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    有界線性算子及其函數(shù)的Browder定理的判定*

    2022-10-13 10:00:18仇思楠曹小紅
    關(guān)鍵詞:充分性界線算子

    仇思楠,曹小紅

    陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,陜西 西安 710119

    線性算子的譜理論是算子理論的重要組成部分。該理論源于代數(shù)方程、線性方程組、積分方程和微分方程的特征值求解問(wèn)題,與算子方程的求解關(guān)系密切。1909 年,Weyl[1]在檢測(cè)Hilbert 空間上自伴算子所有緊攝動(dòng)的譜時(shí)發(fā)現(xiàn):自伴算子T的所有緊攝動(dòng)譜集的交集恰好是其譜集中非孤立的有限重特征值全體,這一性質(zhì)被人們稱(chēng)為Weyl定理。自此之后,一方面,許多學(xué)者開(kāi)始研究哪些算子滿足Weyl定理,于是滿足Weyl 定理的算子范圍不斷地?cái)U(kuò)大[2-9];另一方面,Weyl 定理的形式也在不斷變化,其中Weyl 定理的一種變形就是由Harte 和Lee 定義的Browder 定理[10]。近年來(lái),許多學(xué)者利用不同的譜集給出了算子滿足Weyl 型定理的各種判定方法[11-13]。本文將借鑒文獻(xiàn)[11]的思想方法,用一種新定義的譜集來(lái)刻畫(huà)有界線性算子及其函數(shù)的Browder定理。

    1 預(yù)備知識(shí)

    在本文中,H表示無(wú)限維復(fù)可分的Hilbert 空間,B(H)表示H上的有界線性算子全體,T*表示T∈B(H)的共軛算子。稱(chēng)算子T∈B(H)為上半Fredholm 算子,若T的零空間N(T)是有限維的且值域

    對(duì)T∈B(H),算子T的譜,本質(zhì)譜,Weyl譜,Browder譜,本質(zhì)逼近點(diǎn)譜,Saphar譜,Kato譜分別表示為σ(T),σe(T),σw(T),σb(T),σea(T),σS(T)以及σK(T). 相應(yīng)的預(yù)解集分別為:ρ(T) = Cσ(T),ρe(T) = Cσe(T),ρw(T) = Cσw(T),ρb(T) = Cσb(T),ρea(T) = Cσea(T),ρS(T) = CσS(T),ρK(T) = CσK(T). 記σC(T) ={λ∈C:R(T-λI)不閉},由Kato 算子定義可知σK(T) =σS(T) ∪σC(T). 此外,記σ0(T) =σ(T)σb(T),ρ+e(T) ={λ∈ρe(T):ind(T-λI) >0}. 用B°(λ0;ε)表示λ0的ε空心鄰域,D 表示單位閉圓盤(pán),Γ 表示單位圓周。對(duì)集合E?C,用isoE表示E中孤立點(diǎn)的全體,?E表示E中邊界點(diǎn)的全體,accE表示E中聚點(diǎn)的全體,intE表示E中內(nèi)點(diǎn)的全體。

    我們知道,對(duì)于T∈B(H),任給多項(xiàng)式p,有σ(p(T)) =p(σ(T)),σe(p(T)) =p(σe(T)),σb(p(T)) =p(σb(T)),σa(p(T)) =p(σa(T)). 特別地,由文獻(xiàn)([14,Satz6])知,對(duì)于T∈B(H),任給多項(xiàng)式p,有σK(p(T)) =p(σK(T)).

    2 有界線性算子的Browder定理

    在文獻(xiàn)[11]中,作者定義了一個(gè)新的譜集σ3(T)并由此研究了有界線性算子T及其函數(shù)演算的Weyl型定理。下面將繼續(xù)該項(xiàng)工作。首先定義集合

    令σ3(T) = Cρ3(T),則σ3(T) ?σw(T) ?σb(T) ?σ(T).

