馮康 中國現(xiàn)代計算數(shù)學(xué)的開拓者

馮康（1920 年9 月—1993 年8 月），數(shù)學(xué)家，中國科學(xué)院院士。中國現(xiàn)代計算數(shù)學(xué)和科學(xué)工程計算學(xué)科的領(lǐng)路人和開拓者。長期致力于拓?fù)淙?、廣義函數(shù)理論、應(yīng)用數(shù)學(xué)、計算數(shù)學(xué)等方面的研究，獨(dú)立于西方創(chuàng)造了求解偏微分方程的有限元法。在以哈密頓方程和波動方程為主的動態(tài)問題研究中創(chuàng)造了“哈密頓系統(tǒng)的辛幾何算法”，開辟了辛幾何和辛格式研究新領(lǐng)域。1982 年獲國家自然科學(xué)獎二等獎，1990 年獲中國科學(xué)院自然科學(xué)獎一等獎，1997 年獲國家自然科學(xué)獎一等獎。

在數(shù)學(xué)界有這樣一塊沉默而閃光的基石，他是我國核武器事業(yè)發(fā)展的幕后英雄，也是破解我國首座百萬千瓦級水電站水庫大壩應(yīng)力分析計算難題的關(guān)鍵人物。他獨(dú)立于西方創(chuàng)立了有限元法，是自然邊界歸化理論和辛幾何算法的創(chuàng)始人。菲爾茲獎得主、中國科學(xué)院外籍院士丘成桐教授曾贊譽(yù)馮康在有限元計算方面的工作是中國近代數(shù)學(xué)能夠超越西方或與之并駕齊驅(qū)的3 個主要原因之一。他撒播了中國現(xiàn)代計算數(shù)學(xué)和科學(xué)工程計算學(xué)科的火種，他為中國乃至世界數(shù)學(xué)史上留下了燦然一筆，他的光芒也將持續(xù)引領(lǐng)著無數(shù)的科學(xué)計算工作者。

獨(dú)立于西方創(chuàng)立有限元法

馮康早年畢業(yè)于中央大學(xué)物理系，20 世紀(jì)50 年代初曾到蘇聯(lián)研修，1953 年回國后在中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究，發(fā)表了諸多關(guān)于拓?fù)淙汉蛷V義函數(shù)論方面的優(yōu)秀論文。20 世紀(jì)50 年代，伴隨著計算機(jī)的逐步發(fā)展，中國于1956 年制定了《1956—1967 年科學(xué)技術(shù)發(fā)展遠(yuǎn)景規(guī)劃》，規(guī)劃中將計算機(jī)列為重點(diǎn)項(xiàng)目之一，隨后中國科學(xué)院計算技術(shù)研究所成立。馮康最初在中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所參與相關(guān)研究工作，鑒于他在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)方面有很高的造詣，同時精通經(jīng)典物理學(xué)，通曉工程技術(shù)，因此次年馮康遵照華羅庚先生的建議，毅然受命調(diào)到中國科學(xué)院計算技術(shù)研究所三室負(fù)責(zé)計算數(shù)學(xué)與科學(xué)工程計算的研究工作。憑借著杰出的學(xué)術(shù)水平和嚴(yán)謹(jǐn)鉆研的精神，馮康很快就成為研究所的核心成員，在馮康的指導(dǎo)下，中國科學(xué)院計算技術(shù)研究所三室?guī)椭鷩?、國民?jīng)濟(jì)各部門完成了大量的實(shí)際計算任務(wù)，為國家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展做出了突出貢獻(xiàn)。其中馮康的一項(xiàng)歷史性貢獻(xiàn)就是獨(dú)立于西方創(chuàng)立了有限元方法，并先于西方建立了其嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)，這是中國近代數(shù)學(xué)趕超西方國家的一項(xiàng)重要標(biāo)志。

