展現(xiàn)思維過程 促進概念理解
——對“弧度制”教學(xué)的思考*

商再金 (江蘇省灌云縣教師發(fā)展中心 222200)

翟洪亮 (江蘇省太湖高級中學(xué) 214125)

1 問題提出

在“弧度制”的一次研討課中，教師以生活中物理量具有多種度量制為情境，指出角度制的度量值不是十進制的實數(shù)，不便于三角函數(shù)的運算，需建立一種以十進制實數(shù)為度量值的單位制，引導(dǎo)學(xué)生回憶初中的弧長公式，獲得“用弧長和半徑的比值表示圓心角”的認(rèn)識后，直接指出以弧長等于半徑的圓心角為單位建立度量制就能實現(xiàn)簡化計算；隨即給出1弧度角、弧度制的概念，分析弧度制的本質(zhì)，建立起角的集合與實數(shù)集R之間的一一對應(yīng)關(guān)系，訓(xùn)練兩制互化，并介紹弧度制下扇形的面積公式.教學(xué)中存在諸多不足，分析如下.

2 問題分析

2.1 創(chuàng)設(shè)的情境與弧度制無邏輯關(guān)聯(lián)

教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)既要符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，也要體現(xiàn)知識的邏輯關(guān)聯(lián)，便于突破理解障礙.同一個物理量具有多種度量制，雖然符合學(xué)生的認(rèn)知，但與弧度制沒有邏輯關(guān)聯(lián)，不能為引入弧度制提供思維指向，也無法為理解弧度制提供認(rèn)知基礎(chǔ).筆者調(diào)查發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對弧度制的理解處在“知其然”的層面，而“不知其所以然”，不理解引入弧度制的根源和1弧度角的“規(guī)定”.因此，確定1弧度角的思維過程是教學(xué)中必須解決的問題.

2.2 沒有暴露形成單位角的思維過程

弧度制概念的形成需經(jīng)歷兩個認(rèn)知過程:一要實現(xiàn)角的比值表示，即建立弧長與半徑的比值與圓心角之間的一一對應(yīng)關(guān)系，這是弧度制的邏輯基礎(chǔ)；二要把比值表示轉(zhuǎn)化為度量刻畫，這需要確定單位約定的方式.確定度量單位是建立度量制的關(guān)鍵，過程有兩類：一類是通過抽象得到的，是思維的結(jié)果；另一類是借助工具得到的，是實踐的結(jié)果，不同的形成過程必然蘊含不同的思維形式[2].授課教師在學(xué)生經(jīng)歷第一個認(rèn)知過程后就直接給出1弧度角的規(guī)定，沒有揭示規(guī)定的緣由，也沒有暴露形成單位角的過程，學(xué)生只能觀察弧度制的外在形式，沒有體驗到1弧度角的形成過程，弄不清1弧度角與1度角在形成過程中的差異，也就認(rèn)識不到兩者的區(qū)別和聯(lián)系，自然感受不到弧度制蘊含的思想性和創(chuàng)造性.因此，在給出1弧度角的規(guī)定之前，應(yīng)以恰當(dāng)?shù)膯栴}作為鋪墊；在建立1弧度角的概念后，要設(shè)置恰當(dāng)?shù)幕顒幼寣W(xué)生體驗1弧度角與1度角在形成方式上的差異，感受弧度制的思想性，認(rèn)識到兩種度量制的區(qū)別與聯(lián)系.

2.3 沒有在概念理解中實現(xiàn)創(chuàng)生意義

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，理解一個主題要建立與之有關(guān)的心智模式或圖式，要求學(xué)習(xí)者運用已有知識在新的信息中創(chuàng)生意義、在事實與觀點間建立聯(lián)系.這樣才能使知識成為數(shù)學(xué)發(fā)展中的結(jié)點，才是具有活性的可應(yīng)用的知識.兩種度量制的互化是顯性的、自然的，不會導(dǎo)致理解障礙，互化技能的訓(xùn)練也是必要的.但還應(yīng)設(shè)置促進概念理解的教學(xué)活動，促使學(xué)生運用弧度制的知識構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)、實現(xiàn)具有創(chuàng)生意義的學(xué)習(xí)，并認(rèn)識到引入弧度制的必要性、合理性和優(yōu)越性.

3 問題解決

3.1 明確差異，在統(tǒng)一度量中引入弧度制

在初中，三角函數(shù)的自變量是角度，這與冪、指數(shù)、對數(shù)等初等函數(shù)的自變量為實數(shù)是不同的，啟發(fā)學(xué)生思考如何解決兩者的差異.引導(dǎo)學(xué)生回顧角度制，指出由于地域或功能的差異導(dǎo)致等分圓周的數(shù)目不同，如用于天文學(xué)的12等分、中亞兩河流域的360等分、歐洲的400等分和軍事上的6 000等分.目的是讓學(xué)生看到建立角度制的動力源自數(shù)學(xué)外部的實際需求，意識到等分圓周時具有一定的偶然性和隨意性.隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，三角學(xué)的重點從強調(diào)計算變成強調(diào)函數(shù)方法，角與長度的單位制不統(tǒng)一帶來諸多不便，建立統(tǒng)一的度量制是數(shù)學(xué)自身發(fā)展的必然，而初等函數(shù)中自變量的單位為實數(shù)1，從而想到能否統(tǒng)一用單位長度去度量角.

