魏晉時(shí)期著名計(jì)量學(xué)家劉徽

文/關(guān)增建

劉徽是魏晉時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)主要是圍繞解決各類計(jì)量問題的計(jì)算展開的，所以劉徽也是著名的計(jì)量學(xué)家。

一、注解《九章算術(shù)》，發(fā)展傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論

劉徽對(duì)古代計(jì)量學(xué)的貢獻(xiàn)，主要體現(xiàn)在他對(duì)《九章算術(shù)》的注解上?！毒耪滤阈g(shù)》是我國最重要的一部經(jīng)典數(shù)學(xué)著作，對(duì)古代數(shù)學(xué)做了全面而完整的敘述，奠定了我國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)，還被歷朝歷代直接用于數(shù)學(xué)教學(xué)逾千年之久。不止如此，《九章算術(shù)》還被傳播到海外，日本、朝鮮都曾將它作為數(shù)學(xué)教科書。

計(jì)量需要數(shù)學(xué)的支撐，在漢代已經(jīng)為人們所認(rèn)識(shí)到。尤其是作為數(shù)學(xué)著作的《九章算術(shù)》，對(duì)解決計(jì)量問題具有非常重要的支撐作用。正是認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，一方面，漢代才有既是重要官員同時(shí)又是數(shù)學(xué)家的張蒼、耿壽昌等為之修訂編纂；另一方面，《九章算術(shù)》雖然經(jīng)過了張蒼、耿壽昌等的修訂編纂，但到劉徽時(shí)，它仍然存在著一定的不足?！毒耪滤阈g(shù)》全書以246 道算題的形式呈現(xiàn)，其中每道題有問（題目）、答（答案）、術(shù)（解題步驟），有的是一題一術(shù)，有的是多題一術(shù)或一題多術(shù)。但對(duì)為什么是這樣的“術(shù)”，書中沒有給出證明。數(shù)學(xué)著作的靈魂在于其證明過程，沒有證明，就無法展示其正確性，對(duì)后人的學(xué)習(xí)是極為不利的。此外，《九章算術(shù)》中也存在不準(zhǔn)確之處。雖然，漢魏時(shí)期，馬續(xù)、張衡、鄭玄、劉洪、徐岳、闞澤等多位學(xué)者通過努力，提高了《九章算術(shù)》的正確率，但到劉徽時(shí)，其中大多數(shù)難度較大的算法仍未得到嚴(yán)格證明，一些錯(cuò)誤也沒有被指證出來。劉徽就是在這種情況下開始了對(duì)《九章算術(shù)》的注解。

劉徽在注解《九章算術(shù)》時(shí)，寫了一篇序言，表明了他對(duì)數(shù)學(xué)的理解及注解《九章算術(shù)》的初衷和做法。他在序言中寫道：

“算在六藝，古者以賓興賢能，教習(xí)國子。雖曰九數(shù)，其能窮纖入微，探測(cè)無方。至于以法相傳，亦猶規(guī)矩度量可得而共，非特難為也。當(dāng)今好之者寡，故世雖多通才達(dá)學(xué)，而未必能綜于此耳?！保ā端憬?jīng)十書》，郭書春、劉鈍校點(diǎn)，《九章算術(shù)注》序言）

劉徽指出，算術(shù)雖然號(hào)稱只有“九數(shù)”，但它能夠“窮纖入微，探測(cè)無方”，探究萬事萬物的細(xì)微和深入之處，是人們認(rèn)識(shí)事物非常重要的工具。數(shù)學(xué)看上去難學(xué)，但只要按照其內(nèi)在規(guī)律傳授，就能夠像規(guī)矩準(zhǔn)繩一樣，被人們掌握和使用。規(guī)矩是畫圓制方的工具，用以揭示事物的空間性質(zhì)；度量是度量衡，用以揭示事物間的數(shù)量關(guān)系。劉徽將它們并列，揭示了中國古代數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，即幾何與算術(shù)、代數(shù)的統(tǒng)一。他認(rèn)為，只要掌握數(shù)學(xué)的這一特點(diǎn)，它就不難學(xué)，只是當(dāng)時(shí)社會(huì)上喜歡數(shù)學(xué)的人少，雖然有學(xué)問的人不少，但他們對(duì)數(shù)學(xué)未必能夠融會(huì)貫通。為了使數(shù)學(xué)為更多的人掌握，劉徽覺得有必要對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》進(jìn)行注解。至于注解的具體方式，劉徽的做法是：