    設(shè)T∈B(H), 算 子T滿 足Browder 定 理 是 指σ(T)σw(T) ?π00(T) 或σw(T) =σb(T), 其 中π00(T) ={λ∈isoσ(T):0 <n(T-λI) <∞};算 子T滿 足Weyl 定 理 是 指σ(T)σw(T) =π00(T). 顯 然,Browder 定理只是Weyl 定理的一部分,算子滿足Weyl 定理則必定滿足Browder 定理,反之,若算子滿足Browder定理,則未必滿足Weyl定理。

    下面,借助σ3(T)來(lái)刻畫(huà)有界線性算子及其函數(shù)的Browder定理。

    定理1設(shè)T∈B(H),則下列敘述等價(jià):

    (i)T滿足Browder定理;

    (ii)σ(T) =σ3(T) ?isoσ(T);

    (iii)accσ(T) ?σ3(T);

    (iv)σ3(T) = accσ(T) ?{λ∈C:n(T-λI) = ∞};

    (v)intσ(T) ?σ3(T);

    (vi)σ(T) =σ3(T) ??σ(T);

    (vii)intσ(T) = intσ3(T);

    (viii)accσ(T) = accσ3(T) ?accisoσ(T);

    (ix)σ3(T) = intσ(T) ?{λ∈C:n(T-λI) = ∞}?[accσ(T) ??σ(T)];

    (x)σ(T) = accσ3(T) ?{λ∈C:n(T-λI) = ∞}?σC(T) ?σ0(T);

    (xi)σ(T) = accσ3(T) ?{λ∈C:n(T-λI) = ∞}?σK(T);

    (xii)σ(T) =σ3(T) ?σC(T) ?σ0(T);

    (xiii)σ(T) =σ3(T) ?σK(T).

    證明

    (i)?(ii)任 給λ0?σ3(T) ?isoσ(T),由ρ3(T) 的 定 義 及 已 知 條 件T滿 足Browder 定 理 可 知λ0∈ρ(T) ?isoσ(T). 又由于λ0?isoσ(T),因此λ0?σ(T).反包含顯然成立。

    (ii)?(iii)由accσ(T) ?σ(T) =σ3(T) ?isoσ(T)知accσ(T) ?σ3(T).

    (iii)?(iv)對(duì)任意λ0?accσ(T) ?{λ∈C:n(T-λI) = ∞},則λ0∈ρ(T) ?isoσ(T),且n(T-λ0I) <∞,于是λ0?σ3(T).反包含顯然成立。

    (iv)?(v)顯然。

    (v)?(vi)σ(T) = intσ(T) ??σ(T) ?σ3(T) ??σ(T).

    (vi)?(vii)由intσ(T) ?σ(T) =σ3(T) ??σ(T)知intσ(T) ?σ3(T),于是intσ(T) ?intσ3(T). 反包含顯然成立。

    (vii)?(i)設(shè)T-λ0I是Weyl 算子,則λ0?intσ3(T) = intσ(T),所以λ0∈ρ(T) ??σ(T),故T-λ0I是Browder算子。

    (ii)?(viii)顯然。

    (viii)?(i)設(shè)T-λ0I是Weyl 算子,則λ0?accσ3(T) ?accisoσ(T),因此λ0?accσ(T),于是T-λ0I是Browder算子。

    (iii) ? (ix) 對(duì) 任 意λ0?intσ(T) ∪{λ∈C:n(T-λI) = ∞}?[accσ(T) ??σ(T)], 則λ0∈ρ(T)?isoσ(T),且n(T-λ0I)<∞,因此λ0?σ3(T). 反包含顯然成立。

    (ix)?(v)顯然。

    (i)?(x)任給λ0?accσ3(T) ?{λ∈C:n(T-λI) = ∞}?σC(T) ?σ0(T),則T-λ0I是上半Fredholm算子且λ0∈ρ3(T) ?isoσ3(T)且λ0?σ0(T). 由半Fredholm 算子的攝動(dòng)理論以及ρ3(T)的定義知T-λ0I為Weyl算子。由于T滿足Browder定理,則T-λ0I為Browder算子,又由于λ0?σ0(T),于是λ0?σ(T). 反包含顯然成立。

    (x)?(xi)顯然。

    (xi)?(i)設(shè)T-λ0I是Weyl 算子,則存在ε>0,當(dāng)0 <|λ-λ0|<ε時(shí),λ∈ρw(T) ?ρK(T). 所以λ?accσ3(T) ?{λ∈C:n(T-λI) = ∞}?σK(T),從而T-λI可逆。于是T-λ0I是Browder算子。

