數(shù)據(jù)驅(qū)動的多周期魯棒追蹤方艙醫(yī)院選址研究

肖穎琛，陳 剛

貴州大學 管理學院，貴陽 550025

21 世紀以來，SARS、H1N1、Ebola、Covid-19 等發(fā)病原因不明的傳染病，給全球公共衛(wèi)生防控體系帶來嚴峻的考驗[1]。由于發(fā)病原因不明，感染人數(shù)是不確定的，且不確定程度隨著時間波動，很難通過現(xiàn)有技術(shù)進行預測。傳染病大規(guī)模爆發(fā)前，設(shè)立定點醫(yī)院足夠滿足治療需求，一旦傳染病大規(guī)模爆發(fā)，短時間內(nèi)感染患者人數(shù)快速增長，醫(yī)療資源的供給將會出現(xiàn)“短缺”，為了有效地阻止病毒的傳播，我國選擇方艙醫(yī)院對患者進行隔離治療[2]。方艙醫(yī)院的建設(shè)速度快、規(guī)模大和成本低[3]，為我國公共衛(wèi)生應(yīng)急保障做出了重要貢獻。我國救援的首要任務(wù)是保障人民生命安全，將有限的醫(yī)療資源分配給感染者，可以最大限度地保證人民群眾的生命安全，大幅降低傳染事件產(chǎn)生的損失。因此，本文要解決的問題是如何在感染人數(shù)隨時間波動且不確定情況下，進行方艙醫(yī)院選址決策，最大限度地滿足感染者的治療需求，并降低疾病傳播的風險。

目前已有大量學者對應(yīng)急選址問題開展研究，主要內(nèi)容集中在確定選址問題、不確定選址問題和動態(tài)選址問題。確定選址問題是需求數(shù)量確定情況下的選址決策。Zhu等[4]考慮創(chuàng)傷中心的成本、響應(yīng)能力、覆蓋范圍和治療能力，構(gòu)建了改進的集合覆蓋應(yīng)急選址模型，并設(shè)計蟻群算法求解。Fritze等[5]通過求解最大覆蓋選址模型，重新規(guī)劃了奧地利應(yīng)急醫(yī)療服務(wù)站點（emergency medical service station，EMSS），較原方案覆蓋范圍更廣，且EMSS 站點數(shù)量更少。Sina 等[6]提出了邊緣設(shè)施部分覆蓋邊最大的救護車選址問題，引入經(jīng)驗貝葉斯方法觀察交通事故碰撞頻率，以減少因碰撞的隨機性產(chǎn)生的誤差。Liu等[7]考慮了不同類型的救護車輛，以最大覆蓋需求點為目標，建立了城市路網(wǎng)交叉口交通事故致人身傷害應(yīng)急服務(wù)模型，并采用遺傳算法求解。Sudtachat等[8]以期望覆蓋率最大為目標，引入馬爾可夫穩(wěn)態(tài)概率，制定不同救護車數(shù)量的最優(yōu)選址策略。李周清等[9]以成本最小和運輸時間最小為目標，建立了應(yīng)急物資儲備庫選址-配給模型，并設(shè)計了改進的多目標遺傳算法求解。肖俊華等[10]考慮了選址的公平性、效率和成本，建立了多目標應(yīng)急設(shè)施選址模型，并設(shè)計貪婪算法、上升算法和遺傳算法求解。

應(yīng)急事件往往具有突發(fā)性，不能準確或者不能及時預測需求，確定性選址模型在不確定的需求下可能不是最優(yōu)選擇，一些學者開始利用魯棒優(yōu)化和隨機規(guī)劃對不確定性應(yīng)急選址問題進行研究。于冬梅等[11]引入budget不確定集刻畫共享不確定因素，建立最大覆蓋的應(yīng)急選址模型，并設(shè)計改進灰狼優(yōu)化算法求解。陳剛等[12]以最大化傷員生存概率為目標，考慮傷員分類和醫(yī)院分型，建立了震后移動醫(yī)院魯棒選址模型，并采用CPLEX 求解。賴志柱等[13]引入離散的情景集合描述需求、運輸成本和運輸時間的不確定性，建立了多目標魯棒優(yōu)化應(yīng)急選址模型，并設(shè)計混合蛙跳算法求解。Zhang 等[14]考慮覆蓋約束置信水平，建立了最大覆蓋應(yīng)急選址模型和alpha-chance 最大覆蓋應(yīng)急選址模型，并通過實例說明了不確定性模型的有效性。Liu等[15]以總成本最小為目標，建立了應(yīng)急服務(wù)站魯棒選址模型，并設(shè)計了逼近算法求解。Peng等[16]考慮了需求隨機性，建立了以覆蓋預期成本最小為目標的應(yīng)急選址模型，并采用branch-and-Benders-cut算法求解。

