基于混合核函數(shù)高斯過程的大壩變形預測方法

李維華，婁健康，李 星

（1.黃河勘測規(guī)劃設(shè)計研究院有限公司，河南 鄭州 450003； 2.水利部黃河流域水治理與水安全重點實驗室（籌），河南 鄭州 450003； 3.河南省豫北水利勘測設(shè)計院有限公司，河南 鄭州 450046； 4.南京水利科學研究院，江蘇 南京 210029）

1 引 言

為充分開發(fā)利用水能資源，我國在西南地區(qū)修建了一大批200～300 m 特高拱壩，這些高拱壩普遍位于地質(zhì)條件惡劣的深山峽谷地區(qū)。其運行過程中會承受如極端溫度荷載、超限制水位洪水荷載、地震荷載等多種不利荷載的疊加作用。保障高拱壩全生命周期安全穩(wěn)定運行是當前大壩安全管理工作的重點。

大壩結(jié)構(gòu)安全監(jiān)控通過在大壩壩體內(nèi)部及地基布置大量傳感器，實時感知和評估多種結(jié)構(gòu)相關(guān)的物理量，如變形、滲流、應力、裂縫開度等［1］。準確有效預測大壩在多重環(huán)境荷載組合作用下的結(jié)構(gòu)響應及行為變化，對于大壩運行維護、安全預警具有重要意義。變形是混凝土壩在多種荷載疊加作用下的真實反映，是安全監(jiān)控的重點內(nèi)容。大壩變形預測模型依據(jù)方法手段的不同，可分為統(tǒng)計模型和人工智能模型。傳統(tǒng)統(tǒng)計模型主要是將大壩變形分解為水壓分量、溫度分量和時效分量三部分，通過多重線性回歸、逐步線性回歸等統(tǒng)計學方法，依據(jù)輸入環(huán)境變量預測大壩變形［2］。傳統(tǒng)統(tǒng)計模型只能考慮輸入和輸出變量間的線性關(guān)系，而大壩變形是結(jié)構(gòu)性態(tài)在環(huán)境因子作用下的非線性響應，使得統(tǒng)計模型預測能力受限，很難準確、高效、長期預測變形。

人工智能算法主要是通過人工神經(jīng)網(wǎng)絡、支持向量機等機器學習算法，充分挖掘大壩監(jiān)測數(shù)據(jù)里的信息，實現(xiàn)大壩環(huán)境變量和輸出變量的非線性關(guān)系精確模擬［3］。許多學者在人工智能算法預測大壩變形方面開展了研究，如：李明軍等［4］提出一種基于改進灰狼優(yōu)化算法和支持向量機的大壩變形組合預測模型；陳優(yōu)良等［5］提出一種基于極限學習機和彈性網(wǎng)絡支持的大壩位移預測方法，試驗結(jié)果表明該方法可簡化隱含層神經(jīng)元個數(shù)選擇問題，便于參數(shù)調(diào)整；楊恒等［6］將支持向量機（SVM）和差分自回歸移動平均模型（ARIMA）結(jié)合，提出一種時間序列大壩位移預測分析方法，可實現(xiàn)大壩位移變化趨勢的精確預測，具有一定實用價值。然而這些方法普遍存在易陷入局部最優(yōu)、過擬合、調(diào)參過程復雜等缺陷，限制了其應用。此外，這些方法并未考慮大壩變形受多環(huán)境因素交叉耦合的影響，因此有必要研究考慮多環(huán)境因素交叉耦合影響的大壩變形預測方法。

高斯過程回歸是一種基于貝葉斯理論的機器學習方法，它可為概率回歸預測提供一個靈活簡捷的建?？蚣堋Ｒ延性S多學者應用高斯過程回歸解決實際工程問題［7－8］，高斯過程回歸在解決高維度小樣本問題時優(yōu)勢顯著，可有效評估監(jiān)測信號的不確定性行為，精度高、泛化能力強。

協(xié)方差函數(shù)是高斯過程回歸的重要組成部分，也是高斯過程回歸實現(xiàn)非線性預測的基礎(chǔ)。然而常規(guī)線性協(xié)方差函數(shù)只能處理平穩(wěn)序列，大壩變形時間序列是一種非平穩(wěn)時間序列，因此有必要研究組合協(xié)方差函數(shù)以更好地考慮大壩變形時間序列的非平穩(wěn)性。

2 基于改進高斯過程回歸的大壩變形預測方法

2.1 基本原理

高斯過程回歸是一類隨機變量的集合，任意有限個隨機變量具有一致的聯(lián)合高斯分布，典型高斯過程f（x）（x為影響大壩位移的環(huán)境因子，如水位、溫度、時效等）可以用其均值m（x）和協(xié)方差函數(shù)C（x，x′）（x為訓練集的模型輸入，即訓練集對應的環(huán)境因子；x′為測試集的模型輸入，即測試集對應的環(huán)境因子）來近似描述［9］，為了便于簡化，均值函數(shù)通常設(shè)置為0。

式中：ε為獨立同分布的白噪聲，即ε～N（0，），σn為噪聲標準差，任何有限數(shù)目觀測值均可形成高斯過程［9］。

高斯過程的后驗分布可以通過對給定數(shù)據(jù)訓練集和測試集進行聯(lián)合先驗分布來推導：

式中：f?為用于驗證的新輸入數(shù)據(jù)；X為輸入監(jiān)測變量；為輸出結(jié)果的平均值；v（f?）為驗證集上模型的輸出結(jié)果。

此外，高斯過程不僅能給出預測值，還能利用協(xié)方差函數(shù)估計輸出預測值的置信度。作為一種非參數(shù)估計方法，高斯回歸的預測值只取決于輸入變量和觀測值，而模型超參數(shù)Θ可視為高斯過程回歸的超參數(shù)。最大似然估計是高斯過程回歸的常用參數(shù)估計方法，最大似然函數(shù)通?？捎韶惾~斯理論獲得：

