耗散環(huán)境單量子點(diǎn)體系輸運(yùn)過(guò)程的量子速度極限研究*

劉天 李宗良 張延惠? 藍(lán)康

1) (山東師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院,濟(jì)南 250014)

2) (山東大學(xué)物理學(xué)院,晶體材料國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,濟(jì)南 250100)

基于量子點(diǎn)輸運(yùn)理論與Bures 角度量的方法,研究了耗散環(huán)境下單量子點(diǎn)系統(tǒng)輸運(yùn)過(guò)程中的量子速度極限特性.結(jié)果表明: 由于隧穿過(guò)程存在庫(kù)侖阻塞效應(yīng)與量子相干效應(yīng),系統(tǒng)可加速能力隨左側(cè)隧穿概率有微小的變化;然而,系統(tǒng)可加速能力隨右側(cè)隧穿概率變化明顯,歸因于動(dòng)力學(xué)通道阻塞與共隧穿的共同效應(yīng).能級(jí)差的增大使系統(tǒng)向目標(biāo)態(tài)演化需要更長(zhǎng)的時(shí)間,從而改變系統(tǒng)的加速潛力以及隨時(shí)間演化的震蕩頻率.耗散環(huán)境中弛豫速率對(duì)系統(tǒng)可加速能力的影響不是單調(diào)的,存在一個(gè)有趣的轉(zhuǎn)折點(diǎn),當(dāng)弛豫速率小于該點(diǎn)時(shí),系統(tǒng)的可加速能力產(chǎn)生震蕩變化,當(dāng)弛豫速率大于該點(diǎn)時(shí),加速潛力的變化受到了弛豫速率的單調(diào)抑制,弛豫速率的增大總體上抑制了系統(tǒng)的可加速能力.

1 引言

隨著量子計(jì)算與量子信息技術(shù)的發(fā)展,量子速度極限(QSL)開(kāi)始受到更廣泛的關(guān)注,研究發(fā)現(xiàn)QSL 可以應(yīng)用于量子計(jì)算與量子傳輸,在保護(hù)量子信息與量子最優(yōu)理論中起到重要作用[1-+].量子速度極限時(shí)間是量子系統(tǒng)穿越給定演化距離所需最短演化時(shí)間的下界,量子速度極限時(shí)間的邊界決定了系統(tǒng)演化速度的上限,其能表征出系統(tǒng)最快的演化,研究如何加快系統(tǒng)演化速度能夠高效的提升量子計(jì)算的效率[9-13].1945 年,Mandelstam和Tamm[14]由系統(tǒng)能量方差的形式提出了幺正演化下從初始態(tài)到可區(qū)分末態(tài)的最短演化時(shí)間(MT 型邊界).1998 年,Margolus 和Levitin[15]基于可以判定具體系統(tǒng)的能量平均值E,提出了另一種最短演化時(shí)間(ML 型邊界).通過(guò)結(jié)合MT 與ML 速度極限時(shí)間,給出了封閉系統(tǒng)量子速度極限時(shí)間統(tǒng)一界,2013 年,Deffner 和Lutz[16]將量子速度極限概念拓展到非幺正動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),并通過(guò)阻尼Jaynes-Cummings 模型為研究對(duì)象探討了體系的非馬爾可夫性質(zhì)對(duì)最短演化時(shí)間的縮短效應(yīng).非馬爾可夫效應(yīng)已經(jīng)被證實(shí)了可以加速系統(tǒng)的演化,為了提高演化速度,人們對(duì)各種量子體系的速度極限不等式展開(kāi)了深入研究[17-21].2017 年,Cai 和Zheng[22]采用跡距離度量推導(dǎo)了非平衡環(huán)境下的MT 與ML時(shí)間界,證實(shí)了體系的非馬爾可夫特性對(duì)加速系統(tǒng)演化的必要不充分性質(zhì).2019 年,Sun 和Zheng[23,24]基于量子幾何相位和幾何相位變化率,在量子態(tài)矢量于流形空間中平行傳輸?shù)臈l件下得出不同于MT 和ML 類(lèi)型的時(shí)間界,且通過(guò)化簡(jiǎn)可以回到ML 的結(jié)果.