“事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本干者，知發(fā)其一端而已。又所析理以辭，解體用圖，庶亦約而能周，通而不黷，覽之者思過半矣?！保ā端憬?jīng)十書》，郭書春、劉鈍校點(diǎn)，《九章算術(shù)注》序言）

這即是說，事物紛繁復(fù)雜，但其本質(zhì)是一致的，要善于抓住事物的緣起，即劉徽所謂的“知發(fā)其一端”。在討論數(shù)學(xué)問題時(shí)，劉徽認(rèn)為要“析理以辭，解體用圖”，把道理講清楚，并用圖示的方法，把各種幾何問題清晰地展示出來。劉徽的話，清楚地闡明了繪圖對(duì)科技著作的重要性，這對(duì)中國古代科技著作的發(fā)展是很重要的。

劉徽運(yùn)用他自己的這些規(guī)則，對(duì)《九章算術(shù)》做了詳盡的注解。他的注解，不但對(duì)《九章算術(shù)》缺乏證明的那些命題給出了證明，還提出了不少新的見解，豐富了中國古代的數(shù)學(xué)理論。劉徽在證明過程中，還提出了十進(jìn)小數(shù)概念，并以之表示無理數(shù)的立方根。他對(duì)正負(fù)數(shù)概念及其運(yùn)算法則的闡釋，在世界數(shù)學(xué)史上都是首次。他創(chuàng)新了線性方程組的解法，并在數(shù)學(xué)史上第一次提出“不定方程”問題。更重要的是，他提出了許多被公認(rèn)正確的判斷作為證明的前提，在此基礎(chǔ)上展開推理和證明，其證明本身又合乎邏輯，十分嚴(yán)謹(jǐn)，從而確保了結(jié)論的正確性。這種做法，與古希臘幾何學(xué)的公理化方法頗有相似之處。

二、發(fā)明割圓術(shù)，解決計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)器設(shè)計(jì)難題

在劉徽的諸多貢獻(xiàn)中，一個(gè)引人注目的亮點(diǎn)是割圓術(shù)的發(fā)明。他找到了正確計(jì)算圓周率的方法，解決了困惑計(jì)量學(xué)家多年的標(biāo)準(zhǔn)器設(shè)計(jì)難題。

我國古代的度量衡標(biāo)準(zhǔn)器設(shè)計(jì)始于戰(zhàn)國時(shí)期，主要是量器的設(shè)計(jì)。公元前344 年，秦國大良造商鞅了解到可以“用度數(shù)審其容”（《漢書》卷二十一上），即可以用長度單位將容積表示出來，由此設(shè)計(jì)出了被后世稱為“商鞅方升”的標(biāo)準(zhǔn)器，其容積為1 升。商鞅方升是長方體容器，是世界上現(xiàn)存最早的度量衡標(biāo)準(zhǔn)器。但中國古代度量衡標(biāo)準(zhǔn)器的主流不是像商鞅方升這樣具有簡單幾何形狀的容器，而是《考工記》中記載的以栗氏量為代表的復(fù)合標(biāo)準(zhǔn)器：

“栗氏為量，改煎金錫則不耗，不耗然后權(quán)之，權(quán)之然后準(zhǔn)之，準(zhǔn)之然后量之，量之以為鬴。深尺，內(nèi)方尺而圜其外，其實(shí)一鬴，其臀一寸，其實(shí)一豆；其耳三寸，其實(shí)一升。重一鈞。其聲中黃鐘之宮。槩而不稅。其銘曰：‘時(shí)文思索，允臻其極；嘉量既成，以觀四國；永啟厥后，茲器維則’。”（《考工記·栗氏為量》）

此段前面部分講的是栗氏量的制作過程，中間部分說的是栗氏量的形制，后面銘文部分談的是栗氏量的意義，講栗氏量制成以后，要到諸侯國巡回展示，流傳子孫，用它來維系度量衡的統(tǒng)一。就形制而言，栗氏量的主體是鬴（fǔ）量，鬴量是一個(gè)深1 尺（約0.23 m），口徑可以內(nèi)接一個(gè)邊長為1 尺的正方形的圓筒，其容積為1 鬴（約20 L）。鬴底部開口向下的是豆量，豆量深1 寸（約0.023 m），容1 豆（約2 L）。鬴兩側(cè)是升量，深3 寸（約0.069 m），容1 升（約0.2 L）。栗氏量結(jié)構(gòu)圖見圖1。

