新的最優(yōu)非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼的構(gòu)造

孫麒麟, 王立啟

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

0 引 言

文獻(xiàn)[1]給出了利用經(jīng)典糾錯(cuò)碼構(gòu)造非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼的CSS構(gòu)造法,并指出研究非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼的重要性,但沒給出非對(duì)稱的本質(zhì);文獻(xiàn)[2]通過物理實(shí)驗(yàn)證明,量子比特翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤比量子相位翻轉(zhuǎn)錯(cuò)誤發(fā)生的概率大很多,由此引發(fā)了人們對(duì)非對(duì)稱信道中的量子糾錯(cuò)碼研究。學(xué)者們通過各種方法設(shè)計(jì)構(gòu)造高性能的非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼,特別是LDPC碼和BCH碼被廣泛應(yīng)用于非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼的構(gòu)造[3-5];文獻(xiàn)[6]利用代數(shù)幾何碼構(gòu)造非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼,并得到了一些參數(shù)較好的非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼;文獻(xiàn)[7]在F4上跡厄米特內(nèi)積意義下,給出了加性碼構(gòu)造非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼的通用方法。此后,各種類型的新的非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼被構(gòu)造出來[8-10]。文獻(xiàn)[11]利用經(jīng)典的負(fù)循環(huán)碼構(gòu)造了2類最優(yōu)的非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼;文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[13]分別利用經(jīng)典的常循環(huán)碼構(gòu)造了6類和2類最優(yōu)的非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼;文獻(xiàn)[14]利用經(jīng)典的常循環(huán)碼構(gòu)造了2類長(zhǎng)為(q2+1)/5的最優(yōu)非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼;文獻(xiàn)[15]利用準(zhǔn)循環(huán)碼構(gòu)造了一些最優(yōu)的非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼;文獻(xiàn)[16]利用經(jīng)典的常循環(huán)碼構(gòu)造了幾類長(zhǎng)為n=(q2+1)/a的新的量子MDS碼。

受上述工作啟發(fā),本文通過Fq2上的常循環(huán)碼構(gòu)造了2類長(zhǎng)為n=(q2+1)/a的新的最優(yōu)非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼,其中q為奇素?cái)?shù)的方冪,a=(m2+1)/2,m≥3為奇數(shù)。

1 基礎(chǔ)知識(shí)

設(shè)Fq2是含有q2個(gè)元素的有限域,其中q是素?cái)?shù)的方冪。給定任意向量

x=(x0,x1,…,xn-1),

其厄米特內(nèi)積定義為:

若Fq2上長(zhǎng)為n的線性碼C滿足C?C⊥H,則稱C為厄米特自正交碼。

引理1(Singleton界)[17]設(shè)C是Fq2上的[n,k,d]線性碼,則k≤n-d+1;特別地,若等號(hào)成立,則稱其為MDS碼。

容易驗(yàn)證,Fq2上η-常循環(huán)碼的厄米特對(duì)偶碼C⊥H是η-q-常循環(huán)碼。設(shè)ω是Fq2中的本原元。假定gcd(n,q)=1,取η=ωq-1,從而有ηηq=1,因此,Fq2上η-常循環(huán)碼的厄米特對(duì)偶碼C⊥H是η-常循環(huán)碼。η-常循環(huán)碼存在確定其距離的BCH界。

引理2(常循環(huán)碼的BCH界)[18]假設(shè)gcd(q,n)=1,設(shè)C=〈g(x)〉是Fq2上長(zhǎng)為n且g(x)的根為{δ1+ir|0≤i≤d-2}的η-常循環(huán)碼,其中δ是rn次本原單位根,則C的極小距離至少為d。

記Ω={1+ir|0≤i≤n-1},對(duì)于任意的j∈Ω,令Cj是包含j的模rn的分圓陪集,則mi(x)=Πh∈Cj(x-δh)是xn-η在Fq2上的首一不可約因子。每一個(gè)Cj對(duì)應(yīng)xn-η在Fq2上的一個(gè)不可約因子。設(shè)C是Fq2上由多項(xiàng)式g(x)生成的長(zhǎng)為n的η-常循環(huán)碼,則集合Z={j∈Ω|g(δj)=0}稱為C的定義集。顯然C的定義集是模rn的q2-分圓陪集的并集,且dim(C)=n-|Z|。

下面給出非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼的定義和相關(guān)性質(zhì)。

對(duì)于一個(gè)參數(shù)為[[n,k2,dz/dx]]q2的CSS非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼,其參數(shù)n、k、dz和dx之間的關(guān)系有下面的結(jié)論。

定理2[4]若存在一個(gè)參數(shù)為[[n,k2,dz/dx]]q2的CSS非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼Q,則Q滿足非對(duì)稱量子Singleton界,具體為:

k≤n-dz-dx+2。

特別地,當(dāng)k=n-dz-dx+2時(shí),稱Q為最優(yōu)碼或非對(duì)稱量子MDS碼。

2 最優(yōu)非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼的構(gòu)造

本文將利用經(jīng)典的常循環(huán)碼構(gòu)造2類長(zhǎng)度為n=(q2+1)/a的最優(yōu)非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼,其中q為奇素?cái)?shù)的方冪,a=(m2+1)/2,m≥3為奇數(shù),易知此時(shí)a|(q+m)或a|(q-m)。以下分這2種情形進(jìn)行討論。

