脈沖星特征頻率信號(hào)的到達(dá)時(shí)間處理方法

徐國(guó)棟，張丹蕾，徐振東

哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001

脈沖星的發(fā)現(xiàn)對(duì)天文物理具有里程碑意義，1967年Hewish等［1］發(fā)現(xiàn)了第一顆脈沖星，其后不久又有多顆脈沖星被天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)了一波脈沖星探測(cè)的高潮。由于觀測(cè)到脈沖星信號(hào)具有穩(wěn)定的周期及良好的長(zhǎng)期穩(wěn)定性，1974年Downs［2］提出了基于射電脈沖星的導(dǎo)航方法。經(jīng)過30年的研究發(fā)展，2004年ESA報(bào)告分析了脈沖星導(dǎo)航基本原理及信號(hào)模型，并闡述了系統(tǒng)的工程可實(shí)現(xiàn)性［3］。2005年美國(guó)馬里蘭大學(xué)Sheikh［4］在其博士論文中提出了一套脈沖星信號(hào)到達(dá)時(shí)間（Time of Arrival， TOA）的精確轉(zhuǎn)換模型，建立了適用于X射線脈沖星自主導(dǎo)航的數(shù)學(xué)模型，從而形成了基于X射線脈沖星自主導(dǎo)航的基礎(chǔ)理論。

2017年美國(guó)國(guó)家航空航天局（National Aeronautics and Space Administration， NASA）將NICER探測(cè)器安裝在國(guó)際空間站上，開展了在軌演示X射線毫秒脈沖星導(dǎo)航技術(shù)試驗(yàn)與驗(yàn)證工作，通過對(duì)多個(gè)毫秒脈沖星的觀測(cè)，評(píng)估X射線脈沖星導(dǎo)航技術(shù)的實(shí)時(shí)軌道確定精度，在觀測(cè)脈沖星8 h后，自主導(dǎo)航系統(tǒng)的精度達(dá)到5 km［5］。NASA空間發(fā)展規(guī)劃同時(shí)制定了X射線導(dǎo)航技術(shù)發(fā)展的短期與長(zhǎng)期目標(biāo)，其長(zhǎng)期目標(biāo)為利用毫秒級(jí)脈沖星實(shí)現(xiàn)航天器星際導(dǎo)航，導(dǎo)航性能為在高動(dòng)態(tài)環(huán)境下小于10 km的定位精度，在低動(dòng)態(tài)環(huán)境中實(shí)現(xiàn)幾百米的定位精度。

中國(guó)也于2004年展開了對(duì)脈沖星導(dǎo)航技術(shù)的全面研究，并在航天器自主導(dǎo)航領(lǐng)域快速推進(jìn)，于2011年實(shí)施了脈沖星導(dǎo)航技術(shù)研發(fā)創(chuàng)新管理［6］，重點(diǎn)對(duì)X射線脈沖星導(dǎo)航技術(shù)進(jìn)行了系統(tǒng)的研究。中國(guó)空間技術(shù)研究院、中國(guó)科學(xué)院高能物理研究所、國(guó)防科技大學(xué)、西安電子科技大學(xué)以及哈爾濱工業(yè)大學(xué)等單位均開展了X射線脈沖星導(dǎo)航技術(shù)的研究，發(fā)展十分迅速。

在X射線脈沖星導(dǎo)航技術(shù)試驗(yàn)方面，2016年中國(guó)發(fā)射了專用試驗(yàn)衛(wèi)星（X-ray Pulsar-based Navigation-1， XPNAV-1）［7］，由中國(guó)空間技術(shù)研究院研制，主要任務(wù)是開展X射線脈沖星在軌觀測(cè)，驗(yàn)證X射線脈沖星導(dǎo)航技術(shù)［8］。2017年中國(guó)第1顆硬X射線天文衛(wèi)星“慧眼”（Hard X-ray Modulation Telescope， HXMT）成功發(fā)射，開展了X射線脈沖星導(dǎo)航的在軌試驗(yàn)，對(duì)著名的蟹狀星云脈沖星進(jìn)行了約5 d的觀測(cè)，可實(shí)現(xiàn)10 km的位置定位精度［9-10］，進(jìn)一步驗(yàn)證了航天器利用脈沖星自主導(dǎo)航的可行性，為未來深空應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。

雖然驗(yàn)證了X射線脈沖星導(dǎo)航原理的技術(shù)可行性，但在實(shí)際應(yīng)用中還存在著很多約束條件。對(duì)于導(dǎo)航應(yīng)用，特別是空間應(yīng)用，導(dǎo)航系統(tǒng)的定位精度、體積重量功耗是決定它是否適用的關(guān)鍵因素。脈沖星信號(hào)能流密度極低，收集脈沖星信號(hào)能量所需要的時(shí)空尺度很大，使得脈沖星導(dǎo)航接收機(jī)的體積在物理上難于小型化［11-13］，其輕型化設(shè)計(jì)幾乎成為脈沖星導(dǎo)航應(yīng)用的唯一選擇。在已有GPS接收機(jī)為參考的情況下，脈沖星導(dǎo)航應(yīng)用的范圍非常有限。

由于深空探測(cè)無法利用GPS進(jìn)行導(dǎo)航定位，使得脈沖星導(dǎo)航定位的優(yōu)勢(shì)得以體現(xiàn)，而實(shí)現(xiàn)脈沖星導(dǎo)航定位的必要條件是實(shí)現(xiàn)脈沖星信號(hào)的TOA處理。主要包括基于最大似然的參數(shù)估計(jì)［14］，基于頻譜的脈沖星信號(hào)辨識(shí)［15-16］，基于互相關(guān)和最大似然估計(jì)的弱信號(hào)檢測(cè)［17］，以及信號(hào)相關(guān)法［18］等。這些處理方法或是利用時(shí)域性質(zhì)獲取脈沖星信號(hào)的到達(dá)時(shí)間，或是利用頻域參數(shù)獲取時(shí)間參數(shù)信息，但信號(hào)處理的類型不多，基本是信號(hào)與信息處理的一些傳統(tǒng)方法。由于信號(hào)在頻域的相位信息反映了信號(hào)在時(shí)域的延時(shí)，而信號(hào)到達(dá)時(shí)間的特征是峰值或波谷相對(duì)時(shí)延，并且頻域不用模板匹配處理，因此本文采用信號(hào)頻域處理提取脈沖星信號(hào)的到達(dá)時(shí)間參數(shù)。

在合理的時(shí)空尺度約束條件下，脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)必然面臨著極低信噪比、并且定位精度應(yīng)滿足使用要求的挑戰(zhàn)［11-13，19-22］，而迎接這種挑戰(zhàn)，必須在脈沖星信號(hào)處理方面取得突破。

