水聲射線傳播的黎曼幾何建?！せA(chǔ)理論*

郭肖晉 馬樹青 張理論 藍(lán)強(qiáng) 黃創(chuàng)霞

1) (國防科技大學(xué)氣象海洋學(xué)院,長沙 410073)

2) (長沙理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,長沙 410114)

水聲建模一般采用外嵌描述,即以歐氏空間固定坐標(biāo)系等要素刻畫水聲信道.黎曼幾何是彎曲空間上的內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué),更能反映流形的本質(zhì)性質(zhì).水聲學(xué)高斯波束模型借鑒自地震學(xué),可有效避免傳統(tǒng)射線追蹤的弊端,在以Bellhop 為代表的水聲模型中得到廣泛應(yīng)用,是水聲射線建模與應(yīng)用的主流方法之一.傳統(tǒng)水聲射線建模的歐氏空間底流形假設(shè),難以有效刻畫高斯波束的彎曲特性.本文通過建立水聲射線傳播的黎曼幾何基本理論,得到程函方程、動態(tài)射線方程及高斯波束模型的黎曼幾何內(nèi)蘊(yùn)形式,分析了水聲射線幾何拓?fù)湫再|(zhì),指出水聲射線模型中的焦散點(diǎn)等價(jià)于黎曼幾何中的共軛點(diǎn),高斯波束幾何擴(kuò)展是測地線沿雅可比場的偏離,波束聲線會聚體現(xiàn)為聲場正截面曲率作用下偏離的測地線在共軛點(diǎn)的交匯.為驗(yàn)證理論正確性與適用性,本文以水平分層距離相關(guān)環(huán)境為例,給出特定環(huán)境和坐標(biāo)系下應(yīng)用前序理論建模的具體方法.3 個典型水聲傳播算例的仿真對比分析,表明水聲傳播黎曼幾何理論模型是準(zhǔn)確有效的,相比Bellhop 模型所采用的計(jì)算方法,具有更為清晰的數(shù)學(xué)物理含義.本文基礎(chǔ)理論可方便推廣至曲面、三維各向異性等情形,為后續(xù)在三維彎曲球體流形、四維時(shí)變偽黎曼流形等聲傳播環(huán)境下的黎曼幾何射線建模研究奠定了理論基礎(chǔ).

1 引言

高斯波束一般被認(rèn)為是波動方程的高頻近似解,波束振幅在以射線軸為中心的橫截面上服從高斯分布,被廣泛應(yīng)用于光學(xué)、地震學(xué)和聲學(xué)等領(lǐng)域[1].水聲學(xué)對高斯波束的機(jī)理研究較少,可分為歐氏空間近似計(jì)算和非歐幾何建模嘗試.

1.1 高斯波束的歐氏幾何近似計(jì)算

高斯波束的數(shù)學(xué)描述可通過波動方程的拋物近似推導(dǎo)得到.Babich 和Lazutkin[2]最早利用拋物方程研究波動問題,給出了集中在射線附近、具有高斯波束形式的波動方程高頻近似解.?erveny等[3]將該結(jié)果推廣至彈性動力學(xué)方程,提出了地震波波場的高斯波束近似計(jì)算方法.Porter 等[4]將上述地震波研究結(jié)果應(yīng)用于聲學(xué)中,首次給出了柱坐標(biāo)下水聲傳播的高斯波束基本公式:

其中s為沿射線方向的弧長,n是距離中心聲線的垂直距離,A為復(fù)常數(shù),t(s)為沿聲線的相位延遲,c,r和z分別代表聲速、距離和深度,束寬W和曲率K表示為

p和q滿足動態(tài)射線方程:

其中cnn是聲速的二階法向?qū)?shù):

(2)式的初值條件為q(0)=iωW2(0)/2,p(0)=1,(1)式累加求得復(fù)合聲壓.在一定的假設(shè)下,q(s)≠0,Im(p(s)/q(s))≠0,?s,高斯波束振幅在中心射線橫截面上服從高斯分布,且(1)式在焦散線上仍然有效.由于高斯波束模型避免了經(jīng)典射線在焦散區(qū)失效、本征聲線計(jì)算不穩(wěn)定性等問題,故基于高斯波束模型的Bellhop 軟件在水聲學(xué)中得到廣泛應(yīng)用.