以上研究大部分都屬于靜態(tài)（即單周期）選址決策，但在現(xiàn)實情況中，決策環(huán)境、應(yīng)急需求往往隨時間發(fā)生變化，考慮多周期、多階段選址決策更為合理，于是一些學者進一步研究動態(tài)選址問題。孫華麗等[17]考慮醫(yī)療設(shè)施容量、傷員生存概率和心理狀態(tài)的動態(tài)變化，建立了傷員生存數(shù)量最大和心理成本最小的多目標應(yīng)急選址-轉(zhuǎn)運模型，并用CPLEX 進行求解。Rahmani 等[18]以最小化采血設(shè)施成本和存儲成本為目標，建立了動態(tài)不確定性應(yīng)急血液網(wǎng)絡(luò)選址模型，并采用精確算法求解。Schmid等[19]考慮了救護車動態(tài)覆蓋范圍，以最大化覆蓋需求范圍為目標，建立了救護車動態(tài)選址模型，并設(shè)計了可變領(lǐng)域搜索的元啟發(fā)式算法進行求解。

上述大部分文獻的研究對象為地震災(zāi)害或城市應(yīng)急設(shè)施選址問題，很少有文獻研究重大傳染病環(huán)境下的應(yīng)急選址問題。關(guān)于傳染病需求預測，大部分文獻通過人口、受災(zāi)程度或者主動上報的方式預估感染點的需求量，文獻[20-22]通過系統(tǒng)動力學預測疾病傳播趨勢，文獻[23]利用歷史數(shù)據(jù)擬合需求函數(shù)進行城市急救中心選址。但不明原因傳染病沒有歷史數(shù)據(jù)作為參考，預測需求的不確定性較大，且隨周期的推移而發(fā)生變化，增加了方艙醫(yī)院選址決策困難。目前，處理動態(tài)和不確定性環(huán)境下的優(yōu)化問題主要有兩種方法[24]：一是采用魯棒優(yōu)化（robust optimization，RO），二是采用動態(tài)追蹤優(yōu)化（tracking moving optimization，TMO）。前者用于不確定量較小的情況，但重大傳染病治療需求往往存在較大的不確定量，后者要求及時追蹤外界條件的變化，并對問題重新優(yōu)化，雖然方艙醫(yī)院的建設(shè)速度快，但仍然不能達到TMO靈敏度的要求。

鑒于此，本文研究了重大傳染病環(huán)境下，基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的多周期魯棒追蹤應(yīng)急方艙醫(yī)院選址決策方法，主要貢獻體現(xiàn)在：（1）將魯棒優(yōu)化和動態(tài)追蹤優(yōu)化結(jié)合，提出魯棒追蹤選址方法；（2）利用sigmoid函數(shù)對歷史診斷數(shù)據(jù)進行學習，對未來治療需求進行預測，并引入box不確定集合使預測結(jié)果在擾動區(qū)間內(nèi)波動，提高預測的可靠性；（3）充分融入數(shù)據(jù)驅(qū)動的建模思想，構(gòu)建了一類應(yīng)急設(shè)施動態(tài)選址框架模型，而非傳統(tǒng)的災(zāi)后一次性選址決策。

1 問題描述

發(fā)病原因不明的重大傳染病經(jīng)過發(fā)生期、發(fā)展期、衰退期三個階段，而每階段的疾病傳播速度不相同。在發(fā)生期，傳染速度變化較為緩慢；發(fā)展期，傳染速度變化加快；衰退期，傳染速度變化趨于緩慢，最終傳播速度為0。發(fā)展規(guī)律如圖1所示。

圖1 重大傳染病發(fā)展規(guī)律Fig.1 Evolution of serious infectious diseases

由于新出現(xiàn)的傳染疾病沒有歷史數(shù)據(jù)作為參考，不能準確預測其傳播速度等參數(shù)情況?，F(xiàn)有預測技術(shù)雖然能夠預測感染人數(shù)和傳播趨勢，但樣本數(shù)量較小時，擬合情況存在誤差（如圖2 所示），預測結(jié)果呈現(xiàn)波動性，影響應(yīng)急決策的可靠性。

