MFC驅(qū)動主動反射器形面的有限時間動態(tài)變形控制

盧志榮，王曉明，周文雅

(1. 廣州大學 機械與電氣工程學院，廣州 510006； 2. 大連理工大學 航空航天學院，遼寧 大連 116024)

衛(wèi)星通信、空間探索以及射電天文學等領域的飛速發(fā)展，對反射器天線的輻射頻率和增益提出了越來越高的要求[1]。為實現(xiàn)高增益信號傳輸，需要天線反射器形面具有很高的幾何精度[2]。 然而，天線反射器易受制造裝配誤差、在軌熱載荷等復雜因素影響，產(chǎn)生形面變形，從而極大影響信號傳輸精度[3-5]。為此，結(jié)合智能驅(qū)動器(如壓電材料)實現(xiàn)反射器在軌形面主動控制，已經(jīng)成為提高反射器性能的關鍵技術之一。

國內(nèi)外學者在利用壓電作動器進行反射器的靜態(tài)形面主動控制方面開展了研究工作。孫國鐘等研究了一種基于前饋補償算法提高壓電纖維執(zhí)行器控制拋物面天線的精度的控制方法。黃志榮等[6]對可調(diào)整反射器方向的研究進行調(diào)研，并對三種結(jié)構形式的可調(diào)整反射器和三種調(diào)整點布置方法進行分析。宋祥帥等[7]研究了一種通過影響系數(shù)矩陣法(influence coefficient matrix, ICM)與最小二乘法并用壓電陶瓷作動器使主控格柵反射器的均方根誤差最小的主動控制方法。伍科等[8]提出了一種使CFPR格柵反射器殘余誤差最小的形面控制器設計方法，并對PZT作動器的布置及電壓進行了優(yōu)化。張順琦等[9]建立了壓電智能薄壁結(jié)構在強致動電壓的條件下的大轉(zhuǎn)角變形的非線性模型，并通過仿真發(fā)現(xiàn)電致材料的非線性因素在強致動電壓下對結(jié)構變形有重要影響。Jiang等[10]提出了一種形狀記憶索網(wǎng)的結(jié)構，并研究了一種運用該結(jié)構提高索網(wǎng)天線在軌的表面精度的主動控制方法。Xun等[11]提出了一種用壓電陶瓷作動器對大型索網(wǎng)天線的主動控制方案，該方案采用了一種針對大尺寸形狀控制問題的新型快速模型預測控制算法。Song等[12]提出了一種提高壓電陶瓷作動器對天線反射面的主動控制精度的方案，該方案采用了一種基于影響系數(shù)矩陣模型的閉環(huán)迭代形狀控制方法。Song等[13]提出了一種反饋誤差學習(feedback error learning,FEL)的形狀控制方法，該算法能有效提高運用壓電陶瓷作動器控制天線反射面的形狀精度，與運用影響系數(shù)矩陣模型的方法相比，降低了模型誤差對形狀控制精度的影響。Huang等[14]提出了一種天線反射面的主動控制方法，該方法采用徑向基函數(shù)(radial basis function,RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡進行誤差分析，能在短時間內(nèi)減小反射器的形狀誤差。

需要指出的是，目前的反射器形面主動控制大多聚焦于靜態(tài)或準靜態(tài)形面控制，而較少考慮形面控制的動態(tài)過程。隨著天線尺寸增大、材料變輕，反射器整體結(jié)構柔性效應愈加顯著，從而導致一些簡單、隨意性的控制電壓加載方式(如階躍式、斜坡式信號等)反而會激發(fā)附加的或者伴隨的結(jié)構瞬態(tài)振動，并產(chǎn)生明顯的殘余振動[15-16]。另一方面，當前的對地觀測、衛(wèi)星通訊等對控制過程的時效性提出了更高的要求，通常期望反射器能在盡量短的有限時間內(nèi)完成形面精度調(diào)整，這就使得傳統(tǒng)基于漸進穩(wěn)定理論的無限時間控制理論(如LQR等)難以滿足控制需求[17]。因此，設計面向反射器動態(tài)形面的有限時間控制律，并保證形面調(diào)節(jié)過程附加振動的最小化，是一項新的研究課題。王曉明等前期研究了基于二次規(guī)劃的有限時間開環(huán)控制算法，驗證了可通過優(yōu)化作動器電壓加載軌跡減小附加振動的可行性，但純開環(huán)控制系統(tǒng)的抗干擾性較差，有必要引入閉環(huán)控制環(huán)節(jié)。這對于反射器形面的動態(tài)變形控制律設計提出了新的要求。

