水聲射線傳播的黎曼幾何建?！?yīng)用
——深海遠(yuǎn)程聲傳播會(huì)聚區(qū)黎曼幾何模型*

馬樹青 郭肖晉 張理論 藍(lán)強(qiáng) 黃創(chuàng)霞

1) (國(guó)防科技大學(xué)氣象海洋學(xué)院,長(zhǎng)沙 410073)

2) (長(zhǎng)沙理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,長(zhǎng)沙 410114)

會(huì)聚區(qū)是深海水聲傳播重要的物理現(xiàn)象,對(duì)其準(zhǔn)確建模和計(jì)算是深海遠(yuǎn)程水聲探測(cè)與通信的基礎(chǔ).但深海會(huì)聚區(qū)缺乏明確的數(shù)學(xué)描述,特別是對(duì)于地球曲率所導(dǎo)致的系統(tǒng)誤差,目前主要采用近似計(jì)算與曲率修正相結(jié)合的方法,尚無精確會(huì)聚區(qū)數(shù)學(xué)模型.本文基于水聲射線黎曼幾何建?；A(chǔ)理論研究,在彎曲球體流形上開展深海會(huì)聚區(qū)建模,在分析總結(jié)會(huì)聚區(qū)物理特征的基礎(chǔ)上,給出深海會(huì)聚區(qū)黎曼幾何描述,得到深海會(huì)聚區(qū)位置、距離的分析形式和基于黎曼幾何概念的計(jì)算方法,為深海會(huì)聚區(qū)—這一重要的深海聲學(xué)現(xiàn)象探索賦予黎曼幾何學(xué)意義.以Munk 聲速剖面為例,對(duì)比分析深海會(huì)聚區(qū)在曲率修正和采用黎曼幾何方法在球體流形上建模兩種情形的時(shí)空分布,驗(yàn)證了本文提出的深海會(huì)聚區(qū)黎曼幾何模型的有效性,結(jié)果顯示近海面處的會(huì)聚區(qū)寬度隨聲傳播呈現(xiàn)先變大后變小的規(guī)律,最大約20 km,最小約4 km.

1 引言

深海典型聲速分布使聲線在遠(yuǎn)離聲道軸處上下反轉(zhuǎn)或反射,形成周期性高聲強(qiáng)焦散區(qū)域,稱為會(huì)聚區(qū)[1].會(huì)聚區(qū)內(nèi)聲信號(hào)的傳播損失小,能夠高強(qiáng)度、低失真地遠(yuǎn)距離傳播聲信號(hào).準(zhǔn)確預(yù)測(cè)和識(shí)別會(huì)聚區(qū)是深海聲學(xué)研究的重要課題.前人圍繞深海會(huì)聚區(qū)的觀測(cè)、影響因素和分析建模等開展了大量深入細(xì)致的工作,然而基于射線方法的會(huì)聚區(qū)聲場(chǎng)數(shù)學(xué)描述還不完善,束縛了對(duì)會(huì)聚區(qū)的有效利用.

聲傳播實(shí)驗(yàn)觀測(cè)是會(huì)聚區(qū)研究的基礎(chǔ).1960 年,Hale[2]在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上首次分析了海面附近會(huì)聚區(qū)的物理特征,指出一定范圍內(nèi),會(huì)聚區(qū)聲信號(hào)比其他路徑高出約30 dB,其邊界為焦散線.Urick[3]基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和聲線圖,研究聲源和接收深度對(duì)會(huì)聚區(qū)的影響,發(fā)現(xiàn)會(huì)聚區(qū)通常存在于整個(gè)深海聲道,聲源變深時(shí)會(huì)聚區(qū)分裂成兩個(gè)半?yún)^(qū),且間距逐漸增大.樸勝春等[4]結(jié)合南海海域的遠(yuǎn)程聲傳播實(shí)驗(yàn)結(jié)果,發(fā)現(xiàn)深海大深度處存在著下反轉(zhuǎn)點(diǎn)會(huì)聚區(qū),其位置與焦散線吻合.李文和李整林[5]利用南海爆炸聲信號(hào)分析海底山對(duì)會(huì)聚區(qū)聲傳播的影響,發(fā)現(xiàn)海底山阻擋可使第一會(huì)聚區(qū)處的傳播損失增加30 dB 以上.

