勻強(qiáng)電場(chǎng)中電勢(shì)差與場(chǎng)強(qiáng)關(guān)系的深度應(yīng)用

翟佑彬

(重慶市第一中學(xué)校 重慶 400030 )

在高中階段，勻強(qiáng)電場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)(差)的關(guān)系主要總結(jié)為3條結(jié)論：

(1)在電場(chǎng)強(qiáng)度(電場(chǎng)線)方向，電勢(shì)逐點(diǎn)降低，任意兩點(diǎn)間的電勢(shì)差等于電場(chǎng)強(qiáng)度和兩點(diǎn)在這個(gè)方向上距離的乘積，即U=Ed.

(2)在垂直于電場(chǎng)強(qiáng)度(電場(chǎng)線)方向，電勢(shì)逐點(diǎn)相等，構(gòu)成垂直于電場(chǎng)強(qiáng)度(電場(chǎng)線)的等勢(shì)面.

(3)在任意一條(或多條互相平行)直線上，兩點(diǎn)之間的電勢(shì)差和兩點(diǎn)間的距離成正比.

基于這3條結(jié)論，高考中多次出現(xiàn)根據(jù)勻強(qiáng)電場(chǎng)中特定幾個(gè)點(diǎn)的電勢(shì)求解空間電場(chǎng)強(qiáng)度的題目，這里僅舉一例.

【例1】(2012年高考安徽卷第18題)如圖1所示[1]，在平面直角坐標(biāo)系中，有方向平行于坐標(biāo)平面的勻強(qiáng)電場(chǎng)，其中坐標(biāo)原點(diǎn)O處的電勢(shì)為零，點(diǎn)A處的電勢(shì)為6 V，點(diǎn)B處的電勢(shì)為3 V，則電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為( )

圖1 2012年高考安徽卷第18題題圖

分析與解答：由結(jié)論(3)，OA的中點(diǎn)C處電勢(shì)為3 V；再由結(jié)論(2)，BC連線為等勢(shì)線，與電場(chǎng)線垂直；如圖2所示，過(guò)O點(diǎn)作OD垂直BC于D，電場(chǎng)線沿DO方向，由結(jié)論(1)有

圖2 作電場(chǎng)線

(1)

其中UDO=3 V，DO=1.5 cm，代入有E=200 V/m.選項(xiàng)A正確.

類似題目多次出現(xiàn)，逐漸形成了這類題目求解的固定模式：先利用結(jié)論(3)找等勢(shì)點(diǎn)，作等勢(shì)線，由結(jié)論(2)作電場(chǎng)線，通過(guò)幾何關(guān)系求解距離，利用結(jié)論(1)求解電場(chǎng)強(qiáng)度.而這種模式存在重要局限：一是數(shù)據(jù)不特殊可能會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算難度增加；二是由二維平面問(wèn)題擴(kuò)展到三維立體問(wèn)題后幾何關(guān)系難度會(huì)大大增加.

事實(shí)上，靜電場(chǎng)中某處的電場(chǎng)強(qiáng)度等于該處電勢(shì)梯度的負(fù)值[2]，即

(2)

其中i,j,k分別為x、y、z方向的單位向量.在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，式(2)可寫為

(3)

在高中階段，可以作如下推導(dǎo)：在電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，沿任意直線(與場(chǎng)強(qiáng)方向夾角為θ，如圖3)取A、B兩點(diǎn)，有

圖3 電場(chǎng)強(qiáng)度示意圖

(4)

即可寫成勻強(qiáng)電場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)(差)關(guān)系的第4條結(jié)論：

(4)任意兩點(diǎn)間電勢(shì)差和這兩點(diǎn)距離的比值等于電場(chǎng)強(qiáng)度在這兩點(diǎn)連線上的分量.

