牛頓環(huán)測量數(shù)據(jù)的不確定誤差參數(shù)統(tǒng)計分析*

張 森 張 江 曹南斌

(河北地質(zhì)大學數(shù)理教學部 河北 石家莊 050031)

1 引言

在大學物理實驗中，最普遍的等厚干涉實驗是牛頓環(huán)實驗.最早的牛頓環(huán)實驗是1675年牛頓在制作天文望遠鏡時，偶然發(fā)現(xiàn)將一個望遠鏡的物鏡放在平板玻璃上，就可以實現(xiàn)光學中常見的定域等厚干涉現(xiàn)象.牛頓環(huán)在大學物理實驗數(shù)據(jù)誤差處理教學中起著重要作用，更精確的牛頓環(huán)估計方法將提高學生對等厚干涉和誤差統(tǒng)計分析領域的理解[1-2].

牛頓環(huán)實驗基本方法是通過讀數(shù)顯微鏡對牛頓環(huán)的干涉條紋進行測量，進而計算出平凸鏡的曲率半徑.為了提高曲率半徑的測量精度，人們從各方面進行了詳細研究.計算機軟件在誤差統(tǒng)計分析數(shù)值處理中起到了決定性作用[3].在壓力的作用下，平凸鏡在接觸面附近發(fā)生了不可避免的彈性形變，使得暗斑“吞噬”了若干條明暗圓環(huán)，因此，實驗只能精確測出暗環(huán)的直徑，卻很難確定暗紋的誤差不確定度.所以，既然誤差不可避免，我們將注意力轉(zhuǎn)移到如何構(gòu)建更準確的統(tǒng)計模型，并進一步得到測量數(shù)據(jù)的最佳估計值，從而提高計算曲率半徑的精度.同時，建立牛頓環(huán)測量數(shù)據(jù)不確定誤差參數(shù)統(tǒng)計模型對于牛頓環(huán)在測量薄膜、玻璃彈性模量、液體折射率等方面應用也具有重要意義.

在過去幾十年，高等院校大學物理實驗主要使用兩種不同的實驗方法分析牛頓環(huán)實驗數(shù)據(jù)：逐差法和最小二乘法.逐差法一般采用的方法是把測量的偶數(shù)個數(shù)據(jù)對半分成前后兩組，后一組的數(shù)據(jù)與前一組的對應數(shù)據(jù)逐差再取平均.最小二乘法是統(tǒng)計學中最常見的回歸分析方法.最近十幾年，眾多物理實驗對測量不確定度分析要求越來越高，這對大學物理實驗教學研究起到了極大促進作用.然而，不同方法測定的牛頓環(huán)平凸透鏡的曲率半徑有一定的差異，這是多年以來存在于實驗教學領域尚需討論的疑難問題[4-5].如果實驗數(shù)據(jù)存在特殊的離群點，那就需要選擇更穩(wěn)健的誤差統(tǒng)計分析方法.

不同大學物理實驗方法測量結(jié)果之間的偏差是長期困擾廣大師生的難題.為此不同學派的理論學家提出了多種不確定度統(tǒng)計模型解釋.對于穩(wěn)健性統(tǒng)計模型，我們已經(jīng)基于實驗數(shù)據(jù)集，將MFV統(tǒng)計方法(most frequent value)，應用到觀測數(shù)據(jù)最佳估計值問題[6-7].在我們之前的工作顯示，誤差分布完全可能是非高斯的，且測量數(shù)據(jù)之間可能存在無法精確衡量的相關性.

加權(quán)平均方法也是一種常見誤差處理統(tǒng)計方法.應用加權(quán)平均方法要滿足一些假設，包括數(shù)據(jù)在統(tǒng)計意義下獨立分布和隨機誤差滿足高斯分布.然而實驗測量的誤差分布可能是非高斯的，采用加權(quán)平均方法不一定能夠得到合理的中心估計和不確定度置信區(qū)間.中位數(shù)方法具有對異常值不敏感特性，已經(jīng)有很多應用中位數(shù)統(tǒng)計處理實驗數(shù)據(jù)集的工作[8].

在非高斯分布情況下，傳統(tǒng)方法的應用受到了巨大限制.為詳細分析測量過程中的統(tǒng)計誤差和系統(tǒng)誤差，許多研究人員選取誤差參數(shù)模型分析物理測量數(shù)據(jù).文獻[9]在2020年應用貝葉斯分層模型，計算出實驗數(shù)據(jù)的擬合值.文獻[10]應用頻率學派方法構(gòu)造了一種具有優(yōu)良穩(wěn)健性的模型，該模型對數(shù)據(jù)誤差的建模分析較為全面.