本文以基于分布式壓電纖維驅(qū)動器的拋物面形主動反射器為例，開展有限時間動態(tài)形面控制問題研究?；舅悸肥牵⒚嫦蚩刂频闹鲃臃瓷淦鲃恿W方程，并將動態(tài)形面控制問題轉(zhuǎn)化為有限時間的時變LQ終端和跟蹤控制問題，進而通過求解對應的微分Riccati方程，得到時變控制律；最后，通過仿真算例驗證控制算法的有效性。

1 MFC驅(qū)動固面反射器有限元建模

1.1 模型描述

反射器結(jié)構的模型如圖1(a)所示。反射器本體為拋物面形結(jié)構，中心區(qū)域為固定約束區(qū)域。采用宏纖維復合材料(macro fiber composite，MFC)[18]作為壓電驅(qū)動器，其內(nèi)部結(jié)構如圖1(b)所示。在反射器下表面沿徑向粘貼8個P1型MFC壓電纖維作動器，因此其壓電纖維朝向為徑向。此外，為便于測量反射器形面變形和反饋控制，在結(jié)構上表面粘貼應變傳感器。反射器模型與MFC壓電作動器的幾何、材料參數(shù)，如表1所示。

圖1 反射器結(jié)構圖與MFC作動器Fig.1 Reflector structure diagram and MFC actuator

表1 反射器模型與MFC作動器參數(shù)Tab.1 Parameters of reflector modal and MFC actuator

1.2 反射器有限元模型

研究中結(jié)合有限元法、壓電驅(qū)動的載荷比擬法、均勻化方法等手段，建立主動反射器的動力學模型。結(jié)構整體有限元網(wǎng)格如圖2所示。此外，由于鋪設的分布式MFC作動器會改變了反射器局部的剛度和質(zhì)量特性，研究中利用復合材料層合板理論計算含MFC鋪層單元的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣[19]。

圖2 反射器結(jié)構有限元網(wǎng)格Fig.2 Finite element mesh of reflector structure

根據(jù)哈密頓原理可以導出單元的動力學方程[20]。其中不含MFC鋪層單元和含MFC鋪層單元的動力學方程可分別表示為

(1)

(2)

Fp=KuφV

(3)

其中

(4)

式中：B1與B2分別為應變-位移矩陣和電場-電勢矩陣;V為電壓值；e為壓電應力系數(shù)矩陣。于是，采用等效比擬載荷后，在結(jié)構模型中只需考慮壓電材料的力學特性，將等效載荷施加到單元邊界即可，從可以減少有限元單元規(guī)模、提高計算效率。

總體剛度矩陣和質(zhì)量矩陣由不含MFC鋪層單元與含MFC鋪層單元的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣構成。通過對所有單元的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣進行組裝，整體的有限元方程可表示為

(5)

式中：d為節(jié)點位移向量;M,K分別為整體質(zhì)量矩陣和剛度矩陣;Fu為作動器電壓-載荷矩陣;u為作動器加載的電壓向量。令m為所用模態(tài)數(shù)，n為MFC作動器數(shù)量，k為反射器模型未固定的節(jié)點數(shù)，M,K皆為維數(shù)6k×6k矩陣，F(xiàn)u為維數(shù)6k×n矩陣，d為維數(shù)6k×1矩陣。

1.3 狀態(tài)空間模型

由于有限元模型的節(jié)點數(shù)與單元數(shù)過多，致使質(zhì)量矩陣與剛度矩陣的階數(shù)過大，不便于進行控制律設計。研究中引入模態(tài)坐標變換，運用模態(tài)分解法對模型進行降階處理，即

d=Φq

(6)

式中：Φ為振型矩陣；q為廣義坐標向量，即對應模態(tài)在動力學響應中的分量。Φ為維數(shù)6k×m矩陣，q為維數(shù)m×1矩陣。

將上式代入式(5)，并在式子的兩端左乘ΦT，再進行整理可得

(7)