1958 年，中國首座百萬千瓦級水電站——劉家峽水電站開工，正是這項(xiàng)國家攻關(guān)任務(wù)為有限元法的創(chuàng)立提供了土壤。水電站開工以后并不是一帆風(fēng)順，這項(xiàng)重大的工程項(xiàng)目曾因?yàn)橐恍┘夹g(shù)難題陷入過停工局面。1963 年的春天，劉家峽大壩設(shè)計組副組長朱昭鈞工程師風(fēng)塵仆仆地來到中國科學(xué)院計算技術(shù)研究所，向研究人員闡述了關(guān)于劉家峽大壩現(xiàn)階段的問題，希望他們能夠幫助遠(yuǎn)在甘肅的劉家峽大壩順利開工。馮康和三室其他研究人員耐心聽取介紹后，了解到主要是大壩的應(yīng)力計算這一部分難以解決。當(dāng)時研究人員進(jìn)行水壩應(yīng)力分析借助的是十三點(diǎn)差分格式的應(yīng)力函數(shù)計算程序，由于在該程序中全部采用的是正方形網(wǎng)格，而實(shí)際上水壩的邊界是不可能與網(wǎng)格線重合的，因此計算結(jié)果并不理想。同時，由于劉家峽水電站是當(dāng)時首座大型水電站，因此以往的水電站建設(shè)經(jīng)驗(yàn)難以運(yùn)用到此處。

面對這樣一個具體的實(shí)際問題，三室的研究人員采用了諸多計算方法，進(jìn)展卻一度緩慢。按常規(guī)方法處理數(shù)學(xué)物理問題離散計算方法分為4步：第一明確物理機(jī)制；第二寫出數(shù)學(xué)表述；第三采用離散模型；第四設(shè)計算法。然而，馮康以敏銳的眼光意識到傳統(tǒng)的方法難以處理幾何與材料的復(fù)雜性，因此，他考慮是否可以越出常規(guī)，從物理上的守恒定律或者變分原理出發(fā)，直接和恰當(dāng)?shù)碾x散模型結(jié)合起來。他同時結(jié)合電子計算機(jī)的特點(diǎn)，通過把變分原理與剖分逼近有機(jī)結(jié)合，把傳統(tǒng)上對立而各具優(yōu)點(diǎn)的差分法與能量法辯證統(tǒng)一，于1964 年獨(dú)立于西方創(chuàng)立了一套現(xiàn)代化和系統(tǒng)化的求解微分方程的近似方法，即有限元方法，形成了標(biāo)準(zhǔn)的算法形態(tài)，編制了通用的計算程序。馮康提出的用變分原理進(jìn)行差分計算的思想為解決劉家峽水壩的應(yīng)力分析問題提供了決定性的啟示和指導(dǎo)。在馮康的籌劃部署下，三室的研究人員利用積分守恒格式計算出一組水壩的新結(jié)果。經(jīng)過研究人員耐心細(xì)致的應(yīng)力校核后，結(jié)果顯示不僅邊界節(jié)點(diǎn)附近的應(yīng)力達(dá)到了基本平衡的效果，同時在壩體內(nèi)部任意局部區(qū)域上的應(yīng)力同樣達(dá)到了平衡！這一結(jié)果得到了劉家峽水壩工程設(shè)計組的滿意答復(fù)，水壩建設(shè)才得以繼續(xù)進(jìn)行。1964 年的勞動節(jié)，在馮康的指揮下，經(jīng)過廢寢忘食的攻關(guān)，劉家峽水壩計算的系統(tǒng)應(yīng)用研究——“有限元”第一交響曲“實(shí)踐”大獲成功。次年，馮康撰寫的論文《基于變分原理的差分格式》在《應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算數(shù)學(xué)》上發(fā)表，這篇論文的問世是我國學(xué)者獨(dú)立于西方創(chuàng)始有限元方法的標(biāo)志。馮康在極其廣泛的條件下證明了方法的收斂性和穩(wěn)定性，提供了誤差估計，先于西方建立了有限元方法嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，為其實(shí)際應(yīng)用提供了可靠的理論保證。