建模與預(yù)測(cè)是會(huì)聚區(qū)研究的重點(diǎn),其中會(huì)聚區(qū)距離和寬度是關(guān)鍵模型要素.由于0°掠射角聲線反轉(zhuǎn)點(diǎn)附近存在焦散線[6],一系列學(xué)者[7-10]將會(huì)聚區(qū)距離定義為0°掠射角聲線反轉(zhuǎn)點(diǎn)的循環(huán)距離.文獻(xiàn)[5,11]則將聲源深度處傳播損失曲線的峰值作為會(huì)聚區(qū),將其差值作為會(huì)聚區(qū)距離.張晶晶和羅博[12]通過計(jì)算兩條鄰近聲線的交匯點(diǎn)估計(jì)會(huì)聚區(qū)的峰值.Yang 等[13]基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(CNN)模型提出了一種會(huì)聚區(qū)的判別方法.張仁和[7]利用簡(jiǎn)正波和廣義射線理論[6]研究了反轉(zhuǎn)點(diǎn)會(huì)聚區(qū)的聲場(chǎng),指出發(fā)射深度的反轉(zhuǎn)點(diǎn)附近通常存在著3 條焦散線,認(rèn)為會(huì)聚區(qū)在0°掠射角聲線的上反轉(zhuǎn)點(diǎn)附近形成.莊益夫等[11]利用Bellhop 高斯聲束模型分析了深海聲速剖面結(jié)構(gòu)變化引起的會(huì)聚區(qū)偏移特征,發(fā)現(xiàn)混合層、主躍層、深海等溫層及聲道軸變化均會(huì)導(dǎo)致會(huì)聚區(qū)位置偏移.Wu 等[10]利用拋物方程研究聲速剖面對(duì)會(huì)聚區(qū)位置的影響,分析了南海、東印度洋的區(qū)域差異.以上研究主要通過觀察聲線圖或傳播損失曲線的變化定性地分析會(huì)聚區(qū)的寬度.可見深海會(huì)聚區(qū)數(shù)學(xué)描述還不明確,缺乏關(guān)于會(huì)聚區(qū)位置、距離和寬度的精確計(jì)算方法.另一方面,會(huì)聚區(qū)模型預(yù)測(cè)與聲學(xué)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)間仍存在明顯的差異.南海某爆炸聲傳播實(shí)驗(yàn)[14]結(jié)果顯示,會(huì)聚區(qū)的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)位置相比理論計(jì)算的反轉(zhuǎn)點(diǎn)位置有所前移,第一會(huì)聚區(qū)約前移1—3 km,第二會(huì)聚區(qū)前移超過10 km.Vadov[15]指出第一會(huì)聚區(qū)的模型預(yù)測(cè)理論位置通常比實(shí)驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果高出了1—2 km.

同時(shí),會(huì)聚區(qū)建模需要充分考慮地球曲率對(duì)遠(yuǎn)程聲傳播的影響.徐傳秀等[16]對(duì)拋物模型進(jìn)行地球曲率修正,結(jié)果表明,地球曲率會(huì)造成會(huì)聚區(qū)向遠(yuǎn)距離移動(dòng).畢思昭和彭朝暉[17]給出了基于共形映射的地球曲率修正方法,結(jié)果顯示地球曲率會(huì)導(dǎo)致會(huì)聚區(qū)位置向聲源方向偏移.Munk 等[18]根據(jù)費(fèi)馬原理給出了大地坐標(biāo)系下的聲學(xué)射線方程,在其基礎(chǔ)上,Yan 和Kang[19]與Yan[20]建立了考慮地球曲率影響的二維和三維射線方程,發(fā)現(xiàn)射線路徑向聲源方向移動(dòng),但未研究會(huì)聚區(qū).考慮到球面和平面間有共形映射,但不存在等距映射,因而采用“歐氏空間建模+曲率補(bǔ)償”的方法,在本質(zhì)上是不完備的,勢(shì)必需要在彎曲流形上直接建模才能得到精確模型.

綜上,分析會(huì)聚區(qū)數(shù)學(xué)物理機(jī)理、研究考慮地球曲率的會(huì)聚區(qū)精確模型具有重要學(xué)術(shù)與應(yīng)用意義.文獻(xiàn)[21]研究建立了水聲射線黎曼幾何模型,分析了水聲場(chǎng)射線的幾何拓?fù)湫再|(zhì),發(fā)現(xiàn)聲線會(huì)聚導(dǎo)致焦散現(xiàn)象的根本數(shù)學(xué)意義是: 流形上的正截面曲率導(dǎo)致測(cè)地線形成共軛點(diǎn).在以上工作的基礎(chǔ)上,運(yùn)用黎曼幾何中截面曲率、雅可比場(chǎng)和共軛點(diǎn)等概念,從黎曼幾何視角給出會(huì)聚區(qū)的數(shù)學(xué)描述,針對(duì)考慮地球曲率的遠(yuǎn)程聲傳播情形,建立了深海會(huì)聚區(qū)黎曼幾何模型,發(fā)現(xiàn)考慮地球曲率后截面曲率增加了一項(xiàng)(l)(l)/l,體現(xiàn)了地球曲率對(duì)聲場(chǎng)射線拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)以及會(huì)聚區(qū)的影響.以Munk 聲速剖面為例,給出了深海會(huì)聚區(qū)遠(yuǎn)程時(shí)空分布.結(jié)果顯示,相比不考慮地球曲率情形,會(huì)聚區(qū)在遠(yuǎn)程傳播時(shí)向聲源方向移動(dòng),第16 個(gè)上反轉(zhuǎn)點(diǎn)會(huì)聚區(qū)(傳播距離約為932 km)約前移9.6 km.同時(shí)發(fā)現(xiàn)近海面的會(huì)聚區(qū)寬度隨聲傳播呈現(xiàn)先變大后變小的現(xiàn)象,最大約20 km,最小約4 km.

本文給出的考慮地球曲率的深海會(huì)聚區(qū)黎曼幾何數(shù)學(xué)形式,使會(huì)聚區(qū)遠(yuǎn)程聲傳播研究開始具備現(xiàn)代黎曼幾何意義.論文安排如下: 第2 節(jié)給出地球球體流形上自然考慮地球曲率的黎曼幾何聲傳播模型;第3 節(jié)分析研究會(huì)聚區(qū)物理特征,在測(cè)地線、雅可比場(chǎng)、共軛點(diǎn)等幾何概念基礎(chǔ)上,給出深海會(huì)聚區(qū)黎曼幾何描述;第4 節(jié)以Munk 聲速剖面為例,分析對(duì)比了會(huì)聚區(qū)黎曼幾何數(shù)學(xué)模型的有效性;第5 節(jié)為全文總結(jié)和展望.

