基于分布式壓縮感知的改進SOMP信道估計算法*

王 宇，馬秀榮，單云龍

(1.天津理工大學 集成電路科學與工程學院，天津 300384；2.光電器件與通信技術教育部工程研究中心，天津 300384)

0 引 言

正交頻分復用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM)因其傳輸速率高、頻譜利用率高與對抗多徑干擾能力強的特點而被廣泛應用于移動通信系統(tǒng)中[1-2]。

信道狀態(tài)信息(Channel State Information，CSI)用于均衡與恢復經歷信道后信號，在接收端實現(xiàn)正確檢測，而在接收端CSI是未知的，因此對CSI的估計十分關鍵[3]。目前已有許多文獻對信道估計問題進行了研究與分析，大量研究證明無線多徑信道呈稀疏特性，即只有少量信道抽頭元素不為零。傳統(tǒng)的信道估計算法如最小二乘(Least Squares，LS)[4]、最小均方誤差(Minimum Mean Square Error，MMSE)[5]算法都有明顯的缺點，兩者都沒有利用信道稀疏的特點[6-7]。近年來，基于壓縮感知(Compressed Sensing，CS)的信道估計成為一大熱點。將無線信道的稀疏性與CS理論結合，可以有效估計出信道抽頭中非零元素的位置與相應數(shù)值，而且相較傳統(tǒng)算法，CS信道估計可以在保證同樣性能的同時使用更少的導頻資源，提升系統(tǒng)頻譜利用率[8]。

對于稀疏信號恢復問題，可以利用凸優(yōu)化理論進行稀疏重構[9]，但該方法復雜度過高，不適用解決實際問題[2]，而貪婪算法因其復雜度低、算法結構簡單在實際應用中更為常見。文獻[10]使用正交匹配追蹤算法(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)對稀疏信道進行估計且相較傳統(tǒng)信道估計算法具有更準確的估計性能。壓縮采樣匹配追蹤(Compressive Sampling Matching Pursuit，CoSaMP)算法[11]、子空間追蹤(Subspace Pursuit，SP)算法[12]引入回溯思想，增加了信道估計的精度；弱選擇匹配追蹤(Stagewise Weak Orthogonal Matching Pursuit，SWOMP) 算法[13]通過設置門限，每次迭代選擇多個原子，減少了迭代次數(shù)；稀 疏 度 自 適 應 匹 配 追 蹤(Sparsity Adaptive Matching Pursuit，SAMP) 算法[14]通過每次迭代增加原子索引，可以在稀疏度未知的條件下完成信道估計。

由于通信速率與系統(tǒng)帶寬的不斷提升，一個符號的持續(xù)時間逐漸變短，相鄰的多個符號經歷的信道響應不再相互獨立，而是呈現(xiàn)時間相關性[15]的聯(lián)合稀疏結構，用以描述這種特點的聯(lián)合稀疏模型(Joint Sparse Model，JSM)[16]被提出，相應地，基于分布式壓縮感知(Distributed Compressed Sensing，DCS)理論的同時正交匹配追蹤(Simultaneous Orthogonal Matching Pursuit，SOMP)算法[17-18]被廣大學者研究與分析。

傳統(tǒng)SOMP算法只適用多個符號信道響應支撐集(即非零元素位置)全部相同的JSM-2模型，對于多個符號信道響應支撐集只有部分相同的JSM-1模型，大多數(shù)文獻都采用各符號單獨估計，并沒有利用其部分聯(lián)合稀疏特性。文獻[15]提出在公共支撐集索引內使用SOMP算法進行估計，其余部分使用OMP算法逐符號進行估計，但是并沒有給出如何確定公共支撐集的方法。

本文對SOMP算法進行了改進，首先聯(lián)合估計出多個連續(xù)符號信道響應相同的支撐集與對應元素，然后對支撐集不同的部分逐符號分別進行估計。仿真結果表明改進的SOMP算法同時適用于JSM-1與JSM-2模型，且性能優(yōu)于不考慮聯(lián)合稀疏特性的OMP算法。

1 系統(tǒng)模型

在現(xiàn)代移動通信系統(tǒng)中，符號持續(xù)時間非常短，信道的相干時間遠遠大于符號持續(xù)時間，因此可以認為在一個OFDM符號周期內，信道是時不變的[2]，其信道沖激響應如下：