高斯波束也可用傍軸射線近似法推導(dǎo).傍軸射線近似法利用動態(tài)射線方程計(jì)算傍軸射線的振幅和相位,得到傍軸聲壓.?erveny等[5,6]針對地震波,通過引入動態(tài)射線方程的復(fù)數(shù)解給出了傍軸射線近似法推導(dǎo)高斯波束的過程,因此該方法也被稱為復(fù)動態(tài)射線追蹤,所得結(jié)果與基于拋物波動方程的推導(dǎo)結(jié)果一致.Kravtsov 和Berczynski[1]詳細(xì)比較了拋物波動方程方法、復(fù)動態(tài)射線追蹤所導(dǎo)出高斯波束的異同,并指出Babich 和Lazutkin[2]的方法證實(shí)了復(fù)動態(tài)射線追蹤及幾何光學(xué)描述的衍射現(xiàn)象.

Smith[7]將?erveny關(guān)于傍軸射線近似法和動態(tài)射線追蹤的結(jié)果應(yīng)用于水平分層距離無關(guān)的水聲傳播環(huán)境,分析了從傍軸射線至高斯波束的基本流程.設(shè)δq是二維平面內(nèi)弧長s處沿著中心聲線x法方向的無窮小距離(圖1),T是走時(shí),θ0是初始掠射角,δp=?T/?δq是δq的共軛動量.

圖1 傍軸射線示意圖,是射線的切向量,N 是射線的法向量Fig.1.Paraxial ray tube, is the tangent vector,N is the normal vector.

基于Hamilton 原理和Hamilton-Jacobi 方程可知,Hamilton 主函數(shù):

式中,cn是聲速的一階法向?qū)?shù),相應(yīng)的Hamilton正則方程為

對(3)式和(4)式更詳細(xì)的敘述見文獻(xiàn)[7].記θ0是二維 (r,z) 平面內(nèi)聲線x(s,θ0) 的初始掠射角,幾何擴(kuò)展q及其共軛動量p被定義為[5,7,8]

由(4)式容易得到幾何擴(kuò)展q及其共軛動量p滿足動態(tài)射線方程(2)式.

對傳播時(shí)間差二階泰勒展開,可得到沿著中心聲線x法方向距離δq處的傳播時(shí)間差傍軸聲線的相位差為 eiωδte.經(jīng)典的傍軸射線近似法將傍軸射線的振幅簡化為中心射線的振幅.可以看出,將動態(tài)射線方程(2)推廣到復(fù)數(shù)解后,基于拋物波動方程法和傍軸射線近似法均可以得到高斯波束(1)式.

1.2 高斯波束的非歐幾何建模研究較少

上述高斯波束研究均是基于歐氏幾何描述.據(jù)愛因斯坦廣義相對論理論,所有的物理現(xiàn)象都是物理客體在某種彎曲時(shí)空背景下的演化[9].介質(zhì)的非均勻性決定了水聲傳播信道是彎曲的黎曼流形.研究非歐幾何下的水聲傳播對于探索新型的水聲建模方法、提高實(shí)際環(huán)境下計(jì)算準(zhǔn)確性等具有重要意義.

當(dāng)前黎曼幾何建模研究多針對光傳輸或地震波傳播開展.Gordon[10]指出發(fā)生在引力場和非均勻運(yùn)動介質(zhì)中的光學(xué)現(xiàn)象可以通過“光學(xué)度規(guī)”統(tǒng)一描述.郭弘等[11,12]從費(fèi)馬原理出發(fā),建立了描寫光束傳播的幾何量,將幾何光學(xué)和波動光學(xué)合二為一地納入三維黎曼流形之中.楊孔慶等[13]以走時(shí)函數(shù)為基礎(chǔ),給出了地震波傳播的黎曼幾何描述.