單量子點(diǎn)具有操作性強(qiáng)、易觀測(cè)、可制備等優(yōu)點(diǎn),它涉及到量子力學(xué)基本原理在實(shí)際中的應(yīng)用,表現(xiàn)出獨(dú)特的量子特性,比如量子隧道效應(yīng)、庫(kù)侖阻塞效應(yīng)、局域化效應(yīng)、表面效應(yīng)等.1997 年,Gurvitz 等[25,26]將其與量子點(diǎn)接觸探測(cè)器結(jié)合,研究了在測(cè)量過(guò)程中孤立量子點(diǎn)系統(tǒng)內(nèi)電子轉(zhuǎn)移的動(dòng)力學(xué)演化機(jī)制,并在2003 年將量子點(diǎn)系統(tǒng)與耗散環(huán)境耦合,表明弛豫會(huì)破壞測(cè)量過(guò)程的芝諾效應(yīng).2010 年,Ouyang 等[27]通過(guò)占有態(tài)和本征態(tài)兩種方法得到電子運(yùn)動(dòng)的主方程,分析了不同外界環(huán)境下量子點(diǎn)系統(tǒng)的輸運(yùn)特性.研究者們對(duì)量子點(diǎn)的轉(zhuǎn)移與輸運(yùn)等特性做出了大量探索,并對(duì)耗散環(huán)境中電子轉(zhuǎn)移過(guò)程的量子速度極限開(kāi)展了深刻的研究[28-+],但開(kāi)放量子點(diǎn)系統(tǒng)輸運(yùn)過(guò)程的量子速度極限還是一個(gè)有待于探索的課題,輸運(yùn)過(guò)程中隧穿概率以及馳豫速率等如何影響量子點(diǎn)系統(tǒng)演化的速度極限正是本文研究的目的,研究結(jié)果可以用于實(shí)驗(yàn)中通過(guò)對(duì)電壓的微調(diào)來(lái)操控量子態(tài)的演化,以應(yīng)用于量子計(jì)算機(jī)微觀器件的設(shè)計(jì).

本文探究了耗散環(huán)境下單量子點(diǎn)系統(tǒng)在輸運(yùn)過(guò)程中的量子速度極限時(shí)間,得出量子速度極限時(shí)間與實(shí)際演化時(shí)間的比值關(guān)系式τQSL/τ,它能表征單量子點(diǎn)系統(tǒng)的可加速能力(CPS),反映出系統(tǒng)在演化進(jìn)程中可被加速的空間.分析了弛豫速率γr、左側(cè)隧穿概率與右側(cè)隧穿概率等因素對(duì)于量子速度極限的影響,研究結(jié)果表明: 1)左側(cè)隧穿概率與右側(cè)隧穿概率對(duì)量子點(diǎn)系統(tǒng)有不同的加速效果,左側(cè)隧穿概率的提高對(duì)于量子系統(tǒng)的可加速能力的促進(jìn)細(xì)微,右側(cè)隧穿概率的增大對(duì)促進(jìn)系統(tǒng)的CPS 更強(qiáng).是由于電子從左側(cè)隧穿進(jìn)入量子點(diǎn)時(shí)受到了庫(kù)侖阻塞效應(yīng)以及量子相干的影響,抑制了系統(tǒng)的可加速能力,右側(cè)由于通道阻塞效應(yīng)與共隧穿效應(yīng)的產(chǎn)生,系統(tǒng)的CPS 得到增強(qiáng).2)激發(fā)態(tài)與基態(tài)之間弛豫過(guò)程的加快總體上提高了系統(tǒng)的演化程度,系統(tǒng)可加速的空間有所降低.有趣的是,當(dāng)Ωr≤γr≤Ωr時(shí),弛豫過(guò)程會(huì)與隧穿過(guò)程產(chǎn)生競(jìng)爭(zhēng),影響了輸運(yùn)過(guò)程中的電子布局?jǐn)?shù),導(dǎo)致量子速度極限時(shí)間比值存在震蕩現(xiàn)象,當(dāng)Ωr≤γr≤2Ωr時(shí),競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系減弱,量子速度極限比值穩(wěn)定上升.3)激發(fā)態(tài)與基態(tài)之間的能級(jí)差通過(guò)影響系統(tǒng)的演化路徑,改變了系統(tǒng)的演化快慢,能級(jí)差增大時(shí),系統(tǒng)演化會(huì)存在逐漸偏離測(cè)地線演化的趨勢(shì),系統(tǒng)的可加速能力得到提升.

