引入方差/波動率資產(chǎn)的動態(tài)最優(yōu)投資組合

周春陽， 吳沖鋒

(上海交通大學(xué)安泰經(jīng)濟與管理學(xué)院， 上海 200030)

0 引 言

波動率是重要的市場變量，對投資者進行投資決策和風險管理具有重要的參考價值.例如，芝加哥期權(quán)交易所基于期權(quán)價格構(gòu)建的波動率指數(shù)VIX (volatility index)，反映了投資者對未來市場波動的預(yù)期(1)計算VIX波動率指數(shù)的主要思想是通過一系列標普500指數(shù)虛值期權(quán)來復(fù)制30天期限的方差互換，由無套利定價原理可知，該期權(quán)組合的價格等于方差互換的價格，或VIX波動率指數(shù)的平方.VIX指數(shù)反映了投資者對市場波動的預(yù)期，VIX指數(shù)越高，投資者為轉(zhuǎn)移波動率風險所需要支付的成本越高.VIX的具體算法可以參閱芝加哥期權(quán)交易所波動率指數(shù)白皮書(見https://cdn.cboe.com/resources/futures/vixwhite.pdf).，已經(jīng)成為投資者把握市場情緒和管理投資風險的重要指標.眾多研究文獻指出，VIX指數(shù)對未來市場收益率、波動率和相關(guān)性有顯著的預(yù)測能力[1-3]，投資者在構(gòu)建組合時考慮期權(quán)隱含波動率信息能夠提高組合的投資績效[4, 5].

由于波動率變動同股票收益率呈負相關(guān)關(guān)系，特別是在不利市場條件下兩者的相關(guān)性更低[5]，因而以方差/波動率為標的的方差/波動率資產(chǎn)，能夠為投資者提供一個良好的分散股票風險的工具.在美國等發(fā)達國家金融市場，從場外柜臺市場的方差互換，到交易所市場基于波動率指數(shù)派生出來的VIX期貨、期權(quán)、ETF和ETN等金融產(chǎn)品，交易都非?；钴S.在學(xué)術(shù)研究方面，Dash和Moran[6]、Szado[7, 8]和Yan等[9]的研究表明，在傳統(tǒng)的股票債券等資產(chǎn)組合中加入VIX期貨或VIX期權(quán)等波動率資產(chǎn)有助于分散投資組合(下端)風險，Hilal等[10]基于極值理論研究如何使用VIX期貨對沖股票市場的黑天鵝風險.

可見，方差/波動率資產(chǎn)可以從如下兩個方面影響投資者的投資決策：一方面，方差/波動率資產(chǎn)的價格反映了投資者對市場波動的預(yù)期，是重要的市場狀態(tài)變量；另一方面，方差/波動率資產(chǎn)同股票收益率呈負相關(guān)關(guān)系，有助于分散股票組合風險.以往文獻往往單獨考慮上述兩個因素對最優(yōu)投資組合的影響.本文在傳統(tǒng)的股票資產(chǎn)和無風險資產(chǎn)組合中引入方差/波動率資產(chǎn)，在投資者具有冪效用函數(shù)的假設(shè)下，給出了動態(tài)最優(yōu)投資組合的顯示解.本文綜合考察方差/波動率資產(chǎn)作為狀態(tài)變量和風險分散工具對最優(yōu)投資組合權(quán)重和投資組合績效的影響，并通過經(jīng)濟成本分析，研究方差/波動率資產(chǎn)對投資者期望效用的影響.

研究發(fā)現(xiàn)，方差/波動率資產(chǎn)價格是影響投資者投資決策的重要狀態(tài)變量.隨著方差/波動率資產(chǎn)價格的增加，投資者會降低股票資產(chǎn)和方差/波動率資產(chǎn)的投資權(quán)重，增加無風險資產(chǎn)的投資權(quán)重.本研究同時求解了組合中不包含方差/波動率資產(chǎn)的動態(tài)投資組合問題，并考察不包含方差/波動率資產(chǎn)給投資者帶來的經(jīng)濟成本.基于美國標準普爾500全收益指數(shù)和VIX期貨數(shù)據(jù)的實證結(jié)果表明，組合中加入VIX期貨有助于分散組合風險.組合中不包含VIX期貨會導(dǎo)致投資者在市場風險較小的時候過于謹慎，而在市場風險較高的時候承擔了較高的市場不利變動風險，缺乏VIX期貨作為風險分散工具導(dǎo)致投資者遭受較高的經(jīng)濟成本.最后，樣本外實證結(jié)果表明，在傳統(tǒng)的股票和無風險資產(chǎn)組合中加入VIX期貨有助于提高投資收益和獲得更高的夏普比.