圖2 小樣本預測誤差較大Fig.2 Large prediction error of small samples

重大傳染病發(fā)生期，感染人數(shù)少，醫(yī)療資源相對“充足”，通過現(xiàn)有的醫(yī)院服務(wù)能力足夠應(yīng)對治療需求，但隨著疾病傳播速度變快，一旦疾病大規(guī)模爆發(fā)，現(xiàn)有的醫(yī)療服務(wù)不能滿足整個傳染周期的治療需求。在現(xiàn)有醫(yī)療服務(wù)能力不能滿足預期治療需求時，國家應(yīng)急管理部決定在受災(zāi)地區(qū)提前分批次設(shè)立方艙醫(yī)院。為了滿足整個周期不斷變化的治療需求且不造成資源浪費，選址決策時盡可能以最小的服務(wù)能力最大可能地滿足治療需求，同時考慮到交叉感染風險，盡可能使感染者到方艙醫(yī)院的加權(quán)距離最短。因此，本文問題可描述為：在感染數(shù)量隨時間波動且高度不確定條件下，如何根據(jù)現(xiàn)有的診斷數(shù)據(jù)進行學習，預測未來的治療需求，并通過魯棒優(yōu)化控制預測精度，進行多周期方艙醫(yī)院的選址決策，提高決策的魯棒性，使得在最壞的情況下以預期最小的服務(wù)能力最大限度滿足治療需求，同時使預期總加權(quán)距離最小。

2 數(shù)學模型

2.1 模型假設(shè)

本研究的模型假設(shè)如下：（1）服務(wù)能力小于預測需求時進行新建方艙醫(yī)院選址決策，否則按就近原則將患者進行分配。分配順序為定點醫(yī)院>已建方艙醫(yī)院>新增方艙醫(yī)院；（2）醫(yī)院服務(wù)能力用床位數(shù)量表示，每位感染者都會占用1個床位，進行隔離觀察；（3）方艙醫(yī)院建成最小時間為2天（武漢市衛(wèi)健委防控動態(tài)公布方艙醫(yī)院平均建成時間為1.5天），至少2天后方艙醫(yī)院才能投入使用；（4）患者不能自行就診，只能由相關(guān)部門統(tǒng)一安排送到指定的方艙醫(yī)院進行隔離治療；（5）沒有外來的患者，本地患者未到異地治療。

2.2 符號說明

2.2.1 集合

T表示周期集合，T={0,1,…,|T|},t∈T；

I表示感染點集合，I={1,2,…,|I|},i∈I；

J表示備選點集合，J∈{1,2,…,|J|},j∈J；

2.2.2 參數(shù)

cj表示備選點j設(shè)立方艙醫(yī)院的服務(wù)能力；

sij表示感染點i到備選點j的距離；

Pt表示周期t建立方艙醫(yī)院數(shù)量的閾值。

2.2.3 變量

αt表示0-1控制變量，取1時表示進行選址決策，否則取0。

2.3 數(shù)據(jù)驅(qū)動的魯棒追蹤選址模型

重大傳染病環(huán)境下，需要根據(jù)感染者人數(shù)提前設(shè)立應(yīng)急方艙醫(yī)院，但感染點的精確感染人數(shù)無法提前獲得，因此數(shù)據(jù)驅(qū)動的魯棒追蹤應(yīng)急方艙醫(yī)院選址模型分為預測階段和決策階段。

2.3.1 預測階段

在預測階段，用sigmoid 函數(shù)基于時間序列對方艙醫(yī)院選址決策前的傳染病診斷數(shù)據(jù)進行學習，并將實時數(shù)據(jù)輸入預測器作為歷史數(shù)據(jù)，改善預測模型的精度，同時引入box不確定集合控制預測結(jié)果的準度。sigmoid函數(shù)是生物學中常見的S型函數(shù)，也稱為S型生長曲線或Logistic 函數(shù)，一般用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)。由于sigmoid 函數(shù)與疾病傳播趨勢的相似性，故本文用該函數(shù)進行擬合，通過計算得到重大疾病的治療需求人數(shù)，作為方艙醫(yī)院選址決策的重要參考依據(jù)。其表達式如下：

其中，P(t)表示周期t累計診斷人數(shù)；P0表示初始累計診斷人數(shù)；K表示最終累計診斷人數(shù)，即增長到最后累計診斷人數(shù)能夠達到的極限；r表示增長速度，在不同周期，根據(jù)擬合情況選取合適的值，使得sigmoid函數(shù)可以較好地模擬重大傳染病的各個階段，特別是病患人數(shù)急劇增長的“發(fā)展期”。因此，本文用“sigmoid 函數(shù)”做預測具有一定的合理性。