在水聲領(lǐng)域,一些學(xué)者基于Lorentz 流形和Finsler 流形研究了超高速運(yùn)動流體介質(zhì)中的水聲射線傳播.基于聲射線與Lorentz 流形(偽黎曼流形)測地線間的等價(jià)性,White[14]在1972 年提出了一種四維時(shí)空射線追蹤的新方法,描述了運(yùn)動流體介質(zhì)中的聲射線.1986 年,Meyer 和Schroeter[15]用Finsler 空間的測地線識別運(yùn)動流體介質(zhì)中的射線路徑,得出與文獻(xiàn)[14]相似的結(jié)果.在文獻(xiàn)[14]的基礎(chǔ)上,Bergman[16-19]認(rèn)識到廣義相對論中的測地線偏離方程(deviation equation)就是黎曼幾何中的雅可比方程(Jacobi equation),首次將廣義相對論中運(yùn)用的黎曼幾何理論遷移到水聲學(xué),研究了雅可比方程及共軛點(diǎn)理論在亞音速流體介質(zhì)射線追蹤中的應(yīng)用,通過識別共軛點(diǎn)定位焦散點(diǎn)[20],分析了射線的穩(wěn)定性.

上述文獻(xiàn)基于Lorentz 流形和Finsler 流形給出了運(yùn)動流體介質(zhì)中射線和焦散點(diǎn)的追蹤程序,但未研究黎曼幾何在高斯波束法求解聲場中的建模與應(yīng)用.Smith[7]以傳播時(shí)間為度規(guī)函數(shù),證明了二維水平分層距離無關(guān)介質(zhì)中動態(tài)射線方程的內(nèi)蘊(yùn)形式與測地線雅可比方程的等價(jià)性,給出了高斯波束模型的黎曼幾何形式.應(yīng)當(dāng)指出,文獻(xiàn)[7]僅研究了經(jīng)典水聲傳播中相對簡單的研究場景—水平分層距離無關(guān)環(huán)境,且在柱坐標(biāo)系框架下建模,因而僅得到與現(xiàn)有聲學(xué)文獻(xiàn)等價(jià)的結(jié)論,其闡述偏重?cái)?shù)學(xué),未詳細(xì)分析其幾何與物理意義.

1.3 文章內(nèi)容結(jié)構(gòu)

本文利用測地線、雅可比場和共軛點(diǎn)等概念,建立徑向?qū)ΨQ情形下水聲射線高斯波束黎曼幾何模型的一般形式,揭示了水聲場射線的拓?fù)湫再|(zhì),得到了一些新的水聲學(xué)幾何結(jié)論.首先給出了水聲射線程函方程在黎曼流形上的廣義形式-測地線方程,然后基于雅可比場理論建立徑向?qū)ΨQ情形下的高斯波束黎曼幾何模型,分析了水聲場射線的拓?fù)湫再|(zhì),再以水平分層距離相關(guān)情形為例,利用本文理論推導(dǎo)了該情形下高斯波束模型的黎曼幾何形式,并通過3 個典型例子驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性.本文結(jié)果包含了文獻(xiàn)[7]中考慮的水平分層距離無關(guān)情形,且所得結(jié)果是內(nèi)蘊(yùn)的,與坐標(biāo)系選取無關(guān),為在實(shí)際彎曲流形下開展水聲建模與計(jì)算提供了理論基礎(chǔ).

2 水聲測地線程函方程

介質(zhì)的天然非均勻性決定了水聲傳播信道是一個彎曲的黎曼流形.最小作用量原理表明,水聲射線總是沿著傳播時(shí)間最短的方向傳播.測地線是歐氏空間的直線在黎曼流形上的推廣.當(dāng)以傳播時(shí)間作為流形的度規(guī)結(jié)構(gòu)時(shí),黎曼流形上的測地線方程是歐氏空間水聲射線程函方程的廣義形式.本節(jié)建立黎曼流形上的水聲測地線程函方程,該方程對于歐氏空間仍適用.