2 球體流形上的遠(yuǎn)程聲傳播建模

地球近似為一個(gè)球體,地球曲率會(huì)造成水聲波導(dǎo)彎曲,因此對(duì)水聲學(xué)中常見的水平分層聲傳播場(chǎng)景而言,實(shí)際海洋聲傳播的聲速等值面是同心球面,而非平行平面,因而遠(yuǎn)程聲傳播必須考慮地球曲率.基于文獻(xiàn)[21]的黎曼幾何射線建模理論基礎(chǔ),給出考慮地球曲率的深海遠(yuǎn)程聲傳播射線模型.

2.1 水聲射線走時(shí)的幾何描述

設(shè) (l,θ,φ) 是以地球球心為原點(diǎn)的球坐標(biāo)系,R=6370.856 km 是地球的曲率半徑,假設(shè)為常數(shù),海水深度為Hm,海面邊界為la=R,海底邊界為lb=R-H.聲源在l軸上(θ=0,φ=0),且位于海面和海底之間.考慮地球曲率后,海洋波導(dǎo)是一個(gè)三維球面環(huán)體流形:

歐氏度規(guī)下的線元 ds2=dl2+l2dθ2+l2sin2θdφ2,弧長(zhǎng)s的黎曼度規(guī)為

gij與互稱為共形度規(guī).(1)式和(2)式分別表示兩種不同的流形結(jié)構(gòu),(1)式為三維歐氏度規(guī)的球坐標(biāo)表示,(2)式為水聲射線傳播的時(shí)空流形結(jié)構(gòu).

設(shè)單個(gè)點(diǎn)源是全向的,且聲線不隨方位角變化發(fā)生扭轉(zhuǎn),此時(shí)方位角恒定的截面的聲傳播是對(duì)稱的,見圖1.問題轉(zhuǎn)化到二維 (l,θ) 平面上,即二維微分流形N={(l,θ)|la ＜l ＜lb,θ ∈(0,π)}.此時(shí)傳播距離=lθ,深度=R-l.傳播時(shí) 間t的 度規(guī)σ ∈[a,b] 是流形 (N,) 上的曲線,σ為線參數(shù),黑體表示向量,沿著曲線x(σ) 的走時(shí)T為

圖1 考慮地球曲率后的聲傳播 (a) 對(duì)稱截面;(b) (l,θ) 平面上的雅可比場(chǎng)幾何示意圖Fig.1.Sound propagation considering the earth curvature: (a) Symmetrical section;(b) geometric structure of Jacobi field.

2.2 水聲測(cè)地線程函方程

在傳播時(shí)間t的度規(guī)下,聲線是沿著測(cè)地線傳播的.自然參數(shù)t下黎曼流形 () 的測(cè)地線方程為

設(shè)α0是初始掠射角,則射線方程(6)的初值條件為

初值問題(6)式和(7)式刻畫了黎曼流形 (N,) 上的水聲射線程函方程.

2.3 聲線幾何擴(kuò)展的雅可比場(chǎng)描述

測(cè)地線的雅可比場(chǎng)刻畫了聲線的內(nèi)蘊(yùn)幾何擴(kuò)展,雅可比方程給出了內(nèi)蘊(yùn)幾何擴(kuò)展的求解方法(圖1(b)).記x(t,α) 是二維黎曼流形 (N,) 上從聲源處發(fā)出的以時(shí)間t為參數(shù)的聲線(測(cè)地線),α為掠射角,映射f(t,α)=x(t,α).由文獻(xiàn)[21]可知,

是變分f沿聲線x(t,α0) 的雅可比場(chǎng).記x(t)=x(t,α0),取單位正交標(biāo)架場(chǎng):

雅可比場(chǎng)Y1(t) 表示聲線的內(nèi)蘊(yùn)幾何擴(kuò)展,滿足雅可比方程:

其中K(e1,e2) 表示截面曲率,反映了流形的幾何拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).根據(jù)

結(jié)合(5)式,有

截面曲率K(u,v) 與二維截面 [u ∧v] 的基底u(yù),v的選取無關(guān),因此

結(jié)合(8)式和(10)式,可以得到雅可比方程:

若雅可比場(chǎng)Y1(tk)=0,則x(tk) 為黎曼流形中的共軛點(diǎn),即水聲學(xué)中的焦散點(diǎn).此時(shí)聲線x(t) 周圍的聲線在x(tk) 附近會(huì)聚.

聲線的幾何擴(kuò)展決定了射線束的橫截面積S,設(shè)q為外蘊(yùn)幾何擴(kuò)展,α0是初始掠射角,對(duì)于徑向?qū)ΨQ的點(diǎn)源聲場(chǎng)[1]:

設(shè)W為單位立體角內(nèi)的輻射聲功率,由射線管內(nèi)能量守恒性質(zhì),單根聲線聲強(qiáng)的基本公式為

沿著一個(gè)射線束的幾何擴(kuò)展損失定義為某一點(diǎn)的聲強(qiáng)I(l,θ) 與距離聲源1 m 處的聲強(qiáng)I0之比[1],單位為分貝(dB),即

為了便于理解,上述推導(dǎo)給出了利用文獻(xiàn)[21]建模方法推導(dǎo)球面分層介質(zhì)的完整過程.事實(shí)上,考慮到黎曼度規(guī)、截面曲率和測(cè)地線方程均為流形的內(nèi)蘊(yùn)形式,不隨坐標(biāo)系改變而變化,故可由文獻(xiàn)[21]的(21)式、(29)式和(33)式直接得到球面分層介質(zhì)的測(cè)地線程函方程(6)和雅可比方程(11)(細(xì)節(jié)不再贅述).

