一般灰數(shù)型面板數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)分析模型及應(yīng)用

吳鴻華, 劉思峰, 方志耕

(1. 南京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院, 江蘇 南京 211106; 2. 濟(jì)南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山東 濟(jì)南 250022)

0 引 言

灰色關(guān)聯(lián)分析是灰色系統(tǒng)理論的重要分支,用于根據(jù)各因素曲線幾何特征來確定各因素間的相關(guān)程度[1]。在現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中,由于環(huán)境、認(rèn)知等因素易造成收集的數(shù)據(jù)量小,具有“少數(shù)據(jù),貧信息”的特征[2],因此,灰色關(guān)聯(lián)分析模型已成功應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)管理[3]、醫(yī)療服務(wù)[4-6]、軟件評(píng)估[7-9]、雷達(dá)分析[10]等多個(gè)實(shí)際領(lǐng)域,并取得了一系列成果。

自鄧聚龍[11]提出鄧氏關(guān)聯(lián)分析模型以來,眾多學(xué)者圍繞灰色關(guān)聯(lián)公理以及模型的構(gòu)建進(jìn)行了深入研究并取得了一些有價(jià)值的成果。研究的視角從點(diǎn)關(guān)聯(lián)系數(shù),到全局性或者整體性關(guān)聯(lián)分析[2];從相似性視角,到接近性視角,再到綜合性視角的關(guān)聯(lián)分析模型[12]。近年來,研究的對(duì)象從一維序列拓展到面板數(shù)據(jù)。文獻(xiàn)[13]基于二重積分和絕對(duì)關(guān)聯(lián)分析模型首次構(gòu)建了面板數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)分析模型。文獻(xiàn)[14]提出了三維關(guān)聯(lián)分析模型,并將其應(yīng)用于動(dòng)態(tài)決策。文獻(xiàn)[15]基于面板數(shù)據(jù)的時(shí)空特征構(gòu)建了矩陣關(guān)聯(lián)分析模型。文獻(xiàn)[16]分別從時(shí)間維度和對(duì)象維度構(gòu)建了灰色B型關(guān)聯(lián)分析模型,并最終得到了三維灰色B型關(guān)聯(lián)度公式。文獻(xiàn)[17]考慮決策對(duì)象的截面信息和時(shí)間信息,定義了決策對(duì)象的發(fā)展?fàn)顟B(tài)矩陣和發(fā)展速度矩陣,并給出了各指標(biāo)之間的距離,以此構(gòu)建了灰色關(guān)聯(lián)分析模型。文獻(xiàn)[18]利用梯度描述面板數(shù)據(jù)的變化特征,提出了多元指標(biāo)的灰色梯度關(guān)聯(lián)分析模型。文獻(xiàn)[19]將面板數(shù)據(jù)投射為空間網(wǎng)格, 構(gòu)建了灰色相似性視角的關(guān)聯(lián)分析模型。文獻(xiàn)[20]描述了不同對(duì)象的時(shí)空特征,并構(gòu)建了時(shí)空關(guān)聯(lián)分析模型。文獻(xiàn)[21]利用向量投影得到不同指標(biāo)的關(guān)聯(lián)系數(shù),進(jìn)而得到面板數(shù)據(jù)的灰色投影關(guān)聯(lián)分析模型。文獻(xiàn)[22]利用n維空間向量表述面板數(shù)據(jù), 進(jìn)而構(gòu)建了相似性和接近性關(guān)聯(lián)分析模型。

為了描述面板數(shù)據(jù)的空間特征,將其投射為空間曲線,文獻(xiàn)[23]基于海塞矩陣及凹凸性構(gòu)建了面板數(shù)據(jù)的凸關(guān)聯(lián)分析模型。針對(duì)凹凸性描述空間曲線的不足,文獻(xiàn)[24]利用有向曲率測度空間曲線的彎曲程度,并提出了灰色曲率關(guān)聯(lián)分析模型。針對(duì)多指標(biāo)多屬性決策問題,文獻(xiàn)[25]引入動(dòng)態(tài)權(quán)函數(shù),建立了面板數(shù)據(jù)的動(dòng)態(tài)加權(quán)關(guān)聯(lián)分析模型。進(jìn)一步,文獻(xiàn)[26]從時(shí)間維度建立了動(dòng)態(tài)趨勢(shì)關(guān)聯(lián)分析模型。對(duì)于不同尺度的面板數(shù)據(jù),文獻(xiàn)[27]提出了不同尺度數(shù)據(jù)的多元灰色關(guān)聯(lián)模型。