圖1 栗氏量結(jié)構(gòu)圖

栗氏量有3 個(gè)計(jì)量單位：鬴、豆、升，形制均為圓筒狀。這樣的容器，在設(shè)計(jì)時(shí)，首先規(guī)定好鬴、豆、升的具體數(shù)值，即其容積，用長度單位的立方表示。當(dāng)時(shí)人們已經(jīng)知道圓筒形容器的容積=截面積×深，而鬴、豆、升每一個(gè)容器的深也都是規(guī)定好了的，這樣要設(shè)計(jì)這些量器，關(guān)鍵是算出其截面積的大小，最終落實(shí)到口徑的大小。截面積與口徑之間，存在著一個(gè)比例系數(shù)圓周率（π）。由此，π 值的精確與否，直接決定了標(biāo)準(zhǔn)器設(shè)計(jì)的精確與否。

在《考工記》乃至其后很長一段時(shí)間，人們認(rèn)定的π 值是3，《考工記》中多處用“周三徑一”作為設(shè)計(jì)器物的依據(jù)。當(dāng)時(shí)，普遍把π 等于3 作為引發(fā)勾股定理的前提，用直徑為1 的圓和邊長為1 的方就可以構(gòu)造出勾股定理，這是當(dāng)時(shí)最重要的發(fā)現(xiàn)。但是，π 等于3 畢竟是一個(gè)比較粗疏的結(jié)果，西漢末年，劉歆在助力王莽篡漢、為其設(shè)計(jì)度量衡標(biāo)準(zhǔn)器時(shí)，就發(fā)現(xiàn)了栗氏量設(shè)計(jì)上的錯(cuò)誤。劉歆依據(jù)自己的發(fā)現(xiàn)設(shè)計(jì)了新的嘉量，并在嘉量上刻上了銘文：“律嘉量斛，方尺而圜其外，庣旁九厘五毫，冪百六十二寸，深尺，積千六百二十寸，容十斗。”根據(jù)這些數(shù)據(jù)，我們可以計(jì)算出劉歆所采用的π 值為3.1547。該數(shù)值打破了傳統(tǒng)“周三徑一”為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的說法，使數(shù)學(xué)的發(fā)展突破了傳統(tǒng)觀念的約束，具有重要的歷史意義。

到了2 世紀(jì)，天文學(xué)家張衡在《靈憲》中采用的π 值為730/232，約為3.1466，他還在球體積公式中取用3.1622 為π 值。東漢末三國時(shí)期吳人王蕃（228 年—266 年）在渾儀論說中取π 值為142/45 ≈3.1556。這些π 值，都比傳統(tǒng)的“周三徑一”更精確，但它們究竟是怎么得到的，史書并未記載。而且從這些數(shù)據(jù)本身來看，迄東漢末年，古人并未找到科學(xué)的推算π 的方法。

劉徽打破了這一歷史僵局?！毒耪滤阈g(shù)》卷一“方田”章有“半周半徑相乘得積步”這一命題，該命題給出的圓面積計(jì)算方法是正確的，里面蘊(yùn)含了π。劉徽在注解該命題時(shí)提出了割圓術(shù)，給出了求解π 值的正確方法。劉徽指出，傳統(tǒng)所謂的“周三徑一”所得到的結(jié)果，實(shí)際上是圓內(nèi)接正六邊形的邊長，而不是圓周長：

“以半周乘半徑而為圓冪，此以周、徑，謂至然之?dāng)?shù)，非周三徑一之率也。周三者，從其六觚之環(huán)耳，以推圓規(guī)多少之覺（較），乃弓之與弦也?！保ā端憬?jīng)十書》，郭書春、劉鈍校點(diǎn)，《九章算術(shù)注》）

