基于定量反饋理論的氣動調(diào)節(jié)閥控制系統(tǒng)設(shè)計

夏 勤，方 星,2，劉 飛

(1.江南大學(xué)輕工過程先進控制教育部重點實驗室，江蘇 無錫 214122; 2.無錫氣動技術(shù)研究所有限公司，江蘇 無錫 214072)

0 引言

氣動調(diào)節(jié)閥是現(xiàn)代工業(yè)過程控制系統(tǒng)中不可或缺的重要設(shè)備，其性能會直接影響整個工業(yè)過程。氣動調(diào)節(jié)閥往往在復(fù)雜環(huán)境中工作，常受到外界干擾和內(nèi)部等價干擾(包括模型不確定性、未建模動態(tài)等)的影響。因此，氣動調(diào)節(jié)閥系統(tǒng)控制器的魯棒性要求一般較高。

氣動調(diào)節(jié)閥系統(tǒng)目前應(yīng)用的控制算法主要有：常規(guī)比例積分微分(proportional integral defferential,PID)控制算法和基于PID改進的控制算法，例如模糊-PID控制、灰色預(yù)測模糊PID控制等。文獻[1]應(yīng)用了1種PID參數(shù)整定方案，在Ziegler-Nichols整定基礎(chǔ)上設(shè)計了PID參數(shù)整定算法。該算法能夠有效地減小氣動調(diào)節(jié)閥系統(tǒng)的超調(diào)，但不能夠較好地滿足該系統(tǒng)在外部干擾和模型不確定性影響下的性能指標(biāo)要求，而且當(dāng)被控對象的參數(shù)發(fā)生變化時其控制效果較差。文獻[2]應(yīng)用了1種模糊-PID控制算法。該算法將模糊算法與常規(guī)PID相結(jié)合，能夠針對被控對象的參數(shù)變化進行自動調(diào)節(jié)。但模糊控制器具有滯后特性，且不能有效地利用已知的對象模型及其不確定性信息。文獻[3]介紹了灰色預(yù)測模糊PID控制算法。該算法具有“超前控制”的特性，能對系統(tǒng)數(shù)據(jù)進行提取并預(yù)測其發(fā)展趨勢，從而改善滯后問題。但灰色預(yù)測模糊PID控制算法仍不能有效利用已知的對象模型及其不確定性信息。

針對以上情況，本文將定量反饋理論(quantitative feedback theory,QFT)控制方法應(yīng)用于氣動調(diào)節(jié)閥控制系統(tǒng)，從而利用已知的對象模型及其不確定性信息對系統(tǒng)進行控制器設(shè)計。

1 氣動調(diào)節(jié)閥控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

由于氣動調(diào)節(jié)閥控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)較復(fù)雜[4-5]，采用系統(tǒng)整體建模的方法難度較大，所以本文按照氣動調(diào)節(jié)閥的組成將系統(tǒng)劃分為不同的功能模塊。相對于系統(tǒng)整體建模的方法，模塊化建模手段更加簡單和高效，而且模塊化的模型也具有更好的移植性和擴展性。因此，根據(jù)工作流程，按照模塊化思想，將氣動調(diào)節(jié)閥控制系統(tǒng)劃分為智能定位器模塊和閥門執(zhí)行器模塊。本文選取的閥門執(zhí)行器為反作用氣動薄膜式調(diào)節(jié)閥。氣動調(diào)節(jié)閥控制系統(tǒng)模塊化分析如圖1所示。

圖1 氣動調(diào)節(jié)閥控制系統(tǒng)模塊化分析框圖Fig.1 Modular analysis block diagram of pneumatic control valve control system

以下按照智能定位器模塊與閥門執(zhí)行器模塊，分別建立氣動調(diào)節(jié)閥控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

1.1 智能定位器模塊

智能定位器模塊包括內(nèi)部控制器、電氣轉(zhuǎn)換部分、氣動放大部分和閥位反饋部分(位移傳感器)。通常，閥位反饋部分(位移傳感器)的傳遞函數(shù)為R(s)=1。電氣轉(zhuǎn)換部分與氣動放大部分結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，涉及較多的空氣動力學(xué)相關(guān)知識，難以直接建立其機理模型。因此，通常采用系統(tǒng)辨識的方法建立智能定位器模塊的數(shù)學(xué)模型。