1 方差/波動率資產(chǎn)的價格動態(tài)過程和動態(tài)最優(yōu)投資組合問題

1.1 模型假設(shè)

令St和Xt分別代表t時刻股票資產(chǎn)及對應(yīng)方差資產(chǎn)的價格，借鑒Chacko和Viceira[11]，假定他們服從以下隨機微分方程

(1)

(2)

其中〈dβX,t,dβS,t〉=ρdt,式(1)和式(2)表明，方差風險是影響股票資產(chǎn)和方差資產(chǎn)期望收益的系統(tǒng)性風險，其中βS和βX分別刻畫了股票資產(chǎn)和方差資產(chǎn)的風險溢價；同時，兩種資產(chǎn)收益率的波動程度也會隨著方差資產(chǎn)價格的增加而增加.

(3)

式(2)和式(3)的模型參數(shù)存在以下對應(yīng)關(guān)系

最后，假設(shè)投資者具有冪效用函數(shù)，即

其中WT代表投資者在期末的財富，γ>0代表投資者的相對風險厭惡系數(shù).

1.2 包含方差/波動率資產(chǎn)的動態(tài)最優(yōu)投資組合

令

其中當M=X時代表方差資產(chǎn)，當M=V時代表波動率資產(chǎn).由式(1)～式(3)，有

投資者可以投資股票資產(chǎn)St，方差或波動率資產(chǎn)Mt，以及無風險資產(chǎn)r.令

代表股票資產(chǎn)和方差/波動率資產(chǎn)的權(quán)重構(gòu)成的向量，則投資者財富的動態(tài)過程可以寫作

(4)

命題1給定財富動態(tài)過程如式(4)所示，不考慮賣空和借貸約束，投資者最大化期末財富效用函數(shù)

(5)

式(5)的最優(yōu)動態(tài)投資組合可以寫作

(6)

其中ΣZ,At和Bt分別由附錄A中式(A2)、式(A8)和式(A9)給出.證明見附錄A.

1.3 不包含方差/波動率資產(chǎn)的最優(yōu)投資組合

當組合中不包含方差/波動率資產(chǎn)時，投資者財富的動態(tài)過程可以寫作

(7)

此時有以下命題成立.

命題2給定財富動態(tài)過程如式(7)所示，不考慮賣空和借貸約束，投資者最大化期末財富效用函數(shù)式(5)的最優(yōu)動態(tài)投資組合為

(8)

其中AS,t和BS,t分別由附錄B中式(A11)和式(A12)給出.證明見附錄B.

1.4 組合中不包含方差/波動率資產(chǎn)的經(jīng)濟成本

為了考察在組合中不加入方差/波動率資產(chǎn)給投資者帶來的經(jīng)濟成本，類似于Li和Zhou[12]，求解以下方程

2 實證研究

2.1 數(shù)據(jù)和參數(shù)估計

本文采用的數(shù)據(jù)是美國標普500全收益指數(shù)和VIX期貨連續(xù)合約，數(shù)據(jù)樣本區(qū)間為2005年1月3日至2018年12月31日共3 651個交易日數(shù)據(jù).計算了兩種資產(chǎn)的對數(shù)收益率并乘上100，其樣本統(tǒng)計量如表1所示.可以看到同標普500全收益指數(shù)相比，VIX期貨具有更大的標準差和峰度，表明VIX期貨更有可能發(fā)生較大的波動.標普500全收益指數(shù)收益率具有負的偏度，而VIX期貨具有正的偏度，即股票資產(chǎn)更有可能發(fā)生負向變動，而波動率資產(chǎn)更有可能發(fā)生向上的正向變動.最后，兩種資產(chǎn)的相關(guān)系數(shù)為-0.654 0.

