工業(yè)機器人用RV 減速器的齒廓動態(tài)磨損特性

周建星 張榮華 曾群鋒 崔權(quán)維

（1. 新疆大學(xué) 機械工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830047；2. 西安交通大學(xué) 現(xiàn)代設(shè)計及轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)教育部重點實驗室，陜西 西安 710049）

智能制造是我國應(yīng)對新一輪工業(yè)革命的戰(zhàn)略部署，工業(yè)機器人是智能制造系統(tǒng)中最具代表性的重要高端生產(chǎn)裝備［1-3］。RV（Rotary Vector，旋轉(zhuǎn)矢量）減速器因其抗沖擊能力強、傳動誤差小、傳動效率高而廣泛應(yīng)用于工業(yè)機器人關(guān)節(jié)、航天等精密傳動中。齒廓磨損作為典型的早期故障［4］，會顯著降低傳動平穩(wěn)性及傳動精度，縮短工作壽命等［5］，因此，對RV 減速器精密傳動中的核心功能部件——擺線針齒輪的傳動齒廓的動態(tài)磨損特性進行研究，具有重要的工程意義。

國內(nèi)外已對RV 減速器在傳輸誤差、齒廓修形設(shè)計幾何參數(shù)［6-10］、接觸特性［11-15］等方面做了大量研究，但對齒廓磨損［16-17］的研究極為有限，而齒廓磨損又是影響RV 減速器幾何參數(shù)、傳動誤差、接觸特性的主要因素之一，關(guān)于擺線針齒輪的齒廓磨損亟待深入研究。

目前，在齒輪磨損計算中，應(yīng)用最廣泛的是Archard 粘著磨損計算通式［18］。針對擺線針齒輪副磨損，黃彬等［16］結(jié)合理化檢測分析和有限元應(yīng)力分析發(fā)現(xiàn)，擺線輪和行星輪的齒面失效形式分別為膠合與過度磨損，但他們未能對磨損進行量化。蘇建新等［17］基于Archard磨損模型和Hertz接觸理論建立了擺線輪磨損的計算模型，但該模型將核心參數(shù)磨損系數(shù)取為定值，而擺線針齒輪副在完整周期內(nèi)多齒數(shù)對接觸復(fù)雜，嚙合位置磨損系數(shù)存在較大差異；此外，該模型也未考慮動態(tài)磨損造成的脫齒和嚙合力變化的反饋影響。

針對目前對磨損系數(shù)、磨損反饋考慮不足的情況，文中以工業(yè)機器人用BX-40E 減速器為分析對象，考慮磨損誤差反饋，采用廣義Archard 公式，通過等效試驗得到磨損系數(shù)，建立了基于齒輪系統(tǒng)參數(shù)的、可準確計算的齒面動態(tài)磨損數(shù)值仿真模型。通過引入磨損參數(shù)，建立了RV 傳動系統(tǒng)的多自由度平移-扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型來求解動態(tài)嚙合力，根據(jù)Langkali-Nikraves 接觸力模型和變形協(xié)調(diào)理論進行離散化的齒面接觸分析［19］，探究了不同磨損次數(shù)下的RV 傳動齒面接觸壓力分布和動態(tài)磨損規(guī)律。

1 RV系統(tǒng)的動力學(xué)模型

文中以BX-40E 減速器為研究對象，其三維圖和結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示，系統(tǒng)的基本參數(shù)見表1。

表1 系統(tǒng)基本參數(shù)Table 1 Basic parameters of the system

圖1 RV減速器系統(tǒng)模型Fig.1 Model of RV reducer system

1.1 擺線針齒輪的幾何傳動分析

圖2 所示為擺線針齒輪的運動學(xué)模型。xpoyp和xcocyc分別為針齒輪和擺線輪的靜態(tài)坐標，o、oc分別為針齒輪和擺線輪的中心，p為擺線針齒輪傳動的瞬時速度中心，ooc為曲柄偏心距。將磨損深度記作齒廓修形量，根據(jù)擺線針齒輪的嚙合原理，采用輪系分析法推導(dǎo)擺線輪齒廓磨損后的齒廓方程為