本文將詳細分析Cowan的統(tǒng)計方法，以及頻率學派不確定誤差參數(shù)統(tǒng)計模型的構(gòu)造和計算過程.基于河北地質(zhì)大學物理實驗協(xié)會學生測量的牛頓環(huán)6～15級實驗數(shù)據(jù)結(jié)果，如表1所示，重新構(gòu)建其不確定誤差參數(shù)統(tǒng)計模型，以減小異常值的影響.最后給出數(shù)值計算擬合結(jié)果.

表1 牛頓環(huán)實驗曲率半徑數(shù)據(jù)結(jié)果

續(xù)表1

2 頻率學派統(tǒng)計方法

2.1 參數(shù)估計和置信區(qū)間

頻率學派參數(shù)估計常用方法為極大似然估計和最小二乘法.這兩種方法的應用均需滿足一定的假設，特別是在應用極大似然估計時，需要預先假設數(shù)據(jù)的分布.通過引入額外的冗余參數(shù)，可以降低可能出現(xiàn)的錯誤先驗信息影響，從而提升模型的穩(wěn)健性，但這可能會使得模型的計算更為復雜.

基于頻率學派對概率的定義，頻率學派置信區(qū)間邊界由測量數(shù)據(jù)的函數(shù)給出.其定義為：覆蓋概率指一個集合中包含參數(shù)真實值的概率.構(gòu)造置信區(qū)間使覆蓋概率大于給定的置信度.觀測值Y的概率密度函數(shù)為p(y|θ)，其中θ是未知參數(shù).對參數(shù)θ和置信度1-α，有y1(θ,α)與y2(θ,α)，滿足

(1)

通常y1(θ,α)與y2(θ,α)是單射，因此在給定的置信度下，可以求出反函數(shù)θ1(y)和θ2(y).假設y0與θ0分別為物理量真值和參數(shù)真值.則θ0落在[θ1,θ2]當且僅當y0落在[y1(θ0),y2(θ0)]，對于所有的θ0值均成立.因此

1-α=P[y1(θ)

(2)

這就是置信區(qū)間的Neyman構(gòu)造方法.置信區(qū)間構(gòu)造方法并不唯一，常見選取置信區(qū)間方法為：選取中心對稱區(qū)間、單側(cè)區(qū)間，或構(gòu)造似然比統(tǒng)計量進行檢驗求解.另外，若觀測值服從離散分布，置信區(qū)間的覆蓋概率可能大于1-α.

2.2 似然比統(tǒng)計量的構(gòu)造和應用

頻率學派置信區(qū)間的構(gòu)造方法與假設參數(shù)真值為θ0，并對其進行假設檢驗是等價的.常用的一種檢驗為似然比統(tǒng)計量檢驗，似然比λ定義為

(3)

(4)

置信區(qū)間的數(shù)值計算有時會很困難，可以通過蒙特卡羅(MC)方法求解.如果模型中使用似然函數(shù)較為復雜，那么運算過程中將包含較多難算的最優(yōu)化問題.

2.3 不確定誤差參數(shù)統(tǒng)計模型

對于構(gòu)造似然比時引入冗余參數(shù)，Cowan提出一種應用輪廓似然比(profile likelihood ratio)統(tǒng)計量的不確定誤差參數(shù)統(tǒng)計模型.此模型對數(shù)據(jù)誤差應用Gamma分布進行建模，通過調(diào)整超參數(shù)r，得到具有優(yōu)良穩(wěn)健性的擬合結(jié)果.輪廓似然比定義為

(5)

圖1展示了正態(tài)分布樣本的輪廓似然直方圖與χ2分布的對比.紅色直線代表標準的χ2分布PDF，樣本輪廓似然比的MC模擬結(jié)果在歸一化后顯示為藍色直方圖.在滿足一定假設的前提下，-2lnλ服從χ2分布.然而若某些假設條件不成立，比如參數(shù)間有著相關性的條件下，-2lnλ則并不總是服從χ2分布.