本文探討分析了脈沖星信號(hào)的特點(diǎn)，基于傅里葉分析、信號(hào)與信息處理等理論，提出采用脈沖星特征頻率信號(hào)處理獲得TOA的方法，證明了特征頻率信號(hào)處理為最佳匹配濾波，為任意脈沖星信號(hào)的最佳處理提供了理論依據(jù)?；诟呔壤走_(dá)原理，提出了脈沖星信號(hào)的寬帶處理技術(shù)，利用脈沖星信號(hào)的特點(diǎn)，提高了TOA的估計(jì)精度，探索了高精度脈沖星導(dǎo)航的技術(shù)途徑。

1 脈沖星信號(hào)處理

1.1 脈沖星信號(hào)到達(dá)時(shí)間（TOA）估計(jì)

對(duì)TOA的估計(jì)，可分為時(shí)域及頻域處理。從信號(hào)形式上看，有脈沖星信號(hào)觀測(cè)輪廓積累和光子到達(dá)時(shí)間TOA估計(jì)2種。由于脈沖星信號(hào)能流密度極低，以最強(qiáng)的Crab脈沖星信號(hào)作為參考，在X射線頻段其能流密度也不過約1 ph/（s·cm2）（ph為光子photons縮寫）［4］，1 m2面積的探測(cè)器在1 s時(shí)間內(nèi)所接收的光子數(shù)約1×104個(gè)，每個(gè)脈沖星信號(hào)周期獲得的平均光子數(shù)約為300個(gè)，因此幾乎不可能觀測(cè)到連續(xù)的脈沖星信號(hào)波形，無法直接測(cè)量脈沖星信號(hào)的TOA，其脈沖星信號(hào)波形主要是利用信號(hào)的周期性通過多周期統(tǒng)計(jì)積累獲得。

基于脈沖星觀測(cè)輪廓的TOA估計(jì)方法以恢復(fù)脈沖星輪廓為基礎(chǔ)，通過將積累得到的觀測(cè)輪廓與標(biāo)準(zhǔn)模板輪廓進(jìn)行對(duì)比，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)TOA的估計(jì)。目前，基于輪廓的TOA估計(jì)主要在時(shí)域進(jìn)行，采用優(yōu)化理論進(jìn)行求解，其脈沖星信號(hào)輪廓一般采用歷元折疊統(tǒng)計(jì)獲得。歷元折疊的基本思想是：將觀測(cè)時(shí)間段內(nèi)所有的光子時(shí)間標(biāo)簽按脈沖星信號(hào)周期取模，并將周期量化為多個(gè)時(shí)間片段，統(tǒng)計(jì)每個(gè)時(shí)間片段內(nèi)的光子數(shù)目，利用統(tǒng)計(jì)直方圖近似獲得脈沖星信號(hào)的輪廓。

通過多周期的信號(hào)積累對(duì)信號(hào)進(jìn)行估計(jì)，基本條件是信號(hào)已按周期對(duì)準(zhǔn)，或相位對(duì)準(zhǔn)。圖 1給出了n個(gè)周期脈沖星信號(hào)，每個(gè)周期再量化為m個(gè)間隔進(jìn)行折疊統(tǒng)計(jì)的示意圖。

圖1 脈沖星信號(hào)的周期折疊統(tǒng)計(jì)Fig. 1 Pulsar signal statistics in epoch folding

觀測(cè)到的脈沖星信號(hào)x(t)可以表示為x(t)=s(t)+n(t)，其中s(t)為理想信號(hào)，或用模板信號(hào)近似，n(t)為噪聲。其離散形式表示為

在最大似然準(zhǔn)則下，對(duì)參數(shù)的最佳估計(jì)為

式中：μm與σm分別是信號(hào)的均值與方差。顯然多周期信號(hào)相同相位采樣值的均值與脈沖星信號(hào)的真值最接近，而方差則反映了噪聲的大小。觀察均值信號(hào)可以發(fā)現(xiàn)，脈沖星信號(hào)波形特征隨著n的增加逐漸清晰，當(dāng)n≥Ns時(shí)（其中Ns為模板統(tǒng)計(jì)所用的周期數(shù)），其均值信號(hào)波形即為脈沖星信號(hào)波形，并可作為所謂的脈沖星信號(hào)模板使用。一種合理的假設(shè)是，因?yàn)閺臅r(shí)間分布看，噪聲出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的。

對(duì)于脈沖星模板信號(hào)，s(t)=μm，則對(duì)信號(hào)實(shí)現(xiàn)最佳檢測(cè)的是匹配濾波器：

其匹配濾波器輸出為

式中：R(t)為自相關(guān)函數(shù)；N(t)為輸出噪聲；τ為時(shí)移量。匹配濾波器的輸出具有最大的信噪比，可實(shí)現(xiàn)最佳的信號(hào)檢測(cè)。同時(shí)匹配濾波器也是相關(guān)器，即最佳檢測(cè)是理想的脈沖星信號(hào)模板與采樣信號(hào)之間進(jìn)行的相關(guān)處理。當(dāng)t=0時(shí)自相關(guān)函數(shù)即為信號(hào)功率：

匹配濾波器輸出的信噪比為

式中：N0為接收機(jī)噪聲因素；Bn=為噪聲帶寬，f為頻率，f0為最大響應(yīng)幅值處的頻率；Ts為環(huán)境溫度；k為波茲曼常數(shù)。

經(jīng)過多周期平均，獲得了脈沖星信號(hào)的最大似然估計(jì)，其波形特征漸進(jìn)逼近模板波形；經(jīng)過匹配濾波器處理，獲得最大信噪比輸出時(shí)刻，即可獲得TOA觀測(cè)值。直接從多周期平均信號(hào)中獲取TOA參數(shù)（例如峰值測(cè)量），其信噪比要低于匹配濾波器輸出的信噪比，因此采用匹配濾波處理也是一種最優(yōu)參數(shù)估計(jì)方法。

由于多普勒效應(yīng)、脈沖星信號(hào)周期變化、引力延時(shí)等因素影響，多周期積累信號(hào)中的每個(gè)周期信號(hào)相位也有一定變化，因此需要對(duì)每個(gè)周期信號(hào)的相位進(jìn)行修正補(bǔ)償，才能獲得質(zhì)量良好的信號(hào)積累波形，以便在其后的處理中獲得最大的匹配輸出信噪比。顯然，要實(shí)現(xiàn)對(duì)上述因素的補(bǔ)償修正，需要知道準(zhǔn)確的時(shí)間、空間及速度信息，但在沒有匹配輸出TOA時(shí)刻之前，要獲得這些信息也是不現(xiàn)實(shí)的。

另一方面，先進(jìn)行匹配處理再進(jìn)行相位修正補(bǔ)償，則由于輸入信號(hào)的信噪比太差，信號(hào)完全沒有波形特征，造成匹配濾波器處理處于嚴(yán)重的失配狀態(tài)，其輸出信噪比也非常低，也無法進(jìn)行準(zhǔn)確的TOA觀測(cè)，再進(jìn)行信號(hào)積累仍然存在較大的相位偏差。

根據(jù)Sheikh［4］的分析，脈沖星信號(hào)到達(dá)時(shí)間TOA的精度為

式中：W為脈沖星信號(hào)的等效脈沖分量時(shí)寬；SNR為信噪比。信噪比用信號(hào)脈沖分量計(jì)數(shù)與噪聲方差計(jì)數(shù)表示為

