基于博弈論的一體化防撞梁多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)*

李書華 吳宗揚(yáng) 貝璟 余承斌 張代勝

（1.合肥工業(yè)大學(xué)，智能制造技術(shù)研究院，合肥 230051；2.合肥工業(yè)大學(xué)，汽車與交通工程學(xué)院，合肥 230009；3.合肥長安汽車有限公司，合肥 230031）

主題詞：一體化防撞梁 博弈論 碰撞安全性能 納什均衡 多目標(biāo)優(yōu)化

1 前言

在低速正面碰撞過程中，最先承擔(dān)緩沖吸能作用，進(jìn)而保證乘員安全的被動(dòng)安全部件是防撞梁，國內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)其展開了廣泛的研究[1]。Wang[2]等采用非支配排序遺傳算法-Ⅱ（Non-dominated Sorting Genetic Algorithms-Ⅱ，NSGA-Ⅱ）和電子搜索算法（Electronic Search Algorithms，ESA）對(duì)負(fù)泊松比保險(xiǎn)杠系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)。賀良國等[3]運(yùn)用NSGA-Ⅱ?qū)Χ喟Y(jié)構(gòu)的車身前端結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)。徐峰祥[4]采用NSGA-Ⅱ?qū)ζ春赴褰Y(jié)構(gòu)進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)。上述文獻(xiàn)使用的傳統(tǒng)優(yōu)化算法在進(jìn)行耐撞性多目標(biāo)優(yōu)化模型求解時(shí)，無法穩(wěn)定地輸出最優(yōu)解，且未考慮不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)優(yōu)化目標(biāo)的不同影響，從而降低了最終方案的優(yōu)化效果。

博弈論作為一種研究具有斗爭或競爭性質(zhì)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)理論和方法，已被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。Staňková等[5]使用博弈論方法優(yōu)化了癌癥的治療。胡永進(jìn)等[6]構(gòu)建了多階段網(wǎng)絡(luò)欺騙博弈模型，為網(wǎng)絡(luò)安全主動(dòng)防御研究提供有效指導(dǎo)。防撞梁的耐撞性與輕量化之間的矛盾性可視為一種博弈問題，由于博弈理論中納什均衡解具有“穩(wěn)健性”和“自我強(qiáng)制性”的特點(diǎn)，使得多目標(biāo)優(yōu)化模型能夠穩(wěn)定而客觀地輸出最優(yōu)解[7]。

綜上，針對(duì)一體化防撞梁的耐撞性和輕量化設(shè)計(jì)問題，本文提出一種基于博弈論的防撞梁多目標(biāo)優(yōu)化方法。首先根據(jù)防撞梁的耐撞性和輕量化研究特點(diǎn)以及影響因素分析，將防撞梁的比吸能和質(zhì)量作為博弈雙方進(jìn)行博弈，將防撞梁的結(jié)構(gòu)參數(shù)作為博弈方的策略集，然后通過引入博弈距離和博弈力矩進(jìn)行策略歸屬構(gòu)建，最后通過對(duì)博弈方效用函數(shù)的對(duì)比分析尋找納什均衡點(diǎn)，從而得到優(yōu)化模型的最優(yōu)解。

2 方法論

2.1 多目標(biāo)優(yōu)化模型與博弈模型的映射關(guān)系

從博弈論的角度思考，多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題與博弈決策問題有如下關(guān)聯(lián)[8]：

a.將多目標(biāo)優(yōu)化模型視為博弈模型。

b.設(shè)計(jì)變量X及其取值范圍對(duì)應(yīng)博弈決策問題的策略集C及其可行空間，可通過一定方法將設(shè)計(jì)變量X拆分為策略集C1,C2,…,Cq。

c.將優(yōu)化目標(biāo)視為博弈決策問題的博弈方，將優(yōu)化算法視為納什均衡分析。

d.多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的目標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)值等同于博弈決策問題中博弈方所獲得的效用，且兩者的約束也可視為一致。