2.1 最優(yōu)非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼的構(gòu)造Ⅰ

本節(jié)討論當(dāng)a|(q+m)時(shí),最優(yōu)非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼的構(gòu)造,先給出一個(gè)重要的引理。

定理3 設(shè)q是奇素?cái)?shù)的方冪,a|(q+m),a=(m2+1)/2,m≥3為奇數(shù),n=(q2+1)/a,則存在參數(shù)為[[n,n-2(s+t+1),(2s+2)/(2t+2)]]q2的非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼,其中s、t為正整數(shù),且0≤t≤s≤(mq-1)/2a-1。

{k-(q+1)t,…,k-(q+1),k,k+(q+1),

…,k+(q+1)t},

由引理1知,C2的極小距離至少為2t+2。根據(jù)引理2可得,C2的極小距離為2t+2。因此,C2是參數(shù)為[n,n-(2t+2),2t+2]q2的q2-元ωq-1-常循環(huán)碼。

定理3中的非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼滿足dz+dx=2s+2t+4=n-k+2。由定理2可知,參數(shù)為[[n,n-2(s+t+1),(2s+2)/(2t+2)]]q2的非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼達(dá)到非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼的Singleton界。因此這些非對(duì)稱量子碼是最優(yōu)的。

例1 設(shè)m=5,q=31,則n=74。假設(shè)ω30-常循環(huán)碼C1的定義集為Z1=C481={481},則C1是參數(shù)為[74,73,2]961的MDS碼。假設(shè)ω30-常循環(huán)C2的定義集為:

Z2=C481∪C449∪C417∪C385∪C353∪

C321∪C289∪C257=

{481,289,321,353,385,417,449,

481,513,609,641,673,705},

則C2是參數(shù)為[74,59,16]961的MDS碼。由定理3可知,存在參數(shù)為[[74,58,16/2]]961的最優(yōu)非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼。通過賦予C1和C2不同的定義集,得到最優(yōu)非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼,見表1所列。

表1 長(zhǎng)為74的961元最優(yōu)非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼

2.2 最優(yōu)非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼的構(gòu)造Ⅱ

本節(jié)討論當(dāng)a|(q-m)時(shí),最優(yōu)非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼的構(gòu)造,先給出一個(gè)重要的引理。

類似定理3的討論,可得如下結(jié)論。

定理4 設(shè)q是奇素?cái)?shù)的方冪,a|(q-m),a=(m2+1)/2,其中m≥3為奇數(shù)。設(shè)n=(q2+1)/a,則存在參數(shù)為[[n,n-2(s+t+1),(2s+2)/(2t+2)]]q2的非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼,其中s,t為正整數(shù),且0≤t≤s≤(mq+1)/2a-1。

定理4中的非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼滿足

dz+dx=2s+2t+4=n-k+2。

由定理2可知,參數(shù)為[[n,n-2(s+t+1),(2s+2)/(2t+2)]]q2的非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼達(dá)到非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼的Singleton界,因此這些非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼是最優(yōu)的。

例2 設(shè)m=7,q=57,則n=74。假設(shè)ω56-常循環(huán)碼C1的定義集為Z1=C1 625={1 625},則C1是參數(shù)為[130,129,2]3 429的MDS碼。假設(shè)ω56-常循環(huán)碼C2的定義集為:

Z2=C1 625∪C1 567∪C1 509∪C1 451∪C1 393∪

C1 335∪C1 227∪C1 219=

{1 219,1 227,1 335,1 393,1 451,1 509,1 567,

1 625,1 683,1 741,1 799,1 857,1 915,1 973,2 031},

則C2是參數(shù)為[130,115,16]3 429的MDS碼。由定理4知,存在參數(shù)為[[130,114,16/2]]3 429的最優(yōu)非對(duì)稱量子碼。通過賦予C1和C2不同的定義集,得到最優(yōu)非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼,見表2所列。

表2 長(zhǎng)為130的3 249元最優(yōu)非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼

3 結(jié) 論

本文利用有限域上Fq2上的經(jīng)典常循環(huán)碼構(gòu)造了2類長(zhǎng)為n=(q2+1)/a的最優(yōu)非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼,其中q為奇素?cái)?shù)的方冪,a=(m2+1)/2,m≥3為奇數(shù)。具體如下。

(1)當(dāng)a|(q+m)時(shí),存在參數(shù)為[[n,n-2(s+t+1),(2s+2)/(2t+2)]]q2的最優(yōu)非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼,其中0≤t≤s≤(mq-1)/2a-1,s、t均為正整數(shù)。

(2)當(dāng)a|(q-m)時(shí),存在參數(shù)為[[n,n-2(s+t+1),(2s+2)/(2t+2)]]q2的最優(yōu)非對(duì)稱量子糾錯(cuò)碼,其中0≤t≤s≤(mq+1)/2a-1,s、t均為正整數(shù)。