基于GeoGebra軟件對“磁聚焦”模型的可視化研究

蔡丁澄，宋善炎

湖南師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，長沙 410081

“磁聚焦”模型是高中物理教學(xué)中一個(gè)重要的二級結(jié)論，也是物理高考的熱點(diǎn)問題。在日常教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生難以建構(gòu)不同條件下帶電粒子在磁場中運(yùn)動的模型。為了讓物理模型更加直觀、形象，讓物理教學(xué)更加生動、全面，教師可以借助動態(tài)數(shù)學(xué)軟件GeoGebra提供的可視化技術(shù)進(jìn)行輔助教學(xué)［1］，幫助學(xué)生建構(gòu)抽象模型。

1 GeoGebra軟件

GeoGebra是一款集幾何、代數(shù)和微積分為一體的免費(fèi)數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，它可以從GeoGebra官方網(wǎng)站下載，可以脫機(jī)使用。GeoGebra具有幾何畫板的所有功能、Flash的部分功能以及Excel的常用功能。使用者不需要編程也能進(jìn)行數(shù)值模擬，相比于其他教學(xué)軟件，GeoGebra更加容易上手使用。抽象化是學(xué)生對物理知識的認(rèn)知常態(tài)，利用GeoGebra軟件將抽象的物理知識直觀地展示出來，使物理知識圖像化、具體化，從而有效降低學(xué)生的思維難度。因此，GeoGebra軟件是一款非常適合物理可視化教學(xué)的輔助工具。

2 “磁聚焦”模型的可視化教學(xué)

2.1 “磁聚焦”模型

電荷量相等的帶電粒子以大小相等的速度平行射入勻強(qiáng)圓形磁場，當(dāng)帶電粒子運(yùn)動的軌跡圓半徑r與磁場圓半徑R相等時(shí)，所有的帶電粒子將匯聚在磁場圓的最低點(diǎn)上，此現(xiàn)象稱為“磁聚焦”，如圖1（a）所示。反之，同種帶電粒子束以相同的速度射入磁場邊界的最低點(diǎn)且R=r時(shí)，帶電粒子束經(jīng)過磁場區(qū)域的偏轉(zhuǎn)后沿相同方向平行射出，這種現(xiàn)象稱為“磁發(fā)散”，如圖1（b）所示［2］。

圖1 “磁聚焦”和“磁發(fā)散”

2.2 原題呈現(xiàn)

2021年湖南省高考物理第13題是一道典型的“磁聚焦”模型的題目，難度較大。以該題的教學(xué)為例，介紹如何利用GeoGebra軟件進(jìn)行“磁聚焦”模型的可視化教學(xué)。

例題（2021年湖南省高考物理第13題）帶電粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制備的關(guān)鍵技術(shù)之一，帶電粒子流（每個(gè)粒子的質(zhì)量為m、電荷量為+q）以初速度v垂直進(jìn)入磁場，不計(jì)重力及帶電粒子之間的相互作用。對處在xOy平面內(nèi)的粒子，求解以下問題。

（1）如圖2（a），寬度為2r1的帶電粒子流沿x軸正方向射入圓心為A（0，r1）、半徑為r1的圓形勻強(qiáng)磁場中，若帶電粒子流經(jīng)過磁場后都匯聚到坐標(biāo)原點(diǎn)O，求該磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度B1的大小。

（2）如圖2（a），虛線框?yàn)檫呴L等于2r2的正方形，其幾何中心位于C（0，-r2）。在虛線框內(nèi)設(shè)計(jì)一個(gè)區(qū)域面積最小的勻強(qiáng)磁場，使匯聚到O點(diǎn)的帶電粒子流經(jīng)過該區(qū)域后寬度變?yōu)?r2，并沿x軸正方向射出。求該磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度B2的大小和方向，以及該磁場區(qū)域的面積（無需寫出面積最小的證明過程）。

（3）如圖2（b），虛線框Ⅰ和Ⅱ均為邊長等于r3的正方形，虛線框Ⅲ和Ⅳ均為邊長等于r4的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分別設(shè)計(jì)一個(gè)區(qū)域面積最小的勻強(qiáng)磁場，使寬度為2r3的帶電粒子流沿x軸正方向射入Ⅰ和Ⅱ后匯聚到坐標(biāo)原點(diǎn)O，再經(jīng)過Ⅲ和Ⅳ后寬度變?yōu)?r4，并沿x軸正方向射出，從而實(shí)現(xiàn)帶電粒子流的同軸控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中勻強(qiáng)磁場區(qū)域的面積（無需寫出面積最小的證明過程）。