2.3.2 決策階段

在決策階段，通過預測獲得周期t感染點i的床位需求人數(shù)，且表示周期t感染點i的名義需求人數(shù)，為擾動量，其不確定性集合為U={ξ:|ξi|≤ψi}，其中ξi表示不確定因素，ψi為可調(diào)整的不確定性水平參數(shù)。如果現(xiàn)有醫(yī)院提供的床位數(shù)量大于或等于預測需求床位數(shù)量，只進行分配決策，否則進行方艙醫(yī)院選址決策，使有限的醫(yī)療資源滿足未來治療需求的同時使加權(quán)距離最小。第t周期的魯棒追蹤選址決策模型如下：

目標函數(shù)式（2）表示最壞情況下分配感染者的預期總加權(quán)距離最??；式（3）表示在醫(yī)療資源有限的前提下，使預期分配人數(shù)最大；式（4）表示在醫(yī)療資源有限的前提下，用最小的方艙醫(yī)院服務(wù)能力滿足預期治療需求。約束條件式（5）表示被分配到方艙醫(yī)院的感染者數(shù)量不能超過其服務(wù)能力；式（6）表示如果進行選址決策，有且只有能力建立Pt個方艙醫(yī)院；式（7）表示不會有感染者被分配到未被選中的候選點；式（8）表示所有感染點的感染者的分配比例不會超過1；式（9）表示決策變量為0-1變量；式（10）表示分配比例是介于0和1之間的數(shù)；式（11）表示模型控制變量，取1時進行選址決策，否則取0。

目前沒有較好的算法求解魯棒優(yōu)化，但可以根據(jù)魯棒對等式轉(zhuǎn)換（robust counterpart）理論[25]，將魯棒模型轉(zhuǎn)化為等價的混合整數(shù)規(guī)劃進行求解，轉(zhuǎn)化后模型如下：

目標函數(shù)式（13）、約束條件式（15）和（16）是根據(jù)魯棒對等式轉(zhuǎn)換理論得到的等價形式。其中zt為輔助變量。

2.4 模型求解

圖3 給出了數(shù)據(jù)驅(qū)動的魯棒追蹤選址模型求解框架，它包括預測部分和求解部分。本文采用Python軟件進行編程，預測部分調(diào)用SCIPY模塊，使用sigmoid函數(shù)和最小二乘法，按照時間序列對累計確診、死亡、治愈數(shù)據(jù)進行學習并預測，計算得到未來n天名義床位需求量。其中參數(shù)r、需求量預測值的調(diào)整更新完全是由數(shù)據(jù)驅(qū)動。求解部分采用分層序列法調(diào)用GUROBIPY模塊進行多目標的計算。其中分層序列法是對多目標按其重要性分類，然后用分支切割算法對最重要的目標求最優(yōu)解集，在這些最優(yōu)解集基礎(chǔ)上再去對次重要目標求最優(yōu)解或有效解集，以此類推。由于切斷疾病傳播途徑或者減小疾病傳播風險最重要，結(jié)合就近治療的原則，將目標函數(shù)f1設(shè)置為最重要；在實際救援過程中，我國遵循“應(yīng)治盡治”的原則，將f2設(shè)置為次重要；在醫(yī)療資源有限的條件下，為了使最少的醫(yī)療資源服務(wù)最多的感染者，故將f3設(shè)置為一般重要。具體求解過程如下：

圖3 數(shù)據(jù)驅(qū)動的魯棒追蹤選址模型求解框架Fig.3 Solution framework of robust tracking location model based on data-driven