2.4 地球曲率的黎曼幾何效應(yīng)分析

根據(jù)文獻(xiàn)[21]中的(29)式和(34)式可知,當(dāng)不考慮地球曲率影響時(shí),水平分層介質(zhì)中二維測(cè)地線(射線)方程為

這里r和z是柱坐標(biāo)系下的傳播距離和深度,初值條件為

截面曲率:

雅可比方程:

沿著一個(gè)射線束的幾何擴(kuò)展損失為

由(8)式可知,截面曲率決定了雅可比場(chǎng)Y1(t)的計(jì)算結(jié)果.比較截面曲率(10)和(17)式,可以發(fā)現(xiàn)在相同深度處考慮地球曲率影響前后的截面曲率相差(l)(l)/l,這將影響水聲射線的幾何擴(kuò)展速率及聲場(chǎng)射線拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).對(duì)于深海水下聲道型聲速剖面,在聲道軸以上,(l)(l)/l ＞0,考慮地球曲率后截面曲率增大;在聲道軸以下,(l)(l)/l ＜0,此時(shí)考慮地球曲率后截面曲率減小.下文仿真將給出對(duì)雅可比場(chǎng)及會(huì)聚區(qū)的相關(guān)數(shù)值影響效應(yīng).

3 深海會(huì)聚區(qū)黎曼幾何建模

本節(jié)利用截面曲率、雅可比場(chǎng)和共軛點(diǎn)等幾何概念,結(jié)合會(huì)聚區(qū)的物理特征,給出會(huì)聚區(qū)的數(shù)學(xué)描述與計(jì)算方法.在經(jīng)典的水聲學(xué)教材[1,23]中,會(huì)聚區(qū)被定義為從近海面聲源發(fā)出的波束經(jīng)過深海折射路徑傳播后,重新在近海面附近會(huì)聚,形成的周期性高聲強(qiáng)焦散區(qū)域.Hale[2]指出在較長(zhǎng)的范圍內(nèi),會(huì)聚區(qū)的聲信號(hào)比其他路徑傳播的聲信號(hào)高出約30 dB,且會(huì)聚區(qū)的邊界不是底部掠射聲線,而是聲線會(huì)聚形成的焦散線.張仁和[6,7]證明了發(fā)射深度的反轉(zhuǎn)點(diǎn)附近通常存在著3 條焦散線,認(rèn)為會(huì)聚區(qū)在0°掠射角聲線的上反轉(zhuǎn)點(diǎn)附近形成,將0°掠射角聲線上反轉(zhuǎn)點(diǎn)的距離作為會(huì)聚區(qū)距離.最近,一些研究[4,17]發(fā)現(xiàn)在深海大深度處折射型聲線的焦散線附近也存在著與海面附近類似的周期性高聲強(qiáng)區(qū)域,稱為下反轉(zhuǎn)點(diǎn)會(huì)聚區(qū).由于對(duì)會(huì)聚區(qū)產(chǎn)生主要影響的是折射型聲線[12],在本文中暫不考慮邊界影響,僅考慮折射型聲線產(chǎn)生的會(huì)聚區(qū)效應(yīng).

基于上述研究分析,總結(jié)會(huì)聚區(qū)的3 個(gè)基本物理特征如下:

1) 會(huì)聚區(qū)的邊界是焦散線,0°掠射角聲線的上反轉(zhuǎn)點(diǎn)附近通常存在著三條焦散線;

2) 會(huì)聚區(qū)的深度位于近海面(上反轉(zhuǎn)點(diǎn))或深海大深度(下反轉(zhuǎn)點(diǎn))處,距離具有周期性;

3) 會(huì)聚區(qū)處產(chǎn)生了聲線會(huì)聚現(xiàn)象,因此具有較高的聲強(qiáng).

聲線會(huì)聚產(chǎn)生的焦散現(xiàn)象在黎曼幾何中表現(xiàn)為測(cè)地線的雅可比場(chǎng)為0,即出現(xiàn)了共軛點(diǎn).根據(jù)雅可比方程(8)式可知,截面曲率完全決定了雅可比方程的解.共軛點(diǎn)的形成與流形上的截面曲率有關(guān).共軛點(diǎn)定理[21,24]表明,如果流形上的截面曲率均小于或等于零,則不會(huì)產(chǎn)生共軛點(diǎn).如果流形上的截面曲率有正的下界,那么所有完備的聲線均會(huì)產(chǎn)生共軛點(diǎn).從(10)式可以看出,截面曲率K的值取決于聲速剖面和海洋深度.流形上截面曲率的變化揭示了水聲場(chǎng)射線的幾何拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),反映了海洋環(huán)境變化對(duì)水聲場(chǎng)的影響.若聲線始終在 0＜Kinf≤K≤Ksup的介質(zhì)中傳播,那么聲線終將產(chǎn)生焦散點(diǎn),且相鄰焦散點(diǎn)的時(shí)間間隔.若聲線穿過K＜0 的介質(zhì)區(qū)域,那么聲線可能會(huì)變得不穩(wěn)定.因此,產(chǎn)生焦散現(xiàn)象的必要條件是水聲場(chǎng)存在正截面曲率.

