巧設(shè)參考系解非等質(zhì)量多星問題

謝永豪 皮飛鵬

(廣州大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院 廣東 廣州 510006)

在天體運動中由多個星體構(gòu)成的系統(tǒng)稱為多星系統(tǒng)，天文觀測表示，經(jīng)過漫長的演化，多星系統(tǒng)內(nèi)星體的質(zhì)量和星體之間的距離會發(fā)生變化，但在高中階段，總認為星體之間的相對位置不發(fā)生變化[1].在這一前提下，多星系統(tǒng)的星體位置對稱且以同一固定點為圓心做角速度相同的圓周運動，這是其保持穩(wěn)定的必要條件[2].多星問題是高考和物理競賽都會考查的題型，對高中生具有一定的挑戰(zhàn)性.非等質(zhì)量的三星問題屬于其中的難題，本文對一道非等質(zhì)量三星問題展開探討，運用變換參考系的方法進行解答，為多星問題的解決提供一種思路.

1 問題分析

【例1】如圖1所示，由質(zhì)量分別為mA、mB、mC的星體A、B、C組成三星系統(tǒng)，忽略其他星體的作用，它們在相互之間的萬有引力作用下，在同一平面上圍繞某一共同的圓心O做相同角速度的圓周運動.已知星體分別位于等邊三角形的3個頂點，等邊三角形的邊長為a，試求各星體所受合力大小FA、FB、FC，軌道半徑長度RA、RB、RC，線速度大小vA、vB、vC和周期T.

圖1 非等質(zhì)量三星問題

分析題目，已知各星體的質(zhì)量與它們之間的位置關(guān)系，求解各星體的向心力大小、軌道半徑和周期.由于該三星系統(tǒng)的星體質(zhì)量不相等，求解它們的向心力來切入問題會較為復(fù)雜.但如果我們能求得星體做圓周運動的角速度大小ω和它們的軌道半徑長度RA、RB、RC，其他的物理量就可以通過簡單的計算得到，因而我們可以尋找角速度大小和軌道半徑長度的求解方法來解題.

2 巧設(shè)參考系求解角速度大小和軌道半徑長度

2.1 選取其中一星體為參考系求解角速度大小

當以星體C作為參考系時，星體A和B相對星體C仍然做角速度大小為ω的勻速圓周運動.這個結(jié)論可以通過以下證明得到.

實際上穩(wěn)定狀態(tài)的多星系統(tǒng)與剛體運動的規(guī)律相同，它們繞旋轉(zhuǎn)圓心的角速度即剛體的角速度，而剛體平面運動中剛體的角速度與基點選擇無關(guān).我們可以運用這個結(jié)論求解角速度大小.

選取星體C為參考系，星體B仍然在做角速度為ω的勻速圓周運動，因而其合力方向指向星體C，如圖2所示.由于星體C繞圓心O做勻速圓周運動，為平動非慣性參考系，此時對星體B進行受力分析時要考慮慣性力F*.其中星體B的慣性加速度與星體C的加速度aC等大反向，而星體C的加速度aC由星體A和星體B對它的引力提供，因此可得

圖2 受力分析

對星體C分析：沿BC方向

對星體B分析

通過計算可求得星體圍繞旋轉(zhuǎn)圓心的角速度大小

2.2 建立直角坐標系求質(zhì)心位置即得到旋轉(zhuǎn)圓心位置

多星系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)圓心在其質(zhì)心位置，因而求質(zhì)心位置后可通過勾股定理得到各星體軌道半徑長度.以下通過求質(zhì)心位置和旋轉(zhuǎn)圓心位置來證明這個結(jié)論.

圖3 建立直角坐標系求質(zhì)心位置

因而質(zhì)心O的坐標為

接著利用兩向心力直線的交點求旋轉(zhuǎn)圓心的坐標.首先對星體B受力分析

因而FB所在直線的方程為

同理對星體C受力分析

因而FC所在直線的方程為

設(shè)旋轉(zhuǎn)圓心的坐標為(x1,y1)，令yB=yC，有

所以

于是得旋轉(zhuǎn)圓心坐標為

和質(zhì)心坐標相同，證明完畢.