上述研究在一定程度上豐富了面板數(shù)據(jù)灰色關(guān)聯(lián)分析理論,但仍存在以下不足:① 上述模型僅適用于實(shí)數(shù)型面板數(shù)據(jù),對(duì)于一般灰數(shù)型面板數(shù)據(jù)無法進(jìn)行分析。目前,由于一般灰數(shù)的運(yùn)算有待進(jìn)一步完善,利用一般灰數(shù)的運(yùn)算或者距離測度進(jìn)行相關(guān)性分析存在困難;② 現(xiàn)有的面板數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)分析模型易受指標(biāo)排列順序的影響[16],即改變指標(biāo)的排列順序后,關(guān)聯(lián)度的結(jié)果往往會(huì)隨之改變。

為此,本文給出了一般灰數(shù)型面板數(shù)據(jù)的空間投射方法,并給出了重心三角曲面關(guān)聯(lián)分析模型。首先,將樣本矩陣分解為行為子矩陣;其次,給出行為子矩陣元素的核及上下界,并給出了由行為子矩陣元素相鄰四點(diǎn)的上下界所確定的幾何體的重心,得到由核及重心確定的三角曲面;然后,基于以三角曲面為曲頂?shù)闹w體積構(gòu)建了一般灰數(shù)型面板數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)分析模型;最后,通過實(shí)例分析驗(yàn)證了所提模型的合理性和有效性。

1 一般灰數(shù)型面板數(shù)據(jù)重心三角曲面的構(gòu)建

為了更加準(zhǔn)確地表征信息的不確定性,文獻(xiàn)[28]給出了一般灰數(shù)的概念。

定義 1[28](一般灰數(shù))設(shè)

面板數(shù)據(jù)是將“截面數(shù)據(jù)”和“時(shí)間序列數(shù)據(jù)”綜合起來的一種數(shù)據(jù)類型。當(dāng)元素為一般灰數(shù)時(shí)，稱為一般灰數(shù)型面板數(shù)據(jù)。

(1)

(2)

核作為灰數(shù)的代表,在灰數(shù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算的過程中具有不可替代的作用[1]。一般灰數(shù)的上下界表征了其邊界信息。因此,一般灰數(shù)的核及上下界能夠反映一般灰數(shù)的信息。

為解決樣本指標(biāo)排列順序?qū)﹃P(guān)聯(lián)分析模型結(jié)果的影響,下面給出樣本矩陣分解為二元指標(biāo)行為子矩陣的方法。

由指標(biāo)sj1及sj2的數(shù)據(jù)構(gòu)成的2×n矩陣記為

Xi(sj1,sj2)=

(3)

則稱Xi(sj1,sj2)為Xi的二元指標(biāo)sj1及sj2的行為子矩陣。

則稱Xi(sj1,sj2,t)為Xi關(guān)于指標(biāo)sj1及sj2在時(shí)刻t的行為子矩陣。

由空間幾何學(xué)知識(shí)可得,上述幾何體的重心為

(4)

其中,

將Xi(sj1,sj2,t)元素的核及重心對(duì)應(yīng)空間中的點(diǎn)相連,并將同指標(biāo)維度和同時(shí)間維度的核所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)相連,得到空間三角曲面,具體描述如下。

Xi(sj1,sj2,t)=

{Πk:Akx+Bky+Ckz+Dk=0,k=1,2,3,4}

Π1:A1=a-c,B1=a+c-2e,C1=1,D1=c-2a-t(a+c-2e),y-t+1≤x≤t-y+2,t≤y≤t+0.5;