圖2 擺線針齒的幾何模型Fig.2 Geometric model of cycloid needle tooth

式中：Rp和Rrp分別為銷半徑和銷中心圓半徑；αi為接觸壓力角；θ為嚙合旋轉(zhuǎn)角；ΔRp和ΔRrp分別為在沿嚙合法線方向的擺線輪和針齒輪的齒面磨損深度；S為中間變量，且S= 1 +K- 2Kcosθ；K為短幅系數(shù)，且K=aZp/(Rp+ ΔRp)，Zp為擺線輪齒數(shù)；a為偏心距。

由圖2中三角形的幾何關(guān)系可得

式中，βi為法向角，γi為銷位置矢量的方位角，φi為擺線輪接觸點的方位角，?i為曲柄初始轉(zhuǎn)角。

齒廓曲線的變化直接影響齒輪的傳動性能。依據(jù)擺線幾何原理，擺線輪的齒廓當(dāng)量曲率半徑為

將針齒輪、擺線輪的單個齒等轉(zhuǎn)角依次編號為1，2，…，100，如圖2 所示，完整周期內(nèi)，針齒輪、擺線輪的單齒面均經(jīng)歷1~100的全狀態(tài)而回到原始狀態(tài)，對應(yīng)于擺線輪嚙合齒根到齒頂。1 個完整周期內(nèi)擺線輪齒廓曲率及齒面壓力角沿嚙合轉(zhuǎn)角的分布曲線如圖3所示（在此，規(guī)定縱軸值正負表示齒廓凹凸），可以看出：在嚙合轉(zhuǎn)角54°附近，擺線輪齒廓曲線存在一個凹凸過渡，且與擺線輪節(jié)圓相交，齒面壓力角出現(xiàn)最大值；在齒頂?shù)桨纪惯^渡區(qū)間，曲率出現(xiàn)最小值。這有助于對齒面壓力、磨損的分析，以及對齒廓凹凸過渡特性的討論。

圖3 擺線輪齒廓曲率半徑、壓力角隨嚙合轉(zhuǎn)角的分布Fig.3 Distribution of curvature radius and pressure angle of cycloid gear profile with meshing angle

1.2 擺線針齒輪接觸分析

擺線針齒輪的接觸可等效為兩圓柱體的線接觸，其相對間隙大，法向載荷小，能量耗散相對較?。?0］，故采用Langkali-Nikraves 接觸力模型表示為

式中，F(xiàn)N為接觸力，ce為兩個接觸體之間的恢復(fù)系數(shù)（在撞擊方向上的相對離開速度與相對接近速度之比），k為接觸剛度，δ為滲透變形量，δ·為相對滲透速度，δ·(-)為相對逼近速度（等于初始壓痕速度），詳細推導(dǎo)參見文獻［19］。

對擺線輪所加力矩為Tc，擺線輪轉(zhuǎn)過一個?角，考慮磨損誤差后，其時變綜合變形為

式中：ri為其第i個接觸點或待嚙合點力作用線到針齒輪分布圓圓心位置的距離，即ri=rcsin (βi- Δβ)，其中rc為擺線輪基圓半徑，Δβ為法向角變量且Δβ= tan-1(ecpi/li)，li為第i個接觸點到擺線輪瞬心的距離，即li=rccosβi+rcsinβi/tanαi；ecpi為在嚙合處的磨損誤差，ecpi(t) = Δrpi- Δrrpi。

如果δi(t) ≥0，則第i針齒與擺線輪嚙合；反之則不嚙合。因同時參與嚙合的輪齒間相互關(guān)聯(lián)，故將其作為整體處理，依據(jù)變形協(xié)調(diào)原理，考慮齒面磨損，可得接觸點處的接觸力為

