基于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的陀螺加速度計(jì)溫度系數(shù)補(bǔ)償方法

周曉俊，凌林本，楊功流，李 亮

（1.北京航空航天大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京 100191；2.北京航天控制儀器研究所，北京 100039）

擺式積分陀螺加速度計(jì)（Pendulous Integrating Gyro Accelerometer,PIGA）簡(jiǎn)稱為陀螺加速度計(jì)，是一種利用陀螺力矩平衡慣性力矩的擺式加速度計(jì)[1,2]，具有精度高、量程大、抗干擾強(qiáng)和能自動(dòng)積分等優(yōu)點(diǎn)，為平臺(tái)式慣性測(cè)量系統(tǒng)的核心儀表[3,4]，主要用于測(cè)量載體相對(duì)慣性空間的加速度，廣泛應(yīng)用于國(guó)內(nèi)外戰(zhàn)略武器慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中[5,6]。

在平動(dòng)基座下，陀螺加速度計(jì)的誤差模型可寫為式(1)所示[7-12]：

式中，α˙為儀表進(jìn)動(dòng)角速度，即儀表的輸出；aX為輸入加速度；K0為與加速度無關(guān)的零次項(xiàng)系數(shù)，即偏置誤差；K1為與加速度成比例的一次項(xiàng)系數(shù)，即比例系數(shù)；K2為與加速度平方有關(guān)的二次項(xiàng)系數(shù)；η為輸出隨機(jī)誤差。通常用一次項(xiàng)系數(shù)1K的穩(wěn)定性作為衡量加速度計(jì)精度的指標(biāo)。對(duì)于陀螺加速度計(jì)而言，一次項(xiàng)精度主要與儀表的擺性和角動(dòng)量的穩(wěn)定性相關(guān)。

液浮陀螺加速度計(jì)是目前國(guó)內(nèi)外工程應(yīng)用上能實(shí)現(xiàn)的最高精度的加速度計(jì)[13,14]，其內(nèi)環(huán)采用全液浮支承方式，浮子重力由浮油的浮力來平衡，可有效減小儀表內(nèi)環(huán)干擾力矩的影響，從而實(shí)現(xiàn)高精度。其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

圖1 液浮陀螺加速度計(jì)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structural representation of the liquid floated gyro accelerometer

在圖1 中，儀表內(nèi)部充滿高比重的浮油，而浮油的密度與溫度密切相關(guān)，因此，通過加溫片加熱可以調(diào)整儀表的溫度，進(jìn)而改變浮油的密度。當(dāng)達(dá)到一定溫度（儀表工作溫度點(diǎn)）時(shí)，浮油產(chǎn)生的浮力剛好與浮子的重力平衡，即可使得浮子完全懸浮于浮油中。此外，對(duì)于高精度的陀螺加速度計(jì)而言，儀表擺性和角動(dòng)量隨溫度的微小變化也會(huì)造成儀表精度的變化。因此，可以看出，溫度對(duì)液浮陀螺加速度計(jì)的性能至關(guān)重要。

為此，提高液浮陀螺加速度計(jì)的精度，必須減小儀表的溫度誤差[15,16]，主要從兩方面進(jìn)行：一方面，可以提高儀表的溫控精度，使得儀表內(nèi)部的溫度場(chǎng)盡量均勻，減小溫度梯度；另一方面，也需控制儀表的溫度系數(shù)，即減小儀表一次項(xiàng)隨溫度變化的靈敏性。通過技術(shù)攻關(guān)，某型液浮陀螺加速度計(jì)的溫控精度已由±0.3℃提升至±0.03℃[17]，在儀表溫度系數(shù)不變的條件下，很難進(jìn)一步減小溫度誤差，進(jìn)而難以提升儀表的精度。因此，通過采取結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)補(bǔ)償?shù)姆椒▉頊p小儀表溫度系數(shù)，是進(jìn)一步提升液浮陀螺加速度計(jì)精度的有效途徑。

國(guó)內(nèi)研究人員在設(shè)計(jì)上對(duì)液浮陀螺加速度計(jì)一次項(xiàng)溫度系數(shù)的控制方面考慮較少，一般只是簡(jiǎn)單的采取線膨脹系數(shù)小的合金來作為陀螺電機(jī)和浮子組件的材料，而對(duì)材料線脹系數(shù)匹配和儀表溫度系數(shù)補(bǔ)償設(shè)計(jì)等方面的研究資料非常少。某型液浮陀螺加速度計(jì)的一次項(xiàng)溫度系數(shù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)大于1×10-5/℃，僅溫度波動(dòng)對(duì)儀表的精度誤差超過了3×10-7，這對(duì)高精度陀螺加速度計(jì)來說，顯然溫度誤差太大，需加以控制。

