基于模態(tài)綜合法和模態(tài)疊加法的密集模態(tài)結(jié)構(gòu)響應(yīng)重構(gòu)

鄒云峰，盧玄東，陽(yáng)勁松，周 帥，何旭輝

(1.中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南，長(zhǎng)沙 410075；2.軌道交通工程結(jié)構(gòu)防災(zāi)減災(zāi)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南，長(zhǎng)沙 410075；3.中南大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院，湖南，長(zhǎng)沙 410075；4.中國(guó)建筑第五工程局有限公司，湖南，長(zhǎng)沙 410004)

土木工程結(jié)構(gòu)的性能在其使用過程中會(huì)隨著時(shí)間的推移而下降，為了監(jiān)測(cè)結(jié)構(gòu)的健康狀況和進(jìn)行壽命預(yù)估，有必要準(zhǔn)確獲得結(jié)構(gòu)關(guān)鍵區(qū)域的系統(tǒng)響應(yīng)[1-2]。結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)重構(gòu)在過去十幾年中受到越來越多的關(guān)注。然而，鑒于工程結(jié)構(gòu)的幾何復(fù)雜性及部件多樣性，某些位置(例如結(jié)構(gòu)交界面、狹縫等)皆不易安裝傳感器，實(shí)際中并不總是能在期望的位置進(jìn)行測(cè)量[3-4]。因此，預(yù)測(cè)關(guān)鍵點(diǎn)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)成為進(jìn)行結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)的重要組成部分[5- 6]。

目前，響應(yīng)重構(gòu)方法主要可分兩種：頻域方法和時(shí)域方法。在頻域方法中，RIBEIRO等[7]首先提出了傳遞率概念，定義為頻域中已知響應(yīng)函數(shù)和其他未知響應(yīng)函數(shù)之間的傳遞率矩陣，通過傳遞率可以實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)任意位置的響應(yīng)重構(gòu)；DEVRIENDT等[8]提出另一個(gè)傳遞率概念，定義為響應(yīng)譜和單個(gè)參考響應(yīng)譜之間的比值，在響應(yīng)重構(gòu)中僅應(yīng)用于全局傳遞性；LAW 等[9- 11]基于頻響函數(shù)將上述位移傳遞率推廣至加速度傳遞率，完成了全模型或子結(jié)構(gòu)上的響應(yīng)重構(gòu)。以上的頻域方法使用頻率響應(yīng)域中的數(shù)據(jù)，而且通過逆傅里葉變換來將重構(gòu)的頻域響應(yīng)轉(zhuǎn)換回時(shí)域，會(huì)引入額外的計(jì)算成本和數(shù)值截?cái)嗾`差。在時(shí)域方法中，HE等[12-13]提出一種基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(EMD)的時(shí)域響應(yīng)重構(gòu)方法，將采集響應(yīng)分解為由固有模態(tài)函數(shù)表示的模態(tài)響應(yīng)，然后，利用這些模態(tài)響應(yīng)計(jì)算待測(cè)位置的模態(tài)響應(yīng)，最后，采用模態(tài)疊加法實(shí)現(xiàn)時(shí)域動(dòng)態(tài)響應(yīng)重構(gòu)。為了確保通過EMD得到本征模態(tài)函數(shù)(IMF)的只包含一個(gè)頻率成分，還加入了間歇性準(zhǔn)則進(jìn)行頻率篩選。該方法在計(jì)算成本方面非常有效，并且適用于基于不同類型的傳感器測(cè)量的動(dòng)態(tài)響應(yīng)重構(gòu)，相比于頻域方法有著更高的計(jì)算效率。

然而，基于EMD的響應(yīng)重構(gòu)方法應(yīng)用于大型土木結(jié)構(gòu)存在一定困難。一方面，該方法需要獲取整個(gè)結(jié)構(gòu)的全局剛度矩陣與質(zhì)量矩陣，而大型土木工程結(jié)構(gòu)通常維數(shù)較大，在提取剛度矩陣、質(zhì)量矩陣時(shí)需要大量的計(jì)算資源和時(shí)間；另一方面，帶間歇性準(zhǔn)則的EMD方法不能有效地分離密集模態(tài)，從而難以實(shí)現(xiàn)存在密集模態(tài)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)的重構(gòu)。