式中：NSpulsed為脈沖部分光子計(jì)數(shù)；σnoise為噪聲計(jì)數(shù)方差；NB為背景噪聲計(jì)數(shù)；NSnon-pulsed為非脈沖部分光子計(jì)數(shù)；下標(biāo)duty-cycle表示工作周期。因此有

對(duì)于Crab脈沖星信號(hào)，采用1 m2探測(cè)器，信號(hào)脈沖分量的光子計(jì)數(shù)每秒不超過NSpulsed=1.54×104×10%，則σTOA≥0.012W。Crab脈沖星信號(hào)的W=1.67 ms，因此σTOA≥21 μs，等效定位誤差>6 km，這也是在沒有背景噪聲下利用Crab脈沖星能夠?qū)崿F(xiàn)的最好定位精度?？紤]到噪聲光子計(jì)數(shù)大約是有效信號(hào)光子計(jì)數(shù)的10倍左右，則定位誤差在20 km以上。

根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)，通常選擇可用于導(dǎo)航應(yīng)用的脈沖星，例如毫秒級(jí)脈沖星，其信號(hào)能流密度一般<10?4ph/(s·cm2)量級(jí)，比Crab脈沖星低了4個(gè)量級(jí)，更難獲得高信噪比信號(hào)，因此僅靠傳統(tǒng)的信號(hào)處理方法實(shí)現(xiàn)脈沖星導(dǎo)航應(yīng)用是非常困難的。

1.2 脈沖星信號(hào)特征頻率

周期的脈沖星信號(hào)可以用傅里葉級(jí)數(shù)分解成一系列的諧波分量，包括直流分量，基頻分量及高次諧波分量。其中直流分量不包括脈沖星信號(hào)的任何信息，而基頻分量的周期與脈沖星信號(hào)周期相同，定義為脈沖星信號(hào)的特征頻率信號(hào)。特征頻率信號(hào)的幅度與脈沖星信號(hào)存在固定的比例關(guān)系，通常超過10%；特征頻率信號(hào)的相位與脈沖星信號(hào)的峰值、TOA或其他信號(hào)特征也具有特定的時(shí)序關(guān)系。因此，獲得了特征頻率信號(hào)的相位，也就獲得了TOA的信息，進(jìn)而可以用于導(dǎo)航定位。

背景噪聲具有與脈沖星信號(hào)相同或相近的X射線光子譜段，其噪聲幅度分布與脈沖星信號(hào)幅度也具有特定的比例。在探測(cè)器中，超過檢測(cè)門限的X射線光子信號(hào)被記錄，被量化為1 bit的數(shù)字信號(hào)，其量化輸出為

式中：Q[·]表示量化運(yùn)算；n(t)為噪聲；ε(t)包含量化噪聲及背景噪聲，也包括了除特征頻率信號(hào)s(t)之外的其他諧波分量。

脈沖星特征頻率信號(hào)可以表示為離散復(fù)余弦形式：

式中：A為特征頻率信號(hào)的復(fù)振幅；n為采樣序號(hào)；N為離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform， DFT）采樣數(shù)；k為離散傅里葉變換后頻域信號(hào)分量序號(hào)；kf表示特征頻率信號(hào)在N采樣點(diǎn)中變化的次數(shù)。

將1 bit量化的信號(hào)x(t)進(jìn)行DFT處理，則有

式中：X(k)為特征頻率信號(hào)的頻域表達(dá)形式，其均值與方差分別為

特征頻率信號(hào)功率為

其信噪比為

通過X(k)獲得特征頻率信號(hào)的相位信息，其相位誤差為

式中：|·|表示取模；ΔX為相位誤差引入的頻譜幅值誤差，因此有

相位觀測(cè)誤差σφ與時(shí)間觀測(cè)誤差σt具有如下關(guān)系：

式中：fs為特征頻率信號(hào)頻率，因此有

其中：Ts為特征頻率信號(hào)周期；Tp為脈沖星信號(hào)周期；且有Ts=Tp?？梢姇r(shí)間觀測(cè)誤差與采樣點(diǎn)數(shù)N的平方根成反比，與信噪比SNR的平方根成反比。

由于X射線光子信號(hào)的特點(diǎn)，信號(hào)光子與噪聲光子在能量幅值上沒有量級(jí)上的差別（或信號(hào)功率與噪聲功率沒有量級(jí)的差別），都可以被探測(cè)器以單光子能量進(jìn)行檢測(cè)，無論是信號(hào)還是噪聲，只要超過檢測(cè)門限即可輸出。在1 bit量化條件下，信號(hào)與噪聲同時(shí)出現(xiàn)時(shí)被量化為信號(hào)，而無信號(hào)時(shí)出現(xiàn)的噪聲被量化為噪聲，因此信噪比的差別主要反映在光子計(jì)數(shù)方面的差別。在一定背景下，信噪比及信號(hào)周期均為定值，能夠改善測(cè)量精度的參數(shù)是采樣點(diǎn)數(shù)。

時(shí)間觀測(cè)精度與采樣點(diǎn)數(shù)的平方根成反比是特征頻率信號(hào)處理的重要特點(diǎn)，增加處理時(shí)間可以增加采樣點(diǎn)數(shù)，從而提高測(cè)量精度，但在不增加測(cè)量時(shí)間的條件下通過提高采樣率增加采樣點(diǎn)數(shù)，提供了一種更加吸引人的改善測(cè)量精度的技術(shù)途徑，這就是脈沖星信號(hào)的過采樣處理。

脈沖星特征頻率信號(hào)處理不能提高信號(hào)增益，但它改善了噪聲特性，減小了噪聲方差，因此提高了信噪比，其綜合處理增益提高10lgNdB，時(shí)間觀測(cè)精度提高N倍。

利用脈沖星特征頻率信號(hào)估計(jì)TOA，其精度依賴于相位估計(jì)誤差σφ。特征頻率信號(hào)即為正弦信號(hào)，而對(duì)正弦信號(hào)相位估計(jì)的克拉美-羅界（Cramer-Rao Bound，CRB）為當(dāng)N?1時(shí)，克拉美-羅界可表示為。對(duì)于實(shí)余弦信號(hào)，其信號(hào)幅值是式（11）復(fù)余弦形式的一半，則式（17）給出的相位估計(jì)誤差可表示為

因此，采用特征頻率信號(hào)相位對(duì)TOA進(jìn)行估計(jì)時(shí)，與理想的克拉美-羅界相差3 dB。當(dāng)采樣數(shù)N≥100時(shí)，用特征頻率信號(hào)對(duì)克拉美-羅界的估計(jì)偏差<1.5%。圖 2給出了特征頻率TOA估計(jì)方差與克拉美-羅界與采樣數(shù)N的關(guān)系。

圖2 特征頻率TOA估計(jì)方差與克拉美-羅界對(duì)比Fig. 2 TOA estimation deviation for characteristic fre?quency vs CRB