此外,本文推導(dǎo)了單量子點(diǎn)系統(tǒng)輸運(yùn)過(guò)程的動(dòng)力學(xué)表達(dá)式,闡述了單量子點(diǎn)系統(tǒng)量子速度極限時(shí)間的推導(dǎo)方法及原理,通過(guò)Bures 角的方法對(duì)初始純態(tài)下的量子速度極限表達(dá)式進(jìn)行推導(dǎo).將量子速度極限時(shí)間表達(dá)式應(yīng)用到單量子點(diǎn)體系輸運(yùn)的過(guò)程中,分析隧穿概率與弛豫速率等因素對(duì)于量子速度極限時(shí)間的影響.

2 理論方法與模型

2.1 單量子點(diǎn)輸運(yùn)模型

首先建立了一個(gè)單量子點(diǎn)與左右電子庫(kù)耦合的輸運(yùn)模型,然后推導(dǎo)出了單量子點(diǎn)輸運(yùn)過(guò)程的動(dòng)力學(xué)表達(dá)式.如圖1 所示,由于外加到左右電極上電壓不同,左右電子庫(kù)的化學(xué)勢(shì)El,r不同(考慮El＞Er的情況).電子從左側(cè)電極通過(guò)基態(tài)通道和激發(fā)態(tài)通道隧穿至量子點(diǎn)中的離散能級(jí)上,左側(cè)電子激發(fā)態(tài)(基態(tài))隧穿概率為Γe(g).量子點(diǎn)中電子從激發(fā)態(tài)(基態(tài))隧穿到右側(cè)電極的隧穿概率為ΓE(G).考慮系統(tǒng)的基矢為{|0〉,|e〉,|g〉},空態(tài) |0〉代表量子點(diǎn)中不存在電子,|e〉代表電子位于量子點(diǎn)激發(fā)態(tài)能級(jí),|g〉代表電子處于量子點(diǎn)基態(tài)能級(jí).

圖1 單量子點(diǎn)系統(tǒng)輸運(yùn)過(guò)程示意圖,Ee 和 Eg 表示激發(fā)態(tài)與基 態(tài)能 級(jí),El 和 Er 為左右兩側(cè)化學(xué)勢(shì),Γe(g) 為左側(cè)電子隧穿進(jìn)入激發(fā)態(tài)(基態(tài))能級(jí)的隧穿概率,ΓE(G) 為激發(fā)態(tài)(基態(tài))電子隧穿進(jìn)入右側(cè)電子庫(kù)的隧穿概率Fig.1.The diagram of the single quantum dot system in transport process,Ee and Eg denotes two energy levels in quantum dot,El and Er denotes the left and right electrode potentials Γe(g) is the tunneling probability of the left electron tunneling into the excited(ground) state energy level,ΓE(G) is the tunneling probability of the excited(ground) state electron tunneling into the right electron library.

單量子點(diǎn)系統(tǒng)對(duì)于在實(shí)驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)QSL 的研究具有很重要的意義,如圖1 所示,體系的哈密頓量為H=H0+Hleads+Hint,由三部分構(gòu)成:

其中H0代表了量子點(diǎn)系統(tǒng)的哈密頓量,ε為激發(fā)態(tài)與基態(tài)的能級(jí) 差,ae+(ae) 與ag+(ag) 代表電子處于激發(fā)態(tài)與基態(tài)的產(chǎn)生湮滅算符.Hleads代表了電極部分的哈密頓量,El,r為量子點(diǎn)兩側(cè)電極電勢(shì),al+(al)與ar+(ar) 表示左側(cè)電極以及右側(cè)電極電子的產(chǎn)生湮滅算符.Hint代表了量子點(diǎn)系統(tǒng)與電極之間相互作用的哈密頓量,右邊第1 項(xiàng)表示左邊電極和基態(tài)(激發(fā)態(tài))相互作用,電子進(jìn)入量子點(diǎn).第2 項(xiàng)表示右邊電極和基態(tài)(激發(fā)態(tài))相互作用,量子點(diǎn)內(nèi)的電子湮滅,Ωl(r)是量子點(diǎn)與左右兩側(cè)電極之間的耦合強(qiáng)度,σj+=|j〉〈0|,σj-=|0〉〈j|是相應(yīng)的上下升降算符,整個(gè)過(guò)程只考慮從左到右的單向輸運(yùn),量子點(diǎn)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)主方程滿足:

密度矩陣元素ρee(ρgg) 表示電子占據(jù)激發(fā)態(tài)(基態(tài))的概率,而矩陣元素ρeg(ρge) 表示系統(tǒng)的相干項(xiàng),考慮密度矩陣ρ(t)=[ρ0(t),ρee(t),ρgg(t),ρeg(t),ρge(t)] 總的演化算符表示為

2.2 Bures 角度量下的量子速度極限

采用Bures 角度量的量子速度極限方法[37-+],推導(dǎo)單量子點(diǎn)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)演化的可加速能力表達(dá)式,D為任意初始態(tài)和末態(tài)的測(cè)地線,存在以下幾何不等關(guān)系:

式中,L可以理解為量子系統(tǒng)演化的實(shí)際長(zhǎng)度[23,40],因此系統(tǒng)沿實(shí)際路徑演化的瞬時(shí)速度可以表示為

而系統(tǒng)演化平均速度為

考慮平均速度是系統(tǒng)沿測(cè)地線和實(shí)際路徑上的守恒量,量子速度極限時(shí)間對(duì)應(yīng)以該平均速度沿測(cè)地線演化的時(shí)間,從而獲得量子速度極限時(shí)間為

當(dāng)系統(tǒng)沿測(cè)地線演化時(shí),此時(shí)實(shí)際的演化時(shí)間等于量子速度極限時(shí)間,量子演化已經(jīng)達(dá)到最快演化,沒(méi)有加速的可能;如果量子系統(tǒng)并未沿測(cè)地線演化,則實(shí)際演化時(shí)間大于量子速度極限時(shí)間,未達(dá)到最快演化,說(shuō)明量子演化還存在被加速的可能,這種能力可以被理解為量子系統(tǒng)的加速潛力,表示為

其中τQSL是初態(tài)ρ(0) 和末態(tài)ρ(τ) 之間的最短演化時(shí)間,而τ是實(shí)際的動(dòng)力學(xué)演化時(shí)間.考慮量子系統(tǒng)在測(cè)地線和實(shí)際演化路徑的平均速度相同,則二者的比值等于測(cè)地線和實(shí)際演化路徑的比值.當(dāng)這個(gè)比值為1 時(shí),那么就說(shuō)明量子系統(tǒng)沿著測(cè)地線演化,達(dá)到了最小的演化時(shí)間.反之,當(dāng)該比值小于1 時(shí),則表明量子系統(tǒng)具有偏離測(cè)地線演化的行為,系統(tǒng)演化中存在著一定的加速潛力[41].

考慮初始純態(tài)的情況,動(dòng)力學(xué)演化測(cè)地距離可以表示為

相應(yīng)的實(shí)際演化路徑為

2.3 初始基態(tài)

首先考慮初始時(shí)刻電子位于基態(tài)的情況,即|ψ0〉=|g〉,相應(yīng)的密度矩陣為

此時(shí)量子系統(tǒng)不存在初始相干.結(jié)合單量子點(diǎn)輸運(yùn)體系密度矩陣(4),推導(dǎo)出τ時(shí)刻測(cè)地距離表達(dá)式:

通過(guò)(13)式,給出系統(tǒng)實(shí)際演化路徑表達(dá)式:

量子速度極限時(shí)間可以表示為

該不等式不僅將系統(tǒng)初態(tài)ρ(0) 與末態(tài)ρ(τ) 緊密結(jié)合起來(lái),體現(xiàn)出單量子點(diǎn)系統(tǒng)的最快演化,而且反應(yīng)出了量子速度極限時(shí)間與體系實(shí)際演化時(shí)間的比值關(guān)系:

對(duì)(15)式進(jìn)一步推導(dǎo)給出了τQSL/τ的比值關(guān)系式(16),反映出量子系統(tǒng)實(shí)際演化時(shí)間與演化最短時(shí)間的差異,能體現(xiàn)出系統(tǒng)可供加速的空間即量子系統(tǒng)可加速能力(CPS)有多大,該比值的范圍應(yīng)該遵循 0 ≤τQSL/τ≤1.

2.4 初始疊加態(tài)

τ時(shí)刻測(cè)地距離表達(dá)式為

疊加態(tài)下τ時(shí)刻實(shí)際演化路徑表達(dá)式為

將測(cè)地距離表達(dá)式與該式對(duì)比得出關(guān)系式為

該式為疊加態(tài)下量子速度極限時(shí)間QSL 與實(shí)際演化時(shí)間的比值,反映系統(tǒng)疊加態(tài)下CPS 的大小,體現(xiàn)出量子點(diǎn)系統(tǒng)在輸運(yùn)過(guò)程中實(shí)際演化時(shí)間與最短演化時(shí)間的偏離程度.

3 結(jié)果與討論

圖2(a)為初始單態(tài)的情況,可以發(fā)現(xiàn)量子速度極限時(shí)間和實(shí)際演化時(shí)間的比值τQSL/τ始終為1,系統(tǒng)不具備加速潛力.在圖2(b)中,考慮初始疊加態(tài),隨著量子演化比值τQSL/τ呈現(xiàn)出先恒定后振蕩減小的趨勢(shì),這是因?yàn)槌跏枷喔傻拇嬖趯?dǎo)致了測(cè)地線隨演化時(shí)間的振蕩[42],而實(shí)際演化長(zhǎng)度單調(diào)遞增.這種特性讓系統(tǒng)的演化存在一定可加速的空間,最后該比值趨于穩(wěn)定,表示系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)演化結(jié)束.

圖2 初態(tài)為g 態(tài)與相干態(tài)下量子速度極限時(shí)間比值 τQSL/τ 隨驅(qū)動(dòng)時(shí)間變化圖 (a)初態(tài)為g 態(tài)時(shí) τQSL/τ 隨驅(qū)動(dòng)時(shí)間的變化;(b)初態(tài)為相干態(tài)時(shí) τ/QSLτ 隨驅(qū)動(dòng)時(shí)間的變化,左側(cè)量子點(diǎn)與電子庫(kù)耦合強(qiáng)度 Ωr=1,電子的隧穿概率 ΓE=0.5Fig.2.The ratio of the quantum speed limit time τQSL/τ varies with the driving time in the initial g state and the superposition state: (a) The change of the τQSL/τ with driving time when the initial state is coherent state;(b)the change of the τQSL/τ with driving time when the initial state is superposition state ;the left coupling strength parameter Ωr=1,tunneling probability of electrons ΓE=0.5.

圖3 展示了左側(cè)不同隧穿概率下單量子點(diǎn)體系量子速度極限時(shí)間比值τQSL/τ隨驅(qū)動(dòng)時(shí)間的演化趨勢(shì).從圖3(a)插圖可以看出,隨著激發(fā)態(tài)隧穿概率的增大,量子速度極限時(shí)間的比值變化細(xì)微,但也存在微小的下降.圖3(b)中基態(tài)隧穿概率的變化對(duì)τQSL/τ的影響弱小同樣存在微小下降如圖3(b)中插圖.因?yàn)殡娮铀泶┻M(jìn)入量子點(diǎn)的過(guò)程中,無(wú)論進(jìn)入激發(fā)態(tài)通道還是基態(tài)通道都會(huì)產(chǎn)生庫(kù)侖阻塞效應(yīng)以及量子相干,電子隧穿過(guò)程受到了阻礙,抑制了系統(tǒng)演化加速的可能,故系統(tǒng)的可加速能力略有增大但變化很小,表明左側(cè)激發(fā)態(tài)與基態(tài)隧穿概率對(duì)系統(tǒng)的CPS 影響不明顯.