(1)

將信道響應以離散形式h∈L×1表示如下：

h=[h(0),h(2),…,h(L-1)]T。

(2)

式中：L=「τmax/Ts?為信道長度；Ts為系統(tǒng)采樣周期。

對于共K個子載波的OFDM系統(tǒng)，其傳輸模型如下：

Y=XFh+W。

(3)

式中：Y=[Y(0),Y(2),…,Y(K-1)]T為接收端各子載波符號；X=diag[X(0),X(2),…,X(K-1)]為發(fā)送端各子載波符號；W=[W(0),W(2),…,W(K-1)]T為加性高斯白噪聲，F(xiàn)∈K×L為離散傅里葉變換(Discret Fourier Transform,DFT)矩陣，其第n行第m列元素為Fn,m=e-j2π(n-1)(m-1)/K。

假設共有P個子載波用于導頻的傳輸，式(3)可以寫成

Yp=XpFph+Wp=Ah+Wp。

(4)

式中：Yp∈P×1為導頻子載波接收符號；Xp∈P×P導頻子載波發(fā)送符號；Wp∈P×1為W的導頻位置對應元素；Fp∈P×L為F的導頻位置對應行。

向量h的零范數(shù)‖h‖0表示向量中非零元素的個數(shù)，由式(1)與式(2)可知，向量h只有少量非零元素，即‖h‖0=N?L，可以認為其是稀疏的且稀疏度為N。根據(jù)壓縮感知理論，當測量矩陣A=XpFp滿足約束等距性質(Restricted Isometry Property，RIP)時，稀疏向量h可以通過恢復算法進行重構，離散傅里葉矩陣大概率滿足RIP性質[8]。

2 聯(lián)合稀疏模型下的信道估計

在一個OFDM符號待續(xù)時間非常短的場景下，連續(xù)多個符號都處在信道相干時間之內，此時多個符號經歷的信道響應的稀疏結構存在一定的相關性[15]。相比一般壓縮感知理論只考慮單個稀疏信號的稀疏性問題，分布式壓縮感知理論考慮連續(xù)多個信號的聯(lián)合稀疏結構，如文獻[17]提出了兩種聯(lián)合稀疏模型。

第一類聯(lián)合稀疏模型(JSM-1)指一組稀疏信號由公共稀疏部分和各自特有的稀疏部分組成，其支撐集部分相同，模型如下：

yj=Zc+Zj=Ahc+Ahj，j∈{1,2,…,J}。

(5)

式中：yj為第j個稀疏信號；Zc為公共稀疏部分；hc中非零元素位置為公共支撐集；Zj為第j個稀疏信號特有的稀疏部分；hj中的非零元素為第j個稀疏信號特有的支撐集。

第二類聯(lián)合稀疏模型(JSM-2)指一組稀疏信號擁有相同的支撐集，其模型如下：

yj=Zj=Ahj，j∈{1,2,…,J} 。

(6)

式中：hj的非零元素所在位置集合即支撐集都相同，其對應位置上的元素不同。

傳統(tǒng)SOMP算法認為一組稀疏信號的支撐集相同，因此可以聯(lián)合連續(xù)幾個符號同時估計支撐集與對應元素，而JSM-1模型下一組信號內部分支撐集不同，此時傳統(tǒng)SOMP算法雖然可以保障支撐集相同部分的正確估計，但是會造成在支撐集不同的部分原子選擇錯誤，使信道估計誤差增大。本文提出一種改進的SOMP算法：在迭代過程中使用SOMP算法比較一組稀疏信號的殘差與上一次迭代的關系，如果一組稀疏信號中所有信號的殘差都小于上一次迭代的殘差，則認為本次迭代中該組信號具有相同的支撐集索引，并保留本次的估計結果進入下一次迭代；如果該組稀疏信號中存在信號的殘差大于上一次迭代的殘差，則認為本次迭代中該組信號中支撐集索引并不是完全相同，因此舍棄本次迭代估計結果，對該組信號剩下的支撐集與對應位置元素分別進行OMP估計，得到各自特有的支撐集與對應位置元素。

改進SOMP算法流程如下：

輸入：連續(xù)J個接收OFDM符號中導頻信號YP,j,j=1,2,…,J；測量矩陣A；設每個符號的信道多徑數(shù)為N，即總稀疏度為N。

(7)

