基于單調(diào)系統(tǒng)理論的光伏并網(wǎng)系統(tǒng)暫態(tài)電壓穩(wěn)定性分析

王 波，朱曉杰，李振垚，甘德強(qiáng)，廖圣文，賀 旭

（1. 國(guó)網(wǎng)浙江省電力有限公司寧波供電公司,浙江省寧波市 315000；2. 浙江大學(xué)電氣工程學(xué)院,浙江省杭州市 310027）

0 引言

傳統(tǒng)電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定問(wèn)題包括靜態(tài)電壓?jiǎn)栴}和動(dòng)態(tài)電壓?jiǎn)栴}［1］。其中,靜態(tài)電壓?jiǎn)栴}一般都是基于潮流代數(shù)方程來(lái)研究靈敏度［2］或電壓解的存在性［3］,并根據(jù)短路比指標(biāo)判斷電網(wǎng)電壓支撐強(qiáng)度［4］；在動(dòng)態(tài)電壓?jiǎn)栴}方面,時(shí)域仿真仍然是最有效的方法。與以同步發(fā)電機(jī)為主的傳統(tǒng)電力系統(tǒng)相比,高滲透新能源電力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性更加復(fù)雜,特別是在一次能源特性、組件數(shù)量類型和時(shí)間尺度等方面存在顯著差異。在從傳統(tǒng)電力系統(tǒng)向高滲透新能源的現(xiàn)代電力系統(tǒng)過(guò)渡階段,各種動(dòng)態(tài)特性相互影響,動(dòng)態(tài)過(guò)程尤為復(fù)雜。由于大部分風(fēng)電、光伏等新能源機(jī)組無(wú)功功率調(diào)節(jié)能力不足,電壓穩(wěn)定問(wèn)題已經(jīng)成為電力系統(tǒng)安全運(yùn)行的最大威脅之一。為了更好地理解電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的本質(zhì),亟須開(kāi)發(fā)更有效的方法和理論。

目前,新能源并網(wǎng)系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性已經(jīng)得到了深入研究。文獻(xiàn)［5］提出了一種考慮新能源接入的全局靈敏度分析方法,與局部敏感性分析相比,全局敏感性分析方法更加準(zhǔn)確,計(jì)算效率也有所提高。文獻(xiàn)［6］利用光伏系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)電壓支撐能力,使用有功無(wú)功注入來(lái)提高短期電壓穩(wěn)定性,并緩解了故障后的頻率下降程度。文獻(xiàn)［7］分析了虛擬同步發(fā)電機(jī)并聯(lián)系統(tǒng)的暫態(tài)電壓失穩(wěn)機(jī)理,并認(rèn)為恒電壓控制模式具有較強(qiáng)的暫態(tài)電壓穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［8］基于小擾動(dòng)電壓穩(wěn)定性與系統(tǒng)雅可比矩陣奇異性之間的關(guān)系,分析了非同步電源對(duì)系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的影響。文獻(xiàn)［9］提出了新能源并網(wǎng)系統(tǒng)短路比指標(biāo),對(duì)新能源并網(wǎng)系統(tǒng)的電壓支撐強(qiáng)度進(jìn)行了評(píng)估。文獻(xiàn)［10］通過(guò)奇異值分解重構(gòu)后的系統(tǒng)潮流矩陣跟蹤電壓崩潰臨界點(diǎn),進(jìn)而作為新增新能源機(jī)組的指標(biāo)。

新能源發(fā)電機(jī)組需要通過(guò)變流器連接到電網(wǎng),根據(jù)控制方式不同主要分為跟網(wǎng)性變流器（gridfollowing converter,GFL）和構(gòu)網(wǎng)型變流器（gridforming converter,GFM）。GFL 通過(guò)改變注入電流來(lái)控制輸出的有功功率和無(wú)功功率,其外特性表現(xiàn)為可控電流源。GFM 的結(jié)構(gòu)與GFL 相似,只是在控制結(jié)構(gòu)中去掉了鎖相環(huán),并加入了虛擬慣量來(lái)模擬同步發(fā)電機(jī)的搖擺方程［11］。因此,GFM 的外特性類似于可控電壓源,在系統(tǒng)發(fā)生擾動(dòng)時(shí)可以改變輸出功率,直接參與電網(wǎng)的電壓和頻率控制。部分學(xué)者認(rèn)為GFM 具有電壓支撐能力進(jìn)而可以直接接入無(wú)源電網(wǎng)［12］。

單調(diào)系統(tǒng)理論作為一種動(dòng)態(tài)系統(tǒng)分析方法,在生物學(xué)等其他學(xué)科已經(jīng)發(fā)揮了重要作用［13］。國(guó)內(nèi)也有學(xué)者對(duì)傳統(tǒng)電力系統(tǒng)的電壓動(dòng)態(tài)特征進(jìn)行了初步分析,論證了傳統(tǒng)電力系統(tǒng)的電壓動(dòng)態(tài)模型是混合單調(diào)系統(tǒng)［14］,并基于單調(diào)系統(tǒng)理論為傳統(tǒng)電網(wǎng)控制設(shè)計(jì)提供了理論支撐［15］。為進(jìn)一步探究新能源發(fā)電機(jī)組參與電網(wǎng)電壓調(diào)節(jié)的工作原理及穩(wěn)定機(jī)理,本文基于單調(diào)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)理論對(duì)采用不同變流器作為接口的光伏并網(wǎng)系統(tǒng)進(jìn)行了分析。仿真算例結(jié)果驗(yàn)證了本文理論的正確性和有效性。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 單調(diào)系統(tǒng)理論

