基于測(cè)斜數(shù)據(jù)的樁身彎矩計(jì)算

胡國(guó)保，何祖鈞，王偉亮，何 欽

（1、清遠(yuǎn)市建設(shè)工程質(zhì)量檢測(cè)站有限公司 廣東清遠(yuǎn) 511500；2、佛山市三水區(qū)建筑工程質(zhì)量檢測(cè)站 廣東佛山 528100；3、廣東省建設(shè)工程質(zhì)量安全檢測(cè)總站有限公司 廣州 510500）

0 引言

隨著基坑開(kāi)挖深度逐漸增大，簡(jiǎn)易的支撐結(jié)構(gòu)已無(wú)法滿足基坑安全性的要求。深基坑大部分采用排樁支護(hù)或地下連續(xù)墻支護(hù)，確?；臃€(wěn)定性。在樁支撐結(jié)構(gòu)中需要監(jiān)測(cè)樁身水平位移以及了解樁身受力狀態(tài)，確?；影踩⑻崆白龀鰬?yīng)對(duì)措施。目前多采用測(cè)斜法計(jì)算樁身水平位移，若同時(shí)利用測(cè)斜數(shù)據(jù)較為準(zhǔn)確地計(jì)算樁身彎矩可以節(jié)省時(shí)間，快速得到初步彎矩值，判斷樁身安全性。

用測(cè)斜數(shù)據(jù)計(jì)算彎矩的相關(guān)研究較多，主要方法分為正算與反算兩種。正算方法為三點(diǎn)圓法，根據(jù)測(cè)斜計(jì)算某點(diǎn)以及上下相鄰點(diǎn)3個(gè)數(shù)據(jù)，計(jì)算該點(diǎn)曲率，進(jìn)而根據(jù)曲率與彎矩關(guān)系求支護(hù)樁或地下連續(xù)墻彎矩［1-3］。但此種方法無(wú)法計(jì)算端點(diǎn)處彎矩，且對(duì)測(cè)斜數(shù)據(jù)完整性要求較高。在反算法中，主要方法為最小二乘法（即多項(xiàng)式擬合），自然樣條曲線法，光順樣條曲線法。其中楊瀟等人［4］通過(guò)對(duì)地下連續(xù)墻的測(cè)斜數(shù)據(jù)擬合，對(duì)連續(xù)墻彎矩分析，評(píng)估其安全性；池秀文等人［5］通過(guò)分段三次樣條曲線五點(diǎn)擬合支護(hù)結(jié)構(gòu)變形曲線，計(jì)算所得彎矩與實(shí)際工程中的彎矩觀點(diǎn)較為吻合；王佳賀［6］使用不同次冪的多項(xiàng)式擬合支護(hù)位移曲線，得到五次多項(xiàng)式的擬合結(jié)果較好，劉濤等人［7-8］通過(guò)最小二乘法以及剛度修正，反演地連墻彎矩，與實(shí)際彎矩結(jié)果吻合較好；王震等人［9-10］基于光順樣條法反演地下連續(xù)墻與樁身彎矩，反演彎矩與實(shí)測(cè)彎矩變化趨勢(shì)相同，并且反演彎矩大于實(shí)測(cè)彎矩。

利用測(cè)斜數(shù)據(jù)計(jì)算彎矩的研究已經(jīng)相對(duì)成熟，方法也相對(duì)固定，即利用曲率與彎矩的關(guān)系，間接求得彎矩。本文旨在總結(jié)目前測(cè)斜數(shù)據(jù)計(jì)算彎矩的方法與原理，對(duì)比各種方法在實(shí)際應(yīng)用中的誤差情況，以及分析誤差影響因素，為今后工程提供相關(guān)參考。

1 測(cè)斜數(shù)據(jù)彎矩計(jì)算方法

1.1 三點(diǎn)圓法

三點(diǎn)圓法是根據(jù)三點(diǎn)確定一個(gè)圓，然后求得圓的曲率［1］。而曲率可以衡量支護(hù)結(jié)構(gòu)的變形程度。求得曲率后計(jì)算出彎矩。三點(diǎn)圓法的曲率推導(dǎo)公式有幾何法與數(shù)學(xué)推導(dǎo)法，其最終推導(dǎo)結(jié)果相同。對(duì)三個(gè)連續(xù)測(cè)斜點(diǎn)i-1、i、i+1，其對(duì)應(yīng)水平偏移量分別為yi-1、yi、yi+1。l為測(cè)斜點(diǎn)間的距離，R為曲率半徑，φ為曲率，w為變形位移。曲率計(jì)算及彎矩計(jì)算公式如下：