針對(duì)以上兩種限制，本文提出一種基于模態(tài)綜合法和改進(jìn)模態(tài)疊加法的響應(yīng)重構(gòu)方法。該方法結(jié)合了模態(tài)綜合法[14-16]，將結(jié)構(gòu)全模型經(jīng)過兩次坐標(biāo)變換縮聚為自由度更少的超單元模型，并通過在超單元模型上計(jì)算的模態(tài)振型進(jìn)行動(dòng)態(tài)響應(yīng)重構(gòu)；當(dāng)存在密集模態(tài)時(shí)，在超單元模型的基礎(chǔ)上，將結(jié)構(gòu)模態(tài)分為密集模態(tài)和剩余模態(tài)[17-18]，其中剩余模態(tài)的重構(gòu)通過基于EMD的重構(gòu)方法實(shí)現(xiàn)，密集模態(tài)的重構(gòu)響應(yīng)可由模態(tài)振型和剩余模態(tài)計(jì)算得到，最后通過模態(tài)響應(yīng)疊加獲得待測(cè)位置響應(yīng)。

1 理論推導(dǎo)

1.1 子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法

對(duì)于一般的土木工程結(jié)構(gòu)而言，可以根據(jù)結(jié)構(gòu)的連接特性、實(shí)際工程需要等因素劃分成多個(gè)子結(jié)構(gòu)。在有限元基礎(chǔ)上，子結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程可表示為：

式中：上標(biāo)s表示第s個(gè)子結(jié)構(gòu)；Ms、Cs及Ks分別為子結(jié)構(gòu)的有限元模型的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣及剛度矩陣；Xs(t) 、分別為自由度位移、速度及加速度；fs(t)為子結(jié)構(gòu)所受外力，gs(t)為子結(jié)構(gòu)的界面力。

根據(jù)Craig-Bampton 提出的固定界面模態(tài)綜合法，式(1)中的自由度可分成內(nèi)部組“i”和邊界組“j”，其中，內(nèi)部組中的自由度不與任何子結(jié)構(gòu)共有，邊界組必須包含實(shí)際的“邊界”，即子結(jié)構(gòu)與子結(jié)構(gòu)之間共有的自由度，也可以將子結(jié)構(gòu)內(nèi)部任意自由度歸到邊界組中。將式(1)中的各矩陣的元素按如下形式重新排序：

提取第s個(gè)子結(jié)構(gòu)的模態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣 Φs，該矩陣由兩個(gè)子集組成，即固定界面選取的主模態(tài)集和全部界面坐標(biāo)的約束模態(tài)集：

將式(4)代入式(1)，并令Xs=Φsqs，其中qs表示第s個(gè)子結(jié)構(gòu)的模態(tài)坐標(biāo)向量，則式(1)可表示為：

根據(jù)式(3)，模態(tài)坐標(biāo)q和原坐標(biāo)X之間的關(guān)系可具體表示為：

即經(jīng)過第一次坐標(biāo)變換后，邊界組中自由度的模態(tài)坐標(biāo)下的響應(yīng)與對(duì)應(yīng)的原結(jié)構(gòu)響應(yīng)相等。

各子結(jié)構(gòu)進(jìn)行第一次坐標(biāo)變換之后，整合所有子結(jié)構(gòu)，則整個(gè)模型的動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程可表示為：

其中：

由于各個(gè)子結(jié)構(gòu)之間存在共有自由度，因此模態(tài)坐標(biāo)q中的元素不是獨(dú)立的，需要經(jīng)過第二次坐標(biāo)變換消除非獨(dú)立坐標(biāo)。結(jié)合布爾矩陣L可將各子結(jié)構(gòu)耦合成全模型的超單元模型，當(dāng)各子結(jié)構(gòu)耦合為一個(gè)超單元模型之后，界面力為零，即LTg(t)=0，令q=Lp，其中p表示獨(dú)立坐標(biāo)，并代入式(8)，則整個(gè)超單元模型的動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程可表示為：

