基于貝葉斯壓縮感知的子空間擬合離格DOA估計*

高衛(wèi)港，王 鼎，張鉞洋，李 愷，呂 靜

(1.解放軍信息工程大學 信息系統(tǒng)工程學院，鄭州 450001；2.中國人民解放軍95851部隊,上海 200137；3.中國人民解放軍61416部隊，北京 100091)

0 引 言

基于陣列的方位估計問題是近幾十年來信號處理的重要研究課題之一，不管是軍用還是民用方面都展現(xiàn)了巨大的潛力[1-2]，如雷達、通信等。在傳統(tǒng)的波達方向(Direction of Arrival,DOA)估計技術中，子空間類算法[3-5]因其高分辨性能受到了廣泛的關注，代表性算法為MUSIC算法。然而，只有快拍數(shù)足夠大時，子空間類算法才能保持高分辨性能，如果信號因多徑等原因產(chǎn)生高度相關時，子空間類算法性能也不好。20世紀90年代出現(xiàn)的加權子空間擬合算法是一種參數(shù)化的DOA估計方法，原理簡單且具有較高的精度，因在信號源相關時有良好的表現(xiàn)而備受關注[6-7]。

近年來，稀疏重構與壓縮感知理論的相關研究使得DOA估計技術也得到了一定的發(fā)展[8-10]，大致分為兩類：基于Lp范數(shù)[11]和稀疏貝葉斯學習[12-16]。已有文獻研究表明，和基于Lp范數(shù)的算法相比，稀疏貝葉斯算法具有更小的收斂誤差。另外，當來波信號相關性很高時，稀疏貝葉斯算法仍能保持不錯的性能[17]。出色的DOA估計性能取決于一個假設，即信號的入射方向與預定義的空間網(wǎng)格完全重合，但這在實際中是不可能的，這就會導致網(wǎng)格失配問題。若減小網(wǎng)格間距，則會增大計算復雜度；若加大網(wǎng)格間距，估計性能便會下降。目前，研究者提出了一些改進的方法來解決網(wǎng)格失配問題[18-21]：文獻[18]采用一階泰勒模型對真實的DOA進行線性逼近，提出了一種稀疏貝葉斯學習(Sparse Bayesian Learning,SBL)方法，有效解決了網(wǎng)格失配問題；文獻[19]利用樣本協(xié)方差矩陣，進一步提出了改進的離格SBL方法來減小噪聲方差對DOA估計的影響；文獻[20]通過使用相鄰的兩個網(wǎng)格點，提出了一種線性插值的方法對真實方向進行逼近；針對文獻[19-20]方法復雜度較高的問題，為了提高在粗網(wǎng)格情況下的精度，文獻[21]提出了一種基于動態(tài)網(wǎng)格的求根SBL算法。

本文通過將來波信號的空域稀疏性引入加權子空間擬合算法中，建立離格模型以減小空域網(wǎng)格劃分時引入的誤差，利用稀疏貝葉斯壓縮感知算法進行求解，提出了離格稀疏貝葉斯子空間擬合(Off-grid Sparse Bayesian Learning-weighted Subspace Fitting,OGSBL-WSF)波達方向估計算法。仿真結果表明，與傳統(tǒng)算法以及非離格模型相比，本文算法具有更高的空間分辨率，且在信號相關時仍能保持良好的特性[22]。

1 信號子空間擬合

本文假設有一L元均勻線陣并接收近似為平面波的M個窄帶遠場信號，其中M

y(t)=A(θ)s(t)+e(t),t=1,2,…,N。

(1)

式中：y(t)=[y1(t),y2(t),…,yL(t)]T；θ=[θ1,θ2,…,θM]T；s(t)=[s1(t),s2(t),…,sM(t)]T和e(t)=[e1(t),e2(t),…,eL(t)]T分別是第m個傳感器在時間t時的輸出與測量噪聲，e(t)是與信號之間相互獨立、服從高斯分布的白噪聲；A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θM)]包含了不同來波方向的信號的導向矢量，其中al(θm)中包含著第m個信號入射到第L個陣列與參考陣列之間的相位差信息。接收信號的協(xié)方差矩陣如下所示：