有限元方法的創(chuàng)立使得人們從一個全新的角度看待和分析微分方程的數(shù)值解法和理論，不僅為中國乃至世界數(shù)學(xué)發(fā)展史上留下重要一筆，而且極有力地促進(jìn)了數(shù)學(xué)、工程科學(xué)、力學(xué)和計算機(jī)科學(xué)之間的交流滲透。如今國內(nèi)外諸多學(xué)者對于馮康所創(chuàng)立的有限元方法給予了極高的贊譽(yù)和充分的肯定。

開拓邊界歸化理論新流派

馮康并沒有沉醉于有限元法的大獲成功，而是不斷從實(shí)際出發(fā)拓展新的研究領(lǐng)域。他注意到實(shí)際的計算問題中往往涉及的是無界區(qū)域計算，有限元法在解決此類問題時會遇到根本性質(zhì)的阻礙。同時，有限元法應(yīng)用的顯著成效使得馮康意識到合理地選取變分的數(shù)學(xué)型式是至關(guān)重要的。因此，馮康深刻地了解到要想掀開無界區(qū)域計算的這一塊面紗，就必須開發(fā)出全新的和更合適的數(shù)學(xué)型式并發(fā)展與此對應(yīng)的數(shù)值計算方法。在20 世紀(jì)70 年代后期至80 年代初期，他逐漸探索邊界歸化和邊界元方法這一先進(jìn)領(lǐng)域。

邊界元法的胚芽早在19 世紀(jì)時已經(jīng)萌發(fā)，當(dāng)時部分學(xué)者探討了關(guān)于微分方程邊值問題做邊界歸化的可能性，但限于當(dāng)時的技術(shù)條件，直到20 世紀(jì)60年代才開始應(yīng)用于數(shù)值計算中。馮康密切注視著這一前沿領(lǐng)域。當(dāng)時國際上邊界元法理論有直接法和間接法兩大流派，但他并沒有跟隨國外步伐，而是根據(jù)微分方程邊值問題的物理本質(zhì)和數(shù)學(xué)特性，指出唯有通過正則邊界歸化，才能保持能量不變，從而保持問題的本質(zhì)不變。因此，馮康提出了正則邊界歸化的思想，開創(chuàng)了國際上邊界元研究的新流派，后來他又將其改為現(xiàn)在人們所熟知的自然邊界歸化?；谶@一思想，他和他的學(xué)生余德浩系統(tǒng)地發(fā)展了自然邊界元方法。這一方法不僅具備所有邊界元方法共有的將問題降維處理的優(yōu)點(diǎn)，同時還能保持原邊值問題的許多基本性質(zhì)，能與經(jīng)典有限元自然而直接地耦合，特別適用于處理無界區(qū)域問題。

這些創(chuàng)造性的工作開辟了邊界元研究的新領(lǐng)域，引起了各國同行的熱烈討論和密切關(guān)注，并已激發(fā)了學(xué)者們的后續(xù)研究。這一方法能夠靈活適應(yīng)于大型復(fù)雜問題，是當(dāng)前與并行計算相關(guān)而興起的區(qū)域分解算法的先驅(qū)工作。