    (xii)?(xiii)顯然。

    (xiii)?(i)設(shè)T-λ0I是Weyl 算子,則存在ε>0,當(dāng)0 <|λ-λ0|<ε時(shí),λ∈ρw(T) ?ρK(T). 所以λ?σ3(T) ?σK(T),從而T-λI可逆。于是T-λ0I是Browder算子。

    注1

    (i)當(dāng)T滿足Browder定理時(shí),定理1的(x)中σ(T)分解的四部分缺一不可。

    例2令T∈B(?2)定 義 為:T(x1,x2,x3,…) =(0,x1,x2,x3,…),則σ(T) =σw(T) =σb(T) = D,但 是{λ∈C:n(T-λI) = ∞}=σ0(T) = ?,σC(T) = Γ,σ(T) ≠{λ∈C:n(T-λI) = ∞}?σC(T) ?σ0(T), 故accσ3(T)不能缺。

    例3令T∈B(?2)定義為:T(x1,x2,x3,…) =(0,x2,x3,x4,…),則σ(T) ={0,1},σw(T) =σb(T) ={1},即T滿 足Browder 定 理。 但 是accσ3(T) =σC(T) = ?,{λ∈C:n(T-λI) = ∞}={1},σ0(T) ={0},σ(T) ≠accσ3(T) ?σC(T) ∪σ0(T),故{λ∈C:n(T-λI) = ∞}不能缺。σ(T) ≠accσ3(T) ?{λ∈C:n(T-λI) = ∞}?σC(T),故σ0(T)不能缺。

    (iv)σ(T) =σ3(T)當(dāng)且僅當(dāng)T滿足Browder定理且{λ∈isoσ(T):n(T-λI) <∞}= ?.

    證 明 必 要 性。根 據(jù) 定 理1,T滿 足Browder 定 理 顯 然 成 立。由{λ∈isoσ(T):n(T-λI) <∞}?ρ3(T) =ρ(T)知{λ∈isoσ(T):n(T-λI) <∞}= ?.

    充分性。σ(T) ?σ3(T) 顯然。下證σ3(T) ?σ(T). 若λ0?σ3(T),由T滿足Browder 定理,則λ0∈ρ(T) ?isoσ(T),但是{λ∈isoσ(T):n(T-λI) <∞}= ?,于是λ0?σ(T).

    (v)當(dāng)accσ(T) = accσ3(T)時(shí),T滿足Browder 定理。反之不成立。如例4,雖然T滿足Browder 定理,但是accσ(T) ={0},accσ3(T) = ?,accσ(T) ≠accσ3(T).

    (vi)accσ(T) = accσ3(T)當(dāng)且僅當(dāng)T滿足Browder定理且E= ?,其中

    E={λ∈C:存在ε>0,當(dāng)0 <|μ-λ|<ε時(shí),n(T-μI) <∞,并且μ∈ρ(T) ?isoσ(T)}?accisoσ(T).

    證明 必要性。當(dāng)accσ(T) = accσ3(T)時(shí),E?accσ(T),但E∩accσ3(T) = ?,故E= ?.

    充分性。任給λ0?accσ3(T),則由T滿足Browder 定理可知存在ε>0,使得當(dāng)0 <|μ-λ0|<ε時(shí),n(T-μI) <∞并且μ∈ρ(T) ?isoσ(T). 由E= ? 知,λ0?accisoσ(T). 從 而 當(dāng)0 <|μ-λ0|<ε時(shí),μ∈ρ(T),即λ0∈ρ(T) ?isoσ(T). 故accσ(T) = accσ3(T).