2.1 傳播時(shí)間的黎曼度規(guī)

黎曼度規(guī)是微分流形上對稱、正定且光滑的二階協(xié)變張量場[21],刻畫了流形上向量的長度、夾角和曲線的弧長等,是計(jì)算流形上曲率、測地線等幾何量的基礎(chǔ).水聲射線在水聲信道空間中傳播,可以用黎曼幾何方法進(jìn)行描述,定義黎曼流形 (M,g)表示水聲傳播信道,是流形M的局部坐標(biāo)系.采用愛因斯坦求和法則,黎曼度規(guī)g表示為[21]

僅由黎曼度規(guī)決定的性質(zhì)稱為流形的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì),(8)式與流形嵌入歐氏空間的方式、坐標(biāo)系的選擇及曲線參數(shù)變換均無關(guān).在實(shí)際問題中,可以選用適宜的坐標(biāo)系對具體的海洋環(huán)境進(jìn)行建模分析.

2.2 測地線程函方程

黎曼流形 (M,g) 的測地線方程即流形上的水聲射線程函方程.走時(shí)T(x) 為曲線x(σ) 的泛函,走時(shí)T(x) 最短的極值條件要求——Lagrangian 函數(shù):

滿足Euler-Lagrangian 方程:

由此可得,自然參數(shù)t下測地線方程為[22]

其中,是Christoffel 聯(lián)絡(luò)系數(shù),計(jì)算公式為

測地線方程(10)是歐氏空間中水聲射線程函方程在黎曼流形的推廣,該方程對于歐氏空間仍然適用.

3 高斯波束的黎曼幾何模型

高斯波束法[3-5]是當(dāng)前的聲場計(jì)算模型之一,經(jīng)典的高斯波束模型基于歐氏幾何建立.黎曼幾何中的雅可比場是沿測地線的變分向量場,刻畫了周圍測地線與中心測地線的分離速率,是聲線幾何擴(kuò)展的自然描述,雅可比場由雅可比方程描述.本文基于雅可比場理論計(jì)算傍軸聲線的振幅和相位,給出徑向?qū)ΨQ情形下動態(tài)射線方程和高斯波束模型的黎曼幾何一般描述.

3.1 測地線的雅可比方程

首先給出雅可比場的數(shù)學(xué)定義及其分量函數(shù)滿足的雅可比方程.設(shè)光滑曲線x(t),t ∈[0,a] 是黎曼流形 (M,g) 上的一條測地線,H:[0,a]×(-ε,ε)→M是x(t),t ∈[0,a] 的測地變分,即對所有的u ∈(-ε,ε) ,H(t,:): [0,a]→M是測地線.若H(t,u0)=x(t),則沿測地線x(t) 的 雅可比場Y(t) 為[21]

由此可得雅可比場Y(t) 分量函數(shù)滿足的方程:

3.2 幾何擴(kuò)展的雅可比場描述

為了刻畫幾何擴(kuò)展的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì),可自然定義=δq/c為距離δq對應(yīng)的傳播時(shí)間,其由流形M的度規(guī)g決定,不隨流形的嵌入方式和坐標(biāo)系的變化而改變,因而δq? 是內(nèi)蘊(yùn)變量.記δ=?T/為的共軛動量.可定義內(nèi)蘊(yùn)幾何擴(kuò)展:

設(shè)x(t,θ) 是二維平面內(nèi)從聲源處發(fā)出的以時(shí) 間t為參數(shù)的聲線(測地線),θ為 掠射角,映射f(t,θ)=x(t,θ).根據(jù)雅可比場的定義(12)式可知:

是變分f沿聲線x(t,θ0) 的雅可比場.記x(t)=x(t,θ0),取單位正交標(biāo)架場:

二維截面 [u ∧v] 的截面曲率K(u,v) 定義為[21,23]

又因〈e1,e1〉=〈e2,e2〉=1,〈e1,e2〉2=0,故有:

結(jié)合(17)式,有:

取雅可比場的初值為Y(0)=Y1(0)e1(0),則〈Y(0),(0)〉=0,由Gauss 引理可知,雅可比場Y與中心聲線x的切向量處處正交,即Y2(t)≡0,?t.于是雅可比場Y(t)=Y1(t)e1(t).由內(nèi)蘊(yùn)幾何擴(kuò)展的定義(14)式、雅可比場的定義(15)式、(16)式及幾何含義,可以推導(dǎo)出,雅可比場Y(t) 在法方向的分量:

因此,測地線的雅可比場是射線幾何擴(kuò)展的自然描述,雅可比方程:

對于一族具有公共端點(diǎn)的測地線,此時(shí)Y(0)=0,雅可比場Y(t) 關(guān)于參數(shù)t的變化刻畫了這族測地線的“發(fā)散性”或“收斂性”,若雅可比場的模長|Y(t)| 沿 著測地線是關(guān)于參數(shù)t的增函數(shù),則該測地線附近的測地線是發(fā)散的;若存在沿測地線x(t) 的雅可比場Y(t),滿足Y(0)=Y(tk)=0,則稱x(tk)是x(0) 沿測地線x(t) 的的共軛點(diǎn)[21,23],此時(shí)測地線x(t) 周圍的測地線在共軛點(diǎn)x(tk) 附近收斂.水聲學(xué)中的焦散點(diǎn)指射線束外嵌幾何擴(kuò)展為0 的點(diǎn)[8].由于內(nèi)蘊(yùn)幾何擴(kuò)展q?(t)=Y1(t),故水聲學(xué)中的焦散點(diǎn)等價(jià)于黎曼幾何中的共軛點(diǎn).

3.3 水聲射線幾何拓?fù)湫再|(zhì)的雅可比場理論分析

截面曲率是Gauss 曲率在高維流形的推廣,一定程度上反映了流形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).截面曲率對大范圍測地線性質(zhì)的影響一直是黎曼幾何的重要研究課題,取得了豐富的研究成果[21,23].在3.2 節(jié)中,已經(jīng)給出了截面曲率的定義,并看到了其在雅可比方程中的作用.本節(jié)利用一些幾何結(jié)論揭示水聲場射線的拓?fù)湫再|(zhì),分析截面曲率對于聲線“收斂性”和“發(fā)散性”的影響.

根據(jù)Cartan 等距定理[24],當(dāng)截面曲率K為正常數(shù)時(shí),黎曼流形 (M,g) 等距同胚于半徑為的標(biāo)準(zhǔn)球面;當(dāng)截面曲率K為0 時(shí),黎曼流形(M,g) 等距同胚于歐氏空間;當(dāng)截面曲率K為負(fù)常數(shù)時(shí),黎曼流形 (M,g) 等距同胚于雙曲空間.

由雅可比方程(19)可以看出,聲線x(t) 的雅可比場由截面曲率K決定.當(dāng)K為常數(shù)時(shí),黎曼流形(M,g) 為常曲率空間,此時(shí)初值問題(21)有解析解:

當(dāng)截面曲率K為常數(shù)時(shí),分析雅可比場的分量Y1(t) 的解析解(22)可知:

1) 如果常截面曲率K＞0,若,則Y1(tk)=0,k=1,2,···,∞.聲線x(t) 周期性地產(chǎn)生焦散點(diǎn),x(t) 周圍的聲線在x(tk) 附近收斂,K的值越大,產(chǎn)生焦散點(diǎn)的頻率越高.

2) 如果常截面曲率K≤0,那么聲線x(t) 周圍的聲線是發(fā)散的,其中K=0 時(shí)Y1(t) 線性增長,K ＜0 時(shí)近似為指數(shù)發(fā)散,此時(shí)不會產(chǎn)生焦散點(diǎn).

當(dāng)截面曲率K不固定為常數(shù)時(shí),通過黎曼幾何中的共軛點(diǎn)定理[25],能夠刻畫一般情形下截面曲率對共軛點(diǎn)的影響.

可以看出,利用雅可比場描述水聲射線高斯波束的幾何擴(kuò)展能夠揭示水聲射線的幾何拓?fù)湫再|(zhì),本文分析并給出了焦散問題的數(shù)學(xué)解釋.