式(10)中各矩陣可表示為：

第二次坐標(biāo)變換只消除耦合模型中的非獨(dú)立坐標(biāo)或改變各個(gè)坐標(biāo)的排列順序，并不會(huì)改變?cè)卮笮?，因此根?jù)式(7)，可以得到以下關(guān)系：

基于超單元模型的響應(yīng)重構(gòu)需要求解模型的超單元模態(tài)振型矩陣，如下所示：

1.2 基于改進(jìn)模態(tài)疊加法的子結(jié)構(gòu)重構(gòu)理論

假設(shè)結(jié)構(gòu)第w階和第v階模態(tài)為密集模態(tài)，下標(biāo)a和r分別表示密集模態(tài)和剩余模態(tài)，下標(biāo)m和u分別表示響應(yīng)采集處自由度和待測(cè)響應(yīng)自由度。將響應(yīng)采集自由度和待測(cè)自由度分別置于邊界組中，結(jié)合式(11)，超單元基礎(chǔ)上的已知響應(yīng)集與未知響應(yīng)集如下所示：

式中：Da1(t),Da2(t)···Daa(t)為模態(tài)坐標(biāo)中的密集模態(tài)響應(yīng)；Dr1(t),Dr2(t)···Drr(t)為模態(tài)坐標(biāo)中的剩余模態(tài)響應(yīng)。由式(17)得模態(tài)坐標(biāo)下的密集模態(tài)響應(yīng)為：

式中：上標(biāo)+表示矩陣的廣義逆。在這里，已知響應(yīng)的數(shù)目應(yīng)不小于密集模態(tài)的總數(shù)。結(jié)合式(16)和式(18)，將各個(gè)模態(tài)組分進(jìn)行疊加可得未知響應(yīng)向量：

定義如下四個(gè)矩陣：

式中：下標(biāo)b表示第b自由度(響應(yīng)采集量中的某個(gè)響應(yīng)自由度)；下標(biāo)r1、r2…rr表示剩余的r個(gè)模態(tài)；為第b個(gè)自由度的剩余模態(tài)響應(yīng)。式(20)可表示為如下形式：

若結(jié)構(gòu)的模態(tài)中存在密集模態(tài)，在響應(yīng)的傅里葉譜上可能難以辨別其中某一組密集模態(tài)具體包含了哪幾階模態(tài)，這時(shí)候可以選擇將該組密集模態(tài)可能包含的模態(tài)都視為密集模態(tài)來計(jì)算，并根據(jù)式(25)重構(gòu)。該重構(gòu)方法適用于應(yīng)力、應(yīng)變、位移、加速度等動(dòng)力響應(yīng)的重構(gòu)。

2 數(shù)值模擬算例

通過輸電塔案例驗(yàn)證所提出的響應(yīng)重構(gòu)方法對(duì)大型結(jié)構(gòu)的適用性。輸電塔的有限元模型由ANSYSAPDL建立，如圖1所示，其中單元類型為beam188，共有3123個(gè)單元，2764個(gè)節(jié)點(diǎn)，16 584個(gè)自由度，結(jié)構(gòu)底部通過四個(gè)固定約束與地面連結(jié)。模型建成后，在ANSYS內(nèi)提取剛度矩陣和質(zhì)量矩陣并導(dǎo)入MATLAB中，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的模擬和重構(gòu)都在MATLAB中實(shí)現(xiàn)。