需注意的是，三點(diǎn)圓法計(jì)算時(shí)，無(wú)法計(jì)算支護(hù)結(jié)構(gòu)兩端的曲率，需要根據(jù)逼近或插值方法對(duì)得到的曲率進(jìn)行擬合，求得整個(gè)深度上的曲率，因此在兩端會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。

1.2 最小二乘法

針對(duì)一系列測(cè)斜數(shù)據(jù)（xi，yi），i=1，2，3...n。通常選取線性函數(shù)類｛x0，x，x2...xn｝。選取一定次數(shù)的多項(xiàng)式，求得誤差平方和最小時(shí)的系數(shù)［6］，如下所示：

在使用最小二乘法擬合測(cè)斜曲線時(shí)，需要選取合適的多項(xiàng)式次數(shù)。荷載與測(cè)斜曲線呈四次方關(guān)系。彎矩與測(cè)斜曲線呈平方關(guān)系。因此次數(shù)太高易產(chǎn)生過(guò)擬合現(xiàn)象，與實(shí)際曲線形式局部吻合而其余部分偏差過(guò)大；次數(shù)太低則易與實(shí)際所受荷載情況不符。在工程中一般選取五次多項(xiàng)式擬合［6］，此時(shí)假設(shè)荷載呈二次分布，除此之外結(jié)合實(shí)際荷載情況也可用更高次擬合。

1.3 自然樣條曲線法

使用分段三次樣條函數(shù)擬合測(cè)斜曲線。此函數(shù)需滿足以下條件：在每個(gè)分段內(nèi)擬合函數(shù)不超過(guò)三次，在分段點(diǎn)上擬合函數(shù)具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，最后擬合函數(shù)需要通過(guò)全部數(shù)據(jù)點(diǎn)并二階連續(xù)可微［2］。

在求解符合的樣條函數(shù)時(shí)，需要給定邊界條件。主要有測(cè)斜曲線在測(cè)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)，即支護(hù)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)角；測(cè)斜曲線在測(cè)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)值，即支護(hù)結(jié)構(gòu)的彎矩。擬合公式如下所示：

對(duì)于一系列方程s（x）包含4n未知量，根據(jù)定義條件以及邊界條件可以滿足條件確定唯一的樣條函數(shù)。其中當(dāng)邊界條件為給定端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)值為0 時(shí)，又稱為自然邊界條件，此時(shí)樣條函數(shù)稱為自然樣條函數(shù)。本文使用三次樣條函數(shù)對(duì)測(cè)斜數(shù)據(jù)直接擬合，而后反算其彎矩。

2 工程實(shí)例

基于某醫(yī)院邊坡基坑支護(hù)所得樁身應(yīng)力監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)以及測(cè)斜數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算?；硬捎勉@孔灌注樁，樁長(zhǎng)14 m，樁身直徑1.4 m，樁身受力筋直徑為28 mm，HRB400 鋼筋。每隔0.5 m 記錄一次測(cè)斜數(shù)據(jù)，每3 m記錄鋼筋應(yīng)力計(jì)數(shù)據(jù)。采用C30 混凝土，保護(hù)層厚度70 mm。鋼筋彈性模量與混凝土彈性模量比n=6.67。有效計(jì)算直徑ds=1.26 m。采用6 月21 日～7 月22 日間的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比各種彎矩計(jì)算方法的準(zhǔn)確性。

樁身混凝土未開(kāi)裂時(shí)，以鋼筋應(yīng)力計(jì)數(shù)據(jù)反算樁身彎矩［11］。具體計(jì)算公式如下：

式中：M為樁身彎矩；Ic為截面中性軸慣性矩；σ W為樁外側(cè)鋼筋應(yīng)力計(jì)讀數(shù)；σ N為樁內(nèi)測(cè)鋼筋應(yīng)力計(jì)讀數(shù)；n為鋼筋與混凝土彈模之比；ds為同一截面位置兩鋼筋應(yīng)力計(jì)之間的距離；Ag為主筋截面積；r為樁身半徑。