(8)

式中：A和B分別為系統(tǒng)性質(zhì)矩陣和控制輸入矩陣，A為維數(shù)2m×2m矩陣,B為維數(shù)2m×n矩陣;x為維數(shù)2m×1矩陣;u為維數(shù)n×1矩陣。

為便于觀測反射器形面變形狀態(tài)，研究中以結(jié)構邊緣節(jié)點P(見圖1)的撓度為控制輸入出量

z=C1x

(9)

式中：z為節(jié)點P的撓度;C1為輸出矩陣。C1為維數(shù)1×2m矩陣。

此外，為構成閉環(huán)控制，將應變傳感器信號作為反饋量，即

y=C2x

(10)

式中：y為傳感器反饋信號列陣；C2為對應輸出矩陣。

2 反射器靜態(tài)形面控制

在軌運行過程中，天線反射器易受裝配誤差、熱載荷、輻射等因素影響，產(chǎn)生結(jié)構變形和形面誤差，從而降低天線傳輸信號的精度。因此，可以通過主動控制方式消除不利變形、恢復或提高形面精度；另一方面，也可以通過主動地驅(qū)動反射器結(jié)構變形，實現(xiàn)調(diào)節(jié)反饋增益、覆蓋面積等可重構天線功能。不論對于哪種控制需求，其目的均是將反射器形面從一個初始變形狀態(tài)x0轉(zhuǎn)移至另一個預期變形狀態(tài)xf。為便于開展分析和對比，研究中將反射器初始條件定義為未變形狀態(tài)，以結(jié)構第一階模態(tài)為變形形式，并通過邊緣節(jié)點P的面外撓度值作為觀測量。

設節(jié)點P的預期撓度為zf，根據(jù)式(8)和式(9)得出作動器終端加載電壓的計算式為

uf=-(C1A-1B)?zf

(11)

式中：“?”為矩陣的偽逆;uf為作動器終端穩(wěn)態(tài)加載電壓值。

設預期撓度為zf=0.5 mm，則各MFC作動器的終端穩(wěn)態(tài)電壓值為

uf=[449.2 96.8 -448.4 -96.6
335.2 96.8 -448.2 -97]T

(12)

由于觀測點為邊緣節(jié)點P，作動器的電壓加載量呈對稱式分布。根據(jù)圖1(a)與式(12)可看出，2,8、3，7和4，6的作動器電壓相對應。

圖3給出了控制前后的反射器形面變形云圖?？梢钥闯?，在MFC作動器的驅(qū)動下，實現(xiàn)了預期的變形狀態(tài)。需要注意的是，實際控制過程中可以以整體形面誤差RMS為控制需求，計算作動器穩(wěn)態(tài)電壓，其計算過程與上述類似。

需要注意的是，上述靜態(tài)形面控制僅考慮了系統(tǒng)初始和終端兩個狀態(tài)，而沒有考慮系統(tǒng)的動態(tài)響應過程，即不考慮時間因素的影響。然而，如前所述，隨著天線尺寸增大、材料變輕，反射器結(jié)構柔性效應愈加顯著，在變形調(diào)節(jié)過程中極易產(chǎn)生非期望的附加瞬態(tài)動力學響應和殘余振動。圖4分別給出了階躍式、斜坡式和正弦式電壓加載信號，以及對應加載信號下反射器邊緣節(jié)點P撓度的時間響應歷程?？梢钥闯?，在階躍式電壓輸入下，結(jié)構產(chǎn)生了劇烈的周期性振蕩；采用斜坡式、正弦式電壓輸入后，結(jié)構振動幅值一定程度減小，但仍然存在明顯瞬態(tài)或殘余振動。由于在軌環(huán)境阻尼小，結(jié)構振動難以短時間內(nèi)得到消除或衰減，不僅難以達到提高形面精度目的，甚至會降低整體反射性能和系統(tǒng)穩(wěn)定性。因此，對于高精度、大柔性的反射器結(jié)構形面控制，必須考慮變形過程的時間因素，即設計動態(tài)形面控制律，實現(xiàn)快速、平穩(wěn)的控制效果。

圖3 反射器靜態(tài)形面變形控制的初態(tài)與終態(tài)Fig.3 Initial and final states of reflector static surface deformation control