3.4 高斯波束的振幅與相位

前文已經(jīng)指出測地線的雅可比場刻畫了聲線的內(nèi)蘊(yùn)幾何擴(kuò)展(t) ((t)=Y1(t)),雅可比方程(21)給出了雅可比場Y1(t) 的求解方法.本節(jié)利用雅可比場和雅可比方程給出高斯波束的振幅和相位的內(nèi)蘊(yùn)表達(dá).

經(jīng)典射線法利用射線級數(shù)得到亥姆霍茲方程的近似解,即射線的聲壓場:

設(shè)W為單位立體角內(nèi)的輻射聲功率,θ0為初始掠射角,射線管內(nèi)的能量是守恒的,因此單根聲線聲強(qiáng)的基本公式為

若不計(jì)入常數(shù)因子,聲壓幅值:

由(23)式可得:

上式給出了單根聲線路徑的聲壓.與經(jīng)典高斯波束法等價(jià).需要指出,本文將射線束的振幅簡化為中心聲線的振幅(24),未更深入地考慮傍軸振幅[26].

將雅可比方程(21)的解推廣到復(fù)數(shù)域上,此時(shí)傳播時(shí)間差δte是復(fù)值,中心聲線附近的聲線是復(fù)聲線,在/Y1虛部不為0 的假設(shè)下,波束(26)的振幅滿足高斯分布,稱為高斯波束.此外,根據(jù)動態(tài)射線方程(2)可知,傳播時(shí)間差,這說明利用雅可比場建立高斯波束模型是正確的.測地線方程(10)、雅可比方程(21)和高斯波束(26)給出了徑向?qū)ΨQ情形下高斯波束法求解聲場的黎曼幾何形式,完善了高斯波束模型的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),揭示了高斯波束在黎曼幾何意義下的特征屬性,為彎曲流形上的聲場計(jì)算提供了理論基礎(chǔ).

4 距離相關(guān)水聲環(huán)境下的高斯波束黎曼幾何模型

本節(jié)導(dǎo)出聲速剖面水平分層距離相關(guān)情形經(jīng)典水聲射線高斯波束模型的黎曼幾何形式,并與現(xiàn)有結(jié)果進(jìn)行對比.

4.1 水聲射線的走時(shí)場

設(shè) (r,?,z) 是三維歐氏空間的柱坐標(biāo)系,x(t)=(r(t),?(t),z(t))T是柱坐標(biāo)系下的射線軌跡,參數(shù)t是傳播時(shí)間.假設(shè)海水深度為H(m),海面邊界為za=0 m,海底邊界為zb=H(m).聲源在z軸上(r=0,?=0).經(jīng)典水聲射線理論假設(shè)波導(dǎo)為柱體:

其中R是地球半徑.

設(shè)c(r,z) 是水平分層距離相關(guān)的聲速剖面,假設(shè)聲速剖面c(r,z) 及其一階偏導(dǎo)數(shù)?c/?r和?c/?z是連續(xù)可微的.由于三維歐氏空間 R3的線元:

(27)式和(28)式給出了柱坐標(biāo)系下射線走時(shí)函數(shù)的幾何描述,即水聲學(xué)教材[8,27]中傳播時(shí)間方程.

4.2 水聲射線方程

由此可以給出黎曼流形 (N,) 的測地線(射線)方程:

設(shè)θ0為初始掠射角,那么射線方程(29)的初值條件為

利用 ds=cdt,可以將射線方程(29)用弧長 ds參數(shù)化為

應(yīng)當(dāng)指出,弧長參數(shù)化后的射線方程(31)與水聲學(xué)教材[8,27,28]中通過程函方程推導(dǎo)的射線方程是一致的.