Π2:A2=2e-a-b,B2=b-a,C2=-1,D2=(2+t)a+(1-t)b-2e,x+t-1≤y≤t-x+2,1≤x≤1.5;

Π3:A3=d-b,B3=b+d-2e,C3=-1,D3=(1-t)b-(2+t)d+(2+2t)e,t-y+2≤x≤y-t+1,t+0.5≤y≤t+1;

產(chǎn)業(yè)集群是區(qū)域產(chǎn)業(yè)發(fā)展的重要組織形式,既是拉動(dòng)區(qū)域經(jīng)濟(jì)增長的發(fā)動(dòng)機(jī),又是促進(jìn)區(qū)域創(chuàng)新的助推劑，也是提升區(qū)域競爭力的主流模式。位于山西省東南部的長治市。近年來，充分發(fā)揮資源優(yōu)勢(shì)、產(chǎn)業(yè)優(yōu)勢(shì)、技術(shù)優(yōu)勢(shì)，實(shí)施重點(diǎn)區(qū)域培育發(fā)展戰(zhàn)略，通過集約化、規(guī)模化、園區(qū)化發(fā)展，著力培育壯大核心競爭力強(qiáng)、產(chǎn)業(yè)層級(jí)高、產(chǎn)業(yè)鏈條完整、特色優(yōu)勢(shì)突出的光伏產(chǎn)業(yè)聚集區(qū)。在打造山西重要的增長極、如期實(shí)現(xiàn)脫貧攻堅(jiān)和全面建成小康社會(huì)“兩個(gè)目標(biāo)”的征程中不斷取得新進(jìn)展，開創(chuàng)新局面。數(shù)據(jù)顯示，2017年，長治全市實(shí)現(xiàn)生產(chǎn)總值1477.5億元，國內(nèi)生產(chǎn)總值總量位列山西第二。

Π4:A4=2e-d-c,B4=c-d,C4=1,D4=(1-t)c+(2+t)d-4e,t-x+2≤y≤x+t-1,1.5≤x≤2。

上述定義說明,Xi(sj1,sj2,t)所對(duì)應(yīng)的空間重心三角曲面由4個(gè)三角平面構(gòu)成。

2 一般灰數(shù)型面板數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)分析模型及性質(zhì)

對(duì)于一般灰數(shù)型面板數(shù)據(jù),由空間重心三角曲面作為曲頂?shù)闹w體積可用于描述面板數(shù)據(jù)間的差異性。也就是說,曲頂柱體的體積值越接近,相關(guān)性程度越大,反之越小。

(5)

式中:V0(sj1,sj2)、Vi(sj1,sj2)分別表示由X0(sj1,sj2)、Xi(sj1,sj2)作為曲頂?shù)那斨w體積,稱ε0i(sj1,sj2)為X0與Xi關(guān)于指標(biāo)sj1及sj2的灰色重心三角曲面關(guān)聯(lián)系數(shù),記

(6)

則稱ε0i為X0與Xi的灰色重心三角曲面關(guān)聯(lián)度。

命題 1設(shè)系統(tǒng)的特征行為矩陣為X0,系統(tǒng)相關(guān)因素行為矩陣為Xi,關(guān)于指標(biāo)sj1及sj2的行為子矩陣分別為X0(sj1,sj2)和Xi(sj1,sj2),則

(7)

(8)

證明以V0(sj1,sj2)為例證明,

V0(sj1,sj2)=

又由定義5可得

則

所以,

V0(sj1,sj2)=

證畢

命題1給出了一般灰數(shù)型面板數(shù)據(jù)行為子矩陣的重心三角曲面，并以此作為曲頂柱體的體積公式。當(dāng)一般灰數(shù)退化為實(shí)數(shù)、區(qū)間灰數(shù)、三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)時(shí),得到以下推論。

V0(sj1,sj2)=

(9)