接觸壓力為

式中，F(xiàn)max為同一時刻下接觸齒對中的最大壓載，δmax為對應(yīng)Fmax的接觸變形，Zc為擺線輪針齒數(shù)，PNi為嚙合位置的平均壓力，Ec為當(dāng)量彈性模量，σH為嚙合位置的最大接觸應(yīng)力，F(xiàn)Ni為針齒與擺線輪嚙合位置的法向力，b為擺線輪的寬度，R為綜合曲率半徑。

1.3 動力學(xué)模型

建立BX-40E 減速器的動力學(xué)系統(tǒng)分析模型，如圖4 所示，針齒分布圓圓心為全局坐標系xoy的原點，其圓心與曲柄軸的連線為x軸。系統(tǒng)包含輸入齒輪軸、輸出軸和曲柄的3個旋轉(zhuǎn)自由度。系統(tǒng)動力學(xué)方程的建立已經(jīng)被廣泛討論，但未討論擺線針齒輪副的磨損，考慮到篇幅，此處僅討論擺線針齒輪微分方程。

圖4 BX-40E傳動系統(tǒng)的動力學(xué)分析模型Fig.4 Dynamic analysis model of BX-40E transmission system

磨損對擺線輪質(zhì)心產(chǎn)生的位移為

綜合考慮磨損造成的齒廓誤差和偏心距離誤差，根據(jù)牛頓力學(xué)原理建立擺線輪的力學(xué)微分方程如下：

式中，mcyc為擺線輪質(zhì)量，F(xiàn)fsi為曲軸處接觸力，Jcyc擺線輪轉(zhuǎn)動慣量。

最后將整個系統(tǒng)微分方程統(tǒng)一成矩陣形式，采用Newmark-β方法，編寫Matlab 程序進行數(shù)值求解。

2 RV傳動齒輪的動態(tài)磨損模型

RV 減速器磨損機理復(fù)雜?？紤]到減速器的工作轉(zhuǎn)速低，文中不考慮油脂潤滑的影響，在干摩擦情況下以微動磨損模型對齒廓磨損進行仿真及預(yù)測。

2.1 擺線輪的動態(tài)磨損模型

擺線針齒輪約一半的齒數(shù)對同時參與嚙合，最大接觸應(yīng)力遠小于材料的許用應(yīng)力，故滾動磨損、疲勞磨損可忽略?？刹捎灭ぶp理論中的Ar?chard磨損公式計算磨損量：

式中，S為磨損滑移距離，V為磨損體積，κ為磨損系數(shù)，H為接觸材料硬度，W為法向載荷。

定義1 個完整周期內(nèi)的磨損為1 次磨損，有效單次磨損深度為其階段的平均磨損深度。因曲柄軸短且剛性大而不易發(fā)生偏載，沿齒寬方向的磨損幾乎均勻分布。以接觸法向的磨損深度表征面磨損量，經(jīng)積分變換后推導(dǎo)出嚙合處第n次動態(tài)磨損后的磨損深度為

式中，hn為第n次磨損后的磨損深度，sn為第n次磨損后的相對滑動距離，pn為第n次磨損后的接觸壓力，κ為無量綱磨損系數(shù)（根據(jù)材料和壓載情況取值為2×10-16，且其值在合理范圍內(nèi)恒定）。

2.2 磨損系數(shù)

擺線針齒輪副轉(zhuǎn)速低、單齒負載小，因而齒間載荷遠未達到材料屈服載荷，齒間形成的閃溫也較小，故可合理假設(shè)接觸材料的硬度和形貌不變?；谝灾贝枷?，將齒間滑動等效處理為盤與柱銷磨損，其等效磨損試件的參數(shù)如表2所示，試驗環(huán)境如圖5所示。推導(dǎo)出如下的磨損系數(shù)計算公式：

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圖5 等效磨損試驗Fig.5 Equivalent wear test