    在定理1 中,主要用σ(T)與σ3(T),accσ(T)與σ3(T),intσ(T)與σ3(T),σ(T)與accσ3(T)之間的關(guān)系來(lái)刻畫(huà)算子T的Browder 定理。接下來(lái),繼續(xù)用σ(T)與accσ3(T)之間的關(guān)系來(lái)討論算子T的Browder定理。

    推論1設(shè)T∈B(H),則下列敘述等價(jià):

    (i)T滿足Browder定理;

    證明

    (i)?(ii) 任 給λ0?accσ3(T) ?accisoσ(T) ?{λ∈C:n(T-λI) = ∞}?{λ∈isoσ(T):n(T-λI) <d(T-λI)}?σ0(T),由定理1 可知,λ0∈ρ(T) ?isoσ(T). 斷言:λ0?isoσ(T). 若否,則n(T-λ0I) ≥d(T-λ0I),又n(T-λ0I) <∞,從而T-λ0I是Fredholm算子。由于λ0∈isoσ(T),因此λ0∈σ0(T). 這與λ0?σ0(T)矛盾。于是λ0?σ(T)得證。反包含顯然成立。

    (ii)?(iii)顯然。

    (iii)?(i)設(shè)T-λ0I是Weyl 算子,則存在ε>0,使得當(dāng)0 <|μ-λ0|<ε時(shí),μ∈ρw(T) ?ρS(T). 故μ?accσ3(T) ?accisoσ(T) ?{λ∈C:n(T-λI) = ∞}?{λ∈isoσ(T):n(T-λI) <d(T-λI)}?σS(T),從而μ?σ(T). 于是λ0∈ρ(T) ?isoσ(T),即T-λ0I是Browder算子。

    接下來(lái),用σ(T)和intσ3(T)之間的關(guān)系來(lái)討論算子T的Browder定理。推論2設(shè)T∈B(H),則下列敘述等價(jià):

    (i)T滿足Browder定理;

    (ii)σ(T) = intσ3(T) ?{λ∈?σ(T):n(T-λI) <d(T-λI)}?{λ∈C:n(T-λI) = ∞}?σ0(T);

    (iii)σ(T) = intσ3(T) ?{λ∈?σ(T):n(T-λI) <d(T-λI)}?{λ∈C:n(T-λI) = ∞}?σS(T).

    證明

    (i)?(ii)任給λ0?intσ3(T) ?{λ∈?σ(T):n(T-λI) <d(T-λI)}?{λ∈C:n(T-λI) = ∞}?σ0(T),則 對(duì) 任 意Bo(λ0,ε), 存 在λ1∈Bo(λ0,ε), 使 得λ1∈ρ3(T). 于 是 存 在λ2∈Bo(λ0,ε), 使 得λ2∈ρw(T) ∪ρS(T). 由T滿足Browder 定理,所以λ2∈ρ(T). 因此λ0∈ρ(T) ??σ(T). 若λ0∈?σ(T),則T-λ0I是Fredholm 算子,由Fredholm 算子的攝動(dòng)定理可知,T-λ0I是Weyl算子,又由T滿足Browder定理且λ0?σ0(T) 得到λ0∈ρ(T). 反包含顯然成立。

    (ii)?(iii)顯然。

    (iii)?(i)設(shè)T-λ0I是Weyl 算子,則存在ε>0,使得當(dāng)0 <|μ-λ0|<ε時(shí),μ∈ρw(T) ?ρS(T). 故μ?intσ3(T) ?{λ∈?σ(T):n(T-λI) <d(T-λI)}?{λ∈C:n(T-λI) = ∞}?σS(T), 從 而μ?σ(T).于是λ0∈ρ(T) ?isoσ(T),因此T-λ0I是Browder算子。

    注2

    (i)在推論1和推論2中,通過(guò)舉例可知,當(dāng)T滿足Browder定理時(shí),σ(T)分解的幾部分仍然是缺一不可的。

    (ii)intσ3(T) = ?且T滿足Browder定理當(dāng)且僅當(dāng)

    證明 必要性。由條件及推論2 知σ(T) ={λ∈?σ(T):n(T-λI) <d(T-λI)}?{λ∈C:n(T-λI) =∞}?σ0(T). 容易證明

    于是可得

    所以σ(T) ={λ∈?σ(T):n(T-λI) ≤d(T-λI)}∪σ0(T).