根據(jù)鋼筋應(yīng)力計(jì)求得樁身彎矩，如圖1所示。

圖1 鋼筋計(jì)計(jì)算樁身彎矩Fig.1 Bending Moment of Pile Body Calculated by Steel Bar Meter

在所取時(shí)間段內(nèi)，計(jì)算彎矩最大值接近300 kN·m，主要在樁身內(nèi)側(cè)受彎。所測(cè)時(shí)間內(nèi)彎矩變化趨勢(shì)相同，且根據(jù)宋建學(xué)等人［11］的研究成果，采用鋼筋計(jì)計(jì)算時(shí)考慮樁身是否開(kāi)裂等因素，計(jì)算彎矩值精度較高，因此取鋼筋計(jì)計(jì)算所得樁身彎矩近似作為實(shí)際值，與其余方法所求彎矩對(duì)比分析。但鋼筋計(jì)其缺點(diǎn)在于布設(shè)點(diǎn)位較少，無(wú)法得出整個(gè)深度上彎矩，只能測(cè)量個(gè)別點(diǎn)位彎矩，整體變化趨勢(shì)難以判斷。

多項(xiàng)式測(cè)斜曲線擬合圖與樣條曲線擬合圖分別如圖2、圖3 所示，在整體上兩種擬合曲線相似?？芍囗?xiàng)式擬合曲線較平滑，雖未經(jīng)過(guò)所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，但在所取時(shí)間內(nèi)擬合趨勢(shì)相似，曲率變化與鋼筋計(jì)測(cè)值較為吻合。樣條曲線擬合雖經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)點(diǎn)，但其在個(gè)別數(shù)據(jù)點(diǎn)曲線趨勢(shì)變化較大，且計(jì)算后曲率變化大，計(jì)算彎矩遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離實(shí)際值。

圖2 多項(xiàng)式擬合測(cè)斜曲線Fig.2 Polynomial Fit Inclinometer Plot

圖3 樣條曲線擬合測(cè)斜曲線Fig.3 Spline Fit Inclinometer Plot

當(dāng)采用三點(diǎn)圓法計(jì)算彎矩時(shí)，首先采用計(jì)算點(diǎn)與相鄰三點(diǎn)計(jì)算曲率，而后根據(jù)彎曲剛度求得彎矩。計(jì)算所得彎矩與鋼筋計(jì)計(jì)算所得數(shù)據(jù)相差大。最大彎矩值相差近10倍。除此之外，三點(diǎn)圓法無(wú)法求得兩端彎矩，且所得曲率與測(cè)斜數(shù)據(jù)準(zhǔn)確度以及測(cè)斜間距分布關(guān)系較大，若測(cè)斜值出現(xiàn)偏差，則會(huì)導(dǎo)致相鄰點(diǎn)彎矩同時(shí)出現(xiàn)偏離現(xiàn)象。根據(jù)對(duì)本工程數(shù)據(jù)擬合結(jié)果，三點(diǎn)圓法其穩(wěn)定性差，與實(shí)際值存在2～10 倍差距。因此在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況判斷是否使用此方法。

圖2為多項(xiàng)式擬合后曲線。采用最小二乘法時(shí)需要選取合適的多項(xiàng)式。根據(jù)位移曲線與荷載關(guān)系，當(dāng)位移曲線為三次多項(xiàng)式時(shí)，荷載為集中力，而當(dāng)位移曲線為五次多項(xiàng)式時(shí)，荷載呈線性分布。根據(jù)樁身所受土壓力以及相關(guān)經(jīng)驗(yàn)［6］選取五次多項(xiàng)式擬合測(cè)斜數(shù)據(jù)，假定土壓力線性分布。對(duì)擬合多項(xiàng)式二次求導(dǎo)后得到曲率并計(jì)算彎矩。多項(xiàng)式擬合數(shù)據(jù)在量級(jí)上與鋼筋計(jì)測(cè)值較為接近，在整個(gè)深度范圍內(nèi)均與實(shí)際值較為吻合。且在所選時(shí)間內(nèi)數(shù)據(jù)擬合效果均穩(wěn)定，僅在兩端彎矩值偏大。

