基于SVD的地鐵盾構(gòu)洞門鋼環(huán)空間形態(tài)參數(shù)計算

張廣龍， 吳繼忠

(1. 昆山市中建項目管理有限公司， 江蘇 昆山 215300; 2. 南京工業(yè)大學(xué)測繪科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 江蘇 南京 211800)

0 引言

在我國當(dāng)前地鐵隧道建設(shè)中，盾構(gòu)法兼顧了施工安全、高效、復(fù)雜地層適應(yīng)性和地表沉降控制等要求，已成為主流工法和機械化施工的典范[1]。在盾構(gòu)法施工中，盾構(gòu)的始發(fā)和接收位置均要設(shè)置洞門鋼環(huán)。作為盾構(gòu)掘進的起始和終止位置，洞門鋼環(huán)安裝后的中心位置與設(shè)計值的偏差須在允許范圍內(nèi)。洞門鋼環(huán)為圓環(huán)形，由于直徑較大，為便于運輸，通常由若干分塊拼接而成，盾構(gòu)的始發(fā)和接收均從洞門鋼環(huán)內(nèi)穿過。為確保盾構(gòu)按照設(shè)計路線掘進，在洞門鋼環(huán)安裝完成后，需要獲取洞門鋼環(huán)的圓心位置、平整度、垂直度、圓度等空間形態(tài)參數(shù)，再與設(shè)計值進行比較。但上述空間形態(tài)參數(shù)不能直接測得，只能先通過測定洞門鋼環(huán)上若干個離散點的三維坐標(biāo)后，再進行數(shù)據(jù)擬合間接得到。

安裝后的洞門鋼環(huán)是一個空間圓，本質(zhì)上是空間平面與球面的相交線。已有的數(shù)據(jù)處理方法總體上可以分為如下3種： 1)直接用最小二乘法原理列出觀測方程。該方法涉及觀測方程線性化和初始值選取[2-4]，實際應(yīng)用較為不便。2)先擬合空間平面，再將空間平面旋轉(zhuǎn)，將觀測點旋轉(zhuǎn)到二維平面上，然后在平面上進行圓擬合得出圓心坐標(biāo)和半徑，最后將圓心坐標(biāo)逆旋轉(zhuǎn)，得到其真實三維坐標(biāo)[5-6]。該計算步驟涉及2次空間向量旋轉(zhuǎn)，程序較為繁瑣。3)在空間平面擬合的基礎(chǔ)上，根據(jù)空間圓圓心位于任意2個觀測點連線的中垂面上的特性，由空間向量構(gòu)建中垂面方程分步求解圓心坐標(biāo)和半徑[7-9]，也可以將中垂面方程和空間平面方程聯(lián)合，一步求解出空間圓參數(shù)和空間平面方程[10]； 但該方法需要未知參數(shù)的初始值，還可能涉及迭代運算。

本文在分析空間平面方程和球面方程特點的基礎(chǔ)上，利用奇異值分解(singular value decomposition,SVD)法一次求得球面方程參數(shù)和空間平面法向量，再由上述參數(shù)直接計算洞門鋼環(huán)空間形態(tài)參數(shù)； 并結(jié)合方差比值檢驗法剔除粗差。將該方法應(yīng)用于南京地鐵6號線雙龍街出入線2組洞門鋼環(huán)的空間形態(tài)參數(shù)計算，證明了其有效性，取得了較好的效果。

1 SVD解算球面方程及提取平面方程參數(shù)

1.1 空間平面

設(shè)重心化前的空間平面方程為

ax′+by′+cz′=d。

(1)

則重心化后的平面方程為

ax+by+cz=0。

(2)

式(2)中(a,b,c)為平面的單位法向量，令

(3)

則空間平面擬合的目標(biāo)函數(shù)為

‖A1X‖2=min。

(4)

‖A1X‖2=‖U1S1V1TX‖2。

(5)

由于U1是正交矩陣，式(5)可變換為

(6)

y=V1TX是單位向量，由于σ1≥σ2≥σ3，當(dāng)且僅當(dāng)y1=y2=0時目標(biāo)函數(shù)有最小值，此時y3=±1，正負號不影響空間平面姿態(tài)。為便于表示，取y=(0,0,1)T，顧及V1正交矩陣的特點，則

X=V1y。

(7)

代入y=(0,0,1)T可知，X的值為V1的第3列。

1.2 球面

設(shè)重心化后的球面方程為：

(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2。

(8)

式中： (x0,y0,z0)為球心坐標(biāo)；R為半徑。

(9)

令

(10)

實際應(yīng)用中觀測點數(shù)n通常多于4個，則式(9)的目標(biāo)函數(shù)為

‖A2X-b‖2=min。

(11)

(12)

(13)