本節(jié)給出涉及的單調(diào)系統(tǒng)定義和單調(diào)系統(tǒng)互聯(lián)小增益定理,詳細(xì)內(nèi)容見(jiàn)文獻(xiàn)［16-18］。

定義1:對(duì)于一個(gè)如下非線性控制系統(tǒng)?,

式中:z∈Rn為狀態(tài)向量；v∈Rm為輸入向量；f為連續(xù)可微映射并滿足局部李普希茲條件。

若t≥0 滿足下列條件:

式中:v1和v2為2 組輸入向量；ξ1和ξ2為2 組初值；-?為表示向量偏序關(guān)系的符號(hào)；?(ξ1)和?(ξ2)分別為初始值z(mì)1(0)=ξ1和z2(0)=ξ2的解。則稱?為單調(diào)系統(tǒng)。

定義2:對(duì)于帶有輸出的單調(diào)非線性受控系統(tǒng),則原系統(tǒng)為輸入輸出單調(diào)系統(tǒng)。

定理1（互聯(lián)單調(diào)系統(tǒng)小增益定理）:對(duì)于2 個(gè)互聯(lián)的輸入輸出單調(diào)系統(tǒng),

式中:y1、h1、v1、z1和y2、h2、v2、z2分別為2 個(gè)互聯(lián)的輸入輸出單調(diào)系統(tǒng)的輸出向量、輸出函數(shù)、輸入向量、狀態(tài)向量。

當(dāng)其對(duì)應(yīng)的離散迭代:

收斂至平衡點(diǎn)vˉ1時(shí),則互聯(lián)系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的,并且,

輸入輸出單調(diào)系統(tǒng)的雅可比矩陣具有以下符號(hào)特性,顯示了狀態(tài)變量之間的合作性質(zhì)和子系統(tǒng)之間的反饋連接特征:

式中:fo、zj、vj、ho分別為向量f、z、v、h中第o個(gè)元素和第j個(gè)元素。

利用雅可比矩陣的符號(hào)特性可以很方便地判斷互聯(lián)系統(tǒng)中子系統(tǒng)的單調(diào)性,在子系統(tǒng)都滿足單調(diào)系統(tǒng)條件時(shí)就能采用小增益穩(wěn)定判據(jù)判斷互聯(lián)系統(tǒng)穩(wěn)定性。

1.2 基于模塊化的電網(wǎng)符號(hào)特征求取

加入新能源發(fā)電機(jī)組后電力系統(tǒng)模型更為復(fù)雜。為了分析新能源并網(wǎng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,需要對(duì)電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)方程以及狀態(tài)方程進(jìn)行解析分析,獲取動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的符號(hào)特征。因此,采用模塊化的方式處理相關(guān)計(jì)算過(guò)程,使得系統(tǒng)各變量之間的關(guān)系更加清晰。將電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程劃分為3 個(gè)模塊部分:

1）元件的動(dòng)態(tài)方程為z?=F(z,Vx,Vy)。其中,向量場(chǎng)F中只包含元件自身的狀態(tài)變量與端電壓變量；Vx和Vy分別為元件端電壓在公共坐標(biāo)軸的x軸和y軸分量。

2）網(wǎng)絡(luò)方程為YV=Sˉ/Vˉ,等號(hào)右端項(xiàng)統(tǒng)一寫成功率注入形式。其中,V為節(jié)點(diǎn)電壓,S為元件注入電網(wǎng)的功率,Sˉ和Vˉ分別為相應(yīng)變量的共軛；Y為收縮網(wǎng)絡(luò)方程。

3）元件與網(wǎng)絡(luò)的接口方程為S=g(z,Vx,Vy),即各元件注入網(wǎng)絡(luò)的功率。

得到上述各模塊的偏導(dǎo)項(xiàng)后,利用鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則可以獲得全系統(tǒng)的雅可比矩陣:其中,?F/?Vx、?F/?Vy和?F/?z由元件動(dòng)態(tài)方程直接求得,?Vx/?z和?Vy/?z通過(guò)聯(lián)立網(wǎng)絡(luò)方程和接口方程求得,具體步驟如下所示。

結(jié)合網(wǎng)絡(luò)方程和接口方程可得:

式中:diag(?)為表示由括號(hào)內(nèi)元素組成的對(duì)角矩陣的函數(shù)；g為g的共軛。

同時(shí),利用如下關(guān)系式:

式中:Aˉ、Bˉ、Cˉ分別為A、B、C的共軛。

求解得到:

代入式（9）則可得到系統(tǒng)的雅可比矩陣。

2 暫態(tài)電勢(shì)子系統(tǒng)的符號(hào)特征

電力系統(tǒng)暫態(tài)過(guò)程是功角、頻率和電壓等多變量變化的復(fù)雜過(guò)程,難以采用單一分析方法進(jìn)行穩(wěn)定性研究,更可靠的方法是將復(fù)雜問(wèn)題進(jìn)行分解-聚合,對(duì)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)屬性進(jìn)行針對(duì)性分析［19］。在研究電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性時(shí),常關(guān)心的是同步發(fā)電機(jī)暫態(tài)電勢(shì)和勵(lì)磁系統(tǒng)等子系統(tǒng),而忽略轉(zhuǎn)子角的變化。因此,推導(dǎo)暫態(tài)電勢(shì)子系統(tǒng)符號(hào)特性,并分析不同并網(wǎng)方式的光伏發(fā)電單元所帶來(lái)的變化。

2.1 同步發(fā)電機(jī)單調(diào)性

不計(jì)阻尼繞組,勵(lì)磁系統(tǒng)采用一階比例模型時(shí),同步發(fā)電機(jī)暫態(tài)電勢(shì)子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為:

式中:T′d0為開(kāi)路時(shí)間常數(shù)；E′q為暫態(tài)電抗后的暫態(tài)電勢(shì)；Efd為勵(lì)磁電壓；xd和x′d分別為d軸同步電抗和暫態(tài)電抗；TA為勵(lì)磁時(shí)間常數(shù)；KA為勵(lì)磁放大系數(shù)；Uref為勵(lì)磁參考電壓；Ut為同步發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓；Id為定子電流的d軸分量。

結(jié)合定子電壓方程:

式中:Iq為定子電流的q軸分量；xq為q軸同步電抗；Ud和Uq分別為同步發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓的d軸和q軸分量；Ux和Uy分別為同步發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓在系統(tǒng)坐標(biāo)系中的x軸分量和y軸分量；δ為轉(zhuǎn)子角。

2.1.1 暫態(tài)電勢(shì)的合作性質(zhì)

根據(jù)式（21）求得同步發(fā)電機(jī)暫態(tài)電勢(shì)動(dòng)態(tài)方程的偏導(dǎo)如下式所示:

根據(jù)同步發(fā)電機(jī)接口方程,即同步發(fā)電機(jī)注入電網(wǎng)的功率SSM:

將負(fù)荷視作恒定阻抗并入網(wǎng)絡(luò)方程,并利用Kron 變換消去中間節(jié)點(diǎn)后,得到式（17）中的A為:

式中:xqi、xdi、Uti分別為第i臺(tái)同步發(fā)電機(jī)的q軸同步電抗、d軸同步電抗和機(jī)端電壓；n為同步發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)的數(shù)量；Yaug為Kron 變換后的導(dǎo)納矩陣Y和同步發(fā)電機(jī)電抗組成的矩陣。

電網(wǎng)導(dǎo)納矩陣近似為拉普拉斯矩陣,因此,根據(jù)Kron 變換性質(zhì)可知,Yaug近似保持為拉普拉斯矩陣［20］。根據(jù)式（15）計(jì)算得B和C分別為:

式中:δi為第i臺(tái)同步發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)子角。

根據(jù)網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)納矩陣性質(zhì)可知,A的元素?cái)?shù)量級(jí)上百,其共軛逆矩陣元素很小,數(shù)量級(jí)在10-3到10-2之間。再根據(jù)同步發(fā)電機(jī)參數(shù)典型值可以估算B元素的數(shù)量級(jí)在1 到10 之間,則可以得到近似公式:

式中:Z=-jY-1aug,為阻抗矩陣。

由拉普拉斯矩陣性質(zhì)可知,Z近似為全正矩陣,并且通過(guò)調(diào)整參考相位可以使同步發(fā)電機(jī)q軸相對(duì)于參考機(jī)角度位于±30°之間,進(jìn)而使得?V/?ΓE'q實(shí)部遠(yuǎn)大于虛部,并且實(shí)部均大于0,則

式中:T′d0i和x′di分別為第i臺(tái)同步發(fā)電機(jī)的開(kāi)路時(shí)間常數(shù)和d軸暫態(tài)電抗。

其非對(duì)角元素全為正數(shù),滿足單調(diào)系統(tǒng)條件,說(shuō)明了同步發(fā)電機(jī)之間具有合作調(diào)壓性質(zhì)。

2.1.2 暫態(tài)電勢(shì)到勵(lì)磁系統(tǒng)的負(fù)反饋

根據(jù)式（18）求得勵(lì)磁系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的偏導(dǎo)項(xiàng)為:

上述步驟求得同步發(fā)電機(jī)勵(lì)磁電壓對(duì)暫態(tài)電勢(shì)的偏導(dǎo)為:

式中:ΓEfd為由n臺(tái)同步發(fā)電機(jī)的勵(lì)磁電壓組成的向量；TAi和KAi分別為第i臺(tái)同步發(fā)電機(jī)的勵(lì)磁時(shí)間常數(shù)和勵(lì)磁放大系數(shù)。

