烏鴉喝水

黑黑

一只烏鴉口渴了，它到處找水喝。這時，烏鴉看見一個瓶子，瓶子里面有水。可是，瓶子里面的水并不多，瓶口又小，烏鴉喝不著水，急得團團轉(zhuǎn)。過了一會兒，烏鴉想到了一個好辦法，它把旁邊的石子一顆一顆地放進瓶子里，想用這樣的方法喝到瓶子里的水。

那么問題來了，烏鴉真的可以喝到瓶子里的水嗎？往瓶子里放石子的方法在什么情況下都能奏效嗎？

被“擠”上去的水

在放石子的過程中，烏鴉發(fā)現(xiàn)每放入1顆石子，水面就會上升一點兒，投入石子的體積越大，水面上升得越高。這是因為投入的石子有體積，它們會占據(jù)一定的空間。于是，石子就把與它們體積相等的水“擠”了上去。也就是說，被“擠”上去的水的體積恰好等于投入的石子的體積。

為了方便計算投入石子后的水面上升高度，我們可以假設(shè)瓶子為細口圓柱瓶，瓶底半徑R為2.5 cm，瓶身高度為20 cm，初始水面高度為12 cm。而投入的所有石子都是大小相同的小石球，其半徑r為1 cm。假設(shè)所有投入瓶子里的小石球都會緊密地排在一起，沒有縫隙，并且球心都在同一條直線上。

當投入40顆小石球的時候，40顆小石球的體積為V=（πr3）×40=（cm3），水面上升的高度H=40顆小石球的體積÷瓶子底面積=（）÷πR2=（）÷π（2.5）2≈8.5（cm）。由此可知，烏鴉投入40顆小石球后，瓶子里的水面高度為12+8.5=20.5（cm），上升的水面高度足以讓烏鴉喝到瓶子里的水。

上述情況只是理想情況，當烏鴉把各種形狀的石子投入瓶子里后，石子間不可能沒有空隙。同時，烏鴉能否喝到水，還跟瓶子里的初始水量有關(guān)。如果石子間的空隙過大而瓶子里的水又很少，那么即使烏鴉用石子把瓶子填滿，它也無法喝到水。

空隙的影響可不小

當水的體積大于石子間空隙的體積時，烏鴉才能喝到水。因此，我們可以從體積的角度，重新認識烏鴉喝水問題。

為了方便理解，我們假設(shè)瓶子的形狀為正方體，且不考慮瓶口的大小。烏鴉投入的石子是大小相同的球體，且瓶子邊長是石球直徑的n倍。石球在瓶子中的擺放位置如圖所示。

這樣的話，烏鴉喝水問題可以轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題：在一個邊長為na的正方體中，放入n3個直徑為a的石球，求其空隙部分的體積占總體積的比例。

石球的半徑為，根據(jù)體積計算公式，可以計算出石球所占空間體積與瓶子的體積比為

·π·（）3·n3÷（na）3=≈52%

即空隙部分體積占瓶子總體積的百分比約為1-52%=48%。這表明，當瓶中的水不足瓶子體積的48%時，烏鴉將難以喝到水。假設(shè)烏鴉非常聰明，能使石子彼此之間挨得更加緊密，那空隙部分也得占瓶子體積的。而且生活中的瓶子一般是中下部較大，瓶口較細，這樣的結(jié)構(gòu)也會影響水面上升的高度。所以，當瓶子里的初始水量不到瓶子體積的一半時，烏鴉是很難喝到水的。

沒想到吧，耳熟能詳?shù)臑貘f喝水的故事還能引出這樣的數(shù)學(xué)思考?？磥恚蹅兛刹荒苄】戳藬?shù)學(xué)。想要驗證烏鴉能否喝到水，快點兒找來石子和瓶子做實驗吧！做完實驗，趕緊掃描二維碼，關(guān)注“數(shù)學(xué)大王”，和我們一起分享吧！