式中：Al為矩陣A的第l列；λt為第t次迭代中使上式等號右邊取得最大值A的列索引。

Step3 更新支撐集與支撐集元素對應列：

黨內法規(guī)是中國共產黨在其領導中國革命、建設和改革開放的實踐中，結合中國社會的現(xiàn)實和發(fā)展特點，不斷調整黨內與社會各種關系的規(guī)范。黨內法規(guī)是中國共產黨結合實踐的獨創(chuàng)，為中國共產黨從嚴治黨、治國理政起到了不可估量的作用。黨的紀律性法規(guī)是黨內法規(guī)的一種，是黨內法規(guī)中關于紀律要求的具體化。

(8)

(9)

Step4 求當前支撐集下稀疏向量的最小二乘解：

(10)

Step5 更新殘差：

(11)

Step6 判斷本次迭代得到的殘差是否均小于上次迭代得到的殘差：

(12)

若所有j均滿足上式，t=t+1，跳至Step 2，進行下一次迭代；若存在j不滿足上式，執(zhí)行Step 7。

Step7 拋棄本次迭代得到的支撐集及支撐集索引對應列：

(13)

Step8 分別求得J個符號各自的支撐集：

(14)

Step9 更新各符號的支撐集與支撐集索引對應列：

(15)

(16)

Step10 利用式(10)求當前支撐集下稀疏向量的最小二乘解。

改進的SOMP算法主要分為兩部分：第一部分通過式(7)聯(lián)合J個符號估計公共支撐集，相比單獨估計一個符號，聯(lián)合估計具有更高的準確性?？紤]時變信道，連續(xù)幾個符號的信道響應非零元素所在位置不完全相同，因此在得到公共支撐集后第二部分利用式(14)對每個符號剩余的支撐集與對應元素分別進行估計，直到達到迭代終止條件，且在第一部分得到的公共支撐集作為第二部分的先驗信息，因此改進的SOMP算法同時適用于支撐集相同的JSM-2模型與部分支撐集不同的JSM-1模型，而且改進算法相較傳統(tǒng)OMP算法有效利用了信道響應的聯(lián)合稀疏特性，通過對多個符號相同支撐集聯(lián)合估計提高了估計性能。

下面進行算法復雜度分析。令公共支撐集個數(shù)為C，改進算法在公共支撐集內每次迭代同時得到J個符號的信道響應估計值，復雜度可以表示為O(KLC)，在非公共支撐集內逐個符號進行迭代估計，復雜度可以表示為O(KL(N-C)J)，因此改進算法的總復雜度可以表示為O(KL(C+NJ-CJ))。當C=0即無公共支撐集，每個符號單獨估計時，復雜度達到最高，與OMP算法一致；當C=N即所有符號支撐集均相同時，復雜度達到最低，與SOMP算法一致。

3 仿真與分析

為了驗證本文算法信道估計的性能，對本文算法與傳統(tǒng)算法進行了仿真對比。本文仿真實驗所使用的環(huán)境為AMD Ryzen 2600 CPU，16 GB RAM，Matlab 2020a。仿真模型中，設定OFDM系統(tǒng)子載波數(shù)為512，其中，導頻子載波數(shù)為64，循環(huán)前綴長度為128，信道長度即最大時延對應的離散化長度設置為120，調制方式為QPSK。由于LS算法在導頻均勻分布時達到最佳估計性能，而基于CS的估計算法導頻隨機分布相較均分布性能更優(yōu)[8]，因此在保證導頻數(shù)量均為64的條件下，LS算法導頻均勻分布，CS估計算法導頻在所有子載波中隨機選取，并保證每個符號的導頻位置一致?？紤]到單個符號持續(xù)時間較短，連續(xù)多個符號經歷的信道變化不大，其信道響應具有聯(lián)合稀疏性，仿真中設定連續(xù)多個符號信道響應支撐集相同(JSM-2)或部分相同(JSM-1)，噪聲為加性高斯白噪聲，無信道編碼，假設接收端同步完全正確。

