dòng)的圖2得到的三角形是等腰三角形.

師：這個(gè)操作方便，得到三角形確實(shí)符合要求，但這個(gè)等腰三角形比較特殊，不僅僅是一個(gè)等腰三角形還是一個(gè)直角三角形.你能否借鑒圖2，進(jìn)一步折出一般的等腰三角形呢？

生11：仿照?qǐng)D2，改變折痕的位置，如圖3，因?yàn)殚L(zhǎng)方形的兩條長(zhǎng)邊平行，所以∠3＝∠1，又因?yàn)椤?是由∠1折疊得到，所以∠2＝∠1，所以∠2＝∠3，故△ABC是等腰三角形.

師：在這個(gè)過程中，蘊(yùn)含了我們常見的一個(gè)基本的數(shù)學(xué)模型，誰來談?wù)劊?/p>

生12：角平分線加一條平行于角的一邊的直線，可以得到等腰三角形.

師：很好，在平時(shí)解題過程中，我們要善于總結(jié)、歸納、建模.

師：回顧折等腰三角形的過程，有哪些常見的折法？用到了哪些知識(shí)？

生13：利用軸對(duì)稱的性質(zhì)、等腰三角形定義和等角對(duì)等對(duì)邊等知識(shí)，可以從折兩條相等的邊和折兩個(gè)相等的角兩個(gè)角度來折等腰三角形.

師：這位同學(xué)總結(jié)得非常好！折等腰三角形時(shí)，我們可以先想一想等腰三角形圖形的特征，從而找到解決問題的思路.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過折紙實(shí)驗(yàn)，根據(jù)“等腰三角形的定義和判定”，嘗試用不同的方法折出等腰三角形.活動(dòng)過程中，讓學(xué)生進(jìn)行操作、驗(yàn)證、說理，既鞏固等腰三角形的判定方法，又很好地建構(gòu)“平行線+角平分線得到等腰三角形”基本模型.活動(dòng)的最后通過簡(jiǎn)短的總結(jié)，讓學(xué)生形成對(duì)折等腰三角形的整體性認(rèn)識(shí).

活動(dòng)二：用正方形紙片折等邊三角形

1. 想一想：正方形紙片有什么特點(diǎn)？

2. 折一折：你能用一張正方形紙片折一個(gè)等邊三角形嗎？

3. 畫一畫：嘗試畫出圖形.（折痕用虛線表示）

4. 說一說：你能說明理由嗎？

生14：折法如圖4，因?yàn)檎叫蔚乃倪呄嗟?，因此我想利用折疊把正方形的邊折到同一個(gè)三角形中.畫出圖形如圖5，A′B＝AB，A′C＝CD，又因?yàn)锳B＝BC＝CD，所以A′B＝A′C＝BC，因此通過等邊三角形的定義“三邊相等的三角形”可以判定△A′BC是等邊三角形.

師：這位同學(xué)很好地利用了正方四邊相等的特征，利用折疊得到三邊相等，因此從定義出發(fā)可以很快地得到一個(gè)等邊三角形.你還有沒有其他的思路可以折出等邊三角形呢？

生15：根據(jù)等邊三角的判定方法，還可以折三個(gè)角都是60°的三角形，或者折一個(gè)角為60°的等腰三角形.

師：能利用所學(xué)知識(shí)來尋找解決問題的方法，真不錯(cuò)！那如何折出60°的角呢？

學(xué)生在折60°的角的過程中，遇到了困難.

師：能否從剛剛的圖形中獲得一些提示呢？不妨計(jì)算圖5中角的度數(shù).

生16：折法如圖：

通過計(jì)算可以得到圖4中翻折的角度為15°，可以利用同樣的方法在同一頂?shù)滋幵贅?gòu)造一個(gè)15°，這要用（90-15-15）°＝60°，就能得到圖9中的等邊三角形.

師：這位同學(xué)的非常聰明，這么快就能找到解決問題的方法.同學(xué)們可以在課下再想一想還有那些折60°角的方法，從而用尋找到折等邊三角形的其他方法.

設(shè)計(jì)意圖：折等邊三角形是難度較大的探究活動(dòng)，茫無目的的嘗試很難解決問題，這就需要學(xué)生先思而后行，自然而然地引導(dǎo)學(xué)生回顧等邊三角形的定義和判定方法，在理性分析的基礎(chǔ)上給與學(xué)生充足的時(shí)間去實(shí)踐探究，因此，通過設(shè)計(jì)折等腰三角形、等邊三角形的活動(dòng)來讓學(xué)生玩中學(xué)，做中思，讓學(xué)生經(jīng)歷操作、探究、說理的過程，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手能力、空間觀念和想象意識(shí)，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的興趣，發(fā)展合乎邏輯的思考和有條理的表達(dá)能力.

2.3 歸納小結(jié)，拓展提升

師：這節(jié)課在知識(shí)和方法上你有什么收獲？你還能提出哪些問題？

生17：我學(xué)會(huì)了利用紙片折疊等腰三角形、等邊三角形.從定義和判定不同的角度出發(fā)，可以有不同的方法進(jìn)行折疊.

生18：折紙的過程中，主要是利用了軸對(duì)稱性.

生19：在折疊之前，我們要先想一想需要折疊的圖形的特征，思考折疊的方向是什么，然后再動(dòng)手去嘗試，否則不容易實(shí)現(xiàn)目標(biāo).