圖1 特定參數(shù)下-2ln λ的分布

對于牛頓環(huán)實驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析問題，可以選取高斯分布的似然函數(shù)，而對誤差應用Gamma分布模型進行刻畫.通過超參數(shù)控制誤差波動，可以在實驗數(shù)據(jù)集上得到較好的擬合效果.高斯分布通常被認為是在許多未知影響因素相互疊加時的近似分布，這里為p(y|μ,θ)選取高斯分布的似然函數(shù)是合理的.可以構(gòu)造如下似然函數(shù)

(6)

這代表假設觀測數(shù)據(jù)y服從一個高斯分布，其參數(shù)為μ,θ.θ的估計值為u,假設其服從高斯分布，即

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

調(diào)整超參數(shù)r的值，可以控制模型對于異常值的敏感性.

在對模型參數(shù)進行化簡后，對數(shù)似然函數(shù)為

(12)

圖2 模型在一組實驗數(shù)據(jù)上的擬合結(jié)果

3 模型計算結(jié)果

計算所得的牛頓環(huán)測量數(shù)據(jù)估計值及其置信區(qū)間如圖3所示.圖中曲線代表負對數(shù)似然作為參數(shù)μ的函數(shù)，根據(jù)Wilks定理，使得-2lnλ從最小值增大1時的μ值即為其68.3%置信區(qū)間的邊界，在圖中以豎直虛線顯示.不同的子圖顯示了不同參數(shù)設置下的擬合結(jié)果.計算得到，選取r=0.2時，牛頓環(huán)測量數(shù)據(jù)估計值為R=1 998.79，對應的置信區(qū)間邊界為[1 990.34,2 007.32].當r=0.4時的置信區(qū)間總長略大于r=0.2時的結(jié)果，這與之前的模型分析吻合.

圖3 模型計算結(jié)果

此外，模型對采用逐差法的數(shù)據(jù)擬合結(jié)果為R=1 998.25-9.71/+9.47，對最小二乘法的數(shù)據(jù)結(jié)果為R=1 998.97-7.47/+7.90.在計算過程中，當r=0.6時，-2lnλ的函數(shù)曲線有更多的起伏，這表示當r過大，模型的預測效果可信度較低.因此，我們選取參數(shù)值r=0.2作為最優(yōu)參數(shù)值.

圖4對比了牛頓環(huán)實驗測量數(shù)據(jù)和不同統(tǒng)計模型計算結(jié)果，圖中陰影部分為不確定誤差參數(shù)模型計算所得的置信區(qū)間.在垂直虛線左側(cè)為隨牛頓環(huán)實驗變化的測量數(shù)據(jù)列，右側(cè)為模型擬合結(jié)果，包括加權(quán)均值、中位數(shù)以及本文得到的結(jié)果.圖4下方子圖展示了以誤差統(tǒng)計模型為基準進行歸一化之后的結(jié)果.

此誤差統(tǒng)計模型的重要特性之一是，隨著參數(shù)值的增加，擬合數(shù)據(jù)的值對顯著偏離中心值的游離點(異常值)變得不那么敏感.圖4中體現(xiàn)出了這種特性，結(jié)合在實驗數(shù)據(jù)上的擬合效果，最終我們選取參數(shù)值r=0.2.此時的不確定誤差參數(shù)統(tǒng)計模型相比起中位數(shù)結(jié)果更接近于數(shù)據(jù)整體的加權(quán)均值，且對數(shù)據(jù)有著較好的覆蓋率.

圖4 原始數(shù)據(jù)分布及模型預測結(jié)果對比(下方子圖為歸一化后的相對誤差分布)

4 結(jié)論

總而言之，物理實驗的一個主要目標是對一些關鍵物理量進行精確測量.牛頓環(huán)實驗數(shù)據(jù)不同方法間長期存在的偏差是基礎光學和大學物理實驗數(shù)據(jù)處理的疑難問題之一.對牛頓環(huán)測量誤差進行穩(wěn)健統(tǒng)計建模分析是獲取可信估計值及置信區(qū)間的關鍵.本文應用Cowan不確定誤差參數(shù)統(tǒng)計模型，對牛頓環(huán)實驗數(shù)據(jù)使用Gamma分布對誤差建模，得到曲率半徑估計值為R=1 998.79-8.45/+8.53，計算結(jié)果顯示出良好的穩(wěn)健性，并且對異常值的干擾不敏感.

George E. P. Box 指出：“所有模型都是錯誤的，但有些模型是有用的”.每個計算統(tǒng)計模型的一些潛在假設并不一定都嚴格成立.Gamma誤差模型在一定程度上可以克服傳統(tǒng)方法不實假設的問題，這也啟發(fā)我們在類似情況下應用不確定誤差參數(shù)模型，并進一步研究其他大學物理實驗測量數(shù)據(jù)的不確定度問題.