結(jié)合會(huì)聚區(qū)物理性質(zhì)和焦散點(diǎn)幾何性質(zhì)的研究,本文利用黎曼幾何方法,給出如下會(huì)聚區(qū)數(shù)學(xué)描述,用于會(huì)聚區(qū)建模計(jì)算:

1) 存在截面曲率K＞0 的穩(wěn)定區(qū)域,且通過求解測(cè)地線方程(6)和Jaocbi 方程(11),聲線出現(xiàn)了共軛點(diǎn);

2) 在深海上下反轉(zhuǎn)區(qū)域內(nèi)存在共軛點(diǎn)集合,且具有準(zhǔn)周期現(xiàn)象;

3) 當(dāng)上反轉(zhuǎn)區(qū)域內(nèi)聲束的幾何擴(kuò)展損失(14)式小于閾值β時(shí),則出現(xiàn)了上反轉(zhuǎn)點(diǎn)會(huì)聚區(qū),定義為

4) 與文獻(xiàn)[7]的理論結(jié)果一致,本文仿真結(jié)果顯示0°掠射角聲線的上下反轉(zhuǎn)點(diǎn)附近存在3 條焦散線.因此,本文將0°掠射角聲線的反轉(zhuǎn)點(diǎn)作為會(huì)聚區(qū)的參考點(diǎn),會(huì)聚區(qū)距離定義為0°掠射角聲線反轉(zhuǎn)點(diǎn)的距離.記 C Zk為第k個(gè)會(huì)聚區(qū),深度0處第k個(gè)會(huì)聚區(qū)的寬度為

由(14)式和(20)式可知 (,)∈CZk需滿足以下條件:

下文數(shù)值仿真驗(yàn)證了由黎曼幾何建模計(jì)算得到的會(huì)聚區(qū)滿足上述深海會(huì)聚區(qū)的3 個(gè)物理特征.

4 深海會(huì)聚區(qū)黎曼幾何模型的數(shù)值實(shí)驗(yàn)與分析

本節(jié)以Munk 聲速剖面

為例,分別對(duì)考慮地球曲率影響((6)式,(10)式,(11)式,(14)式)和不考慮地球曲率影響((15)式—(19)式)時(shí)建立的深海會(huì)聚區(qū)幾何模型進(jìn)行仿真,并對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析.

4.1 考慮地球曲率前后聲場(chǎng)射線的幾何性質(zhì)對(duì)比

根據(jù)截面曲率(10)式和(17)式,可以看出Munk聲速剖面(22)式下的截面曲率K不恒為常數(shù),不能直接求出雅可比方程的解析解.在聲道軸以上(1300 m),(l)(l)/l＞0,考慮地球曲率后截面曲率增大;在聲道軸以下(1300 m),(l)(l)/l＜0,考慮地球曲率后截面曲率減小.這使得Munk 聲速剖面下截面曲率的臨界值發(fā)生了變化,見表1.

表1 考慮地球曲率前后Munk 聲速剖面下截面曲率對(duì)比Table 1.Comparison of sectional curvature of Munk sound speed profile.

根據(jù)共軛點(diǎn)定理[21,24],如果聲線始終在截面曲率K=0 時(shí)深度的臨界值上方傳播,那么聲線一定會(huì)產(chǎn)生焦散點(diǎn).若聲線始終在截面曲率臨界值的下方傳播,那么聲線將不斷發(fā)散.截面曲率臨界值的改變可能使原本穩(wěn)定的聲線變得不穩(wěn)定,從而影響會(huì)聚區(qū)的形成.此外,根據(jù)截面曲率的最大值Kmax可知,不考慮地球曲率影響時(shí)相鄰焦散點(diǎn)之間的時(shí)間間隔t≥5.8567 s,考慮地球曲率影響后相鄰焦散點(diǎn)之間的時(shí)間間隔t≥5.8564 s.

選取50 根中心聲線,利用四階Runge-Kutta法計(jì)算考慮地球曲率與不考慮地球曲率的測(cè)地線方程(6)和方程(15),雅可比方程(11)和方程(18)的數(shù)值解,其中參數(shù)設(shè)置為H=5000 m,入射角α0∈[-8°,8°],頻率ω=50 HZ,聲源位于r(0)=0 m,z(0)=200 m,時(shí) 間t∈[0,a],a=660 s,此時(shí)所選聲線均為折射型聲線.中心聲線上各點(diǎn)處的截面曲率和雅可比場(chǎng)的分量Y1(t) 的求解結(jié)果見圖2 和圖3.分析圖2(a)可知,考慮地球曲率前后絕大多數(shù)聲線均在截面曲率K＞0 的穩(wěn)定區(qū)域中傳播,少數(shù)聲線穿過了K＜0 的不穩(wěn)定區(qū)域,且所經(jīng)過的不穩(wěn)定區(qū)域的截面曲率接近于0.此外,比較同一初始條件出發(fā)的聲線的截面曲率(圖2(b)),數(shù)值結(jié)果顯示在形成第一個(gè)焦散點(diǎn)之前,同一時(shí)刻考慮地球曲率后聲線的截面曲率大于不考慮地球曲率的截面曲率.Rauch 比較定理是黎曼幾何中的重要工具,刻畫了不同流形上截面曲率對(duì)雅可比場(chǎng)的影響.

