可降階的高階微分方程的課程思政

劉文斌，崔學(xué)英

(1.晉中信息學(xué)院數(shù)理教學(xué)部，山西太谷 030800；2.太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，山西太原 030024)

2018 年9 月10 日，習(xí)近平總書(shū)記在全國(guó)教育大會(huì)上強(qiáng)調(diào)“黨的十八大以來(lái)，我們圍繞培養(yǎng)什么人、怎樣培養(yǎng)人、為誰(shuí)培養(yǎng)人這一根本問(wèn)題，全面加強(qiáng)黨對(duì)教育工作的領(lǐng)導(dǎo)”。其中，“培養(yǎng)什么人”是教育的首要問(wèn)題[1-3]。思政元素的融入讓課堂變得更和諧、有意義，在傳授知識(shí)的同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立科學(xué)的世界觀、人生觀與價(jià)值觀。課程思政的融入[4-6]，不僅是傳授知識(shí)的過(guò)程，教師同樣能夠可以在教學(xué)點(diǎn)滴中提升自我，與學(xué)生更深入地交流，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的閃光點(diǎn)，挖掘優(yōu)秀人才，為國(guó)家培養(yǎng)人才，亦可以培養(yǎng)更深刻的師生情，幫助學(xué)生更快更好地成長(zhǎng)。將以高等數(shù)學(xué)課程中的“可降階的高階微分方程”這一小節(jié)知識(shí)為實(shí)例，探索思政元素在實(shí)際課堂教學(xué)中的體現(xiàn)。具體的教學(xué)進(jìn)程安排如下：

1 引入

案例一：一只新組裝好的小鐘放在了兩只舊鐘當(dāng)中。兩只舊鐘滴答、滴答一分一秒地走著。

其中一只舊鐘對(duì)小鐘說(shuō)：來(lái)吧，你也該工作了?？墒俏矣悬c(diǎn)擔(dān)心，你走完3 200 萬(wàn)次以后，恐怕就吃不消了。

天哪！3 200萬(wàn)次。小鐘吃驚不已。要我做這么大的事？辦不到，辦不到。

另一只舊鐘說(shuō)：別聽(tīng)他胡說(shuō)八道。不用害怕，你只要每秒滴答擺一下就行了。

天下哪有這樣簡(jiǎn)單的事情。小鐘將信將疑。如果這樣，我就試試吧。小鐘很輕松地每秒鐘滴答擺下，不知不覺(jué)中，一年過(guò)去了，它擺了3 200萬(wàn)次。

案例體現(xiàn)了“化繁為簡(jiǎn)”的思想。很多問(wèn)題表面看似很難，其實(shí)只要把它分解開(kāi)來(lái)，將變得簡(jiǎn)單而直觀。

案例二：西晉史學(xué)家陳壽所著《三國(guó)志》中的“曹沖稱(chēng)象”：沖少聰察，生五六歲，智意所及，有若成人之智。時(shí)孫權(quán)曾致巨象，太祖欲知其斤重，訪之群下，咸莫能出其理。沖曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，稱(chēng)物以載之，則校可知矣。”太祖大悅，即施行焉。

2 可降階的高階微分方程[7]

二階及二階以上的微分方程即為高階微分方程。

2.1 y(n)= f (x)型的微分方程

特點(diǎn)：微分方程右端是只含有變量x的函數(shù).

解法：逐次積分求n-1、n-2、n-3、…、2、1，連續(xù)n次積分即可求得方程的通解。

例1 求方程ym=e2x-cosx的通解。

解：對(duì)所給方程接連積分三次得：

這就是所求通解。

例2 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受水平力F的作用沿力F的方向作直線運(yùn)動(dòng)，力F的大小為時(shí)間t的函數(shù)F(t)=sint。設(shè)開(kāi)始時(shí)(t=0)質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)，且初始速度為零，求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

纖維單元模型：分別沿拱軸與截面將鋼管混凝土拱肋劃分為縱向節(jié)段分布的纖維梁?jiǎn)卧ㄟ^(guò)截面積分求截面剛度與單元?jiǎng)偠?，其克服了上述雙單元法兩點(diǎn)不足，但仍需編寫(xiě)專(zhuān)用分析程序。

解：設(shè)s=s(t)表示在時(shí)刻t時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置，由牛頓第二定律，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為

練習(xí)1 求方程ym=sinx+cosx的通解。

2.2 y″= f (x,y')型的微分方程

特點(diǎn)：不顯含未知函數(shù)y。

求解：做變換y'=p，則y"=p'，故原方程可化為關(guān)于變量x，p的一階微分方程

設(shè)其通解為p=φ(x,C1)，則有

積分得原方程的通解為：

例3 求微分方程(1+x2)y″=2xy'滿足初值條件y|x=0=1，y'|x=0=3的特解。

解：所給方程是y"=f(x,y')型的。設(shè)y'=p，代入方程并分離變量，得兩邊積分，得ln|p|=ln(1+x2)+C，即y'=p=C1(1+x2)，其中C1=±eC，將初值條件y'|x=0=3代入得C1=3，故y'=3(1+x2)，再積分得y=x3+3x+C2，再將初值條件y|x=0=1代入得C2=1，因此所求特解為y=x3+3x+1。

練習(xí)2 求方程xy"+y'=0的通解。

2.3 y″= f (y,y')型的微分方程

特點(diǎn)：不顯含自變量x。

求解：令y'=p，把p當(dāng)做新的未知函數(shù)，把y當(dāng)做自變量，此時(shí)故原方程可化為：

3 結(jié)語(yǔ)

介紹了y(n)=f(x) 型、y″=f(x,y') 型、y″=f(y,y')型，三種類(lèi)型的高階微分方程的特點(diǎn)及其解法“降階法”。體現(xiàn)了化繁為簡(jiǎn)、化整為零的思想。通過(guò)例題講解和練習(xí)鞏固，培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

以高等數(shù)學(xué)微分方程中的“可降階的高階微分方程”內(nèi)容作為實(shí)例，通過(guò)兩個(gè)案例分析，引出遇見(jiàn)困難時(shí)也應(yīng)有“化繁為簡(jiǎn)”“化整為零”的思想去攻堅(jiān)克難融入課程思政，引入課程新內(nèi)容的解法。這種方法契合高等數(shù)學(xué)的教學(xué)大綱，符合課程的教學(xué)要求，遵循學(xué)生學(xué)習(xí)的特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，通過(guò)案例分析、提出問(wèn)題、問(wèn)題分析吸引學(xué)生注意力，將思政元素不突兀地融入到課堂教學(xué)中去，貫徹教書(shū)育人、立德樹(shù)人的教學(xué)理念。