圖2 2021年湖南省高考物理第13題原圖

2.3 具體示例

此考題以磁聚焦和磁控束是薄膜材料制備的關(guān)鍵技術(shù)為背景，考查的是磁場中的軌道半徑恰好等于磁場圓的半徑時(shí)的磁聚焦的問題、最小圓域磁聚焦問題以及平面磁場蝶形磁聚焦問題［3］。問題（1）中，帶電粒子沿x軸正方向射入圓形磁場，要求帶電粒子經(jīng)過圓形磁場匯聚到O點(diǎn)，滿足磁聚焦的條件。只有帶電粒子的軌跡圓半徑r等于磁場圓半徑r1時(shí)，帶電粒子才能在O點(diǎn)匯聚。由粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)洛倫茲力提供向心力，可列出關(guān)系式：

下面，利用GeoGebra軟件繪制“磁聚焦”模型來求解問題（1）。

第一步，建立題干的背景模型。設(shè)置r，r1，α，v的滑動條，α是入射點(diǎn)P和O（0，0）的連線與x軸正方向的夾角。再使用菜單欄的作圖工具在繪圖區(qū)繪制出圓心位于A（0，r1）、半徑為r1的圓形磁場區(qū)域，磁感線方向垂直紙面向外。描點(diǎn)P（r1sin2α，r1-r1cos2α），Q（r1sin2α-v，r1-r1cos2α），P 為入射點(diǎn)。向量為入射速度，如圖3（a）所示。改變α，模擬帶電粒子從y軸左側(cè)的磁場圓邊界平行射入磁場，如圖3（b）所示。

第二步，繪制帶電粒子在磁場區(qū)域運(yùn)動軌跡，如圖3（c）所示。描點(diǎn)O'（r1sin2α，r1-r1cos2α-r），作以O(shè)'為圓心、半徑為r的帶電粒子軌跡圓，點(diǎn)C為軌跡圓與磁場圓的交點(diǎn)（由于O'和C點(diǎn)是動點(diǎn)，未在圖中標(biāo)記）。多次改變r(jià)和r1的大小，發(fā)現(xiàn)只有當(dāng)r=r1時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)O重合，帶電粒子才能從O點(diǎn)射出。

第三步，模擬“磁聚焦”模型。改變滑動條α，使帶電粒子流在磁場圓O點(diǎn)匯聚并射出，如圖3（d）所示。

圖3 利用GeoGebra軟件繪制問題（1）中的模型

問題（2）要求粒子從O點(diǎn)進(jìn)入下方虛線區(qū)域后飛出磁場且速度方向與x軸平行，這樣的現(xiàn)象為磁發(fā)散過程，即粒子在下方圓形磁場運(yùn)動的軌跡半徑r等于磁場半徑r2。同問題（1），可得B2=，粒子平行于x軸正方向飛出。根據(jù)左手定則，磁場方向?yàn)榇怪奔埫嫦蚶铩?/p>

如果帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動的軌跡半徑r、磁感應(yīng)強(qiáng)度B2、速度v、質(zhì)量m、電荷量+q的大小已知，那么能實(shí)現(xiàn)“磁聚焦”的勻強(qiáng)磁場最小面積為多大呢？可以通過數(shù)學(xué)方法，設(shè)入射速度與x軸正方向的夾角為θ（0≤θ≤π），帶電粒子軌跡圓圓心為O'（i，j），射出磁場的位置點(diǎn)為Q（x，y）。則可列出關(guān)系式：

x=rsinθ；y=rcosθ-r；i=rsinθ；j=rcosθ

解方程，得：

i2+j2=r2；x2+（y+r）2=r2（0≤x≤r，-r≤y≤0）

可知，帶電粒子軌跡圓的圓心位于以（0，0）為圓心、半徑為r的圓周上。射出點(diǎn)位于以（0，-r）為圓心、r為半徑、y軸右側(cè)的圓周上。因此，利用微元思想求解，帶電粒子在磁場中運(yùn)動的速度方向變化角從θ變化到θ+dθ時(shí)，對應(yīng)的運(yùn)動軌跡包圍的面積為dS，得：

以上是用數(shù)學(xué)方法解答“磁聚焦”的勻強(qiáng)磁場最小面積的教學(xué)過程，但學(xué)生理解起來有一定難度。而利用GeoGebra軟件演示粒子的運(yùn)動過程，可以展示出學(xué)生不易想象的物理圖景，引導(dǎo)學(xué)生的思考過程，化“難”為“易”，學(xué)生的解題思路將會豁然開朗。

第一步，建立題干的背景模型。設(shè)置r2的滑動條。再使用菜單欄的作圖工具在繪圖區(qū)中繪制出幾何中心位于C（0，-r2）、邊長為2r2的正方形虛線框以及帶電粒子的入射點(diǎn)O（0，0），如圖4（a）所示。