1 溫度系數(shù)計(jì)算

陀螺加速度計(jì)的原理示意圖如圖2所示[18]。

圖2 陀螺加速度計(jì)原理示意圖Fig.2 Schematic diagram of PIGA principle

在轉(zhuǎn)子軸（Z軸）上距中心距離為l處存在一個(gè)偏心質(zhì)量m，形成儀表的擺性ml；陀螺電機(jī)沿轉(zhuǎn)子軸（Z軸）高速穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)，提供角動(dòng)量H；當(dāng)沿輸入軸（即外環(huán)軸，X軸）有輸入加速度aX作用時(shí)，由于儀表擺性ml的存在，將在輸出軸（即內(nèi)環(huán)軸，Y軸）上產(chǎn)生偏擺力矩mlaX；根據(jù)陀螺原理，在此力矩作用下，陀螺加速度計(jì)將繞外環(huán)軸（X軸）進(jìn)動(dòng)，其進(jìn)動(dòng)角速度α˙與輸入加速度aX成正比；而當(dāng)儀表以α˙進(jìn)動(dòng)時(shí)，在內(nèi)環(huán)軸（Y軸）上便會(huì)產(chǎn)生陀螺力矩Hα˙，此陀螺力矩與偏擺力矩相平衡：

因此，根據(jù)陀螺加速度計(jì)誤差模型，一次項(xiàng)系數(shù)K1可寫為式(3)所示：

由于構(gòu)成儀表擺性ml和角動(dòng)量H的零組件采用的結(jié)構(gòu)材料不同，其線膨脹系數(shù)存在一定差異。當(dāng)存在溫度變化或溫度梯度時(shí)，擺性ml和角動(dòng)量H隨溫度的變化量不一致，將造成液浮陀螺加速度計(jì)的一次項(xiàng)發(fā)生變化。因此，將液浮陀螺加速度計(jì)一次項(xiàng)對(duì)溫度的敏感程度定義為一次項(xiàng)溫度系數(shù)，其表征：溫度變化1℃，儀表一次項(xiàng)K1的相對(duì)變化量，計(jì)算公式如式(4)所示：

式(4)中，α為一次項(xiàng)溫度系數(shù)，ΔK1為儀表一次項(xiàng)K1的變化量，Δml為擺性的變化量，ΔH為角動(dòng)量的變化量。

此外，定義擺性的溫度變化率為αl，角動(dòng)量的溫度變化率為αr，分別如式(5)(6)所示：

將式(5)(6)代入到式(4)，那么一次項(xiàng)溫度系數(shù)可進(jìn)一步寫成式(7)：

1.1 擺性溫度變化率αl計(jì)算

液浮陀螺加速度計(jì)的擺性變化可以由作用于陀螺組件上力的投影變化引起，也可以由擺性臂長(zhǎng)的變化引起。在靜基座試驗(yàn)時(shí)，擺性溫度變化率可以由式(8)表達(dá)：

式(8)中，mi為構(gòu)成浮子擺性的第i個(gè)零件質(zhì)量，il為第i個(gè)零件的質(zhì)心距浮子中心的距離。

由于質(zhì)量m隨溫度的變化可以忽略不計(jì)，而擺長(zhǎng)l的變化主要由零件材料線膨脹系數(shù)和零件溫度變化所確定。因此，式(8)可進(jìn)一步寫作為：

式(9)中，αi為第i零件的線膨脹系數(shù)。

在某型液浮陀螺加速度計(jì)浮子結(jié)構(gòu)中，構(gòu)成擺性的零組件包括支架、馬達(dá)和偏心配重等。擺性溫度變化率αl計(jì)算公式為浮子中上述零件的線膨脹系數(shù)對(duì)擺性的加權(quán)和。根據(jù)浮子的實(shí)際參數(shù)，可計(jì)算得到液浮陀螺加速度計(jì)浮子的擺性溫度變化率為αl=11.21 ×10-6/℃。

1.2 角動(dòng)量溫度變化率αr計(jì)算

液浮陀螺加速度計(jì)的陀螺電機(jī)采用內(nèi)轉(zhuǎn)子式半球型動(dòng)壓氣浮馬達(dá)，工作時(shí)在氣體環(huán)境中高速穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)，提供儀表的角動(dòng)量。角動(dòng)量的計(jì)算公式如式(10)所示：

式(10)中，J為馬達(dá)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ωr為馬達(dá)轉(zhuǎn)速。

在靜基座試驗(yàn)時(shí)，角動(dòng)量的變化可以由式(11)表達(dá)：

式(11)中，Jj為構(gòu)成馬達(dá)角動(dòng)量的第j個(gè)零件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

由于馬達(dá)質(zhì)量和馬達(dá)轉(zhuǎn)速ωr隨溫度的變化可以忽略不計(jì)，那么，角動(dòng)量的溫度變化率αr可由式(12)表達(dá)：