表1 資產(chǎn)對數(shù)收益率的樣本統(tǒng)計值Table 1 Summary statistics of logarithmic assets returns

采用Ait-Sahalia和Kimmel[13]的方法對模型(1)和模型(3)進行估計，估計結(jié)果如表2所示.βS的估計值較小且不顯著，表明波動率的增加不能顯著提高股票資產(chǎn)的風險溢價.βV的估計值為-0.001 4，且在1%水平上顯著.由模型(3)可知VIX期貨價格的長期均衡值為

表2 參數(shù)估計結(jié)果Table 2 Result of parameters estimates

ρ的估計值為-0.661 0，且在1%水平上顯著，即股票收益率和波動率變動之間存在負相關(guān)關(guān)系.最后，股票資產(chǎn)的波動率σS和VIX期貨的波動率σV均顯著，但前者要遠小于后者.

2.2 最優(yōu)動態(tài)投資組合和經(jīng)濟成本

根據(jù)命題1和命題2，求解包含VIX期貨和不包含VIX期貨時的最優(yōu)投資組合問題.投資者風險厭惡系數(shù)設(shè)為10，無風險利率設(shè)為0.03，投資期限為1年.圖1畫出了不同VIX期貨價格下投資者的最優(yōu)投資組合權(quán)重.可以看到，不管是否包含VIX期貨，風險資產(chǎn)的權(quán)重都會隨著VIX期貨價格的增加而降低，而無風險資產(chǎn)的權(quán)重會隨著VIX期貨價格的增加而增加.

圖1 最優(yōu)動態(tài)投資組合Fig.1 Optimal dynamic portfolio allocation

當組合中包含VIX期貨時，投資者在VIX期貨價格較低的時候會投資較高比重的風險資產(chǎn).例如，當VIX期貨價格為10的時候，此時市場整體的風險較低，股票資產(chǎn)會有較高的吸引力；同時由于VIX期貨價格位于均衡值以下，有較大的概率向上回復(fù).因而，投資者在標普500指數(shù)和VIX期貨的投資權(quán)重分別為4.371 2和1.293 8，即風險資產(chǎn)的總權(quán)重達5.665，而無風險資產(chǎn)的權(quán)重為-4.665.當VIX期貨價格增加時，投資者會迅速降低風險資產(chǎn)的比重.當VIX期貨價格接近30時，風險資產(chǎn)的權(quán)重基本接近于0.當VIX期貨價格達到較高水平，投資者此時會同時做空標普500指數(shù)和VIX期貨.例如，當VIX期貨價格為80時，標普500指數(shù)和VIX期貨的權(quán)重分別為-0.378 2和-0.168 5，無風險資產(chǎn)的權(quán)重為1.546 7.此時盡管股票資產(chǎn)可能出現(xiàn)反彈而出現(xiàn)虧損，但是VIX期貨價格向下均值回復(fù)，會有效降低組合的風險.

相比而言，如果組合中不包含VIX期貨，投資者在VIX期貨價格較低時對風險資產(chǎn)的投資會謹慎很多.例如，當VIX期貨價格為10的時候，標普500指數(shù)的投資權(quán)重僅為0.571 3.當VIX期貨價格進一步上升時，投資者會降低對標普500指數(shù)的投資.但是當VIX期貨價格增長至30以上時， VIX期貨價格的變化對風險資產(chǎn)權(quán)重的影響非常小.即使在VIX期貨價格為80時，投資者在標普500指數(shù)的投資權(quán)重仍達到0.107 4.此時投資者承擔了較高的市場價格波動風險.

根據(jù)命題1和命題2，表3將風險資產(chǎn)的投資權(quán)重進一步分解為均值方差靜態(tài)組合權(quán)重和跨期對沖需求權(quán)重，分別對應(yīng)于式(6)或式(8)的第1項和第2項.

表3 投資組合權(quán)重的兩個組成成分Table 3 Two components of portfolio weights

由面板A可以看到，當組合中包含VIX期貨時，均值方差組合在VIX期貨價格較低時同時買入股票和VIX期貨，而在VIX期貨價格較高時同時賣出股票和VIX期貨.由命題1后續(xù)的評論可知，股票指數(shù)的跨期風險對沖需求為0，而VIX期貨的跨期風險對沖需求是VIX期貨價格的減函數(shù).表3中的實證結(jié)果和本研究的理論結(jié)果相一致，也具有直觀的經(jīng)濟解釋.由于VIX期貨價格存在均值回復(fù)特性，因而當VIX期貨價格較低時VIX期貨的跨期對沖需求為正，而當VIX期貨價格較高時VIX期貨的跨期對沖需求為負.