    充分性。因?yàn)棣?T) ={λ∈?σ(T):n(T-λI) ≤d(T-λI)}?σ0(T) ??σ(T),所以intσ(T) = ?,于是intσ3(T) = ?,根據(jù)定理1可知T滿足Browder定理。

    (iii)由前面的結(jié)論,當(dāng)σ(T) =σ3(T) 或accσ(T) = accσ3(T) 或intσ(T) = intσ3(T) 時(shí),T均 滿 足Browder定理。但是,當(dāng)?σ(T) = ?σ3(T)時(shí),無(wú)法確定T是否滿足Browder定理。下面,舉例進(jìn)行說(shuō)明。

    例5設(shè)A,B∈B(?2)分別定義為:A(x1,x2,x3,…) =(0,x1,x2,x3,…),B(x1,x2,x3,…) =(x2,x3,x4,…),令T= diag(A,B),則σ(T) = D,σ3(T) = Γ,?σ(T) = ?σ3(T),但是σb(T) = D,σw(T) = Γ,故T不滿足Browder定理。

    (i)T滿足Browder定理;

    (ii)σ3(T) = intσ(T) ??σ3(T);

    (iii)σ(T) = ?σ3(T) ?isoσ(T) ?accσw(T);

    (iv)σ(T) = ?σ3(T) ?{λ∈C:n(T-λI) <d(T-λI)}?accσw(T) ?σ0(T);

    (v)σ(T) = ?σ3(T) ?{λ∈C:n(T-λI) <d(T-λI)}?accσw(T) ?σS(T).

    證明

    (i)?(ii)因?yàn)門(mén)滿足Browder定理,根據(jù)定理1,故σ3(T) = intσ(T) ??σ3(T).

    (ii) ?(iii)σ(T) =σ3(T) ?[ρ3(T) ?σ(T)]= intσ(T) ??σ3(T) ?[ρ3(T) ?σ(T)]. 由σ3(T) =intσ(T) ??σ3(T) 知,ρw(T) ?ρ(T) ??σ(T). 故T滿 足Browder 定 理,于 是intσ(T) ?accσw(T),ρ3(T) ?σ(T) ?isoσ(T). 因此?σ3(T) ?isoσ(T) ?accσw(T) ?σ(T). 反包含顯然成立。

    (iii)?(iv)由(iii)知σ(T) = ?σ3(T) ?isoσ(T) ?accσw(T),又因?yàn)?/p>

    所以σ(T) ??σ3(T) ∪{λ∈C:n(T-λI) <d(T-λI)}?accσw(T) ?σ0(T). 反包含顯然成立。

    (iv)?(v)顯然。

    (v)?(i)設(shè)T-λ0I是Weyl 算子,則存在ε>0,使是當(dāng)0 <|μ-λ0|<ε時(shí),μ∈ρw(T) ?ρS(T). 故μ??σ3(T) ?{λ∈C:n(T-λI) <d(T-λI)}?accσw(T) ?σS(T), 從 而μ?σ(T). 于 是λ0∈ρ(T) ?isoσ(T),因此T-λ0I是Browder算子。

    注3

    (i)設(shè)T滿足Browder定理且{λ∈isoσ(T):n(T-λI) <∞}= ?,則?σ(T) = ?σ3(T). 反之不成立。

    事實(shí)上,由T滿足Browder 定理知ρ3(T) ={λ∈isoσ(T):n(T-λI) <∞}?ρ(T) =ρ(T),于是?σ(T) =?σ3(T). 而當(dāng)?σ(T) = ?σ3(T)時(shí),一定有{λ∈isoσ(T):n(T-λI) <∞}= ?.

    (ii)T滿足Browder定理且{λ∈isoσ(T):n(T-λI) <∞}= ?當(dāng)且僅當(dāng)σ(T) =σ3(T).

    (iii)T滿足Browder定理且?σ(T) = ?σ3(T)當(dāng)且僅當(dāng)σ(T) =σ3(T).

    3 算子函數(shù)的Browder定理

    我們知道,算子滿足Browder 定理并不能推出其函數(shù)演算滿足Browder 定理。接下來(lái),借助σ(T)和σ3(T)之間的關(guān)系來(lái)討論算子函數(shù)的Browder定理。

    定理2設(shè)T∈B(H),則對(duì)任意的多項(xiàng)式p,p(T)滿足Browder定理當(dāng)且僅當(dāng)

    (i)T滿足Browder定理;

    (ii) 對(duì)任意多項(xiàng)式p,p(σ3(T)) ?σw(p(T)).