參數(shù)估計通過最大似然估計獲取。

2.2 核函數(shù)

協(xié)方差函數(shù)控制模型估計未知函數(shù)時數(shù)據(jù)平滑程度，其選取對模型非線性重建性能影響顯著。最常見的協(xié)方差函數(shù)是平方指數(shù)協(xié)方差函數(shù)，其主要應用于平穩(wěn)序列建模，而大壩位移時間序列是一個典型受多因素影響的非平穩(wěn)時間序列。本研究為進一步提高高斯過程回歸模型對非線性時間序列的建模能力，引入組合協(xié)方差函數(shù)概念，通過組合Matern 核函數(shù)和白噪聲核函數(shù)，構(gòu)造如式（4）所示的非平穩(wěn)協(xié)方差函數(shù)，以更好地體現(xiàn)輸入和輸出變量間的非線性關(guān)系。其中，白噪聲核函數(shù)主要用于解釋信號的噪聲是獨立和正態(tài)分布的，式（4）中參數(shù)noise＿level等于該白噪聲的方差。

式中：k（xi，xj）為協(xié)方差函數(shù)；xi、xj為第i個和第j個樣本數(shù)據(jù)；d（xi，xj）為歐氏距離；Kν（·）為修正貝葉斯函數(shù)；ν為數(shù)據(jù)序列的均值；l為修正線性激活函數(shù)值。

2.3 模型性能評估指標

為量化評估上述方法和現(xiàn)階段常用的多重線性回歸（HST）、隨機森林（RF）和支持向量機（SVR）的預測精度和泛化能力，本文選擇確定系數(shù)R2、均方誤差MSE和平均絕對誤差MAE作為大壩變形預測的評價指標。

3 工程案例研究

3.1 工程概況

某混凝土高拱壩，位于黃河上游，壩型為混凝土雙曲拱壩，最大壩高為105 m，水庫正常蓄水位為700 m、死水位為660 m。大壩布置5 組正、倒垂線監(jiān)測點，其中：PL 為正垂線，用于監(jiān)測大壩壩體位移；IP 為倒垂線，用于監(jiān)測大壩壩體相對地基的位移。

3.2 監(jiān)測數(shù)據(jù)

本研究選用2014 年1 月1 日至2017 年12 月31日大壩正、倒垂線1 451 個監(jiān)測樣本數(shù)據(jù)用于模型建立和驗證，其中2014 年1 月1 日至2016 年12 月31日共計1 086個監(jiān)測樣本數(shù)據(jù)用于模型訓練和驗證，2017 年1 月1 日至2017 年12 月31 日共計365 個監(jiān)測樣本數(shù)據(jù)用于模型測試和泛化能力評估。圖1 為2014—2017 年水庫水位變化曲線，可以看出庫水位基本呈現(xiàn)以年為周期的規(guī)律性變化，平均年變幅為10.425 m 左右。選用3 個典型正垂線監(jiān)測點PL13－1、PL15－1 和PL16－1 用于評估模型的有效性。3 個典型監(jiān)測點的位移過程線如圖2 所示。

圖1 2014—2017 年水庫水位變化曲線

圖2 3 個典型監(jiān)測點位移過程線

3.3 結(jié)果比較與分析

利用3 種常用的大壩變形預測分析方法即多重線性回歸、隨機森林和支持向量機方法作對比來驗證本文方法的泛化能力，3 個典型大壩位移監(jiān)測點位移預測值與實測值對比見圖3～圖5。

圖3 PL16－1 監(jiān)測點位移預測值和實測值對比

圖4 PL13－1 監(jiān)測點位移預測值和實測值對比

圖5 PL15－1 監(jiān)測點位移預測值和實測值對比

可以看出，本文所提的基于組合核函數(shù)的高斯過程回歸的預測值與實測值趨勢基本保持一致，而多重線性回歸方法存在一定程度的偏差。這主要是由于高斯過程回歸對非線性關(guān)系的擬合能力更強，因此在長序列大壩變形分析上更具優(yōu)勢。3 種量化評估指標下本文方法和對比方法在測試集上的回歸性能評估結(jié)果見表1，可以看出，高斯過程回歸大壩變形預測方法性能優(yōu)于對比方法，這驗證了其泛化能力。

表1 不同方法測試集性能評估結(jié)果

續(xù)表1

圖6 為本文方法和對比方法的回歸結(jié)果殘差對比圖，可以看出，本文方法的殘差分布更集中，更接近于0，且其超過1.5 倍閾值區(qū)間實測值數(shù)目顯著少于對比方法的，這說明本文模型的魯棒性更好。

圖6 本文方法和多重線性回歸（HST）、隨機森林（RF）、支持向量機（SVR）方法殘差對比

4 結(jié) 論

本文提出基于混合協(xié)方差函數(shù)高斯過程回歸的大壩變形非線性預測分析方法，可簡捷地建立大壩結(jié)構(gòu)行為預測模型，并給出結(jié)果的概率非參數(shù)估計。計算結(jié)果表明，該方法在大壩典型監(jiān)測點位移分析中效果較好，確定系數(shù)、均方誤差等評估指標均顯著優(yōu)于現(xiàn)有主流大壩變形預測方法，說明了該方法預測大壩變形具有優(yōu)勢。此外，該方法可進一步用于識別潛在大壩監(jiān)測數(shù)據(jù)異常信息，可為大壩結(jié)構(gòu)性態(tài)評估與風險鑒定提供參考。