通常，電氣轉(zhuǎn)換部分與氣動放大部分可以建模為以下的二階系統(tǒng)[6]：

(1)

式中：K為二階系統(tǒng)增益；ξ為二階系統(tǒng)阻尼系數(shù)；s為拉普拉斯算子；ω為二階系統(tǒng)自然振蕩頻率。

1.2 閥門執(zhí)行器模塊

閥門執(zhí)行器模塊由密閉氣室和閥桿運動部分組成。本文將通過機理建模方法得到該模塊的數(shù)學(xué)模型。這部分的機理模型可分為3個部分，分別為氣室氣壓轉(zhuǎn)換部分、氣壓與力的轉(zhuǎn)換部分，以及氣動薄膜式調(diào)節(jié)閥位移轉(zhuǎn)換部分[7]。

1.2.1 氣室氣壓轉(zhuǎn)換部分

閥門執(zhí)行器模塊的氣室可理解為將輸入的氣壓信號轉(zhuǎn)換為氣室內(nèi)壓力的部分，近似為阻容部分。該部分理想氣體等溫狀態(tài)下的彈性模量計算式為：

(2)

式中：Kv為理想氣體等溫彈性模量；ΔP為氣室內(nèi)壓力變化值；ΔV為壓縮后氣體體積的變化值；V為壓縮前氣體的體積。

式(2)整理后可得：

(3)

(4)

式中：Qi為氣體流入流量;Qo為氣體流出流量;P2為氣室內(nèi)壓強。

在氣體流速不高時，氣體流量與壓差之間有以下近似關(guān)系：

(5)

式中：P1為輸入氣壓；Rv為導(dǎo)氣氣阻。

由于氣動薄膜執(zhí)行機構(gòu)的氣室是封閉的，則輸出流量Qo=0。將式(4)代入式(5)中，經(jīng)整理并進行增量化處理后可得：

(6)

為了簡化模型的書寫，將增量符號省略，則式(6)可表示為：

(7)

式中：Tv為Rv和Cv的乘積。

對上述一階微分方程式(6)進行拉氏變換，可得：

Tv×sP2(s)+P2(s)=P1(s)

(8)

由此可得氣動薄膜執(zhí)行機構(gòu)氣室的傳遞函數(shù)：

(9)

1.2.2 氣壓與力的轉(zhuǎn)換部分

氣壓與力的轉(zhuǎn)換部分是將氣室內(nèi)氣壓轉(zhuǎn)換為執(zhí)行機構(gòu)推桿的拉力。力的大小與氣室內(nèi)膜片的有效面積AD有關(guān)，可以表示為：

F(t)=P2(t)AD

(10)

式(10)為比例部分。對其進行拉氏變換，可得：

F(s)=P2(s)×AD

(11)

將式(11)轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)的形式，可得：

(12)

1.2.3 氣動薄膜式調(diào)節(jié)閥的位移轉(zhuǎn)換部分

氣動薄膜式調(diào)節(jié)閥的位移轉(zhuǎn)換部分可以近似為質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)。氣動薄膜執(zhí)行機構(gòu)及其力學(xué)分析如圖2所示。

圖2 氣動薄膜執(zhí)行機構(gòu)及其力學(xué)分析圖Fig.2 Pneumatic membrane actuator and its mechanical analysis diagram

根據(jù)牛頓第二定律，氣室輸出力的系統(tǒng)方程為：

(13)

式中：m為執(zhí)行機構(gòu)運動部件的總質(zhì)量；x為執(zhí)行機構(gòu)的輸出位移；k為執(zhí)行機構(gòu)彈簧的彈性系數(shù)；b為執(zhí)行機構(gòu)的內(nèi)摩擦阻尼。

在零初始條件下進行拉氏變換，整理后可以得到氣室輸出力與閥桿位移的傳遞函數(shù)：

(14)

綜上所述，通過對智能定位器模塊及閥門執(zhí)行器模塊進行建模分析，可得到氣動調(diào)節(jié)閥控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型由式(1)、式(7)、式(10)和式(12)構(gòu)成：

G(s)=G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)

(15)