圖3 單量子點(diǎn)系統(tǒng)的速度極限時(shí)間比值 τQSL/τ 隨左側(cè)隧穿概率與驅(qū)動(dòng)時(shí)間的變化圖 (a)不同左側(cè)激發(fā)態(tài)隧穿概影響下τQSL/τ 隨驅(qū)動(dòng)時(shí)間變化;(b)不同左側(cè)基態(tài)隧穿概率影響下 τQSL/τ 隨驅(qū)動(dòng)時(shí)間變化,量子點(diǎn)與左側(cè)電子庫(kù)耦合強(qiáng)度 Ωr=1,能級(jí)差 ε=5ΩrFig.3.The diagram of the quantum speed limit time ratio τQSL/τ as a function of left tunneling probability and driving time for a single quantum dot system: (a) Variation of τQSL/τ with driving time under the influence of left different tunneling probabilities into excited states;(b) variation of τQSL/τ with driving time under the influence of left different tunneling probabilities into ground states,the left coupling strength parameter Ωr=1,the energy displacement ε=5Ωr.

圖4 展示了不同出射隧穿概率下單量子點(diǎn)體系量子速度極限時(shí)間比值τQSL/τ隨驅(qū)動(dòng)時(shí)間的變化規(guī)律,圖4(a)中,右側(cè)激發(fā)態(tài)隧穿概率的增大讓速度極限時(shí)間比值產(chǎn)生均勻的下降,基態(tài)隧穿概率的變化如圖4(b)所示,使τQSL/τ呈現(xiàn)不均勻的下降.因?yàn)楫?dāng)激發(fā)態(tài)與基態(tài)隧穿概率差值增大時(shí),演化過(guò)程中產(chǎn)生動(dòng)力學(xué)通道阻塞效應(yīng)阻礙了激發(fā)態(tài)與基態(tài)中電子的橫向傳輸,系統(tǒng)演化的可加速能力得到提升.在隧穿過(guò)程中激發(fā)態(tài)通道與基態(tài)通道的相互作用也產(chǎn)生了共隧穿效應(yīng)為系統(tǒng)演化加速提供了更大的空間.表明右側(cè)隧穿概率的增大會(huì)明顯降低量子速度極限時(shí)間比值,促進(jìn)了系統(tǒng)可加速能力的提升.

圖4 單量子點(diǎn)系統(tǒng)的速度極限時(shí)間比值 τQSL/τ 隨右側(cè)隧穿概率與驅(qū)動(dòng)時(shí)間的變化圖 (a)不同右側(cè)激發(fā)態(tài)隧穿概率影響下τQSL/τ 隨驅(qū)動(dòng)時(shí)間的變化;(b)不同右側(cè)基態(tài)隧穿概率影響下 τQSL/τ 隨驅(qū)動(dòng)時(shí)間的變化.量子點(diǎn)與左側(cè)電子庫(kù)耦合強(qiáng)度 Ωr=1,能極差 ε=5ΩrFig.4.The diagram of the quantum speed limit time ratio τQSL/τ as a function of right tunneling probability and driving time for a single quantum dot system: (a) Variation of τQSL/τ with driving time under the influence of right different tunneling probabilities from excited states ;(b) variation of τQSL/τ with driving time under the influence of right different tunneling probabilities from ground states.The left coupling strength parameter Ωr=1,the energy displacement ε=5Ωr.