已知?V/?ΓE'q為非負(fù)矩陣且實(shí)部遠(yuǎn)大于虛部,Vx通常為正,推導(dǎo)得到勵(lì)磁電壓關(guān)于暫態(tài)電勢(shì)的雅可比矩陣為負(fù)矩陣。因此,暫態(tài)電勢(shì)是勵(lì)磁系統(tǒng)的負(fù)反饋信號(hào)輸入。

2.1.3 勵(lì)磁系統(tǒng)之間的獨(dú)立解耦

在接口方程中,注入功率不包含勵(lì)磁電壓變量。因此,勵(lì)磁電壓動(dòng)態(tài)方程對(duì)勵(lì)磁電壓的偏導(dǎo)矩陣只與?F/?z項(xiàng)有關(guān),即:

2.1.4 勵(lì)磁系統(tǒng)到暫態(tài)電勢(shì)的正反饋

同理,暫態(tài)電勢(shì)動(dòng)態(tài)方程對(duì)勵(lì)磁電壓的偏導(dǎo)矩陣只與?F/?z項(xiàng)有關(guān),即:

綜上所述,當(dāng)電網(wǎng)中的發(fā)電機(jī)都為同步發(fā)電機(jī)時(shí),系統(tǒng)暫態(tài)電勢(shì)子系統(tǒng)的雅可比矩陣具有如圖1所示的符號(hào)特性。

圖1 純同步發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的暫態(tài)電勢(shì)子系統(tǒng)符號(hào)特征Fig.1 Sign pattern of transient voltage subsystems of system only with synchronous generators

從上述符號(hào)特征可以看出:1）雅可比矩陣的主對(duì)角元均為負(fù)值,維持電壓調(diào)節(jié)過(guò)程的穩(wěn)定性；2）?Γ?E'q/?ΓE'q和?Γ?Efd/?ΓEfd都滿足單調(diào)系統(tǒng)條件,說(shuō)明單調(diào)性是暫態(tài)電勢(shì)子系統(tǒng)的固有性質(zhì)；3）?Γ?Efd/?ΓE'q和?Γ?E'q/?ΓEfd顯示2個(gè)單調(diào)系統(tǒng)之間的反饋連接形式。

根據(jù)上述分析可知,雅可比矩陣的符號(hào)特性與3 類矩陣的符號(hào)特性密切相關(guān),分別為動(dòng)態(tài)方程對(duì)電壓的偏導(dǎo)?F/?V、電壓對(duì)狀態(tài)變量的偏導(dǎo)?V/?z和動(dòng)態(tài)方程對(duì)狀態(tài)變量的偏導(dǎo)?F/?z。將同步發(fā)電機(jī)相關(guān)符號(hào)特性總結(jié)如表1 所示,并且根據(jù)表1 可以推得其他元件的符號(hào)特征值。

表1 同步發(fā)電機(jī)偏導(dǎo)符號(hào)特征Table 1 Sign pattern of partial derivatives of synchronous generators

2.2 GFL 符號(hào)特征

在機(jī)電暫態(tài)過(guò)程中,通常假設(shè)GFL 能夠?qū)崟r(shí)跟蹤電網(wǎng)頻率,因此,忽略鎖相環(huán)的動(dòng)力學(xué)特性［21］。正常運(yùn)行時(shí)其動(dòng)態(tài)模型可以描述為:

式中:Kpp和Kpi分別為有功功率環(huán)節(jié)的比例-積分（proportional-integral,PI）控制的放大系數(shù)和時(shí)間常數(shù)；Kqp和Kqi分別為無(wú)功功率環(huán)節(jié)的PI 控制的放大系數(shù)和時(shí)間常數(shù)；Pref,p和Qref,q分別為輸出有功功率和無(wú)功功率的參考值；PGFL,p和QGFL,q分別為GFL 的輸出有功功率和無(wú)功功率；zp和zq分別為有功功率和無(wú)功功率對(duì)應(yīng)的內(nèi)部狀態(tài)變量；IGFL,d和IGFL,q分別為GFL 輸出電流的d軸和q軸分量；VGFL為GFL 輸出電壓。

在研究電壓穩(wěn)定時(shí),往往不考慮有功功率的影響。因此,消去電流變量后得到只有無(wú)功功率環(huán)節(jié)動(dòng)態(tài)方程和接口方程:

式中:VGFL,x和VGFL,y分別為VGFL在系統(tǒng)坐標(biāo)系中的x軸分量和y軸分量。

從式（37）可以看出,動(dòng)態(tài)方程偏導(dǎo)的符號(hào)與光伏發(fā)電單元無(wú)功功率的流向相關(guān),通常新能源機(jī)組運(yùn)行在單位功率因數(shù)控制下,即其無(wú)功功率輸出為0,此時(shí)動(dòng)態(tài)方程偏導(dǎo)項(xiàng)只有?z?q/?zq不為0。