步驟1初始化程序，t=0。

步驟2將歷史診斷數(shù)據(jù)輸入預測器，預測器對數(shù)據(jù)進行學習，通過預測得到周期t+n名義需求數(shù)據(jù)。

步驟3判斷周期t+n預測需求是否得到滿足?是，轉(zhuǎn)入步驟4；否，轉(zhuǎn)入步驟5。

步驟4進行分配決策，將感染者分配給現(xiàn)有設(shè)施，更新歷史診斷數(shù)據(jù)并修正預測器中的r值，t=t+1，轉(zhuǎn)入步驟2。

步驟6判斷sigmoid 曲線是否逼近K值?否，轉(zhuǎn)入步驟4；是，傳染疾病得到有效控制，曲線走勢趨于平緩，輸出選址結(jié)果，終止程序。

3 算例分析

3.1 數(shù)據(jù)來源

本文以2020 年初武漢新冠肺炎應(yīng)急醫(yī)療救援為例，數(shù)據(jù)來源于湖北省衛(wèi)生健康委員會官方網(wǎng)站（https：//wjw.hubei.gov.cn/）的動態(tài)要聞和武漢市衛(wèi)生健康委員會官方網(wǎng)站（http：//wjw.wuhan.gov.cn/）的防控要聞-通知公告。其中武漢市累計確診、治愈和死亡人數(shù)根據(jù)湖北省衛(wèi)健委官網(wǎng)動態(tài)要聞中公布數(shù)據(jù)整理得到。2020 年2 月21 日至2020 年3 月4 日武漢市各行政區(qū)的累計確診、治愈和死亡數(shù)據(jù)根據(jù)武漢市衛(wèi)健委官網(wǎng)通知公告中公布數(shù)據(jù)整理得到。

由于疫情早期患者數(shù)量持續(xù)增加，醫(yī)護人員救治壓力巨大，客觀上存在遲報、漏報和誤報現(xiàn)象，且少數(shù)醫(yī)療機構(gòu)未能與疾病預防控制信息系統(tǒng)對接，疫情信息報送工作未同步跟上醫(yī)療機構(gòu)擴容收治的進度等原因，武漢市并未公布2020 年2 月21 日之前各行政區(qū)的累計確診、治愈和死亡數(shù)據(jù)。因此，武漢市各行政區(qū)2020 年1月20日至2020年2月20日的數(shù)據(jù)是根據(jù)湖北省衛(wèi)健委公布的武漢市累計數(shù)據(jù)及2020年2月21日之后武漢市衛(wèi)健委公布的各行政區(qū)數(shù)據(jù)，結(jié)合新冠肺炎疫情的發(fā)展趨勢合理推測得到，可能與實際數(shù)據(jù)有所差異，這對目標函數(shù)f1加權(quán)距離值有一定影響，但是否新建方艙醫(yī)院是根據(jù)武漢市整體累計診斷數(shù)據(jù)進行選址決策，故不會影響模型的本質(zhì)。

3.2 案例背景

在武漢新冠肺炎疫情初期，分批次設(shè)立定點醫(yī)院，共計提供8 597 張床位，可以滿足隔離治療需求。隨著新冠肺炎疫情傳播，現(xiàn)有床位數(shù)量逐漸不能滿足治療需求，2020年2月4日后，陸續(xù)投入方艙醫(yī)院，以滿足床位需求，直到2020年3月12日患者出院，全部休倉。

圖4 描述了累計確診人數(shù)、每日確診人數(shù)、實際提供床位數(shù)量和所需床位數(shù)量的情況，其中床位需求數(shù)為累計確診人數(shù)減去累計出院人數(shù)與累計死亡人數(shù)之和，實際供給數(shù)為武漢市衛(wèi)健委官網(wǎng)公布的定點醫(yī)院床位數(shù)量和方艙醫(yī)院實際提供的床位數(shù)量之和。從圖中可以看出，累計確診趨勢與sigmoid函數(shù)圖形趨勢一致；實際決策所提供的床位數(shù)量能夠較好地滿足治療需求，但短暫出現(xiàn)“供不應(yīng)求”情況；衰退期病毒傳播速度小于治愈速度，治療需求能夠全部滿足，實現(xiàn)“床等人”，但仍然投入3家方艙醫(yī)院，造成“供過于求”情況。

圖4 武漢新冠肺炎疫情數(shù)據(jù)（不含臨床確診）Fig.4 Diagnostic data of Covid-19 in Wuhan（excluding clinical diagnosis）

考慮到我國應(yīng)急救援目標是將人民的生命安全放在第一位以及武漢市疫情防控的實際情況，在外力的有效干預下，預測結(jié)果選擇時偏向樂觀，即預測值偏小。本文以行政區(qū)為單位作為感染點，感染點編號如表1所示?？紤]到患者就診方便、遠離人口密集居住區(qū)、醫(yī)院占地面積等特點，在武漢市各個區(qū)內(nèi)篩選出23 個符合條件的體育館、健身中心、學校、工廠倉庫等場地作為方艙醫(yī)院備選點，備選點編號及容量情況如表2所示。感染點和備選點之間的距離可根據(jù)各點的經(jīng)緯度數(shù)據(jù)并調(diào)用Python的GEOPY模塊計算得到。