圖2 考慮地球曲率前后所選聲線的截面曲率 (a) 660 s 內(nèi)50 根聲線的截面曲率;(b) 入射角 α0=0° 的聲線形成第一個(gè)焦散點(diǎn)前的截面曲率Fig.2.Section curvature before and after considering the earth curvature: (a) Section curvature of 50 sound lines in 660 s;(b) section curvature of sound line with elevation angle α0=0° before forming the first caustic.

根據(jù)Rauch 比較定理,在形成第一個(gè)焦散點(diǎn)之前,考慮地球曲率的雅可比場(chǎng)小于不考慮地球曲率的雅可比場(chǎng),故先形成第一個(gè)上反轉(zhuǎn)點(diǎn)會(huì)聚區(qū).

雅可比場(chǎng)Y1(t) 的零點(diǎn)即焦散點(diǎn)的位置,從圖3可以看出,考慮地球曲率前后均會(huì)不斷形成焦散點(diǎn),660 s 每根聲線的焦散點(diǎn)個(gè)數(shù)為28—34 個(gè).盡管少數(shù)聲線穿過了K＜0 的不穩(wěn)定區(qū)域,但經(jīng)過的區(qū)域較小,且截面曲率接近于0,聲線的發(fā)散速率不大,故所有聲線均產(chǎn)生了焦散點(diǎn),且形成焦散點(diǎn)的時(shí)間間隔符合上文分析.同時(shí),隨著聲線的傳播,雅可比場(chǎng)的極大值不斷增大,說明聲線束的幾何擴(kuò)展損失增大,聲場(chǎng)能量損耗增大.

圖3 660 s 內(nèi)所選50 根聲線的雅可比場(chǎng) Y1(t)Fig.3.Jacobi field Y1(t) of 50 sound lines in 660 s.

4.2 地球曲率對(duì)深海會(huì)聚區(qū)位置和寬度的影響效應(yīng)

利用幾何擴(kuò)展損失的計(jì)算公式(14)式和(19)式可得,不考慮地球曲率時(shí)幾何擴(kuò)展損失的最大值為113.3 dB,考慮地球曲率后幾何擴(kuò)展損失的最大值為113.8 dB.根據(jù)第3 節(jié)提出的深海會(huì)聚區(qū)幾何模型,得到遠(yuǎn)程傳播彎曲聲道中(二維情形)的聲線軌跡、焦散點(diǎn)以及會(huì)聚區(qū)位置,如圖4.

圖4 彎曲聲道中的聲線、會(huì)聚區(qū)和焦散點(diǎn) (a) 全圖;(b) 細(xì)節(jié)圖Fig.4.Ray,convergence zone and caustics in curved sound channel: (a) Full picture;(b) details picture.

從圖4 可以看出,焦散點(diǎn)主要集中在聲線的上反轉(zhuǎn)點(diǎn)和下反轉(zhuǎn)點(diǎn)位置,這說明在近海面處和深海大深度處均會(huì)產(chǎn)生明顯的會(huì)聚區(qū)效應(yīng),且會(huì)聚區(qū)的邊界存在焦散線,符合會(huì)聚區(qū)的物理特征,說明本文給出的會(huì)聚區(qū)計(jì)算方法是合理的.

為了便于分析地球曲率的影響,本文在深度-距離坐標(biāo)系中計(jì)算了考慮地球曲率前后聲線、焦散線和會(huì)聚區(qū)的位置(所選參數(shù)不變),見圖5 和圖6.從圖5 和圖6 可以看出,考慮地球曲率前后近海面和深海大深度處都出現(xiàn)了明顯的焦散現(xiàn)象,0°掠射角聲線的反轉(zhuǎn)點(diǎn)附近出現(xiàn)了3 條焦散線(圖5),這與前文的理論分析吻合.因此,考慮地球曲率前后在近海面(30—200 m)和深海大深度處(考慮地球曲率前約為3700—4610 m,考慮地球曲率后約為3660—4560 m)均存在明顯的會(huì)聚區(qū)效應(yīng),1000 km距離內(nèi)產(chǎn)生了16 個(gè)會(huì)聚區(qū)(圖6).

圖5 考慮地球曲率前后的聲線和焦散線 (a) 全圖;(b) 上反轉(zhuǎn)點(diǎn)焦散線;(c) 下反轉(zhuǎn)點(diǎn)焦散線Fig.5.Rays and caustics before and after considering the earth curvature: (a) Full picture;(b) upper turning point caustics;(c) lower turning point caustics.

圖6 考慮地球曲率前后的聲線和會(huì)聚區(qū)Fig.6.Rays and convergence zones before and after considering the earth curvature.

從圖5 和圖6 可以看出,考慮地球曲率后聲線整體向聲源方向移動(dòng),焦散點(diǎn)和會(huì)聚區(qū)也隨之移動(dòng).仍以0°聲線反轉(zhuǎn)點(diǎn)作為會(huì)聚區(qū)位置的參考點(diǎn),發(fā)現(xiàn)上、下反轉(zhuǎn)點(diǎn)會(huì)聚區(qū)的傳播距離均有所減小.隨著傳播距離的增大,會(huì)聚區(qū)前移距離近似線性增長(zhǎng)(圖7).

圖7 考慮地球曲率后會(huì)聚區(qū)偏移的距離Fig.7.Movement of the convergence zone after considering the earth curvature.