式(12)中，rj為構(gòu)成馬達(dá)角動(dòng)量的第j個(gè)零件的慣性半徑，mj為第j個(gè)零件的質(zhì)量，αj為第j零件的線膨脹系數(shù)。

某型液浮陀螺加速度計(jì)角動(dòng)量主要由馬達(dá)球碗、慣量環(huán)和磁鋼環(huán)等組成。α r的計(jì)算公式則為馬達(dá)轉(zhuǎn)子組件中每個(gè)零件的線膨脹系數(shù)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的加權(quán)和。根據(jù)馬達(dá)轉(zhuǎn)子的實(shí)際參數(shù)，可計(jì)算得到液浮陀螺加速度計(jì)角動(dòng)量溫度變化率為αr=11.15 ×10-6/℃。

1.3 一次項(xiàng)溫度系數(shù)計(jì)算

根據(jù)式(7)可得液浮陀螺加速度計(jì)一次項(xiàng)溫度系數(shù)為式(13)：

液浮陀螺加速度計(jì)一次項(xiàng)的溫度系數(shù)大于1×10-5/℃，以溫控精度為0.03℃計(jì)算，則溫度變化1℃將帶來的一次項(xiàng)K1變化3×10-7，這對(duì)高精度陀螺加速度計(jì)來說，顯然溫度誤差過大，需加以控制。

2 溫度系數(shù)補(bǔ)償方法

在上述分析過程中可知，擺性溫度變化率和角動(dòng)量溫度變化率均與零件材料自身的線膨脹系數(shù)有關(guān)。因此，通過采用材料線膨脹系數(shù)匹配的方法，可在一定程度上減小儀表的一次項(xiàng)溫度系數(shù)。但在液浮陀螺加速度計(jì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，零組件的材料還需綜合考慮：尺寸、重量、結(jié)構(gòu)剛度、熱傳導(dǎo)情況、電磁性能等因素，因此，材料線膨脹系數(shù)匹配的方法無法完全將溫度系數(shù)降低至零，還需研究其他的補(bǔ)償方法。本文提出一種基于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的陀螺加速度計(jì)一次項(xiàng)溫度系數(shù)補(bǔ)償方法，在浮子結(jié)構(gòu)上去除一定量的體積，調(diào)整浮子質(zhì)心與浮心距離浮子中心的距離，利用浮油作用到浮子上的浮力隨溫度的變化，來補(bǔ)償儀表擺性溫度變化率和角動(dòng)量溫度變化率的不匹配量。

液浮陀螺加速度計(jì)浮子結(jié)構(gòu)為非對(duì)稱設(shè)計(jì)時(shí)，浮子的質(zhì)心、浮心位置如圖3所示。工作狀態(tài)時(shí)，浮子懸浮于浮油中，浮力等于重力，平衡公式如式(14)：

圖3 浮子受力示意圖Fig.3 Force diagram of float

式(14)中，P為浮子的重量，Q為浮油的浮力，ρ0為浮油在工作溫度下的密度，V為浮子的體積。

根據(jù)液浮陀螺加速度計(jì)的工作原理，可建立內(nèi)環(huán)軸（Y 軸）的力矩平衡方程，如式(15)：

式(15)中，lc為浮子質(zhì)心偏離中心的距離，為浮子浮心偏離中心的距離。

由此，可進(jìn)一步寫成：

當(dāng)儀表溫度發(fā)生變化時(shí)，進(jìn)動(dòng)角速度的表達(dá)式可寫為式(17)：

式(17)中，α0為浮子體積變化的等效線膨脹系數(shù)，0β為浮油的體膨脹系數(shù)，T為溫度變化。

忽略含有線膨脹系數(shù)乘積項(xiàng)的小量，則確定相對(duì)進(jìn)動(dòng)角速度的溫度變化表達(dá)式為：

在初始溫度和保證“懸浮”的條件下（式(14)），溫度誤差補(bǔ)償通過采用浮子結(jié)構(gòu)體積不對(duì)稱形狀的設(shè)計(jì)方法來實(shí)現(xiàn)，令式(18)中所需的體積不對(duì)稱量為，式(18)左邊等于零，整理可得：

則補(bǔ)償條件可寫為式(20)的形式：

將某型液浮陀螺加速度計(jì)的相關(guān)設(shè)計(jì)參數(shù)代入式(20)中，可得補(bǔ)償?shù)捏w積不對(duì)稱量數(shù)值為：

3 體積補(bǔ)償設(shè)計(jì)

通過上述分析與計(jì)算，為補(bǔ)償某型液浮陀螺加速度計(jì)的一次項(xiàng)溫度系數(shù)，需要在浮子組件外圍，沿?cái)[性相反的方向進(jìn)行體積補(bǔ)償，補(bǔ)償量為V′·l′=-844.24mm4。

