基于加權(quán)最小二乘法的分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器設(shè)計(jì)

林文濤，賈玉博，張紫文，胡 忞，易朋興

(華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北武漢 430074)

0 引言

可變分?jǐn)?shù)延遲(VFD)濾波器在數(shù)字信號(hào)處理中有著廣泛的應(yīng)用，例如任意采樣率轉(zhuǎn)換、分?jǐn)?shù)階微分器設(shè)計(jì)、數(shù)字波束形成[1-2]?，F(xiàn)有的VFD FIR濾波器算法可分為2類(lèi):時(shí)域插值算法和頻域優(yōu)化算法。時(shí)域插值算法基于多項(xiàng)式插值，如Lagrange、b樣條、Hermite[3-4]等。時(shí)域插值雖然計(jì)算簡(jiǎn)單，但在高頻下的響應(yīng)較差。相比之下，通常采用頻域優(yōu)化的方法來(lái)設(shè)計(jì)在大帶寬下具有足夠響應(yīng)的VFD FIR濾波器。常用的優(yōu)化準(zhǔn)則包括最大平坦(MF)[5]、加權(quán)最小二乘(WLS)[6]和極大極小準(zhǔn)則(MM)[7]。加權(quán)最小二乘法(WLS)通過(guò)求解線(xiàn)性方程得到濾波器系數(shù)，極小極大(minimax)方法過(guò)將傳輸特性與期望值間的最大幅度誤差最小化獲取濾波器系數(shù)。綜合考慮精度和運(yùn)算復(fù)雜性，選擇加權(quán)最小二乘法來(lái)配置濾波器系數(shù)。

1 Farrow結(jié)構(gòu)分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器原理

理想的可變分?jǐn)?shù)濾波器的頻率響應(yīng)[8]為

HD(ω，p)=e-jωp=cos(ωp)-jsin(ωp)，

ω∈[-ωp,ωp]，p∈[-0.5,0.5]

(1)

式中：ω為歸一化角頻率；p為濾波器分?jǐn)?shù)延時(shí)。

設(shè)計(jì)實(shí)際的濾波器則需找到一個(gè)傳遞函數(shù)來(lái)逼近理想的頻率響應(yīng)，這個(gè)傳遞函數(shù)可表示為[9]

(2)

式中：z為頻率響應(yīng)參數(shù)；p為分?jǐn)?shù)延時(shí)參數(shù)；n為濾波器階數(shù)。

hn(p)可表示為p的M階多項(xiàng)式：

(3)

式中m為濾波器個(gè)數(shù)。

因此，實(shí)際傳遞函數(shù)可表示為：

(4)

(5)

其頻率響應(yīng)為

(6)

因此VFD濾波器的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為如圖1所示的M+1個(gè)濾波器系數(shù)求解問(wèn)題。這便是Farrow結(jié)構(gòu)濾波器，其系數(shù)是由時(shí)延p的M階多項(xiàng)式構(gòu)成[10]。

圖1 基于Farrow結(jié)構(gòu)VFD濾波器

對(duì)于濾波器系數(shù)的配置，可以采用加權(quán)最小二乘法(WLS)實(shí)現(xiàn)，該過(guò)程中權(quán)重是關(guān)于ω和p的函數(shù)，通過(guò)絕對(duì)誤差，分別選擇對(duì)應(yīng)變量不同范圍內(nèi)的權(quán)重值，運(yùn)算的復(fù)雜程度較高，得到不同頻率響應(yīng)誤差總能量最小。誤差函數(shù)權(quán)重與p的關(guān)聯(lián)的影響可暫時(shí)忽略，依然能獲得較好的特性曲線(xiàn)，即最小二乘法中權(quán)重是ω的非負(fù)權(quán)重函數(shù)W(ω)，且W(p)≡1，這樣便能簡(jiǎn)化推導(dǎo)過(guò)程。此外，利用濾波器系數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和系數(shù)約束關(guān)系能夠縮小權(quán)重函數(shù)積分范圍，即ω∈[0,ωp]，p∈[0,0.5]，相關(guān)研究也證明這種推論是成立的[11]。

2 分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器設(shè)計(jì)

2.1 濾波器系數(shù)求解

運(yùn)用加權(quán)最小二乘法來(lái)求解濾波器系數(shù)實(shí)際上是理想濾波器與設(shè)計(jì)濾波器的加權(quán)平方誤差函數(shù)E(ω,p)求取最小值的過(guò)程[12]。

(7)

利用濾波器系數(shù)的對(duì)稱(chēng)性：

a(-n,m)=(-1)m·a(n,m)

(8)

式(6)可轉(zhuǎn)化為2個(gè)子函數(shù)之和:

(9)

通過(guò)歐拉公式展開(kāi)得：

(10)

當(dāng)濾波器的群延時(shí)p取0代入式(1)及式(10),得:

HD(ω,0)=1

(11)

(12)

假設(shè)式(12)中，a(0,0)=1,a(n,0)cos(nω)=0,則

(13)

設(shè)計(jì)濾波器的頻率響應(yīng)進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：

(14)

(15)

式中：

B=-2a(n,2m-1),1≤n≤N,1≤m≤K

(16)

將加權(quán)平方差函數(shù)E(ω,p)離散化表示：

(17)

式中：I、J為ω,p的離散化步長(zhǎng)數(shù)。

ωi=i·ωp/I

pj=0.5j/J

將式(1)、式(15)代入式(17)得

(18)