注意到由GFL 控制的光伏等新能源發(fā)電機(jī)組無(wú)功出力完全由zq控制。因此,電壓對(duì)無(wú)功功率狀態(tài)變量的偏導(dǎo)矩陣?V/?zGFL,q的符號(hào)特性與電壓對(duì)GFL 無(wú)功功率的偏導(dǎo)矩陣?V/?QGFL相同。其中,QGFL為GFL 無(wú)功功率向量,zGFL,q為GFL 無(wú)功功率對(duì)應(yīng)的內(nèi)部狀態(tài)向量。

將GFL 注入電網(wǎng)的功率表達(dá)式SGFL=PGFL,p+jQGFL,q代入接口方程可以求得:

這意味著?V/?QGFL近似為全正矩陣,進(jìn)而?V/?zGFL,q也為全正矩陣。利用鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則得到接入GFL 后的系統(tǒng)暫態(tài)電勢(shì)子系統(tǒng)的符號(hào)特征如圖2 所示。

圖2 GFL 接入后系統(tǒng)的暫態(tài)電勢(shì)子系統(tǒng)符號(hào)特征Fig.2 Sign pattern of transient voltage subsystems of system connected with GFL

綜上所述,當(dāng)GFL 運(yùn)行在單位功率因數(shù)情況時(shí),其自身為單調(diào)系統(tǒng),并且與同步發(fā)電機(jī)內(nèi)電勢(shì)組成的仍然是單調(diào)系統(tǒng),與同步發(fā)電機(jī)勵(lì)磁系統(tǒng)之間的反饋也具有類似的規(guī)律。因此,可以用互聯(lián)單調(diào)系統(tǒng)小增益定理分析GFL 接入后系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性。

2.3 GFM 符號(hào)特征

根據(jù)表1 所示的矩陣符號(hào)特征可以設(shè)計(jì)虛擬同步控制使得變流器和同步發(fā)電機(jī)之間是互聯(lián)單調(diào)系統(tǒng)關(guān)系,根據(jù)電壓源型變流器的電壓方程:

式中:Evir為變流器內(nèi)部電壓；xl為變流器出口阻抗。

可以得到GFM 的輸出功率SGFM為:

求得GFM 相關(guān)的A、B和C矩陣的偏導(dǎo)項(xiàng)如下式所示:

將式（41）與式（24）對(duì)比后發(fā)現(xiàn),xl相當(dāng)于同步發(fā)電機(jī)暫態(tài)電抗,Evir與同步發(fā)電機(jī)暫態(tài)電勢(shì)有相同的作用。因此,虛擬同步控制下變流器的?V/?z符號(hào)特征與同步發(fā)電機(jī)相同,進(jìn)而設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)模型方程的符號(hào)與同步發(fā)電機(jī)相同,即可達(dá)到兩者仍然滿足互聯(lián)單調(diào)系統(tǒng)的目的。虛擬同步的無(wú)功功率環(huán)節(jié)輸出DV,Q可以用無(wú)功功率-電壓下垂方程表示:

式中:Kq和Ku分別為下垂系數(shù)中的功率系數(shù)和電壓系數(shù)；QGFM為GFM 輸送的無(wú)功功率；Qref,vir為GFM輸送無(wú)功功率參考值。

式（42）對(duì)電壓求導(dǎo)可得:

可見(jiàn),無(wú)功功率偏差部分對(duì)電壓的偏導(dǎo)值基本為正,電壓偏差部分對(duì)電壓的偏導(dǎo)值基本為負(fù)。因此,仿照表1,設(shè)計(jì)虛擬同步控制方式的GFM 數(shù)學(xué)模型:

式中:Tvir和Tu為時(shí)間常數(shù)；Evir,fd為虛擬勵(lì)磁電壓。

GFM 動(dòng)態(tài)方程各項(xiàng)偏導(dǎo)如下所示:

上述式子表明GFM 與同步發(fā)電機(jī)動(dòng)態(tài)方程偏導(dǎo)符號(hào)特性相同,結(jié)合?V/?z符號(hào)特征可知,GFM的雅可比矩陣符號(hào)特征與同步發(fā)電機(jī)完全一致。

至此,本文推導(dǎo)了電力系統(tǒng)暫態(tài)電勢(shì)子系統(tǒng)的雅可比矩陣符號(hào)特征,證明了光伏發(fā)電單元無(wú)論是以何種形式并入電網(wǎng),都可以與同步發(fā)電機(jī)組成互聯(lián)單調(diào)系統(tǒng)的形式,進(jìn)而開(kāi)展基于互聯(lián)單調(diào)系統(tǒng)小增益定理的電壓穩(wěn)定分析。

3 基于小增益定理的電壓穩(wěn)定分析

3.1 互聯(lián)系統(tǒng)小增益穩(wěn)定判據(jù)

在得到電力系統(tǒng)暫態(tài)電勢(shì)子系統(tǒng)的雅可比矩陣符號(hào)特征后,根據(jù)互聯(lián)單調(diào)系統(tǒng)定義可以將其分為2 個(gè)單調(diào)系統(tǒng)的反饋連接,統(tǒng)稱為內(nèi)電勢(shì)系統(tǒng)Γ?E=[ΓE'q,zGFL,q,Evir]和勵(lì)磁電壓系統(tǒng)ΓEf=[ΓEfd,ΓEvir,fd],將 雅 可 比 矩 陣 分 為4 部 分（?Γ?E/?ΓE、?Γ?E/?ΓEf、?Γ?Ef/?ΓEf和?Γ?Ef/?ΓE）。