圖5(a)展示了不同弛豫速率下單量子點(diǎn)體系量子速度極限時(shí)間比值τQSL/τ隨驅(qū)動(dòng)時(shí)間的演化趨勢(shì),隨著弛豫速率γr的增大,τQSL/τ總體上也逐漸上升.因?yàn)槌谠ニ俾实脑龃蠹铀倭穗娮訌募ぐl(fā)態(tài)到基態(tài)指數(shù)衰減的快慢,從整體上加快了系統(tǒng)演化的進(jìn)程,弱化了系統(tǒng)的可加速能力.如圖5(b)所示,弛豫速率γr對(duì)體系的影響并不是單調(diào)的,當(dāng)量子點(diǎn)系統(tǒng)與耗散環(huán)境耦合逐漸增大時(shí),τQSL/τ先呈現(xiàn)出振蕩隨后又單調(diào)上升.當(dāng) 0 ≤γr≤Ωr時(shí),電子在激發(fā)態(tài)與基態(tài)之間的躍遷影響了電子從左電極通過(guò)量子點(diǎn)到右電極的隧穿過(guò)程,兩個(gè)方向上的演化存在競(jìng)爭(zhēng)導(dǎo)致上下能級(jí)電子布局?jǐn)?shù)的變化,輸運(yùn)過(guò)程中量子速度極限比值產(chǎn)生了震蕩現(xiàn)象.Ωr≤γr≤2Ωr時(shí),躍遷過(guò)程在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系中占據(jù)了主導(dǎo)地位,系統(tǒng)速度極限比值呈現(xiàn)單調(diào)上升的趨勢(shì),單量子點(diǎn)體系的CPS 受到抑制.表明: 弛豫速率增大過(guò)程中,τQSL/τ雖會(huì)產(chǎn)生振蕩,但總體上該比值出現(xiàn)上升趨勢(shì),弛豫速率的增大抑制了量子點(diǎn)系統(tǒng)演化的可加速能力.

圖5 單量子點(diǎn)系統(tǒng)的速度極限時(shí)間比值 τQSL/τ 隨弛豫速率與驅(qū)動(dòng)時(shí)間的變化圖 (a) 不同弛豫速率影響下 τQSL/τ 隨驅(qū)動(dòng)時(shí)間的變化;(b) τQSL/τ 隨弛豫速率 γr 與驅(qū)動(dòng)時(shí)間的三維變化圖.量子點(diǎn)與左側(cè)電子庫(kù)耦合強(qiáng)度 Ωr=1,能極差 ε=5ΩrFig.5.The diagram of the quantum speed limit time ratio τQSL/τ as a function of relaxation rates and driving time for a single quantum dot system:(a) Variation of τQSL/τ with driving time under different relaxation rates ;(b) three-dimensional diagram of τQSL/τ as a function of relaxation rate and driving time.The left coupling strength parameter Ωr=1,the energy displacement ε=5Ωr.

圖6 展示了不同能級(jí)差下單量子點(diǎn)體系量子速度極限時(shí)間比值τQSL/τ隨驅(qū)動(dòng)時(shí)間的變化,隨著能級(jí)差的增大,不但引起了系統(tǒng)τQSL/τ的下降,而且影響了系統(tǒng)隨驅(qū)動(dòng)時(shí)間演化的振蕩頻率,能級(jí)差不同時(shí),產(chǎn)生了τQSL/τ的交點(diǎn).這是由于能級(jí)差ε=0 時(shí),電子通過(guò)量子點(diǎn)與兩側(cè)電極之間的隧穿完成傳輸.當(dāng)能級(jí)差ε逐漸增大時(shí),如圖6(b)所示,處于激發(fā)態(tài)的電子向右水平隧穿的同時(shí)有概率躍遷到基態(tài),量子點(diǎn)系統(tǒng)的演化由于偏離了水平方向隧穿會(huì)導(dǎo)致實(shí)際演化路徑增大,兩能級(jí)間差值越大偏離測(cè)地路徑就越明顯,量子速度極限時(shí)間比值下降,能級(jí)差不同基態(tài)與激發(fā)態(tài)間的量子相干效應(yīng)也不同,增大了系統(tǒng)隨驅(qū)動(dòng)時(shí)間演化的振蕩頻率,也促成了不同能級(jí)差產(chǎn)生相同可加速能力的交叉點(diǎn).因而能級(jí)差ε對(duì)單量子點(diǎn)系統(tǒng)的CPS 表現(xiàn)出顯著變動(dòng)的促進(jìn).