2 氣動調(diào)節(jié)閥控制系統(tǒng)的QFT控制器設(shè)計

QFT是1種基于魯棒控制思路的設(shè)計理論。在設(shè)計控制器之前，將系統(tǒng)已知的不確定性信息和需要達到的性能指標(biāo)以定量的形式進行描述，然后根據(jù)上述限定條件設(shè)計能夠容忍前述不確定性并且滿足性能指標(biāo)的控制器，從而使得控制系統(tǒng)具有較好的魯棒性。因此，QFT被廣泛應(yīng)用于具有嚴(yán)重不確定性的系統(tǒng)中。經(jīng)過近幾十年的發(fā)展，QFT被應(yīng)用于各種實際工程系統(tǒng)，如飛機的魯棒飛行控制系統(tǒng)設(shè)計[8]、液壓履帶車輛驅(qū)動系統(tǒng)的魯棒控制[9]、永磁同步電機伺服系統(tǒng)[10]等。

氣動調(diào)節(jié)閥的模型參數(shù)在實際工程中會由于工況變化、環(huán)境因素等原因出現(xiàn)頻繁攝動，而利用QFT能夠很好地解決模型參數(shù)攝動的問題。在基于QFT的二自由度控制器設(shè)計過程中，將已知模型參數(shù)的攝動和系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求等條件考慮在內(nèi)，能夠使系統(tǒng)具有較強的魯棒性。

2.1 QFT系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

QFT由Horowitz開發(fā)，是對經(jīng)典頻率魯棒控制設(shè)計方法的擴展[11]。QFT控制器是1種兩自由度結(jié)構(gòu)，包含1個前置濾波器和1個反饋控制器。QFT控制原理如圖3所示。

圖3 QFT控制原理框圖Fig.3 QFT control principle block diagram

圖3中，x、y、d1、d2分別為系統(tǒng)的參考輸入、參考輸出、輸入擾動和輸出擾動。QFT的最終目標(biāo)是為具有不確定性的被控對象設(shè)計1個兩自由度的魯棒控制器，確保系統(tǒng)即使存在輸入輸出擾動，其頻域響應(yīng)仍能滿足性能指標(biāo)要求[12]。

2.2 氣動調(diào)節(jié)閥的對象模板和標(biāo)稱對象

針對本文研究的氣動調(diào)節(jié)閥控制系統(tǒng)，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

(16)

(17)

G3(s)=65

(18)

(19)

實測不確定參數(shù)范圍為：m∈[0.04 0.05]kg；k∈[8 10]N/mm；b∈[0.8 1]N /(mm/s)。

選取m0=0.05 kg、k0=10 N/mm、b0=1 N/(mm/s)作為系統(tǒng)的標(biāo)稱參數(shù)，得到標(biāo)稱對象的傳遞函數(shù)為：

(20)

2.3 氣動調(diào)節(jié)閥的性能指標(biāo)設(shè)計

根據(jù)氣動調(diào)節(jié)閥控制系統(tǒng)的動態(tài)特性要求，可得閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時間ts≤2.5 s、上升時間tP≤1.5 s、超調(diào)量σ≤5%、相角裕度φm≥49°、幅值裕度km≥5 dB。由此確認(rèn)設(shè)計性能指標(biāo)如下。

2.3.1 魯棒穩(wěn)定性指標(biāo)

(21)

式中：L(jω)=C(jω)×G0(jω)×C(jω)為待設(shè)計的反饋控制器。

(22)

(23)

式(22)、式(23)可保證系統(tǒng)的最小幅值裕度KM為5.26 dB，最小相位裕度φM為49°，滿足魯棒穩(wěn)定性要求。

2.3.2 跟蹤性能指標(biāo)

(24)

式中：H(jω)為需要設(shè)計的前置濾波器;Tu(jω)為跟蹤性能的上界;Tl(jω)為跟蹤性能的下界。

選擇跟蹤性能的上下界分別如式(25)、式(26)所示。

(25)

(26)

所選擇的跟蹤性能的上下界，保證了滿足該上下界的閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)，其超調(diào)量不超過5%、上升時間不超過1.5 s、調(diào)節(jié)時間不超過2.5 s，符合跟蹤性能要求。

2.4 頻率陣列選擇與復(fù)合邊界生成

選擇對象模板具有較大不確定性的頻率作為頻率陣列的一部分，經(jīng)觀察選取的頻率陣列為ω=[0.010.050.10.51510501005001 000]rad/s。