傻子毛二一臉惶恐，擔著兩個大四鼻陶罐下了井臺。罐子里的水晃蕩著往外淌。毛二的步子在陽光下開始變得瘦小。像一陣風，瞬間，消失在小巷盡頭的竹林里。

表1 感染點編號Table 1 Serial number of infection areas

表2 備選點編號及容量Table 2 Serial number and capacity of alternatives

由于武漢新冠肺炎疫情逼近K值用時29 個周期，故本文以“天”為周期單位，模擬29 個周期的決策過程。由于方艙醫(yī)院建設(shè)需要2天時間，故本文所提及決策日期為t，投入日期為t+2。各周期各感染點的感染人數(shù)由武漢市衛(wèi)健委官網(wǎng)公布數(shù)據(jù)整理獲得。為了模擬感染人數(shù)波動的不確定性，假設(shè)擾動量比例分別為5%、10%、20%，擾動比例越大說明預測結(jié)果波動越大。各周期方艙醫(yī)院的建設(shè)數(shù)量受醫(yī)療資源影響，根據(jù)武漢救援實際，假設(shè)閾值P的取值范圍為1～3，閾值越大說明醫(yī)療資源越不受限，建設(shè)方艙醫(yī)院的能力越強。此外，為了分析方便，假設(shè)各感染點不確定水平ψ的變化幅度相等且為整數(shù)。

3.3 結(jié)果分析

通過Python3.7 對魯棒追蹤選址模型進行編程，在Intel i5-8265U 1.80 GHz，8 GB RAM環(huán)境下進行求解。根據(jù)數(shù)據(jù)驅(qū)動的魯棒追蹤選址模型的求解框架，以2020年2月1日之前的數(shù)據(jù)及實時發(fā)生數(shù)據(jù)作為歷史數(shù)據(jù)進行學習并擬合，部分擬合及預測情況如圖5所示。雖然樣本數(shù)量較小，通過引入box 不確定性集合，可以縮小擬合過程中的誤差，使預測結(jié)果在擾動區(qū)間內(nèi)波動，提高應(yīng)急決策的可靠性。

圖5 引入box不確定集的預測情況Fig.5 Prediction with box uncertainty set

不同增長速度r對預測結(jié)果的影響如圖6所示，值得一提的是，增長速度r并不等于疾病傳播速度，它是預測模型中的內(nèi)生變量，也可以稱為樂觀系數(shù)。r值越大，說明預測結(jié)果越樂觀，sigmoid函數(shù)以較快的速度逼近K值，最終累計診斷人數(shù)越小。r值越小，疾病發(fā)生期預測的診斷人數(shù)越多，需求量預測結(jié)果偏大。本文選取的r值隨周期變動，根據(jù)擬合情況不斷修正，以提高預測的精度。

圖6 sigmoid函數(shù)不同增長速度預測走勢Fig.6 Prediction trend of sigmoid function with different growth rates

為了論證本文模型和方法的有效性，并分析不同不確定水平及醫(yī)療資源狀態(tài)對選址決策的影響，按表3所示設(shè)置9個情景。情景1～3中取ψ=0，說明床位需求預測結(jié)果較為精準，預測值未出現(xiàn)波動，此時魯棒追蹤選址模型等價于動態(tài)追蹤選址模型。情景1～3 下動態(tài)追蹤選址提供的床位數(shù)量如圖7所示，不同情景下床位供給曲線相近，資源越充足提供的床位數(shù)量越多，受到預測結(jié)果的限制，資源狀態(tài)對床位供給影響不明顯。不確定條件下的動態(tài)追蹤選址只能滿足小部分周期治療需求，在傳染病發(fā)生期，由于疾病的發(fā)病原因不明或可參考的歷史數(shù)據(jù)較少，現(xiàn)有技術(shù)手段不能有效地預測未來的治療需求，預測結(jié)果不確定性較大，導致提供的床位數(shù)量不能滿足治療需求；在疾病衰退期，由于預測過于樂觀，致使3 個周期提供的床位數(shù)不能滿足治療需求。但動態(tài)追蹤選址相較于實際選址，未造成資源浪費的現(xiàn)象，說明sigmoid函數(shù)預測具有一定的準確性，以及動態(tài)追蹤選址的科學性。

圖7 情景1～3下動態(tài)追蹤選址提供床位數(shù)量情況Fig.7 Inpatient bed provision of dynamic tracking location under scenario 1～3