當組合中不包含VIX期貨時，由命題2后續(xù)的評論可知，股票指數(shù)的均值方差組合權(quán)重和跨期對沖需求權(quán)重都隨著VIX期貨價格的增加而降低.面板B中的實證結(jié)果與本研究理論結(jié)果也是一致的.隨著VIX期貨價格的增加，風險厭惡的投資者在均值方差組合中會降低股票指數(shù)的投資權(quán)重，相應(yīng)增加無風險資產(chǎn)的投資權(quán)重.同樣，考慮到VIX期貨的均值回復(fù)特性，投資者在VIX期貨價格較低時會擔心VIX期貨價格回升從而降低股票的投資權(quán)重，因而此時股票的跨期對沖需求為負.相應(yīng)的，當VIX期貨價格較高時，投資者的跨期對沖需求為正.

圖2給出了當包含VIX期貨時，投資者在不同投資期限下的最優(yōu)組合權(quán)重.同表3的結(jié)論一致，標普500指數(shù)的跨期風險對沖需求為0，因而其權(quán)重不會隨著投資期限的變化而變化.而VIX期貨權(quán)重的跨期需求依賴于VIX期貨價格水平.可以看到，當VIX期貨價格較低時，由于VIX期貨價格有向上均值回復(fù)的趨勢，此時VIX期貨有正的跨期風險對沖需求，即VIX期貨的投資權(quán)重會隨著投資期限的增加而增加.而當VIX期貨價格較高時，此時VIX期貨價格有較大的可能性會向下均值回復(fù)，此時VIX期貨的投資權(quán)重會隨著投資期限的延長而降低.

圖2 不同投資期限下的最優(yōu)投資組合Fig.2 Optimal portfolio allocation under different investment horizons

最后，圖3給出了組合中不包含VIX期貨對投資者帶來的經(jīng)濟成本.首先，當VIX期貨價格較低時，投資者由于沒有在市場風險較低的時候充分投資風險資產(chǎn)，此時會遭受較高的經(jīng)濟成本.可以看到，當投資期限為1年，VIX期貨價格為10時，經(jīng)濟成本達0.304 9元，即需要額外支付30.49%的財富給投資者，才能使他愿意在組合中不加入VIX期貨.其次，當VIX期貨價格較高的時候，投資者由于沒有在市場風險較高的時候規(guī)避風險，或采用VIX期貨來分散和對沖股票市場風險，同樣也會遭受較大的經(jīng)濟成本.可以看到，當VIX期貨價格為80時，經(jīng)濟成本達到0.182 3元.當VIX期貨價格接近其均衡價格時，不包含VIX期貨所導(dǎo)致的經(jīng)濟成本相對較小.

圖3 組合中不包含VIX期貨的經(jīng)濟成Fig.3 Economic cost of exclusion of VIX future in the portfolio

2.3 樣本外投資績效

表4 組合的樣本外投資績效(T=20 d，γ=10)Table 4 Out-of-sample portfolio performance(T=20 d,γ=10)

表4中的第1行給出的是股票和無風險資產(chǎn)等權(quán)組合的績效表現(xiàn).該組合雖然風險較小，但收益率最低，最終在3個模型中夏普比率最低.第3行給出的是不包含VIX期貨的動態(tài)投資組合的績效表現(xiàn).同等權(quán)組合相比，該組合能夠獲得較高的收益率和夏普比率，表明考慮波動率時變風險有助于提高組合績效[15].最后，第4行給出的是包含VIX期貨的最優(yōu)投資組合的樣本外績效.可以看到，加入VIX期貨的動態(tài)投資組合具有更高的波動風險，年化波動率是前述兩個模型的兩倍.圖1的結(jié)果表明，由于VIX期貨和標普500指數(shù)存在風險分散的效果，在VIX期貨價格很低或很高的時候組合中風險資產(chǎn)權(quán)重的絕對值都比較大.考慮到模型不確定性因素的影響，風險資產(chǎn)的高權(quán)重可能會導(dǎo)致組合波動率增加；同時，較高的風險資產(chǎn)權(quán)重也使得組合的成交額更高.與另外兩個模型相比，該模型也獲得了更高的收益和更高的夏普比.