提高采樣序列長(zhǎng)度N有2種方法：一方面是提高采樣率；另一方面是增加采樣時(shí)間。RXTE衛(wèi)星獲得的Crab脈沖星數(shù)據(jù)，其時(shí)間粒度是100 μs，對(duì)應(yīng)10 kHz的采樣率，1 s時(shí)間內(nèi)有104次采樣，將采樣率提高到100 MHz，則序列長(zhǎng)度為108量級(jí)。如果增加采樣時(shí)間使序列長(zhǎng)度增加到108量級(jí)，則需104s的時(shí)間采樣，接近2.8 h。從應(yīng)用角度看，提高采樣率是一種可行的方法，在100 MHz采樣率內(nèi)是可以實(shí)現(xiàn)的。如果將X射線探測(cè)器輸出的脈沖信號(hào)以1 bit量化為光子計(jì)數(shù)方式采樣，則可用FPGA器件直接對(duì)脈沖信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)，而高速FPGA處理1 GHz的脈沖信號(hào)已是成熟技術(shù)，實(shí)現(xiàn)100 MHz的采樣處理具有較大的設(shè)計(jì)余量。

脈沖星特征頻率信號(hào)處理是一種與脈沖星信號(hào)波形特征無關(guān)的最佳匹配濾波方法，最佳匹配濾波保證了信號(hào)處理可以獲得最大信噪比，對(duì)提高信號(hào)到達(dá)時(shí)間TOA的觀測(cè)精度具有最優(yōu)的性能，而與脈沖星信號(hào)波形特征無關(guān)的特點(diǎn)，極大擴(kuò)展了脈沖星信號(hào)選擇的范圍，也簡(jiǎn)化了信號(hào)處理系統(tǒng)，為快好省發(fā)展方向提出了一種可行的技術(shù)途徑。

從頻域上看，信號(hào)功率譜密度主要為低頻分量，噪聲功率譜密度為常值，如圖 3所示。

圖3 脈沖星信號(hào)與噪聲功率譜Fig. 3 Pulsar signal with noise power spectrum

因此有

式中：N0為白噪聲功率譜密度；B為噪聲帶寬；Pm為信號(hào)功率譜峰值。

在白噪聲情況下，信噪比小于信號(hào)功率譜密度最大值鄰域內(nèi)的信號(hào)功率譜密度與噪聲功率譜密度之比。由此可見，如果將信號(hào)功率譜最大值對(duì)應(yīng)的頻段內(nèi)信號(hào)濾波處理出來，則可以獲得最大的信噪比輸出。

對(duì)于周期的脈沖星信號(hào)，l次諧波分量的信噪比可表示為

式中：Al為l次諧波分量幅值；ΔBl為頻域單位帶寬。濾除直流分量及高次諧波分量，則前L次諧波分量信號(hào)的總信噪比為

在特征頻率處，信號(hào)具有最大的幅值，其功率密度也為最大值，通過傅里葉分析可以獲得特征頻率信號(hào)分量，因此采用特征頻率信號(hào)將給出最大的信噪比。根據(jù)式（23）可有

式中：下標(biāo)lf表示特征頻率。信噪比最大，意味著對(duì)相位精度的估計(jì)精度高，其定位精度也會(huì)提高。由于采用特征頻率信號(hào)可以獲得最大的信噪比，因此特征頻率信號(hào)的TOA估計(jì)也是最佳估計(jì)。

2 仿真分析

2.1 脈沖星特征頻率信號(hào)的TOA處理

脈沖星特征頻率信號(hào)具有與原脈沖星信號(hào)相同的周期，脈沖星信號(hào)的峰值特征點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻與脈沖星特征頻率信號(hào)的過零點(diǎn)時(shí)刻具有確定的時(shí)間延時(shí)，檢測(cè)到特征頻率信號(hào)的過零點(diǎn)時(shí)刻，也即確定了脈沖星信號(hào)的到達(dá)時(shí)間TOA。將脈沖星信號(hào)經(jīng)過離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform, DFT）處理后，提取特征頻率信號(hào)，對(duì)特征頻率信號(hào)進(jìn)行逆離散傅里葉變換（Inverse Discrete Fourier Transform， IDFT），再檢測(cè)特征頻率信號(hào)的過零點(diǎn)。由于過零點(diǎn)時(shí)刻與TOA具有確定的關(guān)系，因此也可以認(rèn)為過零點(diǎn)時(shí)刻即為TOA。

特征頻率信號(hào)過零點(diǎn)時(shí)刻，與特征頻率信號(hào)相位是等價(jià)的。在頻域的相位信息對(duì)應(yīng)時(shí)域的信號(hào)延時(shí)。如果X射線探測(cè)器相對(duì)脈沖星運(yùn)動(dòng)速度為0，則每次收到的特征頻率信號(hào)過零點(diǎn)時(shí)刻相同；如果存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度，則接收的信號(hào)延時(shí)發(fā)生變化，導(dǎo)致過零點(diǎn)時(shí)刻也發(fā)生相應(yīng)的變化；在頻域看，特征頻率信號(hào)的相位也按比例變化。相對(duì)時(shí)間的相位變化即為多普勒頻率，特征頻率信號(hào)處理正是利用多普勒頻率導(dǎo)致的信號(hào)相位變化來檢測(cè)過零點(diǎn)時(shí)刻的，無需再對(duì)多普勒頻率進(jìn)行其他處理。

利用脈沖星信號(hào)特征頻率的TOA測(cè)量方法，直接對(duì)Crab脈沖星信號(hào)進(jìn)行DFT處理，通過檢測(cè)特征頻率信號(hào)相位的過零點(diǎn)，獲得了TOA參數(shù)，如圖 4所示。

圖4 特征頻率信號(hào)獲得TOA參數(shù)Fig. 4 TOA parameters extracted from characteristic frequency signal

通過對(duì)RXTE衛(wèi)星的Crab脈沖星數(shù)據(jù)進(jìn)行DFT處理，驗(yàn)證了特征頻率信號(hào)處理的優(yōu)越性。RXTE衛(wèi)星獲取的Crab脈沖星數(shù)據(jù)總計(jì)2700 s，每30個(gè)Crab脈沖星信號(hào)周期處理1次，時(shí)間為1.0051 s。每進(jìn)行1次DFT處理的序列長(zhǎng)度為10051，變換處理完成確定1次TOA。

根據(jù)分析，Crab脈沖星原始信號(hào)的信噪比大約為?10 dB，RXTE衛(wèi)星所記錄的X射線光子計(jì)數(shù)中每10次計(jì)數(shù)大約有一次為Crab脈沖星發(fā)射的X射線光子信號(hào)，信號(hào)完全淹沒在噪聲里。經(jīng)過1.0051 s時(shí)間序列的DFT處理，其特征頻率信號(hào)的信噪比平均為5 dB，處理增益為20 dB。圖 4為一次更新處理過程的脈沖星信號(hào)及特征頻率信號(hào)，也給出了連續(xù)3次更新的特征頻率信號(hào)相位及相對(duì)關(guān)系，數(shù)據(jù)分析表明特征頻率處理具有良好的相位估計(jì)精度。