3.1 JSM-2模型下的信道估計性能

設定多徑數(shù)為15，仿真10個OFDM符號，每個符號經歷的信道響應非零元素抽頭位置即支撐集保持一致，非零元素為服從瑞利分布的隨機復數(shù)，各徑功率按式(1)相關描述設置。由于信道參數(shù)的隨機性，設定蒙特卡洛仿真實驗次數(shù)為5 000次，每次實驗信道抽頭非零元素位置在信道長度范圍內隨機變化，但對應元素仍滿足瑞利分布且每個符號信道響應支撐集一致，最終結果取多次仿真實驗的平均值，信噪比Eb/N0范圍10～30 dB。信道估計均方誤差仿真結果如圖1(a)所示，系統(tǒng)誤碼率仿真結果如圖1(b)所示。

(a)信道估計均方誤差

(b)系統(tǒng)誤碼率圖1 JSM-2模型下信道估計性能

仿真結果表明，在JSM-2模型下，本文算法與傳統(tǒng)SOMP算法擁有相近的性能，但是稍差于傳統(tǒng)算法。這是因為本文提出的改進算法會有一個對公共支撐集個數(shù)的估計，而JSM-2模型支撐集相同，傳統(tǒng)SOMP算法相當于是在支撐集估計完全正確的情況下進行的，因此本文算法相對SOMP算法會有一定的性能損失。

3.2 JSM-1模型下的信道估計性能

設定多徑數(shù)為15，仿真10個OFDM符號，其信道響應公共支撐集個數(shù)為13，即10個符號經歷的信道響應中前13個非零抽頭位置相同，剩余2個非零抽頭位置不一致，非零元素為服從瑞利分布的隨機復數(shù)，各徑功率按式(1)相關描述設置。設定蒙特卡洛仿真實驗次數(shù)為5 000次，增加一個接收端已知公共支撐個數(shù)的情況作為對照(即在公共支撐集下使用SOMP算法，特有支撐集下使用OMP算法，無需對公共支撐集進行估計)，信噪比Eb/N0范圍為10～30 dB。信道估計均方誤差仿真結果如圖2(a)所示，系統(tǒng)誤碼率仿真結果如圖2(b)所示。

(a)信道估計均方誤差

(b)系統(tǒng)誤碼率圖2 JSM-1模型下信道估計性能

從圖2可以看出，在JSM-1模型下，SOMP算法性能下降明顯，而本文算法仍能保持較高的估計性能且優(yōu)于OMP算法。這是因為相對OMP算法，本文算法利用了連續(xù)符號具有部分相同支撐集的特點，提高了對支撐集的估計準確性，而SOMP算法在支撐集不同時仍然按相同的準則來估計，造成估計誤差增大。對比公共支撐集已知的對照組，本文算法性能稍差。這是由于噪聲影響，本文算法對于公共支撐集的估計存在偏差。

3.3 單次運行時間

該實驗設定多徑數(shù)為10～20，連續(xù)10個OFDM符號公共支撐集個數(shù)固定為8，信噪比Eb/N0固定為20 dB，增加LS算法作為對照，仿真不同算法的單次運行時間(每個多徑數(shù)下仿真5 000次取平均得到)，結果如圖3所示。

圖3 不同多徑數(shù)下單次運行時間

由圖3可知，由于LS算法沒有迭代的過程，運行時間最短，而基于CS的信道估計算法的迭代次數(shù)均與多徑數(shù)呈正相關，其運行時間也均隨著多徑數(shù)目的增加而增加；SOMP算法每次迭代同時估計得到連續(xù)多個符號的支撐集中一個元素，OMP算法每個符號均要單獨進行迭代估計，因此在仿真的基于CS信道估計算法中，SOMP算法運行時間最短，OMP算法運行時間最長，而本文算法部分支撐集估計利用SOMP算法，部分利用OMP算法，運行時間介于兩者之間。

4 結 論

針對存在聯(lián)合稀疏結構的信道模型，本文提出了一種基于分布式壓縮感知理論的改進SOMP算法。與傳統(tǒng)SOMP算法相比，本文算法具有對公共支撐集估計的步驟，因此同時適時用于支撐集相同的JSM-2模型與支撐集部分相同的JSM-1模型。相對OMP算法，本文算法利用了聯(lián)合稀疏結構部分支撐集相同的特點，性能更優(yōu)。算法復雜度方面，本文算法單次運行時間介于SOMP與OMP算法之間。