圖1 輸電塔模型Fig.1 The model of power transm ission tower

為了獲取結(jié)構(gòu)響應(yīng)，假設(shè)在結(jié)構(gòu)中設(shè)置了6個(gè)響應(yīng)采集點(diǎn)，如圖1所示，這些采集點(diǎn)位于離地高度較小的位置，也是在實(shí)際中便于安裝傳感器的位置。此外，響應(yīng)重構(gòu)點(diǎn)Loc.R 的位置也在圖1中標(biāo)出。將由15階低通巴特沃斯濾波器過濾的白噪聲模擬的隨機(jī)荷載施加于輸電塔的多個(gè)節(jié)點(diǎn)上，每階模態(tài)阻尼設(shè)為1%，采樣頻率為1 kHz。在超單元模型上根據(jù)式(13)計(jì)算模態(tài)頻率矩陣，得出前11階結(jié)構(gòu)固有頻率分別為8.14 Hz、17.89 Hz、36.31 Hz、38.55 Hz、39.38 Hz、45.29 Hz、73.52 Hz、86.41 Hz、87.32 Hz、87.78 Hz 和90.40 Hz，圖2是響應(yīng)采集位置Loc.K 的響應(yīng)傅里葉譜。通過對(duì)六個(gè)響應(yīng)采集點(diǎn)的響應(yīng)傅里葉譜進(jìn)行分析，第11階模態(tài)(頻率為90.4Hz)及其后的模態(tài)并沒有明顯的幅值，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，在本案例中僅考慮對(duì)響應(yīng)有較大貢獻(xiàn)的前10階模態(tài)。根據(jù)超單元模型計(jì)算的固有頻率值，將第1階、2階、6階、7階模態(tài)視為單階剩余模態(tài)；第3階～5階模態(tài)和第8階～10階模態(tài)內(nèi)的頻率間隔很小，很難使用傳統(tǒng)的EMD方法對(duì)其進(jìn)行準(zhǔn)確的分離，因此將第3階～5階模態(tài)和第8階～10階模態(tài)歸入密集模態(tài)組。

圖2 Loc.K 的響應(yīng)傅里葉譜Fig.2 Spectrum of the response of Loc.K

按照基于模態(tài)綜合法和模態(tài)疊加法的密集模態(tài)結(jié)構(gòu)響應(yīng)重構(gòu)方法計(jì)算Loc.R 的動(dòng)力響應(yīng)，重構(gòu)的基本流程如圖3所示。圖4所示為子結(jié)構(gòu)劃分示意圖，上半部分結(jié)構(gòu)為子結(jié)構(gòu)1，下半部分結(jié)構(gòu)為子結(jié)構(gòu)2，每個(gè)子結(jié)構(gòu)縮聚后均保留20個(gè)主模態(tài)。本算例中超單元模型的邊界組自由度包括子結(jié)構(gòu)1和子結(jié)構(gòu)2的界面自由度，以及輸電塔底部多個(gè)自由度(包含所有響應(yīng)采集點(diǎn))和重構(gòu)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的自由度，壓縮后的超單元模型共包含148個(gè)自由度，在超單元模型上的重構(gòu)過程如下：

圖3 重構(gòu)流程圖Fig.3 Flow chart of the response reconstruction method

圖4 子結(jié)構(gòu)劃分示意Fig.4 Division of two substructure

1)由式(13)計(jì)算超單元模型的振型 Φ～；

2)根據(jù)式(21)～式(23)計(jì)算Tuam、Subr和Smbr。在該案例中，對(duì)應(yīng)于下標(biāo)m的響應(yīng)采集位置包括Loc.K、Loc.L、Loc.M、Loc.N、Loc.O、Loc.P；對(duì)應(yīng)于下標(biāo)m的響應(yīng)重構(gòu)位置僅有Loc.R；對(duì)應(yīng)于下標(biāo)a的密集模態(tài)包括第3階、4階、5階、8階、9階、10 階模態(tài)；對(duì)應(yīng)于下標(biāo)r的剩余模態(tài)包括第1階、2階、6階、7階模態(tài)；

3)使用EMD方法提取Loc.K 的剩余模態(tài)響應(yīng)，由此構(gòu)建矩陣式(24)中的矩陣EMD方法的性能取決于帶通濾波器分離不同模式的能力。表1 給出了提取剩余模態(tài)響應(yīng)的帶通濾波器的頻率范圍；

表1 使用EMD方法的每個(gè)帶通濾波器頻率范圍Table1 Frequency ranges for each band-pass filter using the EMD method