(2)

(3)

Us=A(θ)T。

(4)

由公式(3)根據(jù)信號子空間和噪聲子空間的正交關系可以得到

(5)

即

(6)

(7)

但是，實際中由于陣列存在各種誤差以及多徑等因素的影響，信號子空間與陣列流型張成的子空間在嚴格意義上并不相等，所以式(7)并不成立。為了解決這個問題，可以構造一個最小二乘意義下的擬合關系：

(8)

在上式中關心的參數(shù)是θ，所以T對本文來講僅僅是一個輔助變量，固定A便可以得到T的最小二乘解：

T=(AH(θ)A(θ))-1AH(θ)UsW=A+(θ)UsW。

(9)

將式(9)代入到式(8)中，可以得到

(10)

2 離格貝葉斯壓縮感知子空間擬合

2.1 模型構造

本節(jié)將離格貝葉斯壓縮感知引入到加權子空間擬合中，將信號子空間擬合問題建模為多測量值稀疏重構問題。因為噪聲的存在，因此將式(4)中信號子空間與陣列流型構成的空間之間的關系重新定義為

(11)

a(θm)≈a(θnm)+b(θnm)(θm-θnm)。

(12)

(13)

(14)

與此同時，式(1)的觀測模型也可以更改如下：

y(t)=Φ(β)s(t)+e(t)，t=1,2,…,N。

(15)

需要注意的是，當式(15)中β設置為0時，其與式(1)等價。實際上，本文采用的離格模型可以視為真實模型的一階泰勒展開，而式(1)則可以認為是零階展開。因此，離格模型的建模誤差要小得多。這樣帶來的好處主要有以下兩點：一是如果空域劃分網(wǎng)格時采用的網(wǎng)格數(shù)相同，離格模型具有較高的精確度；二是如果在相同的精確度情況下，離格模型可以采用較粗的采樣網(wǎng)格，從而降低了運算的復雜度。

2.2 離格稀疏貝葉斯模型求解

2.2.1 稀疏貝葉斯公式

(1)噪聲模型

前文中假設噪聲是服從零均值高斯分布的，所以有

(16)

(17)

所以有

(18)

在本文中，假設噪聲精度α0是未知的，并假設α0服從Gamma超先驗，因為它是高斯分布的一個共軛先驗：

p(α0;c,d)=Γ(α0|c,d) 。

(19)

(2)稀疏信號模型

(20)

(21)

(3)離格距離模型

本文中對β做一個均勻的先驗假設：

(22)

β的先驗分布只提供有界性，結合分層貝葉斯模型的兩級，可以得到聯(lián)合的概率密度函數(shù)為

(23)

上式中的右側分別由式(18)、(20)、(21)、(19)、(22)給定。

2.2.2 基于離格模型的稀疏貝葉斯重構

(24)

式中：

(25)

Σ=(α0ΦHΦ+Λ-1)-1。

(26)

(27)

(28)

Tr{(A+Bdiag(β))Σ(A+Bdiag(β))H}=

βTPβ-2vTβ+C。

(29)

式中：C是與β相關獨立的常數(shù)項；P是一個半正定矩陣，

(30)

R{diag(BHAΣ)}。

(31)

式(29)中，β的更新公式為

(32)

(33)

算法步驟如下：

Step1 初始化參數(shù)α,α0,β。

Step2 根據(jù)α,α0,β,分別通過式(25)和式(26)計算μ和Σ。

Step3 利用μ和Σ，分別通過式(27)、式(28)和式(33)更新α,α0,β。

Step4 判斷循環(huán)是否達到了停止條件(包括停止閾值和最大迭代次數(shù))，若不滿足，繼續(xù)重復執(zhí)行上述過程。

3 仿真與分析

3.1 不同劃分間隔對算法的影響

本節(jié)仿真中設置陣列為8元等距線陣，陣元間距是來波信號波長的一半?？炫臄?shù)為200，信號的來波方向為[60.3° 88.6°]，信噪比為-6～12 dB，網(wǎng)格間隔分別為δ=1°，2°，3°。DOA估計的均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE)定義如下：