圓的兩要素為圓心和半徑，故只能用半徑去度量角.而同圓中兩條長度不同的弦的長度之比不等于其對應(yīng)角度之比，故只能用半徑去度量角所對的弧，這樣引入弧度制就顯得自然.如圖1，“自變量的單位為實數(shù)1”是促使用半徑去度量弧長的出發(fā)點，也是弧度制教學(xué)的切入點，更是優(yōu)化弧度制計算促使單位圓產(chǎn)生的導(dǎo)火索，還為三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的連貫性與整體性，規(guī)避了碎片化教學(xué)，促進知識體系的構(gòu)建.

圖1

3.2 仿圓周率，通過類比實現(xiàn)概念再創(chuàng)造

圖2

3.3 建立具象，在沖突中促進概念的理解

弧度制單位角是人類抽象思維的結(jié)晶，具有較高的抽象性，需要直觀的具象來促進理解.筆者的做法是在引出兩種度量制的換算關(guān)系前，指示學(xué)生先畫出弦長等于半徑的圓心角，讓他們先獲得1 rad角比60°角略小的感性認(rèn)知，再用弧度制視角研究整個圓周角，易得圓周角360°=2π rad，從而進行角度制與弧度制之間的互化，獲得1 rad精確的角度數(shù)，建立1 rad的圖形.目的是把建立具象的過程轉(zhuǎn)變成促進概念理解的過程，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

3.4 借助圖形，發(fā)現(xiàn)不等式中的創(chuàng)生意義

圖3

圖4

4 教學(xué)反思

4.1 要注重弧度制概念的生成過程

弧度制教學(xué)要注重概念的生成過程.許多教師在概念教學(xué)中，往往不注重概念的形成過程，僅注重概念的運用，出現(xiàn)“斬頭去尾燒中段”現(xiàn)象，忽視學(xué)生的主體地位，阻礙了學(xué)生思維能力的發(fā)展.弧度制概念教學(xué)應(yīng)注意引入背景的選擇，認(rèn)清根源是由于數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要，實現(xiàn)從幾何到代數(shù)的跨越是統(tǒng)一度量的必然，然后從確定圓的要素中尋找切入點，聯(lián)想圓周率，通過整體與部分進行類比，還原出知識產(chǎn)生、發(fā)展的原貌，引導(dǎo)學(xué)生對1弧度角的“再創(chuàng)造”，激發(fā)興趣，啟迪思維，把數(shù)學(xué)“冰冷的美麗”轉(zhuǎn)化為學(xué)生“火熱的思考”，展現(xiàn)思維過程，促進概念內(nèi)化，構(gòu)建知識體系，發(fā)展學(xué)生能力，提升學(xué)生素養(yǎng).

4.2 要適度運用措施防止誤導(dǎo)學(xué)生

弧度制教學(xué)要注意強化措施運用的適度性.弧度制與角度制除了“單位”不同外，“沒有本質(zhì)上的差別，而且還關(guān)系密切”[3]，它們沒有優(yōu)劣之分，只是角度制更適用于幾何的方法，而弧度制更適用于代數(shù)的方法.但是，弧度制單位角創(chuàng)立形式的抽象性、省略弧度制單位的記法、角的比值表示等客觀因素容易放大弧度制的特殊性.教學(xué)中的一些強化措施，如過分強調(diào)角的比值表示，無形中傳遞出“約去單位”的信息；過分強調(diào)弧度制度量值集合與實數(shù)集R之間的一一對應(yīng)關(guān)系，會帶來“角度制不能建立一一對應(yīng)關(guān)系”的負(fù)遷移.因此，在促進學(xué)生深化理解的同時，不掩蓋共性也不放大差異，不能貶此褒彼.

4.3 要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科育人功能

弧度制的教學(xué)是體驗創(chuàng)造和感悟數(shù)學(xué)理性的載體，也是培育科學(xué)創(chuàng)造觀的良好契機.弧度制的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史必然，弧度制萌芽于古希臘時代，但直到18世紀(jì)才成為度量單位制，由于這期間三角函數(shù)主要是運用于天文學(xué)、圓或解三角形的工具，而角度制恰好適合幾何研究.到了近代，微積分的迅猛發(fā)展使數(shù)學(xué)研究轉(zhuǎn)向到代數(shù)分析，三角函數(shù)成為刻畫周期現(xiàn)象的模型，需要更高層次的抽象概括，從數(shù)學(xué)內(nèi)部抽象而來的弧度制也就應(yīng)運而生，從這個意義上講，弧度制的建立是縱向數(shù)學(xué)化的結(jié)果，而角度制則是水平數(shù)學(xué)化的結(jié)果.因此，弧度制的概念教學(xué)既要展示數(shù)學(xué)思維的力量和數(shù)學(xué)的理性光芒，也要揭示數(shù)學(xué)發(fā)展的背景趨勢和知識的生成過程，培育學(xué)生科學(xué)的創(chuàng)造觀，發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能.