單葉調(diào)和映射的Qp-擬共形延拓

陳 燚，陳艷林，唐樹安，楊叢麗

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

0 引言及主要的結(jié)果

為了敘述相關(guān)背景和結(jié)果，我們先從一些定義和記號開始。用Δ={z:|z|<1}表示全平面C上的單位圓盤，S1=?Δ={z∈C:|z|=1}表示單位圓周，H(Δ)表示單位圓盤內(nèi)的所有解析函數(shù)。設(shè)f(z)=u(x,y)+v(x,y)i是一個關(guān)于(x,y)的連續(xù)可微復(fù)值函數(shù)，其中u(x,y)，v(x,y)分別是f(z)的實部和虛部，在z=x+yi，復(fù)值函數(shù)f的形式偏導(dǎo)數(shù)的定義為

其中fx=ux+vxi，fy=uy+vyi。如果單位圓盤內(nèi)的一個復(fù)值函數(shù)f滿足

設(shè)k是一個非負(fù)實數(shù)且0≤k<1，f是區(qū)域Ω到Ω′的同胚映射，若f在Ω內(nèi)具有ACL性質(zhì)并且在Ω內(nèi)幾乎處處滿足

單位圓盤內(nèi)的單葉函數(shù)的擬共形延拓理論與幾何函數(shù)論、Teichmüller理論以及微分方程理論緊密相關(guān)，大量學(xué)者的研究得到了很多好的結(jié)果，并且這些結(jié)果得到了很好的應(yīng)用，見文獻[3-7]。然而，單位圓盤內(nèi)單葉調(diào)和映射的擬共形延拓理論卻是近些年才開始研究的，類似的單葉函數(shù)的擬共形映射的相關(guān)結(jié)果得到了推廣和應(yīng)用。

(1)

其中ω是f的第二復(fù)伸縮商。它的Schwarzian導(dǎo)數(shù)Sf的定義為

(2)

在文獻[9]中，借助f的Pre-Schwarzian導(dǎo)數(shù)，Hernández和Martin證明了下列結(jié)果：

(3)

其中k滿足

(4)

那么f在Δ內(nèi)單葉且可以擬共形延拓至整個復(fù)平面C上。

文獻[10]借助f的Schwarzian導(dǎo)數(shù)，相應(yīng)地獲得了下列結(jié)果：

|Sf(z)|(1-|z|2)2≤δ0t

(5)

則f在Δ內(nèi)單葉且可以擬共形延拓至整個復(fù)平面C上，其中0≤t<1。

在文獻[11]中，作者考慮了單葉調(diào)和映射能擬共形延拓且復(fù)伸縮商滿足一定的Carleson測度條件的情形。我們首先給出Carleson測度的定義。設(shè)D=Δ或者D=Δ*:={z∈C:|z|>1}，單位圓周S1上給一段弧I，Carleson集定義為：

其中|I|表示弧I的規(guī)范化長度，即

設(shè)0

那么稱正測度λ為有界的p-Carleson測度，若

在文獻[11]中，作者證明了下列結(jié)果：

(6)

則下列陳述等價：

A1:|Pf|2(1-|z|2)dxdy∈∈CM1(Δ)

A2:|Sf|2(1-|z|2)3dxdy∈∈CM1(Δ)

此外，如果條件A1或者A2成立，則調(diào)和映射f在Δ內(nèi)單葉且可以擬共形延拓至整個復(fù)平面C上，使得它的復(fù)伸縮商μ滿足

本文將這一結(jié)果推廣至p-Carleson測度情形。實際上，在單葉函數(shù)情形，Pua和Peláez證明了下列的結(jié)果：

定理4[12]設(shè)0

B1:|Pφ|2(1-|z|2)pdxdy∈CMp(Δ)；

B2:|Sφ|2(1-|z|2)p+2dxdy∈CMp(Δ)。

其中Pφ，Sφ為單葉函數(shù)經(jīng)典的Pre-Schwarzian導(dǎo)數(shù)和Schwarzian導(dǎo)數(shù)。

對于緊的p-Carleson測度情形，Jin在文獻[13]中證明了下列結(jié)果：

定理5[13]設(shè)0

C3:φ可以擬共形延拓至整個復(fù)平面C上，使得它的復(fù)伸縮商μ滿足

本文將上述結(jié)果推廣至單葉調(diào)和映射情形，主要結(jié)果如下：

(7)

則下列陳述等價：

D1:|Pf|2(1-|z|2)pdxdy∈CMp(Δ)；

D2:|Sf|2(1-|z|2)p+2dxdy∈CMp(Δ)；

此外，若以上3個等價條件之一成立，則調(diào)和映射f在Δ內(nèi)單葉且可以擬共形延拓至整個平面C上，使得它的復(fù)伸縮商μ滿足

(8)