利用DFT處理獲得的脈沖星信號(hào)TOA反映了RXTE衛(wèi)星的運(yùn)行軌道。根據(jù)RXTE衛(wèi)星提供的軌道參數(shù)，計(jì)算了該軌道在Crab脈沖星方向上的投影。再利用DFT方法獲得的TOA參數(shù)轉(zhuǎn)換為RXTE衛(wèi)星在Crab脈沖星方向上的軌跡，其真實(shí)軌道投影軌跡與利用特征頻率信號(hào)觀測(cè)TOA獲得的軌跡一致，其方差σr≤9 km，在進(jìn)行濾波處理后，其方差σr可減少到3 km量級(jí)，是僅利用脈沖星信號(hào)觀測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)定位方法中精度最高的，見圖 5與圖 6，其中rn為軌道半徑。

圖5 特征頻率信號(hào)相位獲得的RXTE衛(wèi)星軌道投影(σr=9 km)Fig. 5 Orbit projection of RXTE satellite estimated by phase of characteristic frequency (σr=9 km)

圖6 特征頻率信號(hào)相位獲得的RXTE衛(wèi)星軌道投影(σr=3 km)Fig. 6 Orbit projection of RXTE satellite estimated by phase of characteristic frequency (σr=3 km)

根據(jù)RXTE衛(wèi)星的數(shù)據(jù)處理過程，可以給出一種脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)方案，如圖7所示。在圖7中，信號(hào)處理與特征識(shí)別模塊主要是利用脈沖星特征頻率信號(hào)獲取TOA參數(shù)，并按上述方法獲得某顆已知脈沖星方向矢量的軌道投影，測(cè)量3顆獨(dú)立的X射線脈沖星信號(hào)，則可解算飛行器空間相對(duì)位置增量。關(guān)于相對(duì)定位原理可參見文獻(xiàn)［23］。

圖7 脈沖星導(dǎo)航系統(tǒng)方案Fig. 7 Schematic diagram of pulsar navigation

2.2 脈沖星特征頻率信號(hào)TOA仿真結(jié)果分析

脈沖星特征頻率信號(hào)是與脈沖星信號(hào)周期相同的正余弦信號(hào)，當(dāng)采樣時(shí)間為1個(gè)脈沖星信號(hào)周期時(shí)，其特征頻率信號(hào)為1個(gè)周期的信號(hào)，頻點(diǎn)為1，表示在該時(shí)間內(nèi)信號(hào)變化1次。當(dāng)采樣時(shí)間為M個(gè)周期時(shí)，其特征頻率信號(hào)變化M次，因此頻點(diǎn)為M。在頻域，采樣時(shí)間為1個(gè)周期T時(shí)，其頻域1個(gè)頻點(diǎn)對(duì)應(yīng)的帶寬為1/T，當(dāng)采樣時(shí)間為M個(gè)周期T時(shí)，其頻域1個(gè)頻點(diǎn)對(duì)應(yīng)的帶寬為1/（MT）。

由于噪聲功率譜為N0，因此每個(gè)頻點(diǎn)對(duì)應(yīng)的噪聲功率為Np=N0ΔB，其中ΔB為頻點(diǎn)對(duì)應(yīng)的帶寬。由于多周期時(shí)長(zhǎng)的增加，在頻域其對(duì)應(yīng)頻點(diǎn)帶寬減少，因此當(dāng)采樣時(shí)長(zhǎng)為MT時(shí)，噪聲功率也相應(yīng)下降為

與1個(gè)周期時(shí)長(zhǎng)相比，M個(gè)周期時(shí)長(zhǎng)的信號(hào)處理其噪聲功率降低M倍。用分貝表示為

根據(jù)量化信噪比與量化位數(shù)及采樣率的關(guān)系：

式中：nq為量化位數(shù)；fm為最高信號(hào)頻率；fs為采樣頻率；mo為過采樣倍數(shù)。

可見增加采樣率可以提高信噪比，采樣率提高1倍，其信噪比也將提高3 dB，在信號(hào)功率相同條件下也等效降低噪聲3 dB。特征頻率信號(hào)處理以增加信號(hào)分析時(shí)長(zhǎng)方法減小了單位頻域采樣點(diǎn)的噪聲功率，以高采樣率將噪聲分布在寬帶頻域內(nèi)，使特征頻率信號(hào)處理具有很高的增益，可實(shí)現(xiàn)極低信噪比脈沖星信號(hào)的高精度時(shí)延估計(jì)，為高精度脈沖星導(dǎo)航奠定了理論基礎(chǔ)。

無論是多周期處理還是高采樣率處理，其本質(zhì)是一致的，可以統(tǒng)一處理。在特征頻率信號(hào)處理中，信號(hào)采樣時(shí)間也是數(shù)據(jù)更新周期，該參數(shù)與飛行器速度、系統(tǒng)數(shù)據(jù)處理、數(shù)據(jù)更新率有關(guān)。例如飛行器速度為30 km/s，其多普勒頻移為0.003 Hz，因此數(shù)據(jù)處理時(shí)間不能超過300 s（主要受固定頻點(diǎn)檢測(cè)約束）。為了獲得更高的處理增益，期望較高的采樣率，但該參數(shù)受實(shí)際系統(tǒng)性能的限制，以目前的技術(shù)條件，實(shí)現(xiàn)100 MHz采樣率是可行的，其處理增益可達(dá)100 dB，時(shí)延測(cè)量精度為0.35 μs，定位精度約為10 m（參考Crab數(shù)據(jù)），數(shù)據(jù)更新時(shí)間100 s。

2.3 脈沖星信號(hào)量化影響分析

X射線脈沖星信號(hào)主要是以光子計(jì)數(shù)形式出現(xiàn)的。一般認(rèn)為：X射線脈沖星光子信號(hào)到達(dá)時(shí)間的量化粒度對(duì)脈沖星信號(hào)波形的TOA觀測(cè)精度影響不大，在RXTE衛(wèi)星中觀測(cè)的Crab脈沖星光子信號(hào)記錄的時(shí)間粒度為100 μs，在此時(shí)間間隔內(nèi)，統(tǒng)計(jì)觀測(cè)到出現(xiàn)的光子計(jì)數(shù)為0～7，其出現(xiàn)比例如表 1所示。

表1 Crab脈沖星信號(hào)光子計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)分布Table 1 Statistical counts of photon for Crab