上述2 個(gè)單調(diào)系統(tǒng)的反饋連接可以寫為如下形式:

式中:fE、fEf、hE、hEf分別為內(nèi)電勢(shì)系統(tǒng)和勵(lì)磁電壓系統(tǒng)的非線性方程；yE、yEf和vE、vEf分別為內(nèi)電勢(shì)系統(tǒng)和勵(lì)磁電壓系統(tǒng)的輸出向量和輸入向量。

系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸入-輸出特性為:

式中:G（v）為增益函數(shù)。

因此,基于互聯(lián)單調(diào)系統(tǒng)小增益定理,所提出的電壓穩(wěn)定判據(jù)為:增益函數(shù)的雅可比矩陣的譜半徑ρ(?G/?v)絕對(duì)值小于1,則在不動(dòng)點(diǎn)vˉt的一個(gè)鄰域內(nèi),vˉt是離散迭代的一個(gè)吸引點(diǎn)［22］,此時(shí),電力系統(tǒng)是電壓穩(wěn)定的；若譜半徑絕對(duì)值大于等于1,則離散迭代可能不收斂,表示電力系統(tǒng)存在電壓失穩(wěn)的風(fēng)險(xiǎn)。

3.2 參數(shù)穩(wěn)定分析

增益函數(shù)的雅可比矩陣?G/?v表達(dá)如下:

對(duì)比式（47）和元件動(dòng)態(tài)方程可以得到以下對(duì)應(yīng)關(guān)系:

增益函數(shù)的雅可比矩陣可以用暫態(tài)電勢(shì)子系統(tǒng)的雅可比矩陣來(lái)表示。其中,?Γ?E/?ΓEf和?Γ?Ef/?ΓE顯然為非負(fù)矩陣,?Γ?Ef/?ΓEf和?Γ?E/?ΓE的逆也為非負(fù)矩陣。因此,可以基于非負(fù)矩陣?yán)碚搶?duì)雅可比矩陣譜半徑進(jìn)行分析。

對(duì)于非負(fù)矩陣NA≥0,當(dāng)0 ≤NA-NB時(shí)認(rèn)為NA≤NB,并且非負(fù)矩陣具有以下性質(zhì)［23］:

1）設(shè)NA、NB、NC、ND為非 負(fù)矩陣,若0 ≤NA≤NB,0 ≤NC≤ND,則0 ≤NANC≤NBND。

2）設(shè)NA、NB為 非 負(fù) 矩 陣,若NA≤NB,則ρ(NA)≤ρ(NB),其中ρ(?)為矩陣的譜半徑。

由非負(fù)矩陣性質(zhì)可推導(dǎo)出,雅可比矩陣元素絕對(duì)值增加會(huì)使得?G/?v元素絕對(duì)值增加,最終導(dǎo)致ρ(?G/?v)絕對(duì)值大于1,也就不能保證離散迭代系統(tǒng)的收斂,對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)穩(wěn)定性變差。

從雅可比矩陣的解析表達(dá)式可以分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響:

1）同步發(fā)電機(jī)參數(shù)穩(wěn)定分析。從式（32）可以看出暫態(tài)電抗的減小和勵(lì)磁放大系數(shù)的增大都會(huì)增加?hE/?ΓE的絕對(duì)值,進(jìn)而導(dǎo)致增益函數(shù)的雅可比矩陣譜半徑增加,惡化了暫態(tài)電勢(shì)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

2）GFL 影 響 分 析。從 圖2 可 以 看 出,GFL 替 換同步發(fā)電機(jī)后,系統(tǒng)階次降低,剩余同步發(fā)電機(jī)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響變大,導(dǎo)致系統(tǒng)魯棒性變差。

3）GFM 參數(shù)穩(wěn)定分析。從式（45）可以看出虛擬同步控制方式中,參數(shù)Kq越大,?Γ?E/?ΓE的對(duì)角元素越大,因此,其逆矩陣元素越小,增益函數(shù)的雅可比矩陣譜半徑越小；參數(shù)Ku越大,?Γ?Ef/?ΓE元素越大,增益函數(shù)的雅可比矩陣譜半徑越大。因此,理論上在合理范圍內(nèi),虛擬同步控制方式的無(wú)功功率-電壓下垂系數(shù)（Kq與Ku的比值）越大,電力系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性越好。同理,變流器出口阻抗xl越大,增益函數(shù)的雅可比矩陣譜半徑越大,電力系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性越差。

綜上所述,基于小增益穩(wěn)定判據(jù)可以采取以下措施提高系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性:1）減小同步發(fā)電機(jī)勵(lì)磁系統(tǒng)放大系數(shù)KA；2）光伏發(fā)電單元采用GFM 方式并網(wǎng)；3）提高GFM 虛擬同步控制方式的無(wú)功功率-電壓下垂系數(shù)；4）減小變流器出口阻抗xl。