故可用博弈決策問題的思維方式來描述多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題：

式中，G為多目標(biāo)優(yōu)化模型空間集合；V1,V2,…,Vq為q個(gè)博弈方；C1={xi,…,xj},…,Cq={xk,…,xl}為q個(gè)博弈方的策略集，并滿足C1∪C2∪…∪Cq=X且Ca∩Cb=0；a,b=1,2,…,q且a≠b。

2.2 優(yōu)化流程

對(duì)防撞梁進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的在于獲得耐撞性和輕量化函數(shù)的最優(yōu)解。優(yōu)化過程主要分為3 個(gè)階段，即策略歸屬構(gòu)建、效用函數(shù)構(gòu)建和納什均衡分析，優(yōu)化流程如圖1所示。

圖1 防撞梁的博弈優(yōu)化設(shè)計(jì)流程

2.2.1 策略歸屬構(gòu)建與博弈效用函數(shù)構(gòu)建

博弈方的策略集歸屬構(gòu)建是多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)為博弈決策問題的關(guān)鍵。為此，引入博弈距離和博弈力矩的概念[9-10]：

a.博弈距離。博弈距離定義為項(xiàng)目i到博弈方v的距離與所有項(xiàng)目到與其對(duì)應(yīng)的各博弈方距離之和的比，其中，項(xiàng)目i到博弈方v的距離表示為uv,i的倒數(shù)：

式中，?i∈[1,…,n]；?v∈[1,…,q]；uv,i為項(xiàng)目對(duì)i博弈方v的效用；n為博弈方的數(shù)量；dv,i為項(xiàng)目i到博弈方v相對(duì)于其他博弈方的博弈距離。

b.博弈力矩：

式中，φv,i為項(xiàng)目i到博弈方v相對(duì)于其他博弈方的博弈力矩。

策略集歸屬構(gòu)建步驟如下：

a.通過粒子群算法對(duì)各目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化，得到初始效用和初始策略集。

b.按照式（2）和式（3）計(jì)算博弈距離和博弈力矩，對(duì)于某一個(gè)博弈方vw，將各項(xiàng)目到博弈方vw的博弈距離按照升序排列，表示其優(yōu)先級(jí)順序從高到低，并按照博弈距離排列順序計(jì)算相對(duì)應(yīng)的累加博弈力矩。

同時(shí)，為了簡化優(yōu)化過程，從而提高優(yōu)化效率，需要將模型仿真替換為數(shù)值優(yōu)化，因此，博弈效用函數(shù)的構(gòu)建是必不可少的。

2.2.2 納什均衡分析

設(shè)X={x1,x2,…,xq}=C={C1,C2,…,Cq}為博弈方的策略集，V1(c),V2(c),…,Vq(c)為博弈所獲得的效用，博弈流程如下：

a.基于博弈距離和博弈力矩，得到隸屬于各博弈方的策略集{C1,C2,…,Cq}。

3 有限元模型建立與可行性檢驗(yàn)

3.1 正面碰撞有限元模型建立

汽車前防撞梁能在低速碰撞中起到吸能和緩沖的作用[11]。本文采用臺(tái)車正面碰撞有限元模型對(duì)防撞梁的低速正面碰撞性能進(jìn)行仿真，如圖2 所示，臺(tái)車模型質(zhì)量為1 530 kg，臺(tái)車以1.111 m/s的初始速度撞向剛性墻，整個(gè)碰撞過程時(shí)間設(shè)定為0.06 s。該一體化精密鑄造防撞梁的材料選用ZL205A 鋁合金，其密度為2.82×103kg/m3，彈性模量為7.3×104MPa，泊松比為0.32?？紤]應(yīng)變速率對(duì)材料應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響，材料類型選擇MAT24。

圖2 臺(tái)車正碰有限元模型

3.2 有限元模型可行性檢驗(yàn)