圖4 不同電壓加載方式的動態(tài)響應Fig.4 Dynamic response of different voltage loading mode

3 有限時間的時變LQ控制算法

反射器動態(tài)形面控制是一個有限時間控制問題，控制過程不存在基準狀態(tài)，因此有別于常規(guī)的基于無限時間的定?？刂坡?如LQR)設計。為此，研究中采用有限時間的時變LQ終端控制和跟蹤算法設計動態(tài)控制律。

3.1 終端控制

時變LQ終端控制可以描述為尋求最優(yōu)的電壓加載軌跡u(t)使得系統(tǒng)在終端時刻tf達到預期狀態(tài)xf，并極小化如下性能指標

(13)

式中：Q,R為正定加權矩陣;tf為系統(tǒng)到達終態(tài)的時間。Q為狀態(tài)量的加權矩陣，R為控制輸入量的加權矩陣，通過調(diào)節(jié)Q和R能夠使系統(tǒng)在動態(tài)控制效果與耗能之間進行權衡?？梢钥闯?，LQ終端控制問題的性能指標與常規(guī)LQR調(diào)節(jié)問題的主要區(qū)別在于目標函數(shù)的積分上限為tf，而非無限時間。

為了確保系統(tǒng)能精確地到達終端狀態(tài)，引入終端條件的誤差變量ef=x(tf)-xf，并將其作為懲罰項加入性能指標J式(13)中，可得

(14)

式中，Qf為終端誤差的正定加權矩陣，Qf越大，系統(tǒng)在tf時與所期望的終端狀態(tài)量越接近。

通過采用Riccati矩陣變化的方法，求得反饋-前饋的控制輸入如下

u(t)=-Kx(t)x(t)+Kψ(t)ψ=

-Kx(t)x(t)+uf(t)

(15)

式中：uf(t)KΨ(t)Ψ;Kx(t)為反饋矩陣;uf(t)為前饋矩陣，其中

(16)

式中：N為狀態(tài)量與輸入量的均衡加權矩陣;S(t)與Fm(t)為矩陣微分Riccati方程的解

(17)

(18)

3.2 跟蹤控制

另一方面，可以通過預設一條平滑的變形軌跡作為參考，使得變形過程跟蹤該軌跡，同樣可實現(xiàn)快速、平滑的動態(tài)形面控制效果。

時變LQ跟蹤控制可以描述為尋求最優(yōu)的電壓加載軌跡u(t)使得系統(tǒng)控制輸出序列z(t)跟蹤預設參考軌跡zr(t)，其性能指標可表示為

(19)

式中,v(t)zr(t)-z(t)為控制過程中的輸出誤差，zr(t)為預設的輸出軌跡。

同樣，通過采用Riccati矩陣變化的方法，求得反饋-前饋的控制輸入為

u(t)=uf(t)-K(t)x(t)

(20)

式中：K(t)為反饋增益矩陣的時間序列;uf(t)為前饋矩陣的時間序列。

可見，有限時間時變LQ控制問題的關鍵在于求解微分Riccati方程組，相比定?？刂坡?，設計中的代數(shù)Riccati方程求解，其求解難度更大。為此，研究中采用精細積分算法進行求解[23];另一方面，可以看出，有限時間時變LQ終端控制律和跟蹤控制律，均由反饋增益和前饋信號組成，且均為時間的函數(shù)。因此，相比定?？刂坡?，時變控制律能夠?qū)崿F(xiàn)更快速、穩(wěn)定的動態(tài)控制效果，且?guī)缀鯖]有超調(diào)量。

3.3 Kalman濾波器

為構成閉環(huán)控制系統(tǒng)，研究中采用Kalman濾波器設計狀態(tài)觀測器。Kalman濾波是一種狀態(tài)最優(yōu)估計方法，它從一系列的不完全及包含噪聲的測量中，利用所有測量數(shù)據(jù)對當前時刻動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)量進行估計。通過反射器內(nèi)側(cè)的應變傳感器測量出系統(tǒng)的動態(tài)輸出量，利用Kalman濾波得出系統(tǒng)狀態(tài)量的估計值。濾波公式為

(21)

(22)

式中：B1為系統(tǒng)干擾輸入矩陣；P為相應矩陣微分Riccati方程的解。

(23)