4 算例分析

本文在MATLAB/Simulink 仿真平臺(tái)中,采用10 機(jī)39 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)算例對(duì)上述結(jié)論的正確性和有效性進(jìn)行驗(yàn)證,其他算例可以得到相同的結(jié)論。將采用以下3 種案例進(jìn)行分析:

案例1:發(fā)電機(jī)組全為同步發(fā)電機(jī),同步發(fā)電機(jī)參數(shù)如附錄A 表A1 所示。

案例2:將1 至4 號(hào)同步發(fā)電機(jī)替換為GFL 為接口的光伏發(fā)電單元,GFL 參數(shù)如附錄A 表A2 所示。

案例3:將1 至4 號(hào)同步發(fā)電機(jī)替換為GFM 為接口的光伏發(fā)電單元,GFM 參數(shù)如附錄A 表A3所示。

4.1 純同步發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的參數(shù)穩(wěn)定分析

在案例1 中研究純同步發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的雅可比矩陣符號(hào)特性。為確保在系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程中,暫態(tài)電勢(shì)子系統(tǒng)保持著互聯(lián)單調(diào)系統(tǒng)性質(zhì),在t=0 s 時(shí)刻設(shè)置三相短路故障,0.06 s 后清除故障,整個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程中雅可比矩陣符號(hào)變化均符合圖1 的互聯(lián)單調(diào)系統(tǒng)符號(hào)特征,證明單調(diào)性是暫態(tài)電勢(shì)子系統(tǒng)的內(nèi)在固有特征,運(yùn)用單調(diào)系統(tǒng)理論能夠有效分析電力系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性。

為研究參數(shù)對(duì)系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的影響,逐步增加5 號(hào)同步發(fā)電機(jī)的勵(lì)磁放大系數(shù)和暫態(tài)電抗,計(jì)算增益函數(shù)的雅可比矩陣譜半徑隨參數(shù)變化的趨勢(shì),結(jié)果如圖3 所示。

圖3 同步發(fā)電機(jī)參數(shù)對(duì)譜半徑的影響Fig.3 Influence of parameters of synchronous generators on spectral radius

從圖3 可以看出,隨著同步發(fā)電機(jī)暫態(tài)電抗的減小和勵(lì)磁系統(tǒng)放大系數(shù)的增加,增益函數(shù)的雅可比矩陣譜半徑不斷增加,這意味著暫態(tài)電勢(shì)子系統(tǒng)平衡點(diǎn)的漸進(jìn)穩(wěn)定性受到破壞,電力系統(tǒng)更易出現(xiàn)電壓失穩(wěn)問(wèn)題。而傳統(tǒng)的電壓穩(wěn)定分析方法,如基于電壓-無(wú)功功率靈敏度的電壓穩(wěn)定分析方法［24］,其建立在潮流方程基礎(chǔ)上,通過(guò)節(jié)點(diǎn)的無(wú)功功率-電壓靈敏度判斷系統(tǒng)電壓薄弱點(diǎn),但是其方程不包含電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程,因此無(wú)法反映參數(shù)穩(wěn)定問(wèn)題。

4.2 GFL 接入對(duì)譜半徑的影響

在案例2 中不考慮光伏發(fā)電單元低電壓穿越的過(guò)程,只計(jì)算短路清除后系統(tǒng)的自治恢復(fù)過(guò)程,整個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程中雅可比矩陣符號(hào)變化均符合圖2 的互聯(lián)單調(diào)系統(tǒng)符號(hào)特征。

為驗(yàn)證GFL 替換同步發(fā)電機(jī)后,剩余同步發(fā)電機(jī)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,分別計(jì)算案例1 和案例2中譜半徑對(duì)5 號(hào)同步發(fā)電機(jī)暫態(tài)電抗和勵(lì)磁系統(tǒng)放大系數(shù)的靈敏度,結(jié)果如表2 所示。

表2 譜半徑對(duì)同步發(fā)電機(jī)參數(shù)的靈敏度Table 2 Sensitivity of spectral radius to parameters of synchronous generators

從表2 可看出,在案例2 中,譜半徑對(duì)同步發(fā)電機(jī)參數(shù)的靈敏度比案例1 大,這說(shuō)明同步發(fā)電機(jī)被替換為GFL 后,譜半徑更易受剩余同步發(fā)電機(jī)參數(shù)影響,暫態(tài)電勢(shì)子系統(tǒng)的魯棒性變差。

4.3 GFM 參數(shù)穩(wěn)定分析

在案例3 中設(shè)置三相短路故障,整個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程雅可比矩陣符號(hào)變化均符合圖1 的符號(hào)特征,證明GFM 能夠模擬同步發(fā)電機(jī)的調(diào)壓性質(zhì),并保持互聯(lián)單調(diào)系統(tǒng)特性。

為分析GFM 參數(shù)對(duì)系統(tǒng)電壓穩(wěn)定的影響,分別逐步增加GFM 的無(wú)功功率-電壓下垂系數(shù)（Kq與Ku的比值）和出口電抗xl,計(jì)算增益函數(shù)的雅可比矩陣譜半徑隨參數(shù)變化的趨勢(shì),結(jié)果如圖4 所示。