圖3為采用三次自然樣條法擬合測(cè)斜數(shù)據(jù)計(jì)算彎矩。每?jī)牲c(diǎn)之間均采用三次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，且擬合后數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)采樣點(diǎn)。根據(jù)擬合結(jié)果，在所測(cè)時(shí)間內(nèi)偏差均遠(yuǎn)超實(shí)際值。其原因在于三次樣條雖然可以很好擬合測(cè)斜數(shù)據(jù)，但二階求導(dǎo)后，其曲率函數(shù)為一次函數(shù)，即彎矩與荷載呈線性變化，與實(shí)際情況相差較大。除此之外，直接采用三次樣條插值，使得在每?jī)蓚€(gè)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)之間曲率變化不連貫，造成彎矩值變化也較為反常。根據(jù)本工程實(shí)際數(shù)據(jù)，直接采用三次樣條對(duì)位移函數(shù)插值結(jié)果并不適用，且若考慮分段插值時(shí)需分清各段的受力狀態(tài)，在實(shí)際應(yīng)用中存在較大難度。

6 月21 日～7 月22 日各種方法所得彎矩如圖4 所示?？芍?，三種方法所得彎矩均與鋼筋計(jì)所測(cè)彎矩值存在較大偏差，且在支護(hù)樁兩端時(shí)彎矩均大于樁身中部彎矩值，在中部彎矩偏向于集中分布。采用三次樣條擬合時(shí)，雖擬合曲線經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)點(diǎn)，但其求導(dǎo)后偏差巨大。在計(jì)算數(shù)據(jù)中最大彎矩已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出實(shí)際值，最大彎矩值接近實(shí)際值數(shù)倍，甚至已達(dá)破壞狀態(tài)下的彎矩。且彎矩變化劇烈，連貫性差。三點(diǎn)圓法計(jì)算彎矩最大值接近實(shí)際值的10余倍；但在3～9 m 深度處擬合效果較好，雖存在一定偏差，但與實(shí)際值較為接近，但其在不同時(shí)間段內(nèi)偏差較大，無(wú)法保證其穩(wěn)定性。采用多項(xiàng)式擬合時(shí)，根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)以及實(shí)際土壓力分布選取五次多項(xiàng)式［6］，所得彎矩最大值接近實(shí)際值的2倍，且在深度范圍內(nèi)擬合效果較好，在與鋼筋計(jì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位上彎矩值相近，與實(shí)際受力情況較為相符。

圖4 彎矩圖Fig.4 Bending Moment Diagram

3 結(jié)論

根據(jù)實(shí)際工程數(shù)據(jù)擬合結(jié)果可知，三點(diǎn)圓法計(jì)算測(cè)斜數(shù)據(jù)曲率時(shí)，由于其受數(shù)據(jù)準(zhǔn)確率、偶然誤差的影響較大，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果偏離實(shí)際值，且計(jì)算結(jié)果不穩(wěn)定，相鄰時(shí)間內(nèi)計(jì)算結(jié)果也存在較大誤差。多項(xiàng)式與樣條擬合測(cè)斜數(shù)據(jù)時(shí)，擬合曲線相似，但求導(dǎo)后曲率相差較大。多項(xiàng)式擬合計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值吻合程度高，且穩(wěn)定性較高，在所選時(shí)間內(nèi)都未出現(xiàn)較大誤差。樣條擬合雖可以很好擬合測(cè)斜，但其曲率變化幅度大，導(dǎo)致計(jì)算彎矩遠(yuǎn)超實(shí)際值。因此結(jié)論如下：

⑴三點(diǎn)圓法與樣條擬合所得彎矩與實(shí)際值相差大，不建議在實(shí)際工程中使用。

⑵五次多項(xiàng)式擬合效果較好，所得彎矩與實(shí)際彎矩值吻合程度高，在實(shí)際工程計(jì)算中有一定參考意義。