表3 情景設(shè)置參數(shù)Table 3 Parameters of different scenarios

情景4 不同擾動比例提供的床位數(shù)量如圖8 所示。由于閾值P=1，資源稀缺床位供給能力低，選址決策時按照最大床位供給能力建設(shè)方艙醫(yī)院，此時床位供給曲線與實際需求曲線貼近，各擾動比例下提供的床位數(shù)量接近。擾動比例5%時的選址方案出現(xiàn)2個周期床位數(shù)量不能滿足治療需求，說明重大疾病發(fā)展期的數(shù)據(jù)預測波動性較大，預測結(jié)果偏小。情景4大部分周期都能滿足治療需求，說明本文提出的魯棒追蹤選址模型在醫(yī)療資源相對“稀缺”時仍具有較強的魯棒性。

圖8 情景4各擾動比例提供的床位數(shù)量情況Fig.8 Inpatient bed provision of each disturbance proportion under scenario 4

情景5 不同擾動比例提供的床位數(shù)量如圖9 所示，由于資源供給能力較情景4增強，在滿足整個周期治療需求的同時，供給曲線與實際需求曲線間距增大，且以更短的周期逼近需求曲線的最大值，各擾動比例的供給曲線相似，更進一步說明本文預測具有強的魯棒性。由于情景6的資源供給能力更強，供給曲線會以更短的周期逼近需求曲線的最大值，也能夠滿足整個周期的治療需求，因此不再討論。

圖9 情景5各擾動比例提供的床位數(shù)量情況Fig.9 Inpatient bed provision of each disturbance proportion under scenario 5

情景7 不確定水平高，此時ψ=5，閾值P=1，治療需求量波動比情景4 更大，由于受到建設(shè)能力限制，此時選址決策也按照最大床位供給能力建設(shè)方艙醫(yī)院，各擾動比例下提供的床位數(shù)量與情景4 情況下提供的數(shù)量一致。

情景8 不同擾動比例提供的床位數(shù)量如圖10 所示。此時ψ=5,閾值P=2,不確定程度高，模型提供的床位數(shù)量能夠滿足整個周期的治療需求，不同擾動比例的曲線接近，僅提供的床位數(shù)量略有區(qū)別，且以最快的供給速度接近于需求峰值，并未造成供不應(yīng)求或者供過于求的情況，說明本文提出的魯棒追蹤選址模型在預測不確定性較大時仍具有強的魯棒性。情景9較情景8的資源供給能力更強，供給曲線與需求曲線間距進一步增大，整個周期治療需求能夠更好地被滿足，因此不再討論。

圖10 情景8各擾動比例提供的床位數(shù)量情況Fig.10 Inpatient bed provision of each disturbance proportion under scenario 8

接下來分析方艙醫(yī)院建成天數(shù)n對選址結(jié)果的影響，以情景4擾動比例5%為例。如圖11所示，方艙醫(yī)院建成天數(shù)n越大，需要提前決策的周期越靠前，方艙醫(yī)院實際投入周期越靠后，床位“供給曲線”向右移動；方艙醫(yī)院建成天數(shù)n越大，預測的需求結(jié)果的波動越大，影響決策的準確度，n≥3 天時，出現(xiàn)大部分周期都不能滿足治療需求的情況。反之，方艙醫(yī)院建設(shè)速度越快，決策的準確度越高。

圖11 情景4下不同建成時間提供床位數(shù)量的情況Fig.11 Inpatient bed provision in different completion time under scenario 4

3.4 對比分析

通過以上分析可知，模型求解結(jié)果受醫(yī)療資源狀態(tài)（閾值P）影響較大，因此下面重點分析其他參數(shù)不變情況下（取ψ=1，擾動比例為5%），不同閾值P下本文提出的GUROBIPY 求解結(jié)果與LINGO 求解結(jié)果及實際選址方案的對比，如表4 所示。P值越大，床位數(shù)量供給能力越強，P=1 時決策次數(shù)較多，絕大多數(shù)決策是按照最大建設(shè)能力供給床位數(shù)。P≥2 時決策次數(shù)少，GUROBIPY和LINGO求解的結(jié)果均在醫(yī)療資源充足的情況下能夠滿足整個階段預測和實際需求，但LINGO求解結(jié)果更為保守，每階段提供的累計床位數(shù)量均大于GUROBIPY 求解結(jié)果，在滿足治療需求的前提下造成資源的“相對”浪費。LINGO在求解多目標時會出現(xiàn)目標2和3無可行解的情況，而GUROBIPY能夠更好地平衡三個目標，使得求解結(jié)果更貼近真實的治療需求。本文提出的選址模型在傳染病衰退期未進行無效決策，而實際決策在現(xiàn)有服務(wù)能力能夠滿足治療需求的前提下，仍進行了三次方艙醫(yī)院的選址，證明本文提出的數(shù)據(jù)驅(qū)動的魯棒追蹤選址模型的合理性。