第4 個(gè)上反轉(zhuǎn)點(diǎn)會(huì)聚區(qū)(傳播距離約為232 km)約前移2.5 km、下反轉(zhuǎn)點(diǎn)會(huì)聚區(qū)(傳播距離約為204 km)約前移2.3 km,第9 個(gè)上反轉(zhuǎn)點(diǎn)會(huì)聚區(qū)(傳播距離約為524 km)約前移5.5 km、下反轉(zhuǎn)點(diǎn)會(huì)聚區(qū)(傳播距離約為495 km)約前移5.4 km,第16 個(gè)上反轉(zhuǎn)點(diǎn)會(huì)聚區(qū)(傳播距離約為932 km)約前移9.6 km、下反轉(zhuǎn)點(diǎn)會(huì)聚區(qū)(傳播距離約為902 km)約前移9.7 km,見表2.此外,考慮地球曲率后上反轉(zhuǎn)點(diǎn)會(huì)聚區(qū)的深度變化不大,下反轉(zhuǎn)點(diǎn)會(huì)聚區(qū)的深度變淺,約變淺42 m.產(chǎn)生差異的根本原因是水聲場(chǎng)射線幾何拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的改變.

表2 考慮地球曲率后會(huì)聚區(qū)向聲源方向前移距離Table 2.Distance of convergence zone moving forward towards sound source after considering the earth curvature.

應(yīng)當(dāng)指出,現(xiàn)有研究[16,17]均是采用環(huán)境參數(shù)修正的方法考慮地球曲率的影響,考慮到球面與平面存在本質(zhì)不同,即無等距映射,因而將問題先轉(zhuǎn)化為歐氏空間計(jì)算、再加以曲率修正的方法,客觀上將存在一定的誤差.本文通過直接在彎曲底流形上建模,避免了曲率修正帶來的誤差.

以0°掠射角聲線反轉(zhuǎn)點(diǎn)的間距作為會(huì)聚區(qū)的距離,仿真結(jié)果顯示地球曲率修正前會(huì)聚區(qū)距離約為58.15—58.34 km,地球曲率修正后會(huì)聚區(qū)距離有所增大,約為58.82—58.87 km.基于已經(jīng)得到的會(huì)聚區(qū)位置,本文分別計(jì)算了200 和4000 m 接收深度處會(huì)聚區(qū)的寬度(定義見第3 節(jié)),見圖8.從圖8 可以看出,Munk 聲速剖面近海面處的會(huì)聚區(qū)寬度隨聲傳播呈現(xiàn)先變大后變小的現(xiàn)象,最大約20 km,最小約4 km.與圖6 中呈現(xiàn)的會(huì)聚區(qū)結(jié)果相吻合.會(huì)聚區(qū)的寬度受Jaocbi 場(chǎng)Y1和傳播距離的共同制約 ((21)式),當(dāng)傳播距離較小時(shí),雅可比場(chǎng)|Y1| 的極大值也較小(圖3),會(huì)聚區(qū)條件(21)式容易滿足,會(huì)聚區(qū)較寬;當(dāng)傳播距離較大時(shí),雅可比場(chǎng)|Y1| 的極大值較大(圖3),由(21)式可以看出,雅可比場(chǎng)|Y1| 較小時(shí)才可滿足會(huì)聚區(qū)條件,此時(shí)會(huì)聚區(qū)的寬度變窄.

圖8 不同接收深度處考慮地球曲率和不考慮地球曲率的會(huì)聚區(qū)寬度 (a) 200 m;(b) 4000 mFig.8.The width of convergence zone considering and not considering earth curvature at the two different receiver depths:(a) 200 m;(b) 4000 m.

4.3 聲傳播損失閾值對(duì)深海會(huì)聚區(qū)的影響分析

當(dāng)會(huì)聚區(qū)幾何擴(kuò)展損失的閾值β改變時(shí),會(huì)聚區(qū)的寬度也隨之改變,如圖9.從圖9 可以看出,β越大,會(huì)聚區(qū)聲線的聚焦效果越強(qiáng),會(huì)聚區(qū)的聲強(qiáng)越大,但會(huì)聚區(qū)的寬度減小.β變小,會(huì)聚區(qū)的寬度變大,但會(huì)聚區(qū)內(nèi)的聲強(qiáng)變?nèi)?當(dāng)β=25 dB 時(shí),200 m 接收深度處第7 個(gè)上反轉(zhuǎn)點(diǎn)會(huì)聚區(qū)的寬度約7 km,β=20 dB 時(shí) 約9 km,β=15 dB 時(shí) 達(dá)到30 km.

圖9 不 同幾何擴(kuò)展損失閾值下的會(huì) 聚區(qū) (a) β=25 dB;(b) β=15 dBFig.9.Convergence zones at two different geometric spread loss thresholds β : (a) β=25 dB;(b) β=15 dB.

圖10 給出了聲源深度為150 和300 m,其他參數(shù)不變時(shí)考慮地球曲率影響后的焦散線和會(huì)聚區(qū)位置.可以看出此時(shí)仍會(huì)形成明顯的上、下反轉(zhuǎn)點(diǎn)會(huì)聚區(qū),聲源越深,上反轉(zhuǎn)點(diǎn)會(huì)聚區(qū)的深度越深,下反轉(zhuǎn)點(diǎn)會(huì)聚區(qū)的深度越淺.聲源深度為150 m時(shí)上反轉(zhuǎn)點(diǎn)會(huì)聚區(qū)的深度約為20—150 m,下反轉(zhuǎn)點(diǎn)會(huì)聚區(qū)的深度約為3890—4700 m.300 m 時(shí)上反轉(zhuǎn)點(diǎn)會(huì)聚區(qū)的深度約為100—300 m,下反轉(zhuǎn)點(diǎn)會(huì)聚區(qū)的深度約為3260—4150 m.