在所選頻率陣列下，利用Matlab的QFT工具箱將對象模板根據(jù)魯棒穩(wěn)定性要求，在Nichols圖上繪制魯棒穩(wěn)定性邊界；同理，根據(jù)跟蹤性能指標(biāo)要求，在Nichols圖上繪制跟蹤性能邊界。將各性能邊界進行整合，得到的開環(huán)系統(tǒng)復(fù)合邊界如圖4所示。

圖4 開環(huán)系統(tǒng)復(fù)合邊界Fig.4 Open-loop system composite boundary

圖4中，左右貫通的曲線為跟蹤性能邊界，非貫通的橢圓形曲線為魯棒穩(wěn)定性邊界。系統(tǒng)滿足性能指標(biāo)要求的條件為：當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線L0(jω)在低頻處位于跟蹤性能邊界的上方，且與跟蹤性能邊界的距離越小越好；在高頻處位于魯棒穩(wěn)定性邊界橢圓外部，且不與魯棒穩(wěn)定性邊界橢圓相交。

2.5 反饋控制器和前置濾波器確定

開環(huán)系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線如圖5所示。

圖5 開環(huán)系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線Fig.5 Open-loop system frequency response curves

由圖5(a)可知，開環(huán)系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線L0(jω)與開環(huán)系統(tǒng)復(fù)合邊界關(guān)系不符合要求，因此系統(tǒng)無法滿足性能指標(biāo)要求。

本文設(shè)計反饋控制器C(s)，以保證開環(huán)系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線L0(jω)在所選擇的頻率點處位于對應(yīng)跟蹤性能邊界上方，且在高頻處L0(jω)不與魯棒穩(wěn)定性邊界相交。

(27)

設(shè)計QFT設(shè)計控制器后，開環(huán)系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線如圖5(b)所示。開環(huán)系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線在所選擇頻率點處位于跟蹤性能邊界上方且與邊界的距離很小，以保證系統(tǒng)在設(shè)計前置濾波器時能滿足跟蹤性能要求。在高頻處，開環(huán)系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線沒有與魯棒穩(wěn)定性邊界相交，以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

本文設(shè)計前置濾波器H(s)，使得閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)的包絡(luò)線位于跟蹤性能的包絡(luò)線之間，從而保證系統(tǒng)滿足跟蹤性能要求。

(28)

閉環(huán)系統(tǒng)跟蹤邊界響應(yīng)曲線如圖6所示。

圖6 閉環(huán)系統(tǒng)跟蹤邊界響應(yīng)曲線Fig.6 Closed-loop system tracking boundary response curves

2.6 分析與設(shè)計驗證

QFT采用近似選點的方法對控制系統(tǒng)進行設(shè)計，所以必須驗證系統(tǒng)是否在所有頻率都滿足設(shè)計要求。本文利用Matlab的QFT工具箱分別對穩(wěn)定裕度邊界和跟蹤性能包絡(luò)進行分析。

通過QFT工具箱得到的穩(wěn)定裕度響應(yīng)曲線如圖7所示。

圖7 穩(wěn)定裕度響應(yīng)曲線Fig.7 Stability margin response curves

由圖7可知，系統(tǒng)實際穩(wěn)定裕度曲線在所有頻率點都始終位于給定穩(wěn)定裕度邊界的下方，而且沒有超越給定邊界的趨勢，所以系統(tǒng)在所有頻率點都滿足穩(wěn)定裕度要求。

通過QFT工具箱得到的閉環(huán)系統(tǒng)時域階躍響應(yīng)曲線如圖8所示。

圖8 閉環(huán)系統(tǒng)時域階躍響應(yīng)曲線Fig.8 Time-domain step response curves of closed-loop system

圖8中，虛線為時域跟蹤性能包絡(luò)的上界和下界；實線是在考慮模型不確定性的情況下，所有對象模板的閉環(huán)時域階躍響應(yīng)曲線。由圖8可知，采用QFT方法設(shè)計的氣動調(diào)節(jié)閥控制系統(tǒng)滿足系統(tǒng)動態(tài)性能要求。