在液浮陀螺加速度計(jì)浮子組件的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，一般采用沿馬達(dá)軸（Z 軸）方向?yàn)槠脑O(shè)計(jì)，從而形成儀表的擺性，而另外兩個(gè)方向外環(huán)軸（X 軸）、內(nèi)環(huán)軸（Y 軸）為對(duì)稱設(shè)計(jì)。因此，進(jìn)行體積補(bǔ)償設(shè)計(jì)時(shí)，可以在Z 軸方向上進(jìn)行去量調(diào)整，且去的量需盡量沿X 軸和Y 軸對(duì)稱。

根據(jù)某型液浮陀螺加速度計(jì)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，在浮子組件的內(nèi)環(huán)軸（Y 軸）兩端對(duì)稱位置，沿馬達(dá)軸（Z軸）負(fù)方向，在半徑為R的圓上，距離中心點(diǎn)L處，去除2 個(gè)長(zhǎng)為B的弧形段，如圖4 中陰影部分所示。

圖4 浮子體積補(bǔ)償設(shè)計(jì)Fig.4 Compensation design of the float

陰影部分的體積V0計(jì)算為：

則，體積補(bǔ)償量為：

將某型液浮陀螺加速度計(jì)的結(jié)構(gòu)參數(shù)：R= 13mm，B=3.4mm，V′·l′=844.24mm4代入式(23)可得：L=11.63mm。即在半徑為13 mm 的圓上，距離中心點(diǎn)11.63 mm 處，去除2 個(gè)長(zhǎng)為3.4 mm 的弧形段。

上述結(jié)構(gòu)補(bǔ)償設(shè)計(jì)，僅在Z 軸方向上進(jìn)行去量，且沿X 軸和Y 軸對(duì)稱，對(duì)陀螺加速度計(jì)的影響僅為增大了擺性的常值，增大量為1.5%，對(duì)浮子組件的結(jié)構(gòu)剛度和穩(wěn)定性的影響可忽略。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

對(duì)采取一次項(xiàng)溫度系數(shù)補(bǔ)償設(shè)計(jì)后的液浮陀螺加速度計(jì)進(jìn)行溫度系數(shù)試驗(yàn)驗(yàn)證，補(bǔ)償設(shè)計(jì)前和補(bǔ)償設(shè)計(jì)后的測(cè)試結(jié)果如表1所示。

表1 溫度系數(shù)測(cè)試結(jié)果Tab.1 Test result of the temperature coefficient

可以看出，補(bǔ)償設(shè)計(jì)前儀表的溫度系數(shù)為-1.04×10-5/℃，補(bǔ)償設(shè)計(jì)后儀表的溫度系數(shù)為9.39×10-7/℃，提升了一個(gè)數(shù)量級(jí)以上。以溫控精度為0.03℃計(jì)算，則一次項(xiàng)的溫度誤差可減小至2.8×10-8，這對(duì)液浮陀螺加速度計(jì)的精度提升效果顯著。

此外，由于儀表的實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)與理論值存在一定偏差，且浮子的不同結(jié)構(gòu)部位也存在一定的溫度梯度，因此，補(bǔ)償設(shè)計(jì)后的溫度系數(shù)實(shí)測(cè)結(jié)果并非為零。

5 結(jié)論

為減小液浮陀螺加速度計(jì)內(nèi)部溫度變化對(duì)儀表性能的影響，本文分析了液浮陀螺加速度計(jì)一次項(xiàng)溫度系數(shù)的作用機(jī)理和計(jì)算方法，提出了一種基于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的溫度系數(shù)補(bǔ)償方法。在浮子結(jié)構(gòu)上去除一定量的體積，使得浮油作用到浮子上的浮力隨溫度的變化，來補(bǔ)償儀表擺性溫度變化率與角動(dòng)量溫度變化率的不匹配量，進(jìn)而降低一次項(xiàng)的溫度系數(shù)。通過試驗(yàn)驗(yàn)證表明，采用結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)補(bǔ)償后，儀表的一次項(xiàng)溫度系數(shù)由-1.04×10-5/℃降低至9.39×10-7/℃。在同等溫控精度條件下，該方法可將溫度系數(shù)降低一個(gè)數(shù)量級(jí)，這對(duì)液浮陀螺加速度計(jì)的精度提升具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。

后續(xù)將在材料的實(shí)測(cè)線膨脹系數(shù)、儀表內(nèi)部溫度梯度等方面開展研究，進(jìn)一步減小儀表實(shí)測(cè)的溫度系數(shù)，提升該項(xiàng)技術(shù)的實(shí)際應(yīng)用效果。