這是說，圓面積等于圓周長的二分之一乘以半徑，這是完全正確的，但這并非說周三徑一的比例是對(duì)的。所謂周三徑一，得到的是圓內(nèi)接正六邊形的周長，就像是弓的弦長與弓本身的長度關(guān)系一樣。如圖2 所示，采用周三徑一，得到的是由6 個(gè)等邊三角形組合成的六邊形邊長，相當(dāng)于6 倍ACB 直線長度，而圓周長應(yīng)該是6 倍ADB弧長，所以用周三徑一來計(jì)算圓周長，結(jié)果是不準(zhǔn)確的，原因就在于π 值不準(zhǔn)確。

圖2 劉徽割圓術(shù)示意圖

那么，該如何求得準(zhǔn)確的π 值呢？劉徽提出，可以把圓內(nèi)接正六邊形每個(gè)一分為二，分成十二邊形，相當(dāng)于把圖2 中的等邊三角形AOB 分解成兩個(gè)等腰三角形AOD 和DOB；然后利用它們之間的關(guān)系，可以借助于等邊三角形AOB，把兩個(gè)等腰三角形的面積也計(jì)算出來。顯然，正十二邊形的面積比正六邊形的面積更接近其外接圓的面積。依照這樣的思路，還可以把正十二邊形進(jìn)一步分割成正二十四邊形、正四十八邊形、正九十六邊形等?！案钪畯浖?xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！奔词钦f，圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加的時(shí)候，其周長的極限是圓周長，其面積的極限就是圓面積。已經(jīng)知道了圓的直徑，又得出了圓周長，π 值自然也就能夠計(jì)算出來了。

劉徽根據(jù)割圓術(shù)，從圓內(nèi)接正六邊形開始，邊數(shù)逐漸加倍，相繼算出正十二邊形、正二十四邊形、正四十八邊形、正九十六邊形每邊的長，且求出正一百九十二邊形的面積。這相當(dāng)于求得π=3.141024。在實(shí)際計(jì)算中，他采用了π=3.14的約值。劉徽求得的π值，是當(dāng)時(shí)世界上最精確的。

劉徽發(fā)明的割圓術(shù)，在人類歷史上首次將極限和無窮小分割引入數(shù)學(xué)證明，解決了如何正確推算π 的方法問題，在計(jì)量史上意義重大。中國古代容積標(biāo)準(zhǔn)器的主流是圓筒形狀，其設(shè)計(jì)的準(zhǔn)確與否直接取決于π 的取值精確與否。在此之前，劉歆設(shè)計(jì)新莽嘉量時(shí)，采用了π=3.1547 的數(shù)值，雖然該值的精確度遠(yuǎn)勝于“周三徑一”，但劉歆并未找到正確求解π 的方法，其后的張衡、王蕃等人殫精竭慮，在π 推算上亦有進(jìn)展，但始終未能找到正確的門徑。劉徽發(fā)明割圓術(shù)，使該問題一勞永逸得到解決。后人所要做的，無非是分割出更多的正多邊形，計(jì)算結(jié)果更精確而已。

三、編纂《海島算經(jīng)》，建立測(cè)高望遠(yuǎn)體系

劉徽對(duì)不能直接抵達(dá)的遠(yuǎn)距離測(cè)量，例如海島上有一座山，站在岸邊，如何測(cè)量山的高度這樣的問題，特別感興趣。他在《九章算術(shù)注》序言中專門就此類問題做過詳細(xì)討論。劉徽指出：

“《周官· 大司徒》職，夏至日中立八尺之表，其景尺有五寸，謂之地中。說云，南戴日下萬五千里，夫云爾者，以術(shù)推之。按：《九章》立四表望遠(yuǎn)及因木望山之術(shù)，皆端旁互見，無有超邈若斯之類。然則蒼等為術(shù)，猶未足以博盡群數(shù)也?！保ā端憬?jīng)十書》，郭書春、劉鈍校點(diǎn)，《九章算術(shù)注》序言）

這里引述的《周官·大司徒》之語，說的是我國古代傳統(tǒng)宇宙觀念。古人沒有地球觀念，認(rèn)為地是平的，大小有限，這樣地表面必然有個(gè)幾何中心，古人把它稱為地中，認(rèn)為從地中向南一萬五千里，就到了“南戴日下”，即今天所說的北回歸線。劉徽強(qiáng)調(diào)，這些數(shù)據(jù)是“以術(shù)推之”的結(jié)果，即運(yùn)用數(shù)理方法推算出來的，不是信口開河。他感嘆，認(rèn)為《九章算術(shù)》中的立四表測(cè)望遠(yuǎn)近、借助于一棵樹測(cè)望山的高低的方法等，所測(cè)望的目標(biāo)都在不遠(yuǎn)之處，可以首尾相望，不像天地宇宙這樣遙遠(yuǎn)渺茫。之所以如此，主要原因還在于張蒼等人所提出的方法還不足以涵蓋數(shù)學(xué)的方方面面。