能量守恒是判斷正面碰撞有限元模型是否可靠的重要標(biāo)準(zhǔn)。簡化積分方法往往會(huì)導(dǎo)致沙漏模式，從而損失部分能量，影響系統(tǒng)的仿真精度[12]。一般要求質(zhì)量增加不超過5%，總能量增加不超過10%，產(chǎn)生的沙漏能不超過總能量的5%，且不為負(fù)值。針對(duì)防撞梁低速正碰仿真模型，碰撞過程中的能量變化如圖3所示，從圖3中可以看出，總能量處于平穩(wěn)狀態(tài)，沙漏能幾乎為零，能量始終守恒，故碰撞模型合理，可用于后續(xù)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

圖3 能量變化曲線

4 防撞梁博弈優(yōu)化

4.1 初始設(shè)計(jì)分析

防撞梁的耐撞性評(píng)價(jià)指標(biāo)可以用比吸能、峰值碰撞力和吸能量來衡量。此外，為了保證乘員具有充足的生存空間，防撞梁在碰撞過程中的最大縱向位移也不應(yīng)超過許可值[13]。一體化精密鑄造防撞梁的初始效用如表1所示，由于最大縱向位移和峰值碰撞力的矛盾性，從表1 中可以看出，最大縱向位移的安全設(shè)計(jì)余量較大，而峰值碰撞力過大，存在一定安全隱患。為了進(jìn)一步增強(qiáng)防撞梁的碰撞安全性能，需對(duì)其進(jìn)行輕量化和耐撞性優(yōu)化設(shè)計(jì)。

表1 設(shè)計(jì)變量及響應(yīng)的初始效用

4.2 策略分析

如圖4所示，本文選取防撞梁的主梁、縱向加強(qiáng)筋、橫向加強(qiáng)筋和吸能盒的厚度（t1～t4）為策略集，并以峰值碰撞力Fpeak和最大縱向位移Lmax為約束條件，以防撞梁的比吸能S和質(zhì)量m為博弈方，比吸能和質(zhì)量的響應(yīng)值為博弈方所獲得的效用。

圖4 防撞梁的厚度變量

按照策略集劃分步驟，首先對(duì)防撞梁的比吸能和質(zhì)量分別采用粒子群單目標(biāo)優(yōu)化算法（種群大小為100，迭代次數(shù)為30，慣性權(quán)重因子為0.9，學(xué)習(xí)因子c1和c2取0.9），得到初始效用和初始策略集。根據(jù)式（2）和式（3）分別計(jì)算各博弈方的博弈距離和博弈力矩，如表2 所示。

表2 各項(xiàng)目的效用、博弈距離和博弈力矩

根據(jù)表2中比吸能的博弈距離進(jìn)行升序排列，并根據(jù)博弈力矩φs,ti計(jì)算相對(duì)應(yīng)的累加博弈力矩ai，如表3所示。計(jì)算可得平衡值uv=3.532 8，通過比較平衡值uv和各項(xiàng)累加博弈力矩來確定屬于博弈方比吸能的策略集，即C1=(t2,t3)，其他的項(xiàng)目為博弈方質(zhì)量的策略集，即C2=(t1,t4)。

表3 各項(xiàng)目的累加博弈力矩

4.3 博弈效用函數(shù)構(gòu)建

博弈效用函數(shù)采用響應(yīng)面法構(gòu)建，它能通過試驗(yàn)設(shè)計(jì)所得到的樣本數(shù)據(jù)來探測輸入變量與輸出響應(yīng)之間的敏感度，最終將其擬合成函數(shù)關(guān)系，從而把結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為數(shù)值優(yōu)化問題，大幅提高優(yōu)化效率。