由表 1可見，在100 μs的量化時(shí)間間隔內(nèi)，光子計(jì)數(shù)出現(xiàn)0或1的比例占90%以上?？梢酝茢啵寒?dāng)量化時(shí)間間隔減小后，其0/1出現(xiàn)的比例將變大，甚至僅出現(xiàn)0/1的計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)情形。因此對(duì)X射線脈沖星信號(hào)采用1 bit量化與實(shí)際的信號(hào)形式相匹配，甚至沒有量化誤差。RXTE衛(wèi)星的定時(shí)精度為1 μs，如果以此周期量化時(shí)間進(jìn)行光子計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)，基本可保證僅存在0/1的光子計(jì)數(shù)。在不考慮單光子能量分布的情況下，X射線脈沖星信號(hào)光子檢測(cè)與1 bit量化信號(hào)具有等效的形式，因此式（10）的量化輸出也是準(zhǔn)確的X射線脈沖星信號(hào)表達(dá)方式。

對(duì)于1 bit的量化信號(hào)，F(xiàn)FT可以表達(dá)成最簡(jiǎn)單的形式，僅用加減運(yùn)算即可獲得特征頻率信號(hào)，對(duì)過采樣應(yīng)用非常有利。X射線脈沖星信號(hào)類似于條形碼結(jié)構(gòu)，條紋的疏密反映了光子能流密度在時(shí)間上的分布。每個(gè)光子在時(shí)間上的變化對(duì)脈沖星信號(hào)TOA產(chǎn)生一定的影響，其特征頻率的相位是光子時(shí)間分布的統(tǒng)計(jì)效應(yīng)，因此通過特征頻率信號(hào)相位信號(hào)的處理可以確定脈沖星信號(hào)的TOA。

通過特征頻率信號(hào)的相位確定TOA，消除了在時(shí)域?qū)庾佑?jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)的復(fù)雜過程，也消除了復(fù)雜的時(shí)間變換過程，無需重建脈沖星信號(hào)的波形，對(duì)不同的脈沖星信號(hào)具有相同的處理方法，并且是一種最佳的TOA估計(jì)方法。在脈沖星導(dǎo)航應(yīng)用中，只需脈沖星的方向矢量及信號(hào)周期參數(shù)即可實(shí)現(xiàn)導(dǎo)航處理。

對(duì)于Crab脈沖星輸出量化噪聲，采用1 bit量化與原始數(shù)據(jù)相比性能惡化約0.6 dB?？紤]到運(yùn)算量帶來的收益，這種權(quán)衡還是值得的。而對(duì)于實(shí)際過采樣處理，量化噪聲損失可以避免。采用仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果還是令人滿意的。

根據(jù)雷達(dá)原理，周期脈沖信號(hào)的時(shí)間測(cè)量精度主要取決于信號(hào)帶寬，脈沖信號(hào)越窄，帶寬就越寬，時(shí)間測(cè)量精度也就越高。在信號(hào)形式上，X射線脈沖星信號(hào)為δ(t)函數(shù)，以光子脈沖出現(xiàn)，其脈沖寬度由接收系統(tǒng)響應(yīng)決定。因此假設(shè)脈沖周期為T，脈沖時(shí)寬為τ，且遠(yuǎn)小于周期，脈沖幅度為1，以此模擬1 bit量化的脈沖星信號(hào)。

發(fā)射的周期脈沖信號(hào)被接收機(jī)接收，在信號(hào)周期已知時(shí)，接收機(jī)可以按周期對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理。將相鄰周期的信號(hào)進(jìn)行“與”運(yùn)算，顯然不改變信號(hào)的形式，如圖 8所示。

圖8 周期信號(hào)“與”運(yùn)算（無噪聲）Fig. 8 Periodical signal and its “AND” operation （noise free）

當(dāng)存在噪聲脈沖時(shí)，噪聲與信號(hào)同時(shí)出現(xiàn)表現(xiàn)為信號(hào)脈沖，沒有信號(hào)時(shí)為噪聲脈沖，經(jīng)過相鄰周期的“與”運(yùn)算，可恢復(fù)信號(hào)脈沖，如圖9所示。由于信號(hào)是按周期出現(xiàn)的，而噪聲是隨機(jī)出現(xiàn)的，因此相鄰周期的信號(hào)經(jīng)過“與”預(yù)算后可以保留，而噪聲脈沖經(jīng)過“與”預(yù)算后被消除。信號(hào)的脈沖越窄，受噪聲的影響越小，噪聲被“與”消除得越多。并且信號(hào)脈沖越窄，其時(shí)間測(cè)量的不確定性越小，即測(cè)量精度越高。

圖9 周期信號(hào)“與”運(yùn)算（有噪聲）Fig. 9 Periodical signal and its “AND” operation （noise introduced）

將該方法擴(kuò)展到多周期，可以將噪聲脈沖降低到需要的指標(biāo)。根據(jù)對(duì)脈沖星信號(hào)及背景噪聲的分析，探測(cè)器單位面積接收的光子脈沖數(shù)為104ph/(s·cm2)量級(jí)，對(duì)于1000 cm2量級(jí)的探測(cè)器，每秒接收的光子數(shù)為107量級(jí)。

設(shè)探測(cè)器采樣頻率為100 MHz，則每秒產(chǎn)生108個(gè)采樣，每個(gè)采樣時(shí)間10 ns。假設(shè)一個(gè)周期采樣數(shù)為NT，噪聲脈沖在時(shí)間上為均勻分布，則對(duì)應(yīng)每個(gè)采樣出現(xiàn)噪聲脈沖的概率為p=107/108=0.1。對(duì)于脈沖星信號(hào)，假設(shè)每個(gè)周期出現(xiàn)信號(hào)脈沖的概率為q。則連續(xù)Np個(gè)周期“與”運(yùn)算至少出現(xiàn)1次噪聲脈沖的概率為

連續(xù)Np個(gè)周期“與”運(yùn)算檢測(cè)出信號(hào)脈沖并且不出現(xiàn)噪聲脈沖的概率為

因此平均時(shí)間測(cè)量值為

時(shí)間測(cè)量方差為

對(duì)于RXTE衛(wèi)星探測(cè)的Crab脈沖星信號(hào)，其 時(shí) 間 分 辨 率 為τr=1 μs，采 樣 率 為1 MHz。Crab脈沖星周期約為34 ms，則NT=34000。根據(jù)統(tǒng)計(jì)，Crab脈沖星信號(hào)平均100 μs出現(xiàn)1次光子計(jì)數(shù)，噪聲脈沖出現(xiàn)概率約為p=0.01，每個(gè)周期內(nèi)信號(hào)脈沖平均出現(xiàn)34個(gè)，信號(hào)出現(xiàn)概率約為q=0.5。用Np=5個(gè)周期進(jìn)行“與”操作，則有P=3×10?6，Q=0.03，mt=0.1 μs，σt=59 μs，對(duì)應(yīng)測(cè) 距 精度17 km，平 均5 s輸出1次結(jié)果。

如果將“與”運(yùn)算的周期增加到10個(gè)，則有P=3×10?16，Q=0.0009，mt=1 ns，σt=0.03 μs，對(duì)應(yīng)測(cè)距精度10 m。由于信號(hào)檢測(cè)概率太低，需要較長(zhǎng)時(shí)間才能給出測(cè)試結(jié)果，平均需要341 s輸出1次測(cè)試結(jié)果。