那么，該如何處理類似問題呢？劉徽接著說道：

“徽尋九數(shù)有重差之名，原其指趣乃所以施于此也。凡望極高、測(cè)絕深而兼知其遠(yuǎn)者必用重差、勾股，則必以重差為率，故曰重差也。”（《算經(jīng)十書》，郭書春、劉鈍校點(diǎn)，《九章算術(shù)注》序言）

劉徽認(rèn)為傳統(tǒng)的“九數(shù)”中有“重差”名目，推究其用途，就是用來解決類似問題的。凡是測(cè)望極高、極深同時(shí)還要知道其遠(yuǎn)近這樣的問題的，一定要使用重差術(shù)和勾股術(shù)，以重差作為統(tǒng)一的比例數(shù)據(jù)，所以叫重差。接著，劉徽給出了利用重差術(shù)解決日之高遠(yuǎn)、大小的具體方法：

“立兩表于洛陽之城，令高八尺，南北各盡平地。同日度其正中之景。以景差為法，表高乘表間為實(shí)，實(shí)如法而一，所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表間為實(shí)，實(shí)如法而一，即為從南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地為勾、股，為之求弦，即日去人也。以徑寸之筒南望日，日滿筒空，則定筒之長短以為股率，以筒徑為勾率，日去人之?dāng)?shù)為大股，大股之勾即日徑也?！保ā端憬?jīng)十書》，郭書春、劉鈍校點(diǎn)，《九章算術(shù)注》））

這段話一共介紹了4 種天文數(shù)據(jù)（日去地距離、南表至南戴日下的水平距離、南表到太陽的斜線距離和太陽的視直徑大?。┑臏y(cè)量方法。測(cè)量前3 種數(shù)據(jù)的方法是：選擇洛陽南北平坦之處，立南北兩表，確定南北兩表之間的距離，同一天測(cè)量它們影子的長度，根據(jù)所得結(jié)果，即可得：日去地=[表間×表高/（北表影長–南表影長）]+表高；觀測(cè)者至南戴日下=表間×南表影長/（北表影長–南表影長）。

在得到日去地和觀測(cè)者至南戴日下兩個(gè)數(shù)據(jù)以后，觀測(cè)者到太陽的斜線距離直接運(yùn)用勾股定理即可得出。

上述公式中諸數(shù)字的含義如圖3 所示。

圖3 劉徽測(cè)日高日遠(yuǎn)圖

這樣，4 個(gè)天文數(shù)據(jù)中的3 個(gè)都得以解決，而太陽視直徑的大小則需要用另外的測(cè)量方法。

劉徽的方法在《周髀算經(jīng)》中測(cè)量日高天遠(yuǎn)之術(shù)中已經(jīng)存在?！吨荀滤憬?jīng)》中有一個(gè)基本假設(shè)：地隔千里，影差一寸，即圖3 南表和北表之間距離是1 000 里（約345 km）的話，夏至之日，立8 尺（約1.84 m）之表，南表影長1 尺5 寸（約0.36 m），北表影長1 尺6 寸（約0.37 m），即其影差為1 寸（約0.023 m）。把這些數(shù)字代入上述公式，不難得出，從南表至南戴日下的水平距離為15 000（約5 175 km）里，太陽到南表的斜線距離為10 萬里（約34 500 km），太陽至地面的垂直距離為80 000 里（約27 600 km）+8 尺（約1.84 m）?！吨荀滤憬?jīng)》中的數(shù)據(jù)是80 000 里，因?yàn)椤吨荀滤憬?jīng)》中忽略了要加上表高這一項(xiàng)。當(dāng)然，對(duì)80 000 里這樣的距離來說，8 尺表高確實(shí)可以忽略的。