    證明 必要性。(i)顯然成立。對(duì)任意多項(xiàng)式p,p(σ3(T)) ?p(σb(T)) =σb(p(T)) =σw(p(T)),故(ii)成立。

    充分性。先證明對(duì)任意λ,μ∈ρe(T),有ind(T-λI) · ind(T-μI) ≥0. 反證:若存在λ0,μ0∈ρe(T),使得ind(T-λ0I) =n>0,ind(T-μ0I) = -m<0,其中n和m都是正整數(shù)。令p0(T) =(T-λ0I)m(T-μ0I)n,則p0(T)為Weyl算子,而0 =p0(λ0)=p0(μ0) ∈p0(σ3(T)) ?σw(p0(T)),矛盾。故對(duì)任意λ,μ∈ρe(T),有ind(T-λI) · ind(T-μI) ≥0. 設(shè)p(T) -μI是 Weyl 算 子, 令p(x) -μ=a(x-λ)n1(x-λ)n2…(x-12λk)nk,μ=p(λi),i= 1,…,k.則p(T) -μI=a(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nk,且

    所以T-λiI是Weyl算子。故T-λiI是Browder算子,于是p(T) -μI是Browder算子。

    注4對(duì)于定理2,考慮這樣一個(gè)問(wèn)題:條件“對(duì)任意多項(xiàng)式p,p(σ3(T)) ?σw(p(T))”在什么情況下可以加強(qiáng)為“對(duì)任意多項(xiàng)式p,p(σ3(T)) =σw(p(T))”?為此,有如下結(jié)論。

    設(shè)T∈B(H),則對(duì)任意的多項(xiàng)式p,p(T)滿足Browder 定理且{λ∈isoσ(T):n(T-λI) <∞}=σ0(T)當(dāng)且僅當(dāng)

    (i)T滿足Browder定理;

    (ii)對(duì)任意多項(xiàng)式p,p(σ3(T)) =σw(p(T)).

    證明 必要性。只需證p(σ3(T)) ?σw(p(T)). 對(duì)任意μ0?p(σ3(T)),令p(x) -μ0=a(x-λ1)n1(x-λ2)n2…(x-λk)nk,μ0=p(λi),i= 1,…,k. 則p(T) -μ0I=a(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nk. 顯 然λi?σ3(T). 從而λi∈ρ(T) ?isoσ(T). 不妨設(shè)λi∈isoσ(T),則由已知條件得λi∈σ0(T),因此T-λiI是Browder算子。故μ0?σw(p(T)).

    充分性。只需證{λ∈isoσ(T):n(T-λI) <∞}?σ0(T). 由已知條件可知σ3(T) =σw(T),又因?yàn)閧λ∈isoσ(T):n(T-λI) <∞}?ρ3(T),所以{λ∈isoσ(T):n(T-λI) <∞}?σ0(T).

    推論4設(shè)T∈B(H),則對(duì)任意的多項(xiàng)式p,p(T)滿足Browder定理當(dāng)且僅當(dāng)

    (i)T滿足Browder定理;

    (ii)對(duì)任意多項(xiàng)式p,p(σ3(T) ?ρe(T)) ?ρw(p(T)) = ?.

    證明 必要性。由定理2 知,對(duì)任意多項(xiàng)式p,p(σ3(T) ?ρe(T)) ?p(σ3(T)) ?σw(p(T)). 因此p(σ3(T) ?ρe(T)) ?ρw(p(T)) = ?.

    充分性。根據(jù)定理2,只需證對(duì)任意多項(xiàng)式p,p(σ3(T)) ?σw(p(T)). 對(duì)任意μ0?σw(p(T)),設(shè)p(T) -μ0I=a(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nk,則T-λiI是Fredholm 算子,其中i= 1,…,k.若存在j,使得ind(T-λjI) >0,則λj∈σ3(T),從而p(σ3(T) ?ρe(T)) ?ρw(p(T)) ≠?,矛盾。于是任意1 ≤i≤k有ind(T-λiI) ≤0. 同理可得任意1 ≤i≤k有ind(T-λiI) ≥0. 從而λi?σ3(T),故μ0?p(σ3(T)).