4)根據(jù)式(25)重構(gòu)Loc.R 的響應(yīng)。

重構(gòu)的理論值與重構(gòu)值對(duì)比如圖5所示。為了定量評(píng)價(jià)重構(gòu)的精度，定義一種相對(duì)誤差(RE)用以反映重構(gòu)值偏離理論值的程度，以及平均絕對(duì)誤差(MAE)用以評(píng)價(jià)重構(gòu)值的平均偏移量，如下所示：

式中：n為時(shí)間序列長(zhǎng)度；p(t)為 重構(gòu)值；為理論值。圖5中重構(gòu)值和理論值的RE和MAE分別為1.129%和0.103%，重構(gòu)精度較高。

圖5 理論響應(yīng)與重構(gòu)響應(yīng)Fig.5 Theoretical response and reconstructed response

接下來使用傳統(tǒng)的EMD 方法進(jìn)行重構(gòu)，即按照式(26)的重構(gòu)方法獲取待測(cè)位置的響應(yīng)。選取Loc.K 的響應(yīng)重構(gòu)Loc.R的響應(yīng)，表2給出了每個(gè)帶通濾波器的頻率范圍。Loc.R 的重構(gòu)響應(yīng)和理論響應(yīng)對(duì)比如圖6所示，RE和MAE分別為67.254%和0.815%，重構(gòu)誤差很大，說明在該案例中傳統(tǒng)的EMD方法不能準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)待測(cè)位置響應(yīng)的重構(gòu)。

表2 使用傳統(tǒng)EMD 方法的每個(gè)帶通濾波器頻率范圍Table2 Frequency ranges for each band-pass filter using traditional EMDmethod

圖6 理論響應(yīng)與重構(gòu)響應(yīng)(使用傳統(tǒng)的EMD方法)Fig.6 Theoretical response and reconstructed response(using traditional EMDmethod)

此外，大型結(jié)構(gòu)的參數(shù)矩陣(剛度矩陣和質(zhì)量矩陣)存在著大量的數(shù)據(jù)冗余，即包含很多零元素，在重構(gòu)全過程中會(huì)耗費(fèi)大量時(shí)間和內(nèi)存。表3給出了原模型和子結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)量對(duì)比，可以看出，劃分為兩個(gè)子結(jié)構(gòu)之后，參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)大約減少一半，有效緩解了計(jì)算機(jī)內(nèi)存不足和計(jì)算時(shí)間冗長(zhǎng)的問題。

表3 原模型和超單元模型的運(yùn)算數(shù)據(jù)量Table3 Calculation data of original model and super-element model

2.1 主模態(tài)數(shù)量的影響

根據(jù)式(3)可知，在坐標(biāo)變換過程中人為選擇了保留的主模態(tài)數(shù)量，該數(shù)目通常遠(yuǎn)小于原結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)量，以此達(dá)到模型縮聚的效果。顯然，不同的主模態(tài)數(shù)量會(huì)改變最終超單元模型的振型計(jì)算值，從而影響重構(gòu)結(jié)果。為了驗(yàn)證主模態(tài)數(shù)量對(duì)所提出的響應(yīng)重構(gòu)方法的影響，對(duì)比每個(gè)子結(jié)構(gòu)選取的主模態(tài)數(shù)量分別為2、4、6、10和20時(shí)的重構(gòu)結(jié)果。待測(cè)位置響應(yīng)的重構(gòu)值和理論值對(duì)比如圖7所示，此外還給出了各主模態(tài)數(shù)量下的重構(gòu)精度，如表4所示。

表4 不同主模態(tài)數(shù)量下的重構(gòu)精度Table4 Reconstruction accuracy under different number of main modes

圖7 不同主模態(tài)數(shù)量下的理論值與重構(gòu)值Fig.7 Theoretical value and reconstructed value under different number of main modes

2.2 子結(jié)構(gòu)劃分方式的影響

表5 不同子結(jié)構(gòu)劃分方式下的重構(gòu)精度Table5 Reconstruction accuracy under different different substructure division

圖8 子結(jié)構(gòu)劃分方式1Fig.8 Substructure division 1

圖10 子結(jié)構(gòu)劃分方式3Fig.10 Substructure division 3

圖11 不同子結(jié)構(gòu)劃分方式下的理論值與重構(gòu)值Fig.11 Theoreticalvalue and reconstructed value under different substructure division