師：本節(jié)課我們通過做折紙實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，在折等腰三角形這樣稍微簡(jiǎn)單的問題的探究過程中，形成方法的知識(shí)和實(shí)踐的橋梁，從而在折等邊三角形這樣較難的問題中，反過來利用知識(shí)來尋找解決問題的方法進(jìn)而解決問題.

師：你有什么新的發(fā)現(xiàn)或者問題與大家交流嗎？

生20：怎樣用長(zhǎng)形紙片折出等邊三角形？

生21： 用長(zhǎng)方形紙片還能折出哪些幾何圖形？

設(shè)計(jì)意圖：通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行總結(jié)反思，幫助學(xué)生形成知識(shí)結(jié)構(gòu)和方法結(jié)構(gòu)，內(nèi)化基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；通過讓學(xué)生提出新的問題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.這樣，學(xué)生帶著問題出課堂，把探究的熱情延伸到課外.

3 教學(xué)感悟

本節(jié)課從課型上來說是一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，課堂以活動(dòng)為手段、以問題為載體、以思維為目標(biāo)，面向全體學(xué)生的通過動(dòng)手動(dòng)腦“做”數(shù)學(xué)的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng).打破慣性的數(shù)學(xué)課堂的知識(shí)學(xué)習(xí)和做題練習(xí)的模式，通過活動(dòng)建構(gòu)知識(shí)、探究方法，從而架起理論知識(shí)和生活實(shí)踐的橋梁.筆者認(rèn)為本節(jié)課中獲得成功的地方具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

3.1 設(shè)置活動(dòng)的梯度，使課堂面向全體學(xué)生

本節(jié)課設(shè)置從易到難的不同活動(dòng)，考慮個(gè)體的差異性，讓“怕數(shù)學(xué)”學(xué)生敢于挑戰(zhàn)問題、讓“尖子生”可以進(jìn)一步提高；另外課堂呈現(xiàn)出適當(dāng)?shù)拈_放性，尊重每個(gè)學(xué)生的個(gè)性，鼓勵(lì)學(xué)生敢于提出不同的實(shí)驗(yàn)思路、不同的想法.通過難度的階梯性和探究方法的開放性兩方面讓所有學(xué)生都能各顯神通，獲得探究的成就感.比如學(xué)生盡可能用多種方法折等腰三角形，鼓勵(lì)學(xué)生上臺(tái)展示自己的折紙過程并說明理由，尊重每個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，每一位學(xué)生都能從中體驗(yàn)學(xué)習(xí)的快樂和成就感，達(dá)到總結(jié)經(jīng)驗(yàn)與升華認(rèn)識(shí)的目的，積淀數(shù)學(xué)素養(yǎng)，真正讓每一位學(xué)生都能獲得發(fā)展.

3.2 讓學(xué)生成為課堂的主體

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課，學(xué)生往往是被動(dòng)式地記住老師或課本呈現(xiàn)的知識(shí)和方法，再進(jìn)入“題海”，學(xué)生覺得課堂枯燥無味.而折紙實(shí)驗(yàn)課引導(dǎo)學(xué)生從生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)背景出發(fā)，通過實(shí)驗(yàn)形成感性認(rèn)識(shí)；通過畫圖和說理的過程建構(gòu)知識(shí)和方法結(jié)構(gòu)，建立知識(shí)和方法之間的聯(lián)系從而掌握知識(shí)和方法.通過活動(dòng)產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心、求知欲，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的樂趣，變“苦學(xué)”“厭學(xué)”到“樂學(xué)”“好學(xué)”的境界，學(xué)生在“做中學(xué)”、在“創(chuàng)中學(xué)”、在“研中學(xué)”，充分突顯學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體.

學(xué)生通過折紙實(shí)驗(yàn)，探究多種方法折等腰三角形和等邊三角形，讓學(xué)生進(jìn)行操作、驗(yàn)證、說理，將零散的知識(shí)結(jié)構(gòu)化、單一的圖形模型化、抽象的思維顯性化、靜態(tài)的圖形動(dòng)態(tài)化，關(guān)注知識(shí)點(diǎn)間的綜合聯(lián)系，形成對(duì)知識(shí)的整體性認(rèn)識(shí).經(jīng)歷折等腰三角形的探究過程，體會(huì)如何利用理論知識(shí)解決問題的過程，從而在探索折等邊三角形時(shí)，利用理論知識(shí)來尋找解決問題的基本方向，再進(jìn)一步利用知識(shí)指導(dǎo)實(shí)踐.學(xué)生在做中思，在思中行，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)調(diào)動(dòng)學(xué)生解決問題的欲望，激發(fā)學(xué)生探究的興趣，促使學(xué)生邊操作邊思考，邊思考邊建構(gòu)，邊建構(gòu)邊完善，折紙活動(dòng)真正做到通過探究和操作架起知識(shí)和實(shí)踐的橋梁，真正使數(shù)學(xué)課堂更加精彩、精致！

參考文獻(xiàn)：

［1］ 楊裕前，董林偉.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級(jí)（上冊(cè)）［M］.南京：江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社，2016.

［2］ 黃玉華，黃容華.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：打開復(fù)習(xí)課的一扇窗［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（8）：26-29.