突破哈密頓體系的辛幾何算法

馮康的創(chuàng)新成就得益于他總是從工程實(shí)際和物理原理出發(fā)，不斷瞄準(zhǔn)國家需求，站在學(xué)科前沿提出有廣泛物理、工程背景的新課題，創(chuàng)建有堅實(shí)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)的新方法。哈密頓系統(tǒng)的辛幾何算法就是源于馮康在實(shí)踐中注意到系統(tǒng)動力學(xué)問題的計算。馮康注意到當(dāng)代科學(xué)計算的主要課題是數(shù)值求解各種數(shù)學(xué)物理方程。在數(shù)理方程的譜系中，列于首位的是經(jīng)典的力學(xué)方程。這類方程有3 種等價的數(shù)學(xué)形式體系，即牛頓、拉格朗日及哈密頓體系。馮康查閱浩繁的文獻(xiàn)后發(fā)現(xiàn)幾乎所有介紹微分方程數(shù)值求解的計算方法都是基于牛頓體系或拉格朗日體系，然而還未有人去觸碰哈密頓體系計算方法這顆星星。馮康又萌生了一個想法：為何不基于哈密頓體系發(fā)展新的研究算法呢？畢竟哈密頓體系一直是物理學(xué)理論研究的出發(fā)點(diǎn)，它的應(yīng)用涉及物理、力學(xué)和工程的眾多領(lǐng)域。隨后，馮康在鉆研大量中外資料后更加肯定哈密頓體系是解決動態(tài)問題最合適的力學(xué)體系。從此他開始研究針對哈密頓體系的計算方法，借助深厚的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究學(xué)術(shù)能力和敏銳的直覺，馮康找到了哈密頓系統(tǒng)數(shù)值方法的切入點(diǎn)——辛幾何算法。1983 年國外才出現(xiàn)了第一篇對特定哈密頓方程構(gòu)造差分格式的論文，馮康則于1984 年在國際微分幾何與微分方程北京討論會上做了題為《差分格式與辛幾何》的大會報告，哈密頓體系的辛幾何算法首次被正式宣告于世界。馮康所創(chuàng)建的辛幾何算法不僅能夠克服傳統(tǒng)算法造成人為耗散性等歪曲體系特征的缺陷，而且在守恒性、對稱性和空間結(jié)構(gòu)方面更進(jìn)一步，提升了穩(wěn)定性與長期跟蹤能力?；陔S后嚴(yán)謹(jǐn)深入的理論和大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，證明辛幾何算法確實(shí)為解決牛頓運(yùn)動方程提供了正確思路，解決了長期困擾科學(xué)家的動力學(xué)長期預(yù)測計算問題。辛幾何算法的出現(xiàn)翻開了科學(xué)和工程領(lǐng)域計算的新篇章，如果沒有它，高能加速器設(shè)計、石油和天然氣勘探、分子動力學(xué)模擬、數(shù)值天氣預(yù)報等領(lǐng)域都將滯后于現(xiàn)在的發(fā)展步伐。

馮康和他的研究團(tuán)隊(duì)不斷發(fā)展這一充滿活力的前沿研究領(lǐng)域，在10 年間提出和完善了基于辛幾何的哈密頓算法，進(jìn)一步將其總結(jié)歸納為系統(tǒng)的理論框架；提出了產(chǎn)生任意階精度辛差分格式的構(gòu)造性方法；提出了保持動力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的算法，包括保哈密頓體系結(jié)構(gòu)的辛幾何算法、切觸系統(tǒng)的切觸算法、量子系統(tǒng)的酉算法，實(shí)現(xiàn)了動力系統(tǒng)算法的幾何化等。馮康為國家和社會交付了一張張創(chuàng)新的答卷。

馮康所做出的開創(chuàng)性工作撥開了中國現(xiàn)代計算數(shù)學(xué)的迷霧，用自己的一生為中國數(shù)學(xué)史增添了光輝。他還曾首先倡導(dǎo)在我國開展廣義函數(shù)理論、組合彈性結(jié)構(gòu)計算、孤立子等非線性問題計算的研究，以及數(shù)理方程反演問題的數(shù)值方法及其在地質(zhì)地震勘探中的應(yīng)用研究。馮康曾用無數(shù)個日日夜夜灌溉的科學(xué)計算事業(yè)的嫩芽正日漸蓬勃生長，他堅持從實(shí)踐出發(fā)的思想和努力鉆研的精神仍舊是一代代科學(xué)計算工作者的指路星光，激勵著他們積極投身于科學(xué)計算事業(yè)中。