Vi(sj1,sj2)=

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

推論1～推論3表明,本文所提出模型同樣適用于實(shí)數(shù)型面板數(shù)據(jù)、區(qū)間灰數(shù)型面板數(shù)據(jù)以及三參數(shù)區(qū)間灰數(shù)型面板數(shù)據(jù)。

定理 1一般灰數(shù)重心三角曲面關(guān)聯(lián)度ε0i滿足如下性質(zhì):

(1) 規(guī)范性:0<ε0i≤1;

(2) 接近性:V0(sj1,sj2)與Vi(sj1,sj2)越接近,ε0i越大;

(3) 自反性:ε00=εii=1;

(4) 對(duì)稱性:ε0i=εi0;

(7) 關(guān)聯(lián)度ε0i不受指標(biāo)排列順序的影響。

證明(1) 由于

|V0(sj1,sj2)-Vi(sj1,sj2)|≥0

則0<ε0i(sj1,sj2)≤1,所以0<ε0i≤1。

(2) 當(dāng)V0(sj1,sj2)與Vi(sj1,sj2)越接近,|V0(sj1,sj2)-Vi(sj1,sj2)|的值越小,則ε0i(sj1,sj2)越大,即ε0i越大。

(3) 當(dāng)X0=Xi時(shí),顯然V0(sj1,sj2)=Vi(sj1,sj2), 則

|V0(sj1,sj2)-Vi(sj1,sj2)|=0

則ε0i(sj1,sj2)=1,所以ε00=εii=1。

(4) 對(duì)于任意兩指標(biāo)sj1,sj2,顯然有

|V0(sj1,sj2)-Vi(sj1,sj2)|=|Vi(sj1,sj2)-V0(sj1,sj2)|

則ε0i(sj1,sj2)=εi0(sj1,sj2),所以ε0i=εi0。

又

則

(V0(sj1,sj2)+r)|=|Vi(sj1,sj2)-V0(sj1,sj2)|

同理可得

又由于

ε0i(sj1,sj2)>ε0k(sj1,sj2)

則

|V0(sj1,sj2)-Vi(sj1,sj2)|<|V0(sj1,sj2)-Vk(sj1,sj2)|

由于u≠0,則

|u‖V0(sj1,sj2)-Vi(sj1,sj2)|< |u‖V0(sj1,sj2)-Vk(sj1,sj2)|

即

(7) 由于S2包括指標(biāo)集所有可能的二元組合,而Xi(sj1,sj2)所對(duì)應(yīng)的曲頂柱體的體積與指標(biāo)sj1及sj2的順序無關(guān),即Vi(sj1,sj2)=Vi(sj2,sj1),所以ε0i與樣本矩陣的指標(biāo)排列順序無關(guān),不受指標(biāo)排序的影響。

證畢

定理1中的性質(zhì)(1)和性質(zhì)(2)說明ε0i滿足灰色關(guān)聯(lián)度公理,即滿足規(guī)范性和接近性公理。

3 實(shí)例分析

國內(nèi)復(fù)雜裝備研發(fā)項(xiàng)目大多采用“主制造商-供應(yīng)商”的管理模式,大量關(guān)鍵組件需要國際、國內(nèi)供應(yīng)商的協(xié)作與配合。因此,確定供應(yīng)商方法的科學(xué)性將會(huì)影響項(xiàng)目的成敗。作為復(fù)雜裝備的關(guān)鍵組件決策問題,供應(yīng)商通過“招投標(biāo)”方式完成。一般由主制造商提出具體要求,各家供應(yīng)商根據(jù)要求制定投標(biāo)方案。由于是復(fù)雜裝備,主制造商需要引入第三方對(duì)供應(yīng)商進(jìn)行評(píng)估。主制造商結(jié)合供應(yīng)商提交的方案以及第三方的評(píng)估,選擇最優(yōu)方案。由于方案的提交信息以及第三方評(píng)估視角的不同,最終得到的信息或是實(shí)數(shù),或是區(qū)間灰數(shù),或是上述的組合等,可用一般灰數(shù)來描述。