劉徽對(duì)太陽視直徑的測(cè)量方法，如圖4 所示。

圖4 劉徽測(cè)日徑圖

具體測(cè)量方法是，選擇一個(gè)孔直徑為1 寸的竹筒，對(duì)著太陽觀看，當(dāng)太陽正好充滿竹筒孔徑時(shí)，確定竹筒的長度，以竹筒孔徑為勾，以竹筒長為股，這時(shí)太陽離開觀測(cè)者的距離為大股，太陽的直徑就是大股之勾。具體來說，筒長、筒徑、日去人的距離、日徑，這4 個(gè)數(shù)據(jù)滿足如下關(guān)系：筒徑/筒長=日徑/日去人。其中筒徑、筒長、日去人（太陽離人的距離）這3 個(gè)數(shù)據(jù)都是已知的，日徑自然就可以計(jì)算出來了。

劉徽的上述公式就幾何學(xué)來說是完全正確的，這一點(diǎn)很容易得到證明。但用他的公式進(jìn)行日高天遠(yuǎn)的實(shí)際測(cè)量，就會(huì)發(fā)現(xiàn)其結(jié)果是完全錯(cuò)誤的。之所以如此，是因?yàn)樵谒墓街须[藏了一個(gè)前提：大地是平的。當(dāng)時(shí)的人們沒有地球觀念，在這個(gè)問題上不能苛求劉徽。

在介紹了這4 種天文數(shù)據(jù)測(cè)量方法之后，劉徽認(rèn)為天地宇宙都可以測(cè)量，何況泰山之高、江海之廣，測(cè)量起來應(yīng)該更無問題。劉徽提到，既然當(dāng)今的史籍已經(jīng)大略列舉了天地之物，那么，他就考察其數(shù)量關(guān)系，撰寫《重差》一卷，將其附在《九章算術(shù)注》的“勾股”章之后，以探究古人之意，闡釋人間算術(shù)之美。劉徽指出，重差術(shù)的核心在于，測(cè)量高要用兩個(gè)表，測(cè)量深要用重疊的矩，對(duì)遠(yuǎn)處孤立物體的測(cè)量要用3 次測(cè)望，對(duì)孤立而又要求測(cè)量其他數(shù)值的則要用4 次測(cè)望。劉徽強(qiáng)調(diào)說，只要對(duì)這種方法觸類旁通，不斷增長知識(shí)，再幽隱神秘的東西都是可以測(cè)量的。

劉徽所著《重差》一卷，就是今天人們所說的《海島算經(jīng)》。該卷成書之后，是附在《九章算術(shù)注》之后，以《九章算術(shù)注》第十章的形式存于世。同《九章算術(shù)注》其他部分體例一樣，該卷采用的也是應(yīng)用問題集的形式，全卷共包括9 個(gè)問題，研究對(duì)象均為有關(guān)高遠(yuǎn)測(cè)量問題。所有問題的解法都是利用兩次或多次測(cè)望所得的數(shù)據(jù)，來推算可望而不可即的目標(biāo)的高、深、廣、遠(yuǎn)。南北朝時(shí)期，著名數(shù)學(xué)家祖沖之曾為之做注。到了唐代，人們將《重差》從劉徽《九章算術(shù)注》中分離出來，單獨(dú)成書，以第一題“今有望海島”取名為《海島算經(jīng)》。

《海島算經(jīng)》介紹的多次測(cè)望方法具有很強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值，為我國古代地圖測(cè)繪奠定了幾何學(xué)基礎(chǔ)。就這些測(cè)望方法本身而言，其水平也遠(yuǎn)遠(yuǎn)領(lǐng)先于同時(shí)期西方的測(cè)望技術(shù)。

劉徽對(duì)《九章算術(shù)》的注解以及他所撰寫的《海島算經(jīng)》，不僅在中國數(shù)學(xué)史上占有重要地位，對(duì)世界數(shù)學(xué)的發(fā)展也有著重要的貢獻(xiàn)。2002 年，中國郵政發(fā)行第四套《中國古代科學(xué)家》紀(jì)念郵票，其中就包括了劉徽紀(jì)念郵票。2021 年5 月24 日，國際天文學(xué)聯(lián)合會(huì)（IAU）批準(zhǔn)了中國在嫦娥五號(hào)月球降落地點(diǎn)附近地貌的命名，劉徽（Liu Hui）為八個(gè)地貌地名之一，以此表示對(duì)這位偉大數(shù)學(xué)家的紀(jì)念。