表4 GUROBIPY選址方案與LINGO及實際選址方案對比Table 4 Comparison of GUROBIPY with LINGO and realistic location scheme

為了進一步說明GUROBIPY 求解方法的優(yōu)越性，將其與LINGO 周期6 的計算結(jié)果進行對比，如表5 所示。LINGO 不能直接求解多目標模型，故采用目標約束法，即先求目標函數(shù)f1的最優(yōu)解，再將其作為約束條件，求解目標函數(shù)f2的最優(yōu)解，以此類推。因此，LINGO求解時需要運行三個不同的程序，并且根據(jù)前一個程序手動更改下一個程序的參數(shù)，實際花費時間必然會大于單純的計算機求解時間，而GUROBIPY 求解是一次完成，單周期求解時間比LINGO 少0.1 s，求解效率高于LINGO。此外，LINGO無多目標求解模塊，只能使用目標約束法，得到的是單個最優(yōu)解，這使得LINGO求解得到的目標函數(shù)f2值遠大于預估需求的最大值，求解結(jié)果過于保守；而GUROBIPY使用分層序列法，得到的是最優(yōu)解集，在此基礎(chǔ)上再優(yōu)化下一個目標，增加了模型的魯棒性。

表5 周期6 GUROBIPY和LINGO求解結(jié)果對比Table 5 Comparison of results between GUROBIPY and LINGO in period 6

4 結(jié)束語

本文為多周期重大傳染病應(yīng)急方艙醫(yī)院的選址決策提供了數(shù)學優(yōu)化模型和求解方法，相比于確定型的追蹤選址模型，本文構(gòu)建的魯棒追蹤模型更貼近實際，更有利于提高救援決策的準確度。此外，本文根據(jù)傳染病的傳播特點，從數(shù)據(jù)驅(qū)動的視角，利用sigmoid函數(shù)對累計確診數(shù)據(jù)進行學習，預測感染人數(shù)及趨勢。引入不確定水平參數(shù)ψ刻畫預測感染人數(shù)的不確定性，運用魯棒優(yōu)化控制預測數(shù)據(jù)的精準度，通過魯棒對等理論將模型轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)規(guī)劃，利用Python 軟件編程并調(diào)用GUROBIPY模塊求解。最后以武漢應(yīng)急方艙醫(yī)院的選址為例，給出最優(yōu)魯棒選址方案，并從預測模型、不確定參數(shù)和方艙醫(yī)院建設(shè)能力對選址方案的影響進行深入分析，算例結(jié)果表明：（1）預測模型參數(shù)r值越大，預測結(jié)果越樂觀，在重大疾病發(fā)生期，應(yīng)選擇較小值，否則預測需求與實際需求偏離較大；在重大疾病衰退期，疾病傳播速度減緩，疾病得到較好的控制，r值應(yīng)選擇較大值。（2）相同不確定水平下，不同擾動比例提供的床位數(shù)量略有不同且數(shù)值差距不大，在多周期魯棒追蹤選址模型中，能夠通過參數(shù)的調(diào)整，較好地克服魯棒優(yōu)化結(jié)果的保守性。（3）在應(yīng)急資源“短缺”的情況下，模型按照方艙醫(yī)院最大建設(shè)能力供給床位，但仍在最壞的情況下進行“最優(yōu)”的供給；在應(yīng)急資源相對“充足”的情況下，模型能夠滿足整個周期的治療需求，且不會進行額外的決策，造成醫(yī)療資源的“過剩”。因此，本文提出數(shù)據(jù)驅(qū)動的魯棒追蹤選址模型，能夠較好地解決需求隨時間波動且高度不確定情況下，應(yīng)急方艙醫(yī)院的選址決策問題，為應(yīng)急決策者提供較好的決策參考。

在本文的研究中，預測階段并未考慮人口流動對治療需求預測的干擾，而是假設(shè)感染區(qū)域是封閉的狀態(tài)。此外，在決策階段考慮方艙醫(yī)院的服務(wù)能力是相同的，而在一些實際問題中，方艙醫(yī)院的服務(wù)能力也可能隨著周期的不同而呈現(xiàn)不確定性。因此，未來將進一步考慮多個需求影響因素和不同服務(wù)水平的魯棒追蹤選址模型。