圖9 子結(jié)構(gòu)劃分方式2 Fig.9 Substructure division 2

相對(duì)于直接提取原模型的參數(shù)矩陣而言，通過分別提取各子結(jié)構(gòu)的參數(shù)矩陣再進(jìn)行耦合的方法，在保證重構(gòu)精度的前提下，可以減少運(yùn)算的數(shù)據(jù)量。表6給出了不同子結(jié)構(gòu)劃分下的重構(gòu)運(yùn)算數(shù)據(jù)量對(duì)比，可以看出，一定范圍內(nèi)子結(jié)構(gòu)數(shù)量越多，運(yùn)算數(shù)據(jù)總量越少，對(duì)計(jì)算效率的提升也越明顯。但是隨著子結(jié)構(gòu)數(shù)量的增大，將需要更多人力設(shè)置相應(yīng)的界面耦合。因此在實(shí)際中應(yīng)綜合考慮計(jì)算效率和人力投入來劃分合適的子結(jié)構(gòu)數(shù)量。

表6 不同子結(jié)構(gòu)劃分的重構(gòu)運(yùn)算數(shù)據(jù)量。Table 6 Calculation data of reconstruction under differentsubstructure division

2.3 噪聲等級(jí)的影響

現(xiàn)實(shí)中響應(yīng)采集不可避免地存在噪聲，為了所提出的響應(yīng)重構(gòu)方法在測(cè)量噪聲環(huán)境下的適用性，研究在同一組外部激勵(lì)下，不同等級(jí)的噪聲(5%、10%、15%和20%)對(duì)重構(gòu)的影響。測(cè)量噪聲用高斯脈沖過程來表示，其均方根設(shè)置為應(yīng)變最大均方根的百分比，這里使用噪聲等級(jí)來表征噪聲程度，即添加的噪聲是響應(yīng)最大均方根值等同于噪聲等級(jí)的高斯過程。重構(gòu)結(jié)果如圖12和表7所示，可以看出，重構(gòu)精度會(huì)受到噪聲的影響，隨著噪聲的增大而降低，而且重構(gòu)響應(yīng)上的鋸齒也趨于明顯。

表7 不同噪聲等級(jí)下的重構(gòu)精度Table7 Reconstruction accuracy under different noise level

圖12 不同噪聲等級(jí)下的理論值與重構(gòu)值Fig.12 Theoreticalvalue and reconstructed value under different noise level

EMD方法本身有著一定的降噪性能，而在本文所提出的重構(gòu)方法中，僅用EMD提取剩余的單頻模態(tài)響應(yīng)，對(duì)于密集模態(tài)響應(yīng)則通過已知響應(yīng)、提取的剩余模態(tài)響應(yīng)和振型矩陣外推至響應(yīng)重構(gòu)點(diǎn)，這樣一來，已知響應(yīng)中的噪聲將被保留至響應(yīng)重構(gòu)點(diǎn)，對(duì)重構(gòu)結(jié)果產(chǎn)生影響。因此，對(duì)于密集模態(tài)成分主導(dǎo)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，該方法難以在高噪聲的情況下重構(gòu)出準(zhǔn)確的結(jié)果。對(duì)于該案例而言，在不大于15%的噪聲下進(jìn)行重構(gòu)能得到較為準(zhǔn)確的結(jié)果。

2.4 阻尼的影響

在前文的論述中，該案例采用1%模態(tài)阻尼以模擬阻尼效應(yīng)，而實(shí)際工程結(jié)構(gòu)可能存在更高的阻尼，因此接下來討論不同的阻尼對(duì)重構(gòu)結(jié)果的影響。對(duì)于同一組外部激勵(lì)，考慮三種模態(tài)阻尼(2%、4%和6%)，不同阻尼下的重構(gòu)結(jié)果如圖13和表8所示所示。

圖13 不同阻尼下的理論值與重構(gòu)值Fig.13 Theoreticalvalue and reconstructed value under different damp