表2 磨損試件參數(shù)Table 2 Parameters of wear test piece

式中，F(xiàn)N為接觸載荷。磨損系數(shù)也可表達為

式中，Q(t)為磨損質(zhì)量，ρ為材料密度，n1、r1分別為試件1的轉(zhuǎn)速與半徑，n2、r2分別為為試件2的轉(zhuǎn)速與半徑。

選取轉(zhuǎn)速30 r/min、壓載80 N 試驗組中試件同心環(huán)上固定位置的微小曲塊（可近似為矩形）并標記，每間隔15 min 記錄1 次試件質(zhì)量。圖6 所示為4 個等時間段內(nèi)試件的表面形貌變化，大致可分為兩階段：開始階段，表面凹凸不平，滑動誘導(dǎo)摩擦進而導(dǎo)致振動的產(chǎn)生，主要發(fā)生粗糙峰剪切，由于切屑的產(chǎn)生而發(fā)生磨粒磨損，典型現(xiàn)象為梨溝；后階段，接觸表面平緩但尖銳峰谷處應(yīng)力集中，接觸強度變差或產(chǎn)生接觸疲勞裂紋，主要發(fā)生粘著磨損，偶有磨粒磨損。

圖6 表面形貌演化Fig.6 Evolution of surface morphology

不同壓載下磨損系數(shù)隨時間的變化如圖7 所示，可見磨損系數(shù)隨壓載增加而增大。此外，隨著磨損時間的延長，磨損系數(shù)呈減小趨勢，初始階段減速較快，而后趨于平緩。這正好對應(yīng)于快速磨損與正常磨損階段，與表面形貌變化相印證。

圖7 不同壓載下磨損系數(shù)隨時間的變化Fig.7 Variation of wear coefficient with time under different loads

因是取減速器額定條件下的壓載、速度等接觸條件變化范圍內(nèi)關(guān)鍵段的實際值來分別設(shè)計等效實驗，故可保證關(guān)鍵點的一致性，進而保證變化規(guī)律的正確性。其他中間變化值可由數(shù)值插值得出。同時，考慮到減速器齒廓的實際摩擦情況受潤滑等諸多復(fù)雜因素的影響而難以直接證明，實驗結(jié)論的有效性可根據(jù)齒廓磨損仿真結(jié)果的有效性來間接證明。

2.3 擺線輪的動態(tài)相對滑動距離

在理想狀態(tài)，擺線針齒輪副嚙合點的相對線速度相等，但會因振動、磨損和接觸變形而產(chǎn)生相對滑動。系統(tǒng)的運動學(xué)分析模型如圖8 所示，其中p點為速度瞬心?？紤]磨損，得到如下的相對滑動距離：

圖8 運動學(xué)分析模型Fig.8 Kinematic analysis model

式中，si為相對滑動距離，aH為赫茲接觸半寬，w為角速度。

3 計算結(jié)果及分析

計算條件為：輸出轉(zhuǎn)矩，400 N·m；轉(zhuǎn)速，300 r/min。在磨損計算中，取正常磨損時的磨損系數(shù)，相鄰壓載范圍內(nèi)取磨損系數(shù)的中位數(shù)。

3.1 齒面嚙合力

所選取的穩(wěn)定工作時間段內(nèi)的總嚙合力如圖9所示。可以看出：動態(tài)嚙合力呈周期性，總嚙合力出現(xiàn)波動，波動幅值約在其值的1.8%范圍內(nèi)，這與實際分析情況相符合。此外，1個周期分為了兩個部分：區(qū)域Ⅰ為嚙合力震蕩衰減區(qū)，區(qū)域Ⅱ為嚙入嚙出沖擊區(qū)。嚙入時波動相對較大，對應(yīng)為齒頂位置。