試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的選擇對(duì)構(gòu)建高精度的效用函數(shù)很重要。本文采用最優(yōu)拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法構(gòu)建響應(yīng)面模型，它能將試驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)均勻地分散在設(shè)計(jì)空間中，具有很好的空間填充性和均衡性[14]。采用30個(gè)采樣點(diǎn)來構(gòu)建防撞梁峰值碰撞力、最大縱向位移、比吸能和質(zhì)量的二次響應(yīng)面近似模型，并且通過不斷增加試驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)來更新近似模型，直到近似模型的精度滿足要求。本文主要采用確定系數(shù)R2對(duì)響應(yīng)值進(jìn)行精度評(píng)價(jià)，Lmax、Fpeak、S、m的確定系數(shù)分別為0.999、0.927、0.999、0.999，均滿足要求，說明所構(gòu)建的效用函數(shù)是可靠的。

4.4 結(jié)果與討論

4.4.1 納什均衡分析

隨機(jī)確定初始策略集，基于納什均衡分析，博弈方的比吸能和質(zhì)量的迭代過程如圖5所示，從圖5中可以看出，在第10次迭代時(shí)，質(zhì)量最小，比吸能達(dá)到最大，滿足收斂準(zhǔn)則。經(jīng)過協(xié)調(diào)權(quán)衡，峰值碰撞力與最大縱向位移均在安全范圍內(nèi)。

圖5 博弈方迭代過程

4.4.2 各類優(yōu)化算法對(duì)比分析

采用粒子群多目標(biāo)優(yōu)化算法、多島遺傳算法以及非支配解排序遺傳算法分別對(duì)防撞梁數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，其中，各類優(yōu)化算法相關(guān)參數(shù)設(shè)置如表4 所示，優(yōu)化結(jié)果如表5所示。從表5中可以看出：傳統(tǒng)優(yōu)化算法相比于博弈優(yōu)化設(shè)計(jì)，比吸能均偏小，而質(zhì)量均偏大；且博弈法是一種帶有競爭性質(zhì)的純策略型方法，博弈雙方存在“互利”解，只需較少的迭代次數(shù)便能找到納什均衡點(diǎn)，求解穩(wěn)定且速度快；對(duì)比初始設(shè)計(jì)，經(jīng)博弈設(shè)計(jì)的防撞梁的質(zhì)量減輕了26.47%。初始設(shè)計(jì)與博弈設(shè)計(jì)的防撞梁比吸能變化過程如圖6所示，由圖6可知，比吸能增長了22.18%，博弈設(shè)計(jì)提高了防撞梁的碰撞安全性能。

表4 優(yōu)化算法參數(shù)設(shè)置

表5 優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

圖6 初始設(shè)計(jì)與博弈設(shè)計(jì)的比吸能對(duì)比

5 結(jié)束語

本文采用“材料-結(jié)構(gòu)-性能”一體化集成設(shè)計(jì)方法，能夠?qū)Ψ雷擦哼M(jìn)行有效優(yōu)化，在保證良好的整體性能的情況下，實(shí)現(xiàn)防撞梁的輕量化設(shè)計(jì)。針對(duì)一體化防撞梁的耐撞性和輕量化設(shè)計(jì)特點(diǎn)，以比吸能和質(zhì)量為博弈雙方，提出了一種基于博弈論的防撞梁多目標(biāo)優(yōu)化方法。同時(shí)，將防撞梁多目標(biāo)優(yōu)化模型與非合作博弈模型進(jìn)行映射，結(jié)合博弈模型的特點(diǎn)，基于博弈距離和博弈力矩對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行策略歸屬構(gòu)建。

通過對(duì)效用函數(shù)的納什均衡分析，經(jīng)過10 次迭代達(dá)到收斂準(zhǔn)則，避免了最大縱向位移安全系數(shù)設(shè)計(jì)過大的缺陷。結(jié)果表明：博弈設(shè)計(jì)的防撞梁的峰值碰撞力與最大縱向位移均在許可范圍內(nèi)，且相比于初始設(shè)計(jì)，防撞梁質(zhì)量減輕了26.47%，比吸能增加了22.18%，相比于傳統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化算法，博弈設(shè)計(jì)具有更好的穩(wěn)定性和優(yōu)化效果，證明了其實(shí)用性與有效性。