圖 4 GFM 參數(shù)對(duì)譜半徑的影響Fig.4 Influence of parameters of GFM on spectral radius

從圖4（a）可以看出,隨著無(wú)功功率-電壓下垂系數(shù)的增大,譜半徑逐漸減小,但在曲線后半段譜半徑減小的速度開(kāi)始平緩。這說(shuō)明過(guò)大的下垂系數(shù)在電網(wǎng)電壓跌落時(shí)不僅使得GFM 更加接近極限輸出功率,對(duì)GFM 自身穩(wěn)定性造成影響,對(duì)電壓穩(wěn)定性的提升也不明顯。因此,選擇合適的無(wú)功功率-電壓下垂系數(shù)有利于協(xié)調(diào)GFM 自身和整體電網(wǎng)的穩(wěn)定性需求。

出口電抗xl決定了新能源與電網(wǎng)之間的連接強(qiáng)度,從圖4（b）可以看出,隨著出口電抗xl的增大,譜半徑逐漸增大,根據(jù)小增益穩(wěn)定判據(jù)可知,減小變流器出口電抗有利于增強(qiáng)電力系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性。

5 結(jié)語(yǔ)

單調(diào)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)理論的出現(xiàn)為理解混聯(lián)電網(wǎng)的協(xié)調(diào)電壓控制提供了一個(gè)契機(jī),利用電力系統(tǒng)機(jī)電暫態(tài)模型固有數(shù)學(xué)特征,結(jié)合特殊矩陣論,單調(diào)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)理論能夠闡明發(fā)電機(jī)組之間的無(wú)功電壓支撐合作關(guān)系。發(fā)電機(jī)組控制參數(shù)與動(dòng)態(tài)響應(yīng)間的單調(diào)關(guān)系,也是單調(diào)動(dòng)態(tài)理論旨在揭示的現(xiàn)象之一,有利于光伏并網(wǎng)系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制設(shè)計(jì)的進(jìn)一步實(shí)施。本文基于互聯(lián)單調(diào)系統(tǒng)理論,對(duì)采用不同變流器作為接口的光伏并網(wǎng)系統(tǒng)進(jìn)行了分析,并得出以下結(jié)論:

1）在機(jī)電暫態(tài)過(guò)程中,同步發(fā)電機(jī)的暫態(tài)電勢(shì)和勵(lì)磁系統(tǒng)兩者自身都是單調(diào)系統(tǒng),并通過(guò)正/負(fù)反饋連接,形成互聯(lián)單調(diào)系統(tǒng)。同步發(fā)電機(jī)暫態(tài)電抗的減小和勵(lì)磁系統(tǒng)放大系數(shù)的增大會(huì)增加增益函數(shù)的雅可比矩陣譜半徑大小,從而不利于電力系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性。

2）電網(wǎng)中的同步發(fā)電機(jī)被替換為GFL 后,譜半徑對(duì)剩余同步發(fā)電機(jī)參數(shù)的靈敏度增大。這也說(shuō)明由于GFL 不參與電網(wǎng)的電壓調(diào)節(jié),剩余同步發(fā)電機(jī)需要在電網(wǎng)電壓波動(dòng)時(shí)承擔(dān)更多的功率負(fù)擔(dān),使得系統(tǒng)魯棒性變差。

3）采用虛擬同步控制方式的GFM 能夠模擬同步發(fā)電機(jī)的電壓調(diào)節(jié)功能,其動(dòng)態(tài)方程與同步發(fā)電機(jī)具有相同的符號(hào)特征。無(wú)功功率-電壓下垂系數(shù)反映了GFM 參與電網(wǎng)調(diào)壓時(shí)的作用,通過(guò)小增益穩(wěn)定判據(jù)發(fā)現(xiàn),在考慮電力電子器件自身的安全性和穩(wěn)定性的同時(shí),較大的無(wú)功功率-電壓下垂系數(shù)能夠提高電網(wǎng)的電壓穩(wěn)定性。同時(shí),較小的變流器出口電抗有利于增強(qiáng)電力系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性。

本文從電力系統(tǒng)電壓動(dòng)態(tài)角度出發(fā),分析了光伏發(fā)電單元對(duì)電網(wǎng)電壓?jiǎn)握{(diào)動(dòng)態(tài)特征的影響。在該過(guò)程中,對(duì)同步發(fā)電機(jī)功角動(dòng)態(tài)和光伏發(fā)電單元有功動(dòng)態(tài)等環(huán)節(jié)進(jìn)行了一定程度的簡(jiǎn)化。因此,下一步將對(duì)電網(wǎng)有功功率響應(yīng)特征進(jìn)行分析,厘清電壓穩(wěn)定與功角穩(wěn)定之間的耦合交互關(guān)系,為后續(xù)分析電網(wǎng)穩(wěn)定性提供理論基礎(chǔ)。

本文工作受國(guó)網(wǎng)浙江省電力有限公司科技項(xiàng)目（高比例光伏接入受端電網(wǎng)電壓動(dòng)態(tài)解析分析，5211NB200138）資助，謹(jǐn)此感謝！

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