圖9 動態(tài)嚙合力隨時間的分布Fig.9 Distribution of dynamic meshing force with time

磨損次數(shù)對嚙合力的影響如圖10 所示?？梢钥闯觯糊X間嚙合力曲線呈入字形分布，隨磨損量增加，齒間嚙合力增量先減小后變大，參與嚙合的齒數(shù)對減少但減速變緩，齒根方向率先發(fā)生脫齒且脫齒對數(shù)多。該結(jié)果與文獻［12］結(jié)果有很好的一致性，可佐證文中方法的準確性。此外，齒間嚙合力與其對應(yīng)位置的壓力角分布一致。圖11 顯示了嚙合力與其對應(yīng)位置壓力角的關(guān)系，可發(fā)現(xiàn)兩者存在一次函數(shù)映射關(guān)系。

圖10 不同嚙合轉(zhuǎn)角下磨損次數(shù)對嚙合力的影響Fig.10 Effect of wear times on meshing force at different meshing angles

圖11 嚙合力與其對應(yīng)位置壓力角的散點圖Fig.11 Scatter diagram of meshing force and pressure angle at its corresponding position

3.2 齒面壓力分布

將嚙合區(qū)等嚙合轉(zhuǎn)角100 等分并編號，得到圖12 所示的磨損對齒間接觸壓力的影響。可以看出：接觸壓力分布曲線基本與嚙合力分布趨勢對應(yīng)，但在轉(zhuǎn)角54°位置（齒廓凹凸過渡處）出現(xiàn)波谷，其原因在于擺線輪廓的凹凸過渡會導(dǎo)致等效接觸半徑減小。

圖12 不同嚙合轉(zhuǎn)角下磨損次數(shù)對接觸壓力的影響Fig.12 Effect of wear times on contact pressure under differ?ent meshing angles

對比不同壓力曲線還可發(fā)現(xiàn)：隨著磨損的累積，接觸壓力增大，且增量先減小后增大。當(dāng)磨損4 980 次后，接觸壓力最大增量達0.20 MPa。這是因為磨損后同時參與嚙合的齒對數(shù)減少，剩余嚙合齒分配的壓載增加，導(dǎo)致材料表面硬化，磨損率變小，造成接觸壓力的增加隨著磨損的累積先變緩而后加劇。

3.3 相對滑動距離沿嚙合位置的分布

單對嚙合齒的相對滑動距離沿齒廓的分布如圖13所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，擺線齒、針齒輪的相對滑動距離沿齒廓皆呈非對稱的“m”形分布，凹凸過渡位置幾乎不產(chǎn)生相對滑動。分析其原因，主要是擺線輪齒廓處于凹凸過渡處，等效曲率半徑相對變化劇烈，可近似看作半平面，故相對滑動距離極小。

圖13 磨損次數(shù)對相對滑動距離的影響Fig.13 Effect of wear times on relative slip distance

對比不同磨損次數(shù)下的相對滑動距離曲線還可發(fā)現(xiàn)，隨著磨損累積，相對滑動距離非均勻增加。進一步討論磨損對相對滑動距離的影響，以磨損次數(shù)間隔內(nèi)的相對距離變化為量化指標，得到圖14所示的擺線輪、針齒輪的相對滑動受磨損深度的影響程度（敏感程度）?？梢园l(fā)現(xiàn)：凹凸過渡位置前后出現(xiàn)明顯的敏感區(qū)，各占據(jù)接觸區(qū)域的2/3 左右，整個敏感區(qū)也約占整個齒面的2/3；隨著磨損增加，敏感帶縮短。