實際上多星系統(tǒng)的質(zhì)心位置在星體旋轉(zhuǎn)圓心處，是其能穩(wěn)定存在的重要條件.如果多星系統(tǒng)的質(zhì)心不在旋轉(zhuǎn)圓心處，那么質(zhì)心應(yīng)圍繞旋轉(zhuǎn)圓心做勻速圓周運動，則多星系統(tǒng)的動量在不斷發(fā)生變化.而多星系統(tǒng)忽略其他星體的作用力，即系統(tǒng)不受外力，系統(tǒng)的動量應(yīng)不變，上述假設(shè)與之相違背.

此方法還可用于討論3個星體能否呈任意三角形分布，可證明只有3個星體分別位于等邊三角形的3個頂點上，或3個星體位于同一直線上且兩個相同質(zhì)量的星體圍繞中央星體做半徑相同的勻速圓周運動，三星系統(tǒng)才能穩(wěn)定存在.這提醒著我們出題時一定要建立在客觀事實的基礎(chǔ)上，不能憑空編造.

2.3 利用角速度大小和軌道半徑長度求解其他物理量

3 解法應(yīng)用

3.1 解非等質(zhì)量雙星問題

【例2】如圖4所示，“食雙星”是指在相互引力作用下繞連線上O點做勻速圓周運動，彼此掩食(像太陽遮住月亮)而造成亮度發(fā)生周期性變化的兩顆恒星.在地球上通過望遠鏡觀察這種雙星，視線與雙星軌道共面.觀測發(fā)現(xiàn)每隔時間T兩顆恒星與望遠鏡共線一次，已知兩顆恒星A、B間距為d，引力場常量為G，試推算出兩顆恒星的總質(zhì)量.

圖4 “食雙星”示意圖

解析：以星體B為參考系時，星體A做角速度大小為ω的勻速圓周運動.星體B是平動非慣性系，此時對星體A進行受力分析需考慮慣性力，其中星體A的慣性加速度與星體B的加速度等大反向，因此可得

所以

由題意可知該雙星系統(tǒng)一個周期內(nèi)與望遠鏡共線2次，且

所以

3.2 解非等質(zhì)量三星問題

【例3】如圖5所示，由3顆星體構(gòu)成的系統(tǒng)，忽略其他星體對它們的作用，其中有一種運動形式：3顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的3個頂點上，繞某一共同的圓心O在三角形所在平面內(nèi)做相同角速度的圓周運動.若星體A質(zhì)量為2m，星體B、C質(zhì)量均為m，三角形邊長為a，求：(1)星體A所受合力大小FA；(2)星體B所受合力FB；(3)星體C的軌道半徑RC；(4)三星體做圓周運動的周期T.

圖5 呈等邊三角形分布的三星系統(tǒng)

解析：以星體C為參考系時，星體B做角速度大小為ω的勻速圓周運動.星體C是平動非慣性系，此時對星體B進行受力分析需考慮慣性力，其中星體B的慣性加速度與星體C的加速度aC等大反向，而星體C的加速度aC由星體A和星體B對它的引力提供，可得

FB′=FABcos 60°+FCB+mBaCx=mBω2a

所以

圖6 利用直角坐標系求質(zhì)心O的坐標

根據(jù)角速度大小和各星體軌道半徑長度可得

4 總結(jié)

對于非等質(zhì)量多星問題，本文運用變化參考系的方法提供了一種解題思路：

(1)選取其中一星體為參考系時，星體的角速度大小不變，在非慣性系下對另一星體受力分析可直接求得角速度大??；

(2)多星系統(tǒng)的質(zhì)心位置即旋轉(zhuǎn)圓心位置，因而求質(zhì)心位置后可通過勾股定理得到各星體軌道半徑長度.

求得角速度大小和各星體軌道半徑長度，可使其他物理量的計算變得簡單.巧設(shè)參考系解非等質(zhì)量多星問題邏輯清晰，化繁為簡，為此類問題的解決拓展思路.