為簡(jiǎn)化計(jì)算，將式(18)轉(zhuǎn)換成矩陣形式:

E(A,B)=tr[(TE-CAPET)T(TE-CAPET)]+

tr[(TO-SBPOT)T(TO-SBPOT)]

(19)

式中tr[·]表示矩陣的跡，其各個(gè)矩陣表示為：

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

將式(19)對(duì)矩陣A與B分別求偏導(dǎo)，值為0便得到最小的平方誤差：

(26)

由式(26)可得

(27)

矩陣A與B的各元素代表偶數(shù)與奇數(shù)位置子濾波器CM(z)對(duì)應(yīng)位置的系a(n,m)。

2.2 加權(quán)系數(shù)迭代求解

解得濾波器系數(shù)之后便可計(jì)算其幅度響應(yīng)的絕對(duì)誤差：

e(ω,p)=|HD(ω,p)-H(ω,p)|

(28)

通過(guò)改變權(quán)重函數(shù)W(ωi)的值進(jìn)而得到不同的濾波器系數(shù)，濾波器幅度響應(yīng)最大絕對(duì)誤差也隨之改變。為了進(jìn)一步減小濾波器幅度響應(yīng)的最大絕對(duì)誤差，引入一種迭代判斷方法來(lái)調(diào)整權(quán)重函數(shù)。

具體實(shí)現(xiàn)流程如下：

(1)取初始權(quán)重函數(shù)W1(ωi)=1,0≤i≤I，解得第一代濾波器系數(shù)a1(n,m)，并計(jì)算幅度響應(yīng)絕對(duì)誤差e1(ωi,pj)；

(2)尋找到最大絕對(duì)誤差下的群延時(shí)pm，之后每次迭代都將使用該值作為尋找不同權(quán)重下最大絕對(duì)誤差；

δk(pm)=max{ek(ωi,pm)}

(29)

(3)取極小正數(shù)ε(例如ε=1×10-5)，將ek(ωi,pm)與ε進(jìn)行比較。若ek(ωi,pm)≥ε，則

(30)

若ek(ωi,pm)<ε,則

Wk(ωi)=Wk-1(ωi)

(31)

(4)在新的權(quán)重函數(shù)下計(jì)算濾波器系數(shù)，計(jì)算得δk(pm)，并計(jì)算：

(32)

(5)若εp≤ε，則迭代停止，反之返回步驟(3)進(jìn)行多次迭代。

3 濾波器仿真測(cè)試

為驗(yàn)證上述濾波器設(shè)計(jì)的合理性，設(shè)定參數(shù)N=33、M=7、ωp=0.9π、I=40N、J=100、W(ω)=1。將以上參數(shù)代入上述公式中求解矩陣A、B得到濾波器系數(shù)，并計(jì)算其幅度響應(yīng)的最大絕對(duì)誤差來(lái)評(píng)判所設(shè)計(jì)濾波器的性能。

εm=max|HD(ω,p)-H(ω,p)|，0≤ω≤ωp,0≤p≤0.5

(33)

εH=20 lg εm

(34)

在第一次迭代中，發(fā)現(xiàn)pm=0.5，εm=3.154 9×10-5,εH=-90 dB。將pm代入式(30)重新計(jì)算權(quán)重函數(shù)值并進(jìn)行多次迭代直至循環(huán)結(jié)束，εm=1×10-5，εH=-100 dB。圖2～圖3為初次迭代時(shí)實(shí)際濾波器與理想濾波器的幅值誤差，圖4～圖5為迭代結(jié)束實(shí)際濾波器與理想濾波器的幅值誤差。

圖2 初始可變分?jǐn)?shù)延時(shí)絕對(duì)誤差

圖3 初始可變分?jǐn)?shù)延時(shí)絕對(duì)幅度誤差

圖4 迭代后可變分?jǐn)?shù)延時(shí)絕對(duì)誤差

圖5 迭代后可變分?jǐn)?shù)延時(shí)幅度絕對(duì)誤差

如圖6所示，迭代20次之后趨于平穩(wěn)，最大幅度絕對(duì)誤差減小了10 dB。相較于參考文獻(xiàn)[12]，當(dāng)p=0.22，ω=0.88π時(shí)其濾波器延時(shí)誤差為5.495 4×10-6,幅度誤差為-105.2 dB;本文所設(shè)計(jì)的濾波器延時(shí)誤差為1.578 6×10-6，幅度誤差為-116.0 dB，濾波器的性能有所提升。

圖6 相對(duì)誤差迭代軌跡

4 結(jié)束語(yǔ)

基于加權(quán)最小二乘法提出了一種Farrow結(jié)構(gòu)可變分延時(shí)濾波器的設(shè)計(jì)方案及相應(yīng)的加權(quán)函數(shù)系數(shù)迭代求解方法。將加權(quán)平方差函數(shù)離散化則不需進(jìn)行數(shù)值積分或求解閉式公式，簡(jiǎn)化濾波器系數(shù)的求解；通過(guò)迭代后的加權(quán)函數(shù)系數(shù)來(lái)優(yōu)化濾波器系數(shù)，使濾波器性能更加接近理想濾波器。經(jīng)過(guò)理論分析與仿真驗(yàn)證，所設(shè)計(jì)的濾波器性能良好，迭代算法收斂迅速。