則下列陳述等價：

E1:|Pf|2(1-|z|2)pdxdy∈CMp(Δ)

E2:|Sf|2(1-|z|2)p+2dxdy∈CMp(Δ)

此外，如果條件E1或者E2成立，則調(diào)和映射f在Δ內(nèi)單葉且可以擬共形延拓至整個平面C上，使得它的復(fù)伸縮商μ滿足

當(dāng)p=1時，所對應(yīng)的結(jié)果為定理3。目前還不知道定理中的第二個結(jié)論的反向是否正確，由定理5可知，當(dāng)f為共形映射時，在緊的Carleson測度情況下，第二結(jié)論反向是成立的。

1 主要結(jié)果的證明

這一小節(jié)將證明定理6。為此，需要下面準(zhǔn)備。

其對應(yīng)的小Qp空間定義為：

Qp空間在文獻[14-15]中被引入和研究。在文獻[14]中作者證明了如果p>1，那么Qp空間就是Bloch空間，其中Bloch空間的定義如下：

關(guān)于Qp空間更多結(jié)果，請參考文獻[16]。在文獻[12]中，Pua等證明了：

定理7[12]假設(shè)0

F1:g=logφ′∈Qp；

F2:|Sφ|2(1-|z|2)p+2∈CMp(Δ)。

其中φ為共形映射。注意當(dāng)p>1時，Qp=B。

下面我們開始定理6的證明。

定理6的證明：

(9)

其中k滿足式(4)。因為h(z)是共形映射，所以由共形映射的理論知：

(10)

根據(jù)調(diào)和映射f的Pre-Schwarzian導(dǎo)數(shù)和式(9)可知：

(11)

根據(jù)式(7)可知：

|Ph(z)|2(1-|z|2)pdxdy∈CMp(Δ)

(12)

由定理4可知，式(12)等價于

|Sh|2(1-|z|2)p+2dxdy∈CMp(Δ)

(13)

由(9)和(10)式，可以推出

(14)

由于ω是單位圓盤到自身的解析函數(shù)，由文獻[17]中的結(jié)果可知，存在1個常數(shù)M>0，使得：

(15)

因此由式(9)和式(15)可以推出：

(16)

同理可得：

(17)

根據(jù)調(diào)和映射f的Schwarzian導(dǎo)數(shù)可得：

(18)

結(jié)合式(7)、式(13)、式(14)、式(16)和式(17)，可推出：

|Sf(z)|2(1-|z|2)2+pdxdy∈CMp(Δ)，

(19)

結(jié)合式(7)、式(14)、式(16)和式(17)可知，式(13)成立，再由定理4可知，式(13)等價于式(12)。根據(jù)調(diào)和映射f的Pre-Schwarzian導(dǎo)數(shù)可得：

|Pf(z)|2(1-|z|2)p≤4(|Ph(z)|2(1-|z|2)p+

(20)

再結(jié)合式(7)和式(12)，即可推出：

|Pf|2(1-|z|2)pdxdy∈CMp(Δ)，

綜上，完成了D1?D2的證明。其次將完成D2?D3的證明，不妨假設(shè)D2成立，根據(jù)Schwarzian導(dǎo)數(shù)的定義以及式(7)、式(14)、式(16)和式(17)，可以推出：

|Sh|2(1-|z|2)p+2dxdy∈CMp(Δ)

(21)

由于h為共形映射，所以根據(jù)定理7可知，式(21)等價于

(22)

即

(23)

由于p>1，所以可得出式(23)等價于

(24)

結(jié)合式(22)和式(24),可以推出：

反之，假設(shè)D3成立，根據(jù)Pre-Schwarzian導(dǎo)數(shù)的定義，有

即

結(jié)合式(24)，可以推出式(22)成立，又因為h為共形映射，根據(jù)定理7可知：

|Sh(z)|2(1-|z|2)p+2dxdy∈CMp(Δ)，

根據(jù)Schwarzian導(dǎo)數(shù)的定義以及式(7)、式(13)、式(14)、式(16)和式(17)，可以推出D2成立。這樣我們完成了D2?D3的證明。

對第二部分的證明：不妨假設(shè)D1成立。則由文獻[9]的定理2可知，f在Δ內(nèi)單葉且可以擬共形延拓至整個復(fù)平面C上，該延拓函數(shù)為：

其中

如果|w|<1，則有|μF(w)|=|ω(w)|，所以由條件式(7)知：

和

根據(jù)復(fù)伸縮商的定義，我們有

(25)

另一方面，由于g″=(ωh′)′=ω′h′+ωh″，所以我們得到：

由于‖ω‖∞<1，根據(jù)式(3),于是可以推出：

(26)

對于推論1的證明，其證明過程完全類似于定理6的證明過程。