第二步，繪制入射速度。設(shè)置v，θ的滑動條，v是速度的大小，θ是速度方向與x軸正方向的夾角。描點(diǎn)P（vcosθ，-vsinθ），使用向量工具，繪制向量為入射速度，如圖4（b）所示。

第三步，繪制射出速度。設(shè)置x，y的滑動條。描點(diǎn)Q'（r2sinθ，r2cosθ-r2），R（r2sinθ+v，r2cosθ-r2），使用向量工具，繪制向量為射出速度，如圖4（c）所示。

第四步，模擬射出點(diǎn)變化軌跡。通過改變θ滑動條，可以清楚地演示帶電粒子射出點(diǎn)的軌跡變化，如圖4（d）所示。

第五步，繪制帶電粒子在磁場區(qū)域的運(yùn)動軌跡。描點(diǎn)O'（r2sinθ，r2cosθ），O'為帶電粒子軌跡圓圓心。以O(shè)'為圓心、半徑為r2作圓。利用圓弧工具，繪制帶電粒子在磁場區(qū)域運(yùn)動軌跡，如圖4（e）所示。

第六步，模擬帶電粒子在磁場區(qū)域的變化軌跡。通過改變θ滑動條，可以清楚地演示帶電粒子在磁場區(qū)域的運(yùn)動軌跡是以C（0，-r2）為圓心、半徑為r2的圓，如圖4（f）所示。這也是實(shí)現(xiàn)“磁聚焦”的最小勻強(qiáng)磁場區(qū)域，其面積大小為

圖4 利用GeoGebra軟件繪制問題(2)中的模型

通過代數(shù)及指令輸入，可以精確繪制模型，使用滑動條實(shí)現(xiàn)圖形的動態(tài)變化，從而演示可實(shí)現(xiàn)“磁聚焦”的最小勻強(qiáng)磁場區(qū)域。

問題（3）與問題（2）的求解方法類似。根據(jù)左手定則，可以判斷出Ⅰ和Ⅲ區(qū)域的磁場方向。由洛倫茲力提供向心力可以列出等式，從而求得Ⅰ區(qū)域和Ⅲ區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小。分析可知，一部分帶電粒子從Ⅰ區(qū)域入射，經(jīng)過磁場區(qū)域的偏轉(zhuǎn)后在O點(diǎn)匯聚，再從O點(diǎn)射入到Ⅳ區(qū)域進(jìn)行偏轉(zhuǎn)運(yùn)動，最后平行于x軸正半軸射出。另一部分帶電粒子是從Ⅱ區(qū)域入射經(jīng)過磁場區(qū)域的偏轉(zhuǎn)后在O點(diǎn)匯聚，再射入到Ⅲ區(qū)域進(jìn)行偏轉(zhuǎn)運(yùn)動后平行于x軸正半軸射出。

下面以Ⅰ和Ⅳ區(qū)域?yàn)槔肎eoGebra軟件演示帶電粒子的運(yùn)動軌跡，并模擬出Ⅰ和Ⅳ區(qū)域的最小磁場區(qū)域。與問題（2）的繪制步驟相似。首先，選擇合適的工具繪制出四個(gè)區(qū)域，再設(shè)置β滑動條，β為粒子射出Ⅰ區(qū)域時(shí)速度與x軸正半軸的夾角。然后，根據(jù)入射點(diǎn)與射出點(diǎn)（匯聚點(diǎn)）的幾何關(guān)系，繪制出入射點(diǎn)位置和入射速度。再根據(jù)入射點(diǎn)與軌跡圓圓心的幾何關(guān)系，找出軌跡圓的圓心O'，作出軌跡圓。最后，利用圓弧工具，作出帶電粒子在磁場區(qū)域的運(yùn)動軌跡。改變β滑動條，帶電粒子束在磁場區(qū)域運(yùn)動軌跡所覆蓋的區(qū)域就是最小的磁場面積（圖5），其值為同理，Ⅱ和Ⅳ區(qū)域的最小磁場區(qū)域像兩片“綠葉”［4］，其面積分別為

圖5 兩片“綠葉”：最小磁場區(qū)域

3 結(jié)語

借助GeoGebra軟件的多功能幾何繪圖工具進(jìn)行可視化教學(xué)，可以將較難的抽象思維模型直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中充分理解“磁聚焦”這個(gè)二級結(jié)論。這種融合信息技術(shù)的物理教學(xué)過程，不僅能有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，而且能有效培養(yǎng)學(xué)生的模型建構(gòu)能力，提升學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，值得應(yīng)用和推廣。