一般情況下，單位時(shí)間內(nèi)信號(hào)脈沖與噪聲脈沖的總數(shù)是一定的，只要采樣率足夠高，總可以使得噪聲脈沖在單位時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)的概率小于一定值，即

式中：Nnoise為單位時(shí)間內(nèi)的噪聲脈沖數(shù)；Nt為單位時(shí)間采樣數(shù)。在信號(hào)周期Tp時(shí)間內(nèi)，采樣數(shù)為

當(dāng)采用多周期“與”檢測(cè)邏輯時(shí)，采用的周期數(shù)越多，則噪聲消除的越好，但同時(shí)對(duì)信號(hào)也抑制的很嚴(yán)重，需要權(quán)衡考慮。假設(shè)采用的周期數(shù)為Nu，則噪聲誤檢概率為

通常pNu?1，因此式（34）近似為

當(dāng)采樣數(shù)超過噪聲脈沖數(shù)10倍以上時(shí)，則p≤0.1，P以指數(shù)關(guān)系隨Nu下降。如果將采樣率提高r倍，則Nsample提高r倍，而p減小r倍，則有

一般Np>10，r>10，可見提高采樣率可以更容易獲得低的噪聲誤檢概率。

脈沖星信號(hào)在時(shí)域表現(xiàn)為周期脈沖，在頻域表現(xiàn)為特征頻率信號(hào)及其他諧波與噪聲干擾之和。經(jīng)過DFT分析重建特征頻率信號(hào)，該信號(hào)為相位加擾的正余弦信號(hào)。將正余弦信號(hào)量化為方波信號(hào)，則可以按“與”操作實(shí)現(xiàn)多周期的信號(hào)檢測(cè)，其提高時(shí)間測(cè)量精度的原理如圖 10所示。

由圖10可見，每增加1個(gè)信號(hào)周期，其輸出檢測(cè)信號(hào)的脈寬就降低一點(diǎn)，信號(hào)的不確定性程度也相應(yīng)降低，即提高了時(shí)間測(cè)量精度。以Crab脈沖星為例，設(shè)1 s時(shí)間內(nèi)噪聲脈沖數(shù)Nnoise=106，采樣數(shù)Nt=108，則p=10?2，信號(hào)周期Tp=34 ms，Nsample=NtTp=3.4×106，采用10個(gè)周期進(jìn)行“與”處理，即Np=10，則有P=3.4×10?14，Q=0.12，mt≈0.12τr，。

圖10 正余弦信號(hào)的高精度測(cè)量原理Fig. 10 Principle of improving accuracy for detecting cosine signal

由于信號(hào)檢測(cè)概率Q=0.12，因此約Q?1=9次可以獲得1次信號(hào)檢測(cè)數(shù)據(jù)輸出，即0.3 s更新1次數(shù)據(jù)，其誤差σt=0.3×10 ns=3 ns。因此理論上，如果對(duì)Crab脈沖星信號(hào)用100 MHz頻率采樣，則預(yù)期可以獲得約1 m的定位精度。

3 脈沖星信號(hào)高次諧波TOA定位

根據(jù)式（19），脈沖星信號(hào)TOA參數(shù)估計(jì)的不確定度與脈沖星信號(hào)的周期成正比，因此期望采用周期短的脈沖星信號(hào)作為導(dǎo)航應(yīng)用，例如選擇所謂的毫秒級(jí)脈沖星。目前觀測(cè)到的毫秒級(jí)脈沖星一般信號(hào)的能流密度非常低，信噪比也不高，這對(duì)導(dǎo)航應(yīng)用是不利的。雖然可以選擇能流密度較大的脈沖星作為導(dǎo)航星，盡可能采用信噪比大的信號(hào)源，其不利因素是可用的脈沖星數(shù)量將減少。由于導(dǎo)航定位同時(shí)觀測(cè)到3顆脈沖星信號(hào)即可，因此只要選擇的脈沖星數(shù)量合適，則脈沖星在天球中即可形成一個(gè)有效的構(gòu)形，滿足導(dǎo)航定位的要求。根據(jù)文獻(xiàn)［4］，表 2選擇了能流密度>1 ph/(cm2·s)的脈沖星作為導(dǎo)航星，總計(jì)23顆，X射線范圍為2～10 keV。

在表 2選擇的脈沖星中，主要是毫秒級(jí)脈沖星，但有些脈沖星的信號(hào)周期還是較長(zhǎng)的，信噪比較低，根據(jù)式（19）給出的TOA參數(shù)不確定度也較差。利用脈沖星信號(hào)諧波分量并非獨(dú)立的特性，可以改善脈沖星信號(hào)TOA參數(shù)的估計(jì)精度［24-26］，但當(dāng)諧波分量增加時(shí)，其運(yùn)算量成倍增加，并且參數(shù)估計(jì)精度無法進(jìn)一步改善。

表2 選擇的脈沖星Table 2 Pulsar sources selected

雖然多諧波分量處理對(duì)TOA估計(jì)性能改善不明顯，但對(duì)利用脈沖星信號(hào)高次諧波的信息具有積極意義。在脈沖星特征頻率信號(hào)處理的基礎(chǔ)上，提出了脈沖星信號(hào)TOA高次諧波TOA估計(jì)方法。

脈沖星信號(hào)的M次諧波頻率與脈沖星特征頻率具有整數(shù)倍的關(guān)系，其諧波信號(hào)周期TM=Tp/M。因此根據(jù)式（19），其TOA測(cè)量的不確定度可以減小1/M。另一方面，信號(hào)脈沖的諧波頻率分量也按1/M減小，其M次諧波信號(hào)幅值減小1/M，信噪比部分根據(jù)式（22）減小1/M2，因此總的TOA測(cè)量的不確定度并不會(huì)因此而改善。

雖然利用M次諧波頻率信號(hào)并沒有改善TOA測(cè)量的不確定度，但也沒有惡化，這多少有一些意外，因?yàn)閺闹C波幅值的角度看，畢竟M次諧波的幅值一般情況下僅為特征頻率信號(hào)的1/M，在信號(hào)功率存在差距的情況下，還能保持同樣的性能，這是值的研究的。

可以預(yù)期，如果諧波次數(shù)足夠高，以至于諧波信號(hào)的周期達(dá)到微秒，則信號(hào)周期對(duì)TOA測(cè)量不確定度的影響將成為次要因素，或TOA測(cè)量的不確定度將主要由信噪比決定。

顯然，所謂諧波次數(shù)足夠高，意味著信號(hào)本身具有非常寬的帶寬，而對(duì)于X射線脈沖星信號(hào)，在時(shí)域就是一個(gè)個(gè)光子形成的δ(t)函數(shù)，它的頻譜是無限寬的。然而由于所看到的頻譜是經(jīng)過了探測(cè)器系統(tǒng)形成的，而探測(cè)器系統(tǒng)是有限帶寬的，它限制了所觀測(cè)的脈沖星信號(hào)帶寬；并且通常在其后的處理中采用積累方法獲得信號(hào)的波形，而積累過程等效于低通濾波，在此過程中，脈沖星光子信號(hào)攜帶的TOA信息損失嚴(yán)重。