在某關(guān)鍵器件供應(yīng)商選擇決策中,首輪有三家供應(yīng)商(U1,U2,U3)入圍。決策指標(biāo)包括產(chǎn)品狀態(tài)(s1)、供貨能力(s2)、服務(wù)能力(s3)。主制作商委托第三方對(duì)這三家供應(yīng)商進(jìn)行評(píng)估,結(jié)合供應(yīng)商提供的信息,得到三家供應(yīng)商2017～2020年的相關(guān)數(shù)據(jù),決策矩陣如下:

X1、X2、X3由一般灰數(shù)構(gòu)成,下面利用所提出的關(guān)聯(lián)分析模型選擇最佳供應(yīng)商。

由于三個(gè)決策指標(biāo)均為效益型指標(biāo),選用

進(jìn)行規(guī)范化處理。

inf(X3)。

核矩陣分別為

上界矩陣分別為

下界矩陣分別為

基于灰數(shù)相對(duì)核排序準(zhǔn)則[29],選擇三家供應(yīng)商的各指標(biāo)、各時(shí)間點(diǎn)的最大值作為理想點(diǎn)X0,其中核矩陣、下界矩陣、上界矩陣分別為

根據(jù)灰色重心三角曲面關(guān)聯(lián)系數(shù)式(5),得到?jīng)Q策指標(biāo)二元組合的關(guān)聯(lián)系數(shù),如表1所示。

表1 三家供應(yīng)商的關(guān)聯(lián)系數(shù)

利用關(guān)聯(lián)度式(6),得到三家供應(yīng)商與理想點(diǎn)的關(guān)聯(lián)度：ε01=0.939,ε02=0.895,ε03=0.808。關(guān)聯(lián)序?yàn)棣?1?ε02?ε03,具體排序?yàn)?供應(yīng)商U1,供應(yīng)商U2,供應(yīng)商U3。供應(yīng)商與理想點(diǎn)的關(guān)聯(lián)度越大,供應(yīng)商的方案越優(yōu),因此選擇U1作為該關(guān)鍵組件的供應(yīng)商。

從具體數(shù)據(jù)來看,X1的數(shù)值整體較大,數(shù)據(jù)從2017～2020年逐漸變大,可見選擇供應(yīng)商U1符合實(shí)際情況。X2數(shù)據(jù)的變化也有逐漸變大的趨勢(shì),但數(shù)值較X1整體更小。X3與X1、X2相比,數(shù)值波動(dòng)較大,特別是產(chǎn)品狀態(tài)指標(biāo)。可見,本文的結(jié)果能夠反映數(shù)據(jù)的相關(guān)程度。

根據(jù)文獻(xiàn)[30]的關(guān)聯(lián)分析模型,計(jì)算得到σ01=0.744,σ02=0.559,σ03=0.624。關(guān)聯(lián)序?yàn)棣?1?σ03?σ02,結(jié)果也是選擇U1作為該關(guān)鍵組件的供應(yīng)商,但供應(yīng)商U3排在供應(yīng)商U2的前面。事實(shí)上,無論從整體數(shù)值還是數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)來看,X2應(yīng)該優(yōu)于X3。可見,文獻(xiàn)[30]盡管能夠選擇出供應(yīng)商,但未能對(duì)該三家供應(yīng)商進(jìn)行有效的排序。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)一般灰數(shù)型面板數(shù)據(jù)構(gòu)建了重心三角曲面關(guān)聯(lián)分析模型。與以往的關(guān)聯(lián)分析模型相比,一方面,所提出的模型基于面板數(shù)據(jù)的幾何特征,不受一般灰數(shù)運(yùn)算規(guī)則的影響;另一方面,基于數(shù)列的排列組合原理,解決了指標(biāo)排列順序?qū)﹃P(guān)聯(lián)度影響的問題。所提出的模型滿足規(guī)范性、對(duì)稱性、數(shù)乘變換關(guān)聯(lián)序不變性等性質(zhì)。通過實(shí)例分析了模型的有效性和合理性,結(jié)果表明所提模型能夠表征一般灰數(shù)型面板數(shù)據(jù)的相關(guān)程度。