    推論5設(shè)T∈B(H),則對(duì)任意的多項(xiàng)式p,p(T)滿足Browder定理當(dāng)且僅當(dāng)

    (i)T滿足Browder定理;

    (ii)對(duì)任意多項(xiàng)式p,p(σ3(T)) =σ3(p(T)).

    證明 充分性。由定理2,顯然。

    下證σ3(p(T)) ?p(σ3(T)). 任意μ0?p(σ3(T)),設(shè)p(T) -μ0I=a(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nk,其中i= 1,…,k. 則λi?σ3(T),從而n(p(T) -μ0I) <∞. 由T滿足Browder 定理,λi∈ρ(T) ?isoσ(T). 不妨設(shè)λi∈isoσ(T),i= 1,…,k. 則{λi},i= 1,…,k,為k個(gè)開(kāi)閉集,從而T= diag(T1,T2,…,Tk,A),其中σ(Ti)={λi},σ(A) =σ(T){λ1,…λk}. 于 是p(T) = diag(p(T1),p(T2),…,p(Tk),p(A)), 其 中σ(p(Ti)) =p(σ(Ti)) ={μ0},σ(p(A)) =p(σ(A)). 因 為λi?σ(A),故μ0?p(σ(A)),于 是μ0∈isoσ(p(T)),因 此μ0?σ3(p(T)).

    定理3設(shè)T∈B(H),則對(duì)任意的多項(xiàng)式p,p(T)滿足Browder定理當(dāng)且僅當(dāng)T滿足Browder定理且下列之一成立:

    (i)ρ+e(T) = ?;

    (ii)σ3(T) ?σe(T) ?σea(T).

    證明 必要性。T滿足Browder定理顯然成立。下面證明(i),(ii)至少有一個(gè)成立。采用反證法,若存在λ1∈ρ+e(T)且λ2∈σ3(T) ?ρe(T) ?ρea(T),則T-λ1I是Fredholm 算子且ind(T-λ1I) =n>0,T-λ2I是Fredholm 算子且ind(T-λ2I) = -m<0,其中n和m都是正整數(shù)。令p(T) =(T-λ1I)m(T-λ2I)n,則p(T)為Fredholm 算子且ind(p(T)) = 0,由p(T)滿足Browder 定理,從而p(T)是Browder 算子,因此T-λ1I是Browder 算子,這與ind(T-λ1I) >0 矛盾。故ρ+e(T) = ?與σ3(T) ?σe(T) ?σea(T)至少有一個(gè)成立。

    充分性。若(i)成立,即若T-λI是Fredholm 算子,則ind(T-λI) ≤0. 設(shè)p(T) -μ0I是Weyl算子,令p(x) -μ0=a(x-λ1)n1(x-λ2)n2…(x-λk)nk,μ0=p(λi),i= 1,…,k. 則p(T) -μ0I=a(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nk且0 = ind(p(T) -μ0I) =n1ind(T-λ1I) +n2ind(T-λ2I) + … +nkind(T-λkI), 所 以T-λiI是Weyl算子,又T滿足Browder定理,故T-λiI是Browder算子,于是p(T) -μ0I是Browder算子。

    同理,若(ii)成立,由ρ3(T)的定義及Fredholm 算子的攝動(dòng)定理可知,若T-λI是Fredholm 算子,則ind(T-λI) ≥0. 于是,仍可證得對(duì)任意的多項(xiàng)式p,p(T)滿足Browder定理。

    事實(shí)上,σ3(T) ?σe(T) ?σea(T*)當(dāng)且僅當(dāng)ρ+e(T) = ?. 因此,有如下推論。

    推論6設(shè)T∈B(H),則對(duì)任意的多項(xiàng)式p,p(T)滿足Browder定理當(dāng)且僅當(dāng)T滿足Browder定理且下列之一成立

    (i)σ3(T) ?σe(T) ?σea(T*);

    (ii)σ3(T) ?σe(T) ?σea(T).

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