4.3 雅可比方程與高斯波束

和(11)式,有:

因此可得:

結(jié)合(21)式和(32)式,可以得到:

在水平分層距離無關(guān)介質(zhì)(cr=0)中,雅可比方程為

根據(jù)高斯波束的內(nèi)蘊(yùn)形式(26)可知,掠射角為θ,距離中心射線的垂直距離為δη時(shí)高斯波束的聲壓為

由(2)式和(14)式可以得到柱坐標(biāo)系下經(jīng)典動態(tài)射線方程的內(nèi)蘊(yùn)形式為

和的定義見(14)式.對時(shí)間t的二階導(dǎo)數(shù)滿足

可以看出,經(jīng)典動態(tài)射線方程的內(nèi)蘊(yùn)形式(37)等價(jià)于雅可比方程(33).

因此,通過第2 節(jié)與第3 節(jié)相關(guān)理論,能夠給出水平分層距離相關(guān)環(huán)境下的程函方程、動態(tài)射線方程及高斯波束模型,經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)與經(jīng)典水聲學(xué)理論的結(jié)果一致,從而可進(jìn)一步驗(yàn)證本文理論的正確性.同時(shí),本文所給出的方程是內(nèi)蘊(yùn)形式,與坐標(biāo)系選取無關(guān),對徑向?qū)ΨQ的其他聲傳播問題仍適用.此外,本文說明水聲學(xué)中的聲線焦散現(xiàn)象與黎曼幾何中的截面曲率、雅可比場、共軛點(diǎn)等幾何量相關(guān),為后續(xù)研究深海會聚區(qū)等物理現(xiàn)象提供了理論基礎(chǔ).

4.4 數(shù)值仿真

本節(jié)通過采用若干經(jīng)典聲速剖面環(huán)境,編寫程序?qū)η拔慕⒌睦杪鼛缀文Ｐ瓦M(jìn)行仿真,并與Bellhop 的射線求解結(jié)果進(jìn)行了對比驗(yàn)證.

4.4.1 雙曲余弦聲速剖面

雙曲余弦聲速剖面c(z)=c1cosh(z-z1)/E的截面曲率:

圖2 雙曲余弦聲速剖面的聲線和焦散點(diǎn),參數(shù)為c1=1500 m/s,z1=1.5 km,E=5 km,聲源深度為z0=1 km,初始掠射角 θ0 ∈(-10°,12°),t ∈[0,130]s (a)共軛點(diǎn)理論仿真結(jié)果;(b) Bellhop 仿真結(jié)果Fig.2.Rays and caustics for the hyperbolic cosine sound speed profile with parameters c1=1500 m/s,z1=1.5 km,E=5 km,z0=1 km,θ0 ∈(-10°,12°),t ∈[0,130]s : (a)Conjugate point theory simulation results;(b) Bellhop simulation results.

4.4.2 線性聲速剖面

線性聲速剖面c(z)=c0+bz(b≠0) 的截面曲率K=cc′′-(c′)2=-b2＜0, 此時(shí)黎曼流形 (N,)等距同胚于雙曲空間.根據(jù)(22)式,|Y1(t)| 是關(guān)于t的單調(diào)遞增函數(shù),不會產(chǎn)生共軛點(diǎn).因此任意聲線x(t) 周圍的聲線都是發(fā)散的,不會產(chǎn)生焦散點(diǎn).圖3(a)和(b)分別表示通過共軛點(diǎn)理論和Bellhop的射線仿真結(jié)果,可見求解結(jié)果一致且聲線指數(shù)發(fā)散,不會產(chǎn)生焦散點(diǎn),與理論結(jié)果吻合.

圖3 線性聲速剖面的聲線求解結(jié)果,參數(shù)為 c0=1500 m/s,b=-0.01,聲源深度為 z0=1 km,初始掠射角 θ0 ∈(-5°,-2°),t ∈[0,25]s (a)共軛點(diǎn)理論仿真結(jié)果;(b) Bellhop 仿真結(jié)果Fig.3.Rays for the linear sound speed profile with parameters c0=1500 m/s,b=-0.01 ,z0=1 km,θ0 ∈(-5°,-2°),t ∈[0,25]s : (a) Conjugate point theory simulation results;(b)Bellhop simulation results..