(34)

停止閾值τ=10-3，最大迭代次數(shù)為1 000。該算法對α0,α和β的初始值不敏感，在ρ的值不大的情況下，算法對ρ值也不敏感。仿真結果如圖1～3所示。

圖1 不同劃分間隔時的空間譜圖

圖2 不同間隔時均方根誤差隨信噪比的變化

圖3 不同角度間隔時運行時間

由圖1～3可知，本文算法對方位估計有很好的效果，不過減小網(wǎng)格間隔仍然可以進一步得到比較高的分辨率，但是不可避免地會增加運算的復雜度。所以在實際中，網(wǎng)格間隔和運算復雜度也是需要仔細考慮權衡的一個參數(shù)，根據(jù)仿真實驗折中考慮運算復雜度和測量精度。本文在后續(xù)實驗中選擇網(wǎng)格間隔δ=2°。

3.2 不同條件下的空間譜對比

將本文算法與MUSIC算法和文獻[21]算法進行對比。入射角度為20.8°，快拍數(shù)為50，陣元數(shù)為10，陣元間距為半波長，在信噪比為-2～16 dB時，不同算法之間的測向精度，仿真結果如圖4所示。

圖4 不同算法均方根誤差隨信噪比的變化

采樣間隔為1°～6°，以0.5°為步長，文獻[21]算法與本文算法的仿真結果如圖5所示。

圖5 RootSBL與本文算法性能隨采樣間隔的變化

由圖4和圖5可知，相對于傳統(tǒng)的子空間類測向算法，稀疏貝葉斯類算法測向精度實驗更高。本文算法將子空間擬合引入貝葉斯壓縮感知中，提高了對噪聲的魯棒性，在高信噪比時，測向精度與文獻[21]算法精度相當，但是當采樣間隔變大時，文獻[21]算法依然能保持較高的精確度。子空間擬合技術在采樣間隔這個指標上并沒有帶來相應的性能改善，這與子空間擬合技術所帶來的優(yōu)點是相符的。

3.3 相干信號對算法的影響

眾所周知，在MUSIC算法中，當信號源之間相關時，會導致信號子空間維度小于信號源數(shù)，信號子空間“擴散”到了噪聲子空間，導致子空間之間不完全正交，從而無法估計來波方向，但是基于壓縮感知的算法則對相干信號源的方位估計有很好的性能。設置兩個相干信源分別從[40.3° 68.6°]入射到陣列，信噪比設置為10 dB，快拍數(shù)設置為200，其余條件與上文相同，仿真結果如圖6和圖7所示。

圖6 相干信號空間譜

圖7 均方根誤差隨相關系數(shù)的變化

從圖6可以看出，當信號相干時，MUSIC算法完全失效，其余兩種算法出現(xiàn)了一定的誤差，但是仍能指示信號的方向。由圖7可知，當信號之間存在相關性時，各種算法的性能均會出現(xiàn)惡化，但本文算法仍具有一定的優(yōu)勢；當信號完全相干時，算法的性能均會出現(xiàn)迅速下降。

4 結束語

本文通過在子空間擬合算法中引入稀疏貝葉斯壓縮感知，將方位估計問題轉化為對未知參數(shù)的估計，避免了進行多維非線性優(yōu)化。同時采用了離格模型，減小了空域劃分時間隔所帶來的誤差，使得模型更符合實際，方位估計精度進一步提高。

本文所提算法需要對空域進行劃分來構建稀疏性，由于采用實際導向矢量的一階泰勒展開的離格模型，所以在劃分間隔分別為δ=1°，2°，3°時，測向精度都能得到保證，但是當劃分間隔較密時，會導致運行時間變長。此外，本文算法具有一定的解相關能力，不過當信號之間完全相干時，算法會出現(xiàn)較大程度的惡化。