3 仿真試驗對比

為了驗證所設(shè)計的反饋控制器和前置濾波器是否達到了預(yù)期設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)，本文對系統(tǒng)進行仿真分析。利用Matlab的Simulink模塊搭建了基于PID控制方法的氣動調(diào)節(jié)閥控制系統(tǒng)和基于QFT控制方法的氣動調(diào)節(jié)閥控制系統(tǒng)，將兩者進行試驗效果對比。

PID與QFT控制效果對比如圖9所示。

圖9 PID與QFT控制效果對比Fig.9 Comparison of control effects of PID and QFT

在標(biāo)稱狀況下，給定閥位信號為20 mm時，基于PID與QFT控制方法效果對比如圖9(a)中所示。在標(biāo)稱狀況下，采用基于QFT控制方法，其系統(tǒng)無超調(diào)。而采用基于PID控制方法出現(xiàn)了一定的超調(diào)。因此，基于QFT控制方法在一定程度上優(yōu)于基于PID控制方法。此外，采用基于QFT控制方法時，閉環(huán)系統(tǒng)滿足設(shè)計過程中的各性能指標(biāo)要求。

當(dāng)氣動薄膜式調(diào)節(jié)閥系統(tǒng)參數(shù)的變化在不確定設(shè)計范圍內(nèi)時，即閥門執(zhí)行器內(nèi)摩擦阻尼b=0.8 N/(mm/s)、彈簧的彈性系數(shù)k=8 N/mm情況下，其閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線設(shè)計工況下基于PID與QFT控制方法效果對比如圖9(b)中所示。在上述情形下，采用基于QFT控制方法的閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線超調(diào)量小于5%、上升時間小于1.5 s、調(diào)節(jié)時間小于2.5 s，控制系統(tǒng)仍然滿足系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求。而采用基于PID控制方法的閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線其超調(diào)量遠(yuǎn)大于系統(tǒng)要求的5%，不再滿足系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求。

基于QFT控制方法能夠根據(jù)已知的系統(tǒng)不確定性條件，對控制系統(tǒng)進行設(shè)計。其對設(shè)計范圍內(nèi)的不確定性具有很強的魯棒性。然而，在一些突發(fā)情況時，系統(tǒng)的不確定性將可能超出預(yù)先所設(shè)計的情況，而基于QFT控制方法的閉環(huán)系統(tǒng)仍然具有較強的魯棒性。在閥門執(zhí)行器內(nèi)摩擦阻尼和彈簧的彈性系數(shù)持續(xù)減小的實際工況下，當(dāng)參數(shù)減小到b=0.7 N/(mm/s)、k=7 N/mm時，系統(tǒng)的閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線考慮情況外PID與QFT控制效果對比如圖10所示。

圖10 考慮情況外PID與QFT控制效果對比Fig.10 Comparison of the effects of PID and QFT outside the design conditions

基于PID控制方法的閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線的超調(diào)量已達到38%，嚴(yán)重超過系統(tǒng)性能要求的5%，并且其調(diào)節(jié)時間也已超過2.5 s，嚴(yán)重超過系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求?；赒FT控制方法的閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線，其超調(diào)量仍小于5%、上升時間仍小于1.5 s、調(diào)節(jié)時間仍小于2.5 s。由此可見，在基于QFT控制方法下，氣動調(diào)節(jié)閥控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)仍符合設(shè)計要求。由上述分析可知，面對突發(fā)的極端工況，即系統(tǒng)的參數(shù)不確定性超出設(shè)計工況時，基于QFT控制方法仍具有較強的魯棒性，由此顯示出QFT的實際工程應(yīng)用價值。

4 結(jié)論

針對氣動調(diào)節(jié)閥控制系統(tǒng)在工業(yè)過程中不可避免地存在模型參數(shù)不確定性而影響系統(tǒng)控制效果的問題，本文提出了1種基于QFT的氣動調(diào)節(jié)閥魯棒控制策略。根據(jù)氣動調(diào)節(jié)閥控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求，本文設(shè)計了基于QFT的魯棒控制器。通過仿真研究，驗證了本文所設(shè)計的控制器滿足性能指標(biāo)要求。相比于基于PID控制的氣動調(diào)節(jié)閥控制系統(tǒng)，本文所設(shè)計的控制系統(tǒng)具有更強的魯棒性和更優(yōu)越的跟蹤性能。