為了檢驗表4中的結(jié)果在不同的參數(shù)下是否穩(wěn)健，表5給出了投資期限分別為10天和30天，風險厭惡系數(shù)分別為5和20時組合的樣本外績效.同表4的結(jié)論一致，表5的實證結(jié)果表明，在股票組合中加入VIX期貨有助于提高組合收益和收益風險比.同時，同投資期限相比，投資者風險厭惡系數(shù)對組合波動率和風險資產(chǎn)成交規(guī)模的影響更為顯著.特別的，較高的風險厭惡程度有助于降低組合的波動率以及風險資產(chǎn)的成交額.

表5 不同參數(shù)下各個組合的樣本外投資績效Table 5 Out-of-sample portfolio performance under different investment horizons and risk aversions

3 結(jié)束語

方差/波動率是重要的市場狀態(tài)變量，是投資者進行投資決策的重要指標；同時，方差/波動率資產(chǎn)和股票資產(chǎn)價格變動存在負相關(guān)關(guān)系，股票組合中引入方差/波動率資產(chǎn)有助于分散組合風險.本文在組合中除了包含傳統(tǒng)的股票資產(chǎn)和無風險資產(chǎn)之外，還包含了方差/波動率資產(chǎn)，并給出了動態(tài)最優(yōu)投資組合的顯式解.

研究發(fā)現(xiàn)，方差/波動率資產(chǎn)價格是影響投資組合權(quán)重的重要狀態(tài)變量，其價格的增加反映了市場波動程度的增加，從而導(dǎo)致股票資產(chǎn)以及方差/波動率資產(chǎn)權(quán)重的降低.基于美國標普500全收益指數(shù)和VIX期貨的實證結(jié)果表明，組合中加入VIX期貨有助于分散組合風險和提高投資組合樣本外績效.組合中不包含VIX期貨會導(dǎo)致投資者在市場風險較小的時候過于謹慎，而在市場風險較高的時候承擔了較高的市場不利變動風險，從而導(dǎo)致投資者遭受較高的經(jīng)濟成本.

樣本外實證結(jié)果表明，在股票組合中加入VIX期貨有助于提高組合收益和收益風險比.然而，當投資者具有較低的風險厭惡系數(shù)時，VIX期貨的加入提高了風險資產(chǎn)的權(quán)重和成交規(guī)模.在存在模型不確定性的情況下，高風險資產(chǎn)權(quán)重容易導(dǎo)致組合的波動率增加；而當交易手續(xù)費較高時，較高的成交規(guī)模會侵蝕組合的收益.在引入方差/波動率資產(chǎn)構(gòu)建組合時考慮交易成本的影響，值得進一步深入研究.

附錄A

命題1的證明:

令J(W,Y,t)=maxEt(u(WT))代表式(5)的值函數(shù)，則滿足以下HJB方程

(A1)

其中

(A2)

且J(W,Y,t)的終值條件為

(A3)

借鑒Chacko和Viceira[11]的做法，推測值函數(shù)可以寫作

(A4)

其中At,Bt和Ct為時間t的函數(shù)，且滿足終值條件AT=BT=CT=0.將式(A4)代入式(A1)可以得到

(A5)

上式的一階條件為

因而最優(yōu)動態(tài)投資組合為

(A6)

其中

代表方差資產(chǎn)價格的長期均衡值.可以將式(A5)寫作

(A7)

其中

以及

為了保證式(A7)對任意的Yt都成立，At應(yīng)滿足以下常微分方程

并且由終端條件AT=0，可以得到At的顯示解為

(A8)

類似的，有Bt滿足以下常微分方程

并且由終端條件BT=0，可得方程的解為

(A9)

在實證分析中，采用梯形數(shù)值積分方法求解上式.

證畢.

附錄B

命題2的證明:

類似于命題1的證明，值函數(shù)J(W,Y,t)=maxEt(u(WT))可以寫作

且滿足以下HJB方程

(A10)

由一階條件可得最優(yōu)解為

將其代入式(A10)， 可求得

(A11)

(A12)

(A13)

其中

且

證畢.