表8 不同阻尼下的重構(gòu)精度Table8 Reconstruction accuracy under different damp

從重構(gòu)結(jié)果可以看出，RE隨著阻尼的增大而明顯增大，說明在高阻尼下重構(gòu)精度相對(duì)較低。本文所提出的方法將結(jié)構(gòu)響應(yīng)頻率的模態(tài)振型和模態(tài)響應(yīng)一一對(duì)應(yīng)實(shí)現(xiàn)重構(gòu)，其基本思想是：結(jié)構(gòu)響應(yīng)可分解為多個(gè)模態(tài)響應(yīng)的疊加，每個(gè)模態(tài)響應(yīng)對(duì)應(yīng)著一個(gè)固有頻率。圖14 給出了不同阻尼下的Loc.K 的響應(yīng)傅里葉譜，可以看出，隨著阻尼的增高，各個(gè)模態(tài)的能量趨于分散，難以與單一頻率相對(duì)應(yīng)，因此高阻尼下重構(gòu)精度差。對(duì)于該輸電塔結(jié)構(gòu)而言，應(yīng)保證重構(gòu)在模態(tài)阻尼不大于4%下的情況下進(jìn)行。

圖14 不同阻尼下Loc.K 的響應(yīng)傅里葉譜Fig.14 Spectrum of the response of Loc.K under different damp

3 結(jié)論

本文提出了一種基于模態(tài)綜合法和模態(tài)疊加法的密集模態(tài)結(jié)構(gòu)響應(yīng)重構(gòu)方法，以輸電塔結(jié)構(gòu)為例開展了響應(yīng)重構(gòu)數(shù)值計(jì)算，探討了主模態(tài)數(shù)量、子結(jié)構(gòu)劃分方式、噪聲等級(jí)以及阻尼對(duì)重構(gòu)結(jié)果的影響，得到主要結(jié)論如下：

(1)該方法結(jié)合了模態(tài)綜合法，通過模型縮聚，參與計(jì)算的剛度和質(zhì)量矩陣數(shù)據(jù)量大大減少，由此改善了計(jì)算機(jī)內(nèi)存不足的問題，從而更加適用于大型結(jié)構(gòu)。

(2)鑒于EMD法難以分離密集模態(tài)，本文提出將密集模態(tài)視作一個(gè)整體，并由剩余模態(tài)替代的方法，改善了傳統(tǒng)EMD方法不能分離頻率間隔較小的模態(tài)而無法準(zhǔn)確重構(gòu)未知響應(yīng)這一不足，且適用于于應(yīng)力、應(yīng)變、位移、加速度等各種動(dòng)力響應(yīng)的重構(gòu)。

(3)以輸電塔為例的數(shù)值計(jì)算表明，當(dāng)主模態(tài)數(shù)量很小時(shí)，重構(gòu)精度較差，隨著主模態(tài)數(shù)量增加，重構(gòu)精度趨于穩(wěn)定，可以考慮保留兩倍于結(jié)構(gòu)響應(yīng)貢獻(xiàn)較大的模態(tài)階數(shù)的主模態(tài)數(shù)量；子結(jié)構(gòu)劃分方式對(duì)該重構(gòu)精度的影響極小，應(yīng)綜合考慮計(jì)算效率和人力投入劃分適當(dāng)?shù)淖咏Y(jié)構(gòu)數(shù)量。

(4)測(cè)量噪聲等級(jí)越高，重構(gòu)精度越低，對(duì)于密集模態(tài)主導(dǎo)且噪聲等級(jí)較高的情況，難以得到理想的重構(gòu)結(jié)果，作者在今后的研究中也將尋求適合的濾波降噪方法應(yīng)用于該重構(gòu)方法；結(jié)構(gòu)阻尼對(duì)重構(gòu)有較大影響，這是因?yàn)楦咦枘嵯赂鱾€(gè)模態(tài)的能量趨于分散，難以和單一頻率相對(duì)應(yīng)，應(yīng)保證案例的輸電塔結(jié)構(gòu)的重構(gòu)在模態(tài)阻尼不大于4%下的情況下進(jìn)行。