極限情況是：X射線脈沖星光子到達(dá)時(shí)刻是X射線信號(hào)的相位調(diào)制信號(hào)。相位調(diào)制信號(hào)的帶寬1/τ遠(yuǎn)大于通過積累形成的周期信號(hào)帶寬fr，因此攜帶時(shí)間信息的相位調(diào)制信號(hào)在m次諧波頻率mfr處其幅值基本不變，如圖 11所示。圖中fs為采樣頻率，τ為采樣脈沖時(shí)寬。

圖11 相位調(diào)制與諧波頻率的關(guān)系Fig. 11 Phase modulation vs harmonic frequency

根據(jù)信號(hào)的這種特性，在脈沖星信號(hào)采樣頻率遠(yuǎn)大于積累周期信號(hào)帶寬的情況下，其高次諧波信號(hào)的幅值隨頻率增加下降的比較慢，甚至δ(t)函數(shù)的頻譜特性呈現(xiàn)均勻分布的形式。圖4所示的時(shí)域信號(hào)本身更類似于隨機(jī)信號(hào)，因此在頻域表現(xiàn)為白噪聲的頻譜特性，具有類似于擴(kuò)頻通信的作用機(jī)理，對(duì)于RXTE觀測(cè)的Crab信號(hào)頻域分析則驗(yàn)證了該結(jié)論。采用特征頻率信號(hào)、二次諧波頻率信號(hào)、三次及五次諧波頻率信號(hào)進(jìn)行軌道定位結(jié)果如圖 12所示。

圖12 利用特征頻率及高次諧波頻率信號(hào)定位Fig. 12 Feature and harmonic frequency signals used for positioning

采用遠(yuǎn)高于脈沖星特征頻率的采樣率，即過采樣應(yīng)用，則由于高次諧波分量在幅值方面下降得較慢，其信噪比下降也相對(duì)緩慢，因此可以獲得高次諧波周期短帶來的增益，等效于采用毫秒級(jí)脈沖星獲得了微秒級(jí)脈沖星信號(hào)進(jìn)行導(dǎo)航定位的效果，由此可降低對(duì)脈沖星導(dǎo)航星的要求，為脈沖星選擇提供了一種新的方法。

事實(shí)上，X射線脈沖星的特征頻率信號(hào)，將TOA信息調(diào)制到光子脈沖的時(shí)間位移參數(shù)中，相當(dāng)于雷達(dá)發(fā)射的偽隨機(jī)碼脈沖序列，而該脈沖序列的匹配濾波器就是自身的編碼序列，因此在進(jìn)行匹配濾波處理后，其脈沖匹配輸出具有脈沖壓縮增益，這與雷達(dá)信號(hào)處理具有類似的機(jī)理。而在雷達(dá)信號(hào)處理技術(shù)中，雷達(dá)信號(hào)的帶寬是決定雷達(dá)距離分辨率的關(guān)鍵因素，信號(hào)帶寬越寬，則距離分辨率越高。至于編碼形式，則是由脈沖星信號(hào)產(chǎn)生過程中自然形成的，它就是構(gòu)成脈沖星信號(hào)的基向量，由正交的正弦函數(shù)基對(duì)信號(hào)波形進(jìn)行編碼，并具有統(tǒng)計(jì)意義。

從信息處理的角度看，TOA獲取的本質(zhì)是時(shí)間信息的獲取。在擴(kuò)頻通信中，獲取的信息量，可以通過提高信噪比實(shí)現(xiàn)，也可以通過提高信道的帶寬實(shí)現(xiàn)。根據(jù)信息論有

式中：R為TOA攜帶的時(shí)間信息量?？梢?，TOA信息的獲取，提高信道帶寬B比提高信噪比更有效。對(duì)于脈沖星導(dǎo)航應(yīng)用，在信噪比受限的情況下，提高信道帶寬（系統(tǒng)帶寬）是提高TOA測(cè)量精度的最優(yōu)選擇。而脈沖星特征頻率信號(hào)以及高次諧波處理方法是實(shí)現(xiàn)寬帶處理的技術(shù)途徑，屬于擴(kuò)頻處理的一種應(yīng)用。

高次諧波頻率信號(hào)定位偏差與信噪比并不存在比例關(guān)系，表 3給出了不同諧波頻率信號(hào)的定位偏差統(tǒng)計(jì)值。

表3 高次諧波頻率信號(hào)信噪比與定位偏差Table 3 Harmonic frequency signal to noise ratio and its deviation of positioning

由于信號(hào)統(tǒng)計(jì)具有一定的離散性，因此信噪比高不一定具有較小的定位偏差，但信噪比過低是無法定位的。對(duì)于Crab脈沖星信號(hào)，偶數(shù)次諧波除二次諧波外，均無法用于定位；而奇數(shù)次諧波超過五次諧波后也無法用于定位，由圖12定位曲線可見變化趨勢(shì)。

在一定的信噪比保證下，高次諧波定位偏差略有改善，符合式（19）的預(yù)期。實(shí)際改善程度與脈沖星的信號(hào)特點(diǎn)有關(guān)，Crab脈沖星信號(hào)的二次諧波分量較大，其波形模板信號(hào)具有明顯的2個(gè)峰值，二次諧波信噪比甚至比特征頻率信號(hào)高，因此用其定位的偏差也略有改善。

對(duì)于其他脈沖星信號(hào)，其特征頻率分量占主要部分，利用特征頻率信號(hào)進(jìn)行導(dǎo)航定位同樣有效，僅利用脈沖星信號(hào)的周期參數(shù)即可。對(duì)于高次諧波分量的使用，取決于信號(hào)的頻率分布特征。一般情況下，脈沖星信號(hào)的三次、五次、七次等奇次諧波按比例攜帶脈沖星信號(hào)的TOA信息，因此可通過這些諧波信號(hào)獲取TOA參數(shù)，但諧波的選擇最終取決于信噪比的限制。

4 結(jié)論

1）提高X射線光子脈沖信號(hào)的采樣率，可以提高TOA的時(shí)間分辨能力，并且光子脈沖信號(hào)將更多的以單光子脈沖信號(hào)的形式出現(xiàn)。對(duì)于單光子脈沖信號(hào)，等效為1 bit量化的數(shù)字信號(hào)，有利于采用FPGA進(jìn)行高速信號(hào)處理。

2）基于特征頻率的脈沖星信號(hào)處理，具有最佳的匹配濾波檢測(cè)性能，并且基本與脈沖星信號(hào)波形無關(guān)，為脈沖星信號(hào)TOA測(cè)量提供了1種新的處理方法。

3）將脈沖星特征頻率信號(hào)處理與過采樣技術(shù)相結(jié)合，具有明顯的信號(hào)處理增益，改進(jìn)系統(tǒng)性能，有助于提高脈沖星導(dǎo)航定位精度，仿真分析驗(yàn)證了特征頻率信號(hào)處理方法的有效性。