由此求出3個(gè)互相垂直方向上電場(chǎng)強(qiáng)度的分量，即可矢量合成得到總的電場(chǎng)強(qiáng)度.對(duì)于例1，用結(jié)論(4)求解過(guò)程為

(5)

(6)

(7)

這個(gè)求解過(guò)程避開了幾何關(guān)系的計(jì)算，就算不是特殊的幾何關(guān)系，計(jì)算難度也不會(huì)太大.

如果把問(wèn)題擴(kuò)展到三維立體空間，優(yōu)勢(shì)就更明顯了.

【例2】在一勻強(qiáng)電場(chǎng)空間中有一邊長(zhǎng)為1 cm的絕緣立方體框架，如圖4所示，已知其中A1、B1、D1和D24個(gè)點(diǎn)的電勢(shì)分別為0、2 V、4 V、8 V，求電場(chǎng)強(qiáng)度的大小.

圖4 例2題圖

分析與解：對(duì)于這個(gè)立體問(wèn)題，不太方便通過(guò)等勢(shì)點(diǎn)作等勢(shì)面和電場(chǎng)線.圖中很容易找到3個(gè)互相垂直的方向，可以利用結(jié)論(4)求解.

由結(jié)論(3)知φD2-φD1=φA2-φA1，可得φA2=4 V.以A1為原點(diǎn)建立如圖5所示坐標(biāo)系，由結(jié)論(4)有

圖5 以A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系

(8)

(9)

(10)

(11)

由此題，可以明顯看到結(jié)論(4)在空間問(wèn)題上的優(yōu)越性.如果將題目中的垂直關(guān)系進(jìn)行不同程度的隱藏，可構(gòu)造不同難度的考題.

【例3】(重慶一中考題)如圖6所示，在一勻強(qiáng)電場(chǎng)中作一棱長(zhǎng)為1 cm的正四面體ABCD，已知4個(gè)頂點(diǎn)的電勢(shì)分別為1 V、1 V、2 V和3 V，則該勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為( )

圖6 例3題圖

分析與解：注意到A、B兩點(diǎn)電勢(shì)相等，故AB連線為一條等勢(shì)線，電場(chǎng)強(qiáng)度一定垂直于AB.如圖7(a)所示，取AB邊中點(diǎn)P，連接PD、PC，因AB垂直于PDC平面，則電場(chǎng)強(qiáng)度一定平行PDC平面.取CD邊中點(diǎn)Q，連接PQ，顯然PQ垂直于CD，在PDC平面內(nèi)以Q為原點(diǎn)建立如圖7(b)所示坐標(biāo)系.

(a)

由結(jié)論(3)，易得

φP=1 VφQ=2.5 V

(12)

由幾何關(guān)系，易得

(13)

由結(jié)論(4)，有

(14)

(15)

(16)

在非勻強(qiáng)電場(chǎng)中，結(jié)論(4)中兩點(diǎn)的距離需要趨于零，即兩點(diǎn)間電勢(shì)差和這兩點(diǎn)距離比值在距離趨于零時(shí)的極限等于電場(chǎng)強(qiáng)度在這兩點(diǎn)連線上的分量.在電勢(shì)-位移圖像(φ-x圖像)中表現(xiàn)為圖像在某點(diǎn)斜率的負(fù)值等于該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度在該位移(x軸)方向的分量.

若某電場(chǎng)中電勢(shì)隨坐標(biāo)x的關(guān)系如圖8所示，則從零到x1，斜率為正，Ex為負(fù)，即指向x軸負(fù)方向，逐漸減小；在x1處，Ex= 0；從x1到無(wú)限遠(yuǎn)處，斜率為負(fù)，Ex為正，即指向x軸正方向，先增大后減小.要特別注意的是，這只能描述電場(chǎng)強(qiáng)度在x軸的分量，在垂直于x軸方向的情況此圖不能體現(xiàn)，即不能得到x1處場(chǎng)強(qiáng)為零的結(jié)論，也不能表明從零到x1場(chǎng)強(qiáng)逐漸減小.

圖8 φ-x圖像