(14)

令

(15)

則有

(16)

(17)

2 洞門鋼環(huán)空間形態(tài)參數(shù)計算及粗差處理

2.1 數(shù)據(jù)采集和預(yù)處理

洞門鋼環(huán)上點采集一般采用無反射棱鏡全站儀，觀測前根據(jù)現(xiàn)場條件在洞門附近建立控制點或者通過全站儀自由設(shè)站方式獲取設(shè)站點坐標(biāo)。無論采用哪種方式均需要確保設(shè)站位置與已有控制點和洞門有較好的通視條件，實現(xiàn)1個測站完成1個洞門鋼環(huán)所需點的采集工作，減少誤差積累和產(chǎn)生粗差的可能性。

圖1 洞門鋼環(huán)及其觀測點分布Fig. 1 Portal steel ring and distribution of observed points

2.2 空間形態(tài)參數(shù)計算

利用重心化后的坐標(biāo)，根據(jù)式(10)構(gòu)建矩陣A2和b，對A2進行奇異值分解； 根據(jù)式(12)求解球心坐標(biāo)(x0,y0,z0)和半徑R，從A2奇異值分解后的正交矩陣V2最后1列中提取平面單位法向量(a,b,c)。

設(shè)球心在空間平面上的投影點為(xc,yc,zc)，該點即為空間圓圓心。球心到空間圓圓心的向量垂直于平面，即

(18)

式中t為直線上的任意一點到(x0,y0,z0)距離的量度。

空間圓圓心位于平面上，由式(2)和(18)得到

(19)

因此，空間圓圓心坐標(biāo)為

(20)

球心到空間圓圓心的距離

(21)

空間圓半徑

(22)

根據(jù)上述信息，計算各個點到平面的垂直距離Δdi和平整度m1。

(23)

計算各個點到圓周的最短距離Δri，其實質(zhì)是點到圓心的距離與半徑之差，再由Δri計算圓度m2。

(24)

(25)

式(25)計算的是洞門鋼環(huán)與XY平面之間的夾角，根據(jù)實際需要，也可以代入XZ平面或YZ平面的單位法向量，按照相同方法計算出洞門鋼環(huán)與XZ平面或YZ平面的夾角。

2.3 粗差剔除方法

SVD方法不具備抵御粗差的能力，當(dāng)觀測數(shù)據(jù)中含有明顯噪聲即粗差點情況時，其估計結(jié)果必然會偏離真值。在離散點坐標(biāo)采集過程中，由于施工現(xiàn)場環(huán)境的復(fù)雜性，有可能造成部分觀測結(jié)果中有較大誤差甚至粗差，有必要對誤差較大的觀測點加以剔除，以消除對結(jié)果的擾動。此時可通過借鑒方差比值檢驗法[15]，其基本原理如下：

1)利用所有觀測點，計算殘差v和中誤差σ0。

(26)

(27)

式中：α為顯著性水平；r1、r2為自由度。

根據(jù)式(27)統(tǒng)計檢驗結(jié)果，確定包含粗差的觀測點并將其剔除。上述過程每1輪循環(huán)剔除最大的粗差，需要循環(huán)多次，直到所有含有粗差的觀測點都被剔除為止。

3 工程應(yīng)用實例

3.1 數(shù)據(jù)采集

以南京地鐵6號線雙龍街停車場入場線和出場線的2個洞門鋼環(huán)測量為例，采用免棱鏡全站儀，其標(biāo)稱測角精度為1"，測距精度為1.5 mm+1×10-6D。觀測時在洞門正前方的隧道中線上設(shè)置全站儀，利用自由設(shè)站完成測站坐標(biāo)計算和定向，然后直接繞洞門鋼環(huán)外邊緣一周采集點的三維坐標(biāo)。圖2示出了入場線和出場線洞門鋼環(huán)重心化后的觀測點。經(jīng)檢測，觀測點中不含粗差。

(a) 入場線洞門鋼環(huán)觀測點

(b) 出場線洞門鋼環(huán)觀測點圖2 洞門鋼環(huán)觀測點Fig. 2 Observed points on portal steel ring

3.2 數(shù)據(jù)處理結(jié)果

根據(jù)第2節(jié)描述的計算流程，利用自編軟件實現(xiàn)了相應(yīng)功能。圖3示出了觀測點到擬合平面和圓的距離。表1給出了洞門鋼環(huán)空間形態(tài)參數(shù)計算結(jié)果，為便于比較，還同時給出了某商業(yè)軟件的計算結(jié)果。

(a) 入場線洞門鋼環(huán)觀測點

(b) 出場線洞門鋼環(huán)觀測點圖3 觀測點到擬合平面和圓的距離Fig. 3 Distances between observed points to fitting plane and circle