圖14 相對滑動對磨損深度的敏感程度Fig.14 Sensitivity of relative sliding to wear depth

3.4 齒面磨損分布

圖15所示為不同磨損次數(shù)下擺線輪與針齒輪沿齒廓的磨損深度曲線?？梢钥闯?，磨損深度曲線呈非對稱、不規(guī)則的倒“W”形，在擺線齒廓凹凸過渡位置磨損很小，在過渡區(qū)域前后出現(xiàn)兩磨損峰（磨損敏感區(qū)域），靠近齒根、齒頂處出現(xiàn)微突峰。分析過渡位置磨損產(chǎn)生的原因，主要是磨損和受載形變導(dǎo)致了接觸誤差，進而產(chǎn)生相對滑動，且接觸壓力曲線出現(xiàn)凹谷，兩者共同作用而產(chǎn)生極小的磨損。出現(xiàn)微突峰的原因是：靠近齒根、齒頂?shù)膮^(qū)域率先發(fā)生脫齒，又重新嚙合，從而造成沖擊。

與文獻［17］中磨損系數(shù)取定值的單條磨損曲線（虛線）相比，圖15 所示曲線在分布規(guī)律上存在較大差異，特別是在靠近齒根、齒頂處出現(xiàn)了微突峰；在數(shù)值上，雙峰區(qū)域磨損深度明顯增大，靠近齒根、齒頂處則顯著減小，整體差異隨磨損次數(shù)增加而加劇。由此可知磨損系數(shù)接觸位置條件差異對齒面磨損準確仿真的影響不可忽視，考慮磨損系數(shù)演化是必要的。考慮磨損系數(shù)演化后所得的齒面磨損特性相關(guān)結(jié)論與受力和相對速度的理論分析結(jié)果保持了較好的一致性，間接證明了文中結(jié)果的正確性。

圖15 不同磨損次數(shù)下沿齒廓的磨損深度Fig.15 Wear depth along tooth profile under different wear times

從圖15 還可看出，隨著磨損次數(shù)的增加，磨損深度非均勻增大，磨損增量（可表示磨損速率）也隨之增大。結(jié)合圖16 可知：隨著磨損次數(shù)增加，磨損敏感帶縮短；磨損增量非均勻增大，但增加速度減緩。分析其原因，主要是因為磨損后壓力增加導(dǎo)致接觸面材料發(fā)生部分塑性變形，造成實際接觸面積增大和表面硬化，此外正常磨損階段的磨損也改善了接觸環(huán)境，這兩方面的共同作用使得磨損有所減緩。

圖16 不同磨損次數(shù)間隔下的齒廓磨損深度增量Fig.16 Increment of profile wear depth at different wear num?ber intervals

4 結(jié)論

文中以BX-40E 減速器為實例，通過等效實驗計算出磨損系數(shù)，考慮齒廓磨損的反饋，準確量化了RV 減速器的齒面磨損，探究了不同磨損次數(shù)下的磨損特性，得到以下結(jié)論。

（1）擺線輪、針齒齒廓嚙合位置的齒間嚙合力與壓力角存在一次函數(shù)映射關(guān)系；齒廓凹凸過渡位置的嚙合力與壓力角最大，齒間接觸壓力則出現(xiàn)小幅驟降，磨損深度達到最小值。

（2）擺線輪、針齒齒廓上的嚙合力曲線呈入字形分布；相對滑動距離在凹凸過渡區(qū)域出現(xiàn)明顯的磨損敏感區(qū)；隨磨損次數(shù)增加，同時嚙合的齒對數(shù)減小，齒間嚙合力、接觸壓力增大。

（3）對比磨損系數(shù)取定值時的齒廓磨損曲線，得出考慮接觸位置條件差異的磨損系數(shù)演化對齒面磨損仿真的準確性與必要性；擺線輪、針齒輪的磨損深度曲線呈非對稱、不規(guī)則的倒“W”形，靠近齒根、齒頂處因磨損率先脫齒再嚙合而造成沖擊，進而出現(xiàn)微突峰；擺線齒廓凹凸過渡位置幾乎不磨損，在過渡區(qū)域前后出現(xiàn)兩磨損峰（磨損敏感區(qū)域），約占整個齒面的2/3；隨磨損次數(shù)增加，磨損敏感帶縮短，磨損速率非均勻增大，但增速減緩。