圖10 不同聲源深度的焦散點(diǎn)與會(huì)聚區(qū) (a) 150 m;(b) 300 mFig.10.Convergence zones at two different source depths: (a) 150 m;(b) 300 m.

4.4 黎曼幾何模型與簡(jiǎn)正波方法的對(duì)比驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文結(jié)果的正確性,本文使用未考慮地球曲率的經(jīng)典簡(jiǎn)正波理論對(duì)會(huì)聚區(qū)進(jìn)行了預(yù)報(bào).定義上下反轉(zhuǎn)區(qū)域內(nèi)聲傳播損失小于最大損失40 dB的區(qū)域?yàn)闀?huì)聚區(qū),圖11 給出了環(huán)境參數(shù)保持不變時(shí),使用簡(jiǎn)正波聲場(chǎng)模型(Kraken)計(jì)算的Munk聲速剖面聲傳播損失及會(huì)聚區(qū)仿真結(jié)果.

從圖11 可以看出,在均不考慮地球曲率影響的情況下,使用簡(jiǎn)正波方法預(yù)報(bào)的會(huì)聚區(qū)的距離、寬度等特征與本文黎曼幾何建模計(jì)算結(jié)果一致,可以從側(cè)面驗(yàn)證本文會(huì)聚區(qū)黎曼幾何模型的有效性.此外,本文通過共軛點(diǎn)、雅可比場(chǎng)、截面曲率等幾何概念建立會(huì)聚區(qū)模型,給出了可自然考慮地球曲率效應(yīng)的會(huì)聚區(qū)精確計(jì)算方法,在黎曼幾何框架下揭示了深海會(huì)聚區(qū)的數(shù)學(xué)物理機(jī)理,相比難以直接考慮地球曲率效應(yīng)的經(jīng)典水聲建模理論具有明顯的優(yōu)勢(shì).

圖11 黎曼幾何與簡(jiǎn)正波法計(jì)算的會(huì)聚區(qū)對(duì)比圖 (a) 黎曼幾何理論計(jì)算的會(huì)聚區(qū) (b) 簡(jiǎn)正波法(Kraken 軟件)計(jì)算的會(huì)聚區(qū)Fig.11.The convergence zones by Riemann-Geometry and Normal-Mode theory: (a) Based on Riemann-Geometry Theory ;(b) based on Normal-Modes (Kraken).

5 結(jié)論與展望

本文將地球曲率的影響考慮在內(nèi),基于水聲射線建模的黎曼幾何理論描述建立了深海遠(yuǎn)程聲傳播射線模型,分析了形成會(huì)聚區(qū)的物理機(jī)理,給出了會(huì)聚區(qū)的黎曼幾何描述.主要結(jié)論如下:

1) 在彎曲球體流形上直接建立深海會(huì)聚區(qū)幾何模型,可自然地考慮地球曲率效應(yīng);結(jié)合深海會(huì)聚區(qū)物理特性分析,給出其黎曼幾何描述,初步建立了深海會(huì)聚區(qū)的黎曼幾何學(xué)概念.

2) 本文的考慮地球曲率的會(huì)聚區(qū)黎曼幾何模型具有精確性特征,相比間接修正類方法而言,避免了參數(shù)修正帶來的誤差;考慮地球曲率后的截面曲率增加了一個(gè)附加項(xiàng),本質(zhì)上改變了水聲射線拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),對(duì)會(huì)聚區(qū)產(chǎn)生實(shí)質(zhì)影響.

3) 采用Munk 聲速剖面的會(huì)聚區(qū)黎曼幾何模型仿真計(jì)算顯示,近海面處的會(huì)聚區(qū)寬度隨聲傳播呈現(xiàn)先增大后減小的現(xiàn)象,最大約20 km,最小約4 km.同時(shí),考慮地球曲率影響后聲線、焦散點(diǎn)和會(huì)聚區(qū)均向聲源方向前移.傳播距離越大,會(huì)聚區(qū)前移的距離也越大.聲源和接收深度均為200 m時(shí),第16 個(gè)上反轉(zhuǎn)點(diǎn)會(huì)聚區(qū)(傳播距離932 km)約前移9.6 km.

本文選擇深海會(huì)聚區(qū)遠(yuǎn)程聲傳播作為研究對(duì)象,是非歐幾何在水聲學(xué)應(yīng)用研究的初步探索.后續(xù)還有很多工作有待深入開展: 1)本文僅考慮地球曲率恒定時(shí)的深海遠(yuǎn)距離會(huì)聚區(qū)傳播.對(duì)實(shí)際兩極稍扁、赤道略鼓的不規(guī)則真實(shí)地球而言,需要研究考慮真實(shí)地球模型的黎曼幾何會(huì)聚區(qū)建模;2)考慮更多真實(shí)海洋環(huán)境復(fù)雜因素的黎曼幾何水聲建模研究與應(yīng)用,如同時(shí)考慮地球曲率和海流偏轉(zhuǎn)效應(yīng)、基于偽黎曼流形的時(shí)變大范圍聲場(chǎng)傳播建模,表面聲道遠(yuǎn)程聲傳播機(jī)理等.

感謝宋君強(qiáng)院士對(duì)該研究探索的鼓勵(lì)和支持,黃思訓(xùn)教授、梁湘三教授審閱了論文初稿,特致謝忱.