表1 洞門鋼環(huán)空間形態(tài)參數(shù)計算結(jié)果比較Table 1 Comparison of spatial shape parameters for portal steel ring

由圖3可以看出： 就入場線洞門鋼環(huán)而言，各觀測點到洞門鋼環(huán)所在空間平面距離最大為10.8 mm，最小為-9.4 mm；各觀測點到洞門鋼環(huán)所在圓最短距離最大為4.9 mm，最小為-5.5 mm。就出場線洞門鋼環(huán)而言，各觀測點到洞門鋼環(huán)所在空間平面距離最大為7.5 mm，最小為-9.8 m；各觀測點到洞門鋼環(huán)所在圓最短距離最大為2.7 mm，最小為-2.6 mm。出場線洞門鋼環(huán)觀測點總體質(zhì)量優(yōu)于入場線洞門鋼環(huán)觀測點。

從表1可以看出，采用2種不同方法計算洞門鋼環(huán)空間形態(tài)參數(shù)的差異很小，洞門鋼環(huán)半徑和平整度的結(jié)果幾乎一致，中心坐標(biāo)最大差異為2 mm，圓度的最大差異的0.8 mm，對實際應(yīng)用的影響可忽略不計。此外，由SVD法提取出平面的單位法向量后，可以得到洞門鋼環(huán)與水平面之間的夾角，但商業(yè)軟件目前未能提供該項參數(shù)。

3.3 粗差探測效果分析

為分析粗差的影響并評價粗差剔除方法的有效性，統(tǒng)一在每組觀測點第1個點的X方向加入1 m的粗差。按照粗差剔除的流程，顯著性水平取0.05，逐個剔除觀測點并進行假設(shè)檢驗。圖4示出了每次剔除1個觀測點后得到的方差比值。

圖4 逐個剔除觀測點后的方差比值Fig. 4 Variance ratio after elimination of each observed point

從圖4可以看出，逐個剔除第2個到最后1個觀測點對應(yīng)的方差比較為接近，只有第1個觀測點剔除后的方差比明顯小于其他結(jié)果且通過了假設(shè)檢驗，說明粗差定位是正確的。將各組數(shù)據(jù)的1號觀測點剔除，比較粗差剔除前后空間形態(tài)參數(shù)的計算結(jié)果比較，見表2。

表2 SVD法粗差剔除前后參數(shù)計算結(jié)果比較Table 2 Comparison of calculated parameters before and after gross error elimination in SVD method

從表2可以看出，在1號觀測點加入粗差后，對空間形態(tài)參數(shù)計算結(jié)果產(chǎn)生了一定的影響。由于2組觀測點數(shù)量較多，分別有15個和16個，粗差對結(jié)果的影響不明顯，對中心坐標(biāo)和半徑的影響最大為1.6 cm，但平整度和圓度明顯增大，分別是原來的2倍和13倍左右。粗差剔除后，計算結(jié)果與表1中SVD法計算結(jié)果局部最大差異僅為1 mm，其結(jié)果可靠，說明粗差定位準(zhǔn)確。

4 結(jié)論與討論

在盾構(gòu)始發(fā)和接收前，必須準(zhǔn)確確定隧道洞門鋼環(huán)空間形態(tài)參數(shù)，針對已有方法步驟繁瑣、需要參數(shù)初始值迭代運算等不足，提出基于SVD的計算方法，結(jié)合該方法的實際應(yīng)用，得出如下結(jié)論：

1)利用SVD法可以一次性解算出球面方程參數(shù)和空間平面法向量，再由上述參數(shù)直接計算洞門鋼環(huán)空間形態(tài)參數(shù)，該過程無需初始值和迭代計算，步驟大大簡化，SVD法與商業(yè)軟件計算結(jié)果的差異可忽略不計。

2)SVD法無法抵御粗差的影響，為應(yīng)對觀測點中可能存在的粗差，應(yīng)用方差比值檢驗法進行粗差探測。由于事先無法預(yù)知哪個觀測點包含粗差，此時需要通過迭代的方式逐個篩選出粗差。在人為加入粗差后，利用方差比值檢驗可準(zhǔn)確實現(xiàn)粗差定位，獲得準(zhǔn)確可靠的結(jié)果，將二者結(jié)合具有較好的應(yīng)用價值。

需要注意的是，SVD法以空間平面方程和球面方程系數(shù)矩陣具有的關(guān)聯(lián)性為基礎(chǔ)，因此只適合于圓形洞門鋼環(huán)的處理。對于其他類型洞門環(huán)的擬合解算還有待進一步研究。SVD法計算量較小，適用于全站儀機載程序的開發(fā)，可實現(xiàn)觀測結(jié)果的實時輸出和現(xiàn)場結(jié)果檢核。