圖6 單量 子點(diǎn) 系統(tǒng) 的速 度極 限時(shí) 間比 值 τQSL/τ 隨能 級(jí)差 ε 與驅(qū)動(dòng)時(shí)間的變化圖 (a)不同能級(jí)差 ε 影響下的τQSL/τ 隨驅(qū)動(dòng)時(shí)間變化;(b)能級(jí)差產(chǎn)生躍遷原理圖.量子點(diǎn)與左側(cè)電子庫(kù)耦合強(qiáng)度 Ωr=1,ΓE=0.5 Fig.6.The diagram of the quantum speed limit time ratio τQSL/τ as a function of energy displacement ε and driving time for a single quantum dot system: (a) Variation of τQSL/τ with driving time under different energy displacement ε ;(b) the schematic diagram of transition generation by difference energy level.The left coupling strength parameter Ωr=1,Tunneling probability of electrons ΓE=0.5.

4 結(jié)論

本文首先推導(dǎo)了量子點(diǎn)系統(tǒng)輸運(yùn)體系下的密度矩陣元,運(yùn)用速度極限中Bures 角度量的方法,給出了單量子點(diǎn)體系在耗散環(huán)境下系統(tǒng)輸運(yùn)過(guò)程的速度極限表達(dá)式,并探究了兩側(cè)隧穿概率、弛豫速率以及能級(jí)差等因素對(duì)于系統(tǒng)可加速能力的影響.結(jié)果表明調(diào)節(jié)左電極電勢(shì)提升左側(cè)電子隧穿進(jìn)入量子點(diǎn)的隧穿概率對(duì)τQSL/τ的影響微小,是因?yàn)殡娮铀泶┻M(jìn)入量子點(diǎn)的過(guò)程中受到庫(kù)侖阻塞效應(yīng)以及量子相干的影響,左側(cè)基態(tài)與激發(fā)態(tài)隧穿概率的改變對(duì)系統(tǒng)可加速能力的提高不明顯.當(dāng)調(diào)節(jié)右電勢(shì)增大量子點(diǎn)中電子隧穿進(jìn)入右側(cè)電極的隧穿概率時(shí),發(fā)現(xiàn)右側(cè)基態(tài)與激發(fā)態(tài)隧穿概率的改變較為明顯地提升了量子點(diǎn)系統(tǒng)的可加速能力,是由于隧穿過(guò)程中產(chǎn)生了通道阻塞效應(yīng)以及共隧穿效應(yīng).當(dāng)與外界環(huán)境處于強(qiáng)耦合的環(huán)境下,弛豫速率的增大會(huì)改變電子從激發(fā)態(tài)到基態(tài)衰減的快慢.系統(tǒng)可加速能力隨馳豫速率的變化存在一個(gè)有趣的轉(zhuǎn)折點(diǎn),當(dāng)馳豫速率小于該點(diǎn)時(shí),電子布居數(shù)的變化導(dǎo)致系統(tǒng)可加速能力產(chǎn)生震蕩變化.當(dāng)馳豫速率大于該點(diǎn)時(shí),弛豫過(guò)程占據(jù)主導(dǎo)地位,系統(tǒng)可加速能力受到單調(diào)抑制,總體上體系CPS 受到抑制.激發(fā)態(tài)與基態(tài)間能級(jí)差ε的增大而產(chǎn)生的躍遷與相干性會(huì)增加電子在量子點(diǎn)系統(tǒng)內(nèi)的實(shí)際演化路徑,改變了量子點(diǎn)系統(tǒng)隨驅(qū)動(dòng)時(shí)間的演化頻率,整體上促進(jìn)了系統(tǒng)可加速能力的提升.還有更多的物理量可以與量子點(diǎn)系統(tǒng)的速度極限結(jié)合,比如輸運(yùn)過(guò)程中的電流以及幾何相位等,這值得進(jìn)一步探索.