4.4.3 深海高斯渦模型

考慮存在高斯渦的深海結(jié)構(gòu),聲速剖面為

其中η=2(z-1000)/1000,DC 為渦強(qiáng)度,DR 是渦的水平半徑,DZ 是渦的垂直半徑,Re 是渦心的水平位置,Ze 是渦心的垂直位置,聲速等值線見圖4.

圖4 聲速剖面(38) 的聲速等值線,參數(shù)為 DR=150 km,DZ=500 km,Ze=1000 km,Re=300 kmFig.4.Sound speed contours for the sound speed profile (38) with parameters D R=150 km,DZ=5 00km,Ze=1000 km,.

聲速剖面(38)下的截面曲率不恒為常數(shù),不能直接得到雅可比方程(33)的解析解.本文選取20 根聲線,利用四階Runge-Kutta 法計(jì)算聲速剖面(38)下測地線方程(29)和雅可比方程(33)的數(shù)值解,截面曲率和雅各比場的數(shù)值求解結(jié)果見圖5,進(jìn)而得到聲線和焦散點(diǎn)(圖6(a)).參數(shù)設(shè)置為r(0)=0 m,z(0)=400 m,掠射角θ0∈[-10°,10°],時(shí)間t∈[0,320] s.

圖5 聲速剖面(38)的截面曲率K 和雅可比場Y1(t)仿真結(jié)果 (a) 截面曲率K 仿真結(jié)果;(b) 雅可比場Y1(t)仿真結(jié)果Fig.5.Section curvature K and Jacobi field Y1(t) for the sound speed profile (38): (a) Section curvature K simulation results;(b) Jacobi field Y1(t) simulation results.

Bellhop 是當(dāng)前主流的射線求解軟件之一,可實(shí)現(xiàn)高斯波束法求解聲場,但無法直接計(jì)算焦散點(diǎn)位置.本文利用雅可比方程刻畫聲線的內(nèi)蘊(yùn)幾何擴(kuò)展,能夠更便捷地計(jì)算聲線的焦散點(diǎn)(圖6(a)).在仿真參數(shù)不變的情況下,聲速剖面(38)的Bellhop的聲線仿真結(jié)果見圖6(b).結(jié)果顯示,采用黎曼幾何模型計(jì)算的聲線結(jié)果與Bellhop 一致,這說明本文的仿真計(jì)算方法是可行的.

圖6 聲速剖面(38)的聲線和焦散點(diǎn) (a)共軛點(diǎn)理論求解結(jié)果;(b) Bellhop 射線求解結(jié)果Fig.6.Rays and caustics for the sound speed profile (38):(a) Conjugate point theory simulation results;(b) Bellhop simulation results.

5 結(jié)論

本文采用黎曼幾何建立了高斯波束模型的內(nèi)蘊(yùn)形式.主要工作如下:

1)基于最小作用量原理,在水聲射線走時(shí)黎曼度規(guī)下,給出了黎曼流形上的水聲測地線程函方程;

2)利用雅可比場理論建立了一般徑向?qū)ΨQ聲傳播環(huán)境下的高斯波束黎曼幾何模型,揭示了水聲場射線的拓?fù)湫再|(zhì).

在黎曼幾何框架下,本文利用測地線、雅可比場和共軛點(diǎn)等概念給出了射線高斯波束的幾何解釋.在傳播時(shí)間的黎曼度規(guī)下,水聲程函方程等價(jià)于黎曼幾何中的測地線方程,高斯波束的內(nèi)蘊(yùn)幾何擴(kuò)展對應(yīng)于測地線沿雅可比場的偏離,焦散點(diǎn)等價(jià)于共軛點(diǎn).這種等價(jià)性使水聲射線高斯波束模型具備了黎曼幾何意義.本文研究為在實(shí)際彎曲底流形下開展水聲建模與計(jì)算提供了理論基礎(chǔ).后續(xù)可開展考慮地球曲率的遠(yuǎn)程聲傳播建模理論、深海會聚區(qū)建模應(yīng)用等相關(guān)研究工作.

感謝宋君強(qiáng)院士對該探索研究的鼓勵和支持,黃思訓(xùn)教授、梁湘三教授審閱論文初稿,特致謝忱.