綜上所述，基于有限時間LQ控制算法的反射器動態(tài)形面控制系統(tǒng)構成如圖5所示。

圖5 控制系統(tǒng)框圖Fig.5 Diagram of control system

4 反射器動態(tài)形面控制算例

本章算例的控制需求與第2章靜態(tài)形面控制相同，但要求節(jié)點P的撓度能夠在tf=1 s內(nèi)達到預期撓度，并保證動態(tài)變形過程平滑、連續(xù)。

4.1 終端控制

時變LQ終端控制律設計中的權系數(shù)選取為

Q=104I2m,R=10-8In,Qf=108I2m

(24)

式中：I2m為2m階單位矩陣;In為n階單位矩陣。

通過終端控制優(yōu)化得出作動器的電壓加載歷程如圖6所示。通過終端控制優(yōu)化后的控制效果如圖7所示?？梢钥闯鲈谡麄€控制過程中，節(jié)點P的撓度變化平滑穩(wěn)定，無振蕩，同時在tf時刻達到預期的變形狀態(tài)。相較于圖4中簡單的電壓加載方式，利用有限時間時變LQ終端控制算法可有效消除變形過程的瞬態(tài)振動，同時滿足控制的時效性。

圖6 終端控制的電壓輸入歷程Fig.6 Voltage input process of terminal control

圖7 時變LQ終端控制效果Fig.7 Time-varying LQ terminal control effect

為驗證控制算法的魯棒性和適應性，圖8給出了在不同控制時限下(tf分別改為0.5 s和2.0 s)的終端控制效果?？梢钥闯?，利用有限時間時變LQ算法均可實現(xiàn)預期終端控制效果，且結(jié)構變形過程依然平滑、連續(xù)，無附加振動。

為對比不同容許控制時間對最終控制效果的影響，表2給出了時變LQ終端控制最終輸出誤差，可以看出，利用該控制算法均實現(xiàn)了預期的終端控制效果；但隨著tf的增大，控制誤差會明顯減小。

圖8 調(diào)整tf后的控制效果Fig.8 Control effect after changing tf

表2 時變LQ終端控制最終輸出誤差Tab.2 Final output error of time-varying LQ terminal control

4.2 跟蹤控制

另一方面，可通過預設參考軌跡的方式實現(xiàn)預期動態(tài)形面調(diào)整過程。算例中采用的兩條參考軌跡如圖9所示?？刂坡稍O計的權系數(shù)選取為

Q=Qf=108,R=10-8In

(25)

圖9 跟蹤控制參考輸出軌跡Fig.9 Reference output trajectory of tracking control

圖10為跟蹤控制下系統(tǒng)的電壓輸入，圖11為跟蹤控制效果?？梢钥闯鲭妷杭虞d過程平滑穩(wěn)定，實際輸出軌跡與預設參考軌跡幾乎重合，并且實際輸出軌跡光滑、連續(xù)，無附加結(jié)構振動。而且通過跟蹤控制能通過設計不同的參考軌跡，對反射器實現(xiàn)不同的控制效果，從而滿足不同的任務的需求。

圖10 跟蹤控制電壓輸入歷程Fig.10 Voltage input process of tracking control

圖11 實際輸出與參考軌跡Fig.11 Actual output and reference trajectory

綜上所述，利用有限時間的時變LQ終端和跟蹤控制算法，均可實現(xiàn)連續(xù)、平滑的反射器動態(tài)形面控制效果，有效避免控制電壓加載過程的結(jié)構瞬態(tài)、殘余振動，提升反射器靜態(tài)、動態(tài)性能。

5 結(jié) 論

本文提出運用有限時間的時變LQ控制思想設計壓電驅(qū)動主動反射器的動態(tài)形面控制算法，以消除變形過程的附加振動，提升動態(tài)變形效果。得出以下結(jié)論：

(1)利用MFC作動器，可以實現(xiàn)反射器形面的主動調(diào)整，提高靜態(tài)形面精度。

(2)電壓加載方式會直接影響反射器動態(tài)形面調(diào)節(jié)效果，不恰當?shù)碾妷盒盘枙ぐl(fā)結(jié)構瞬態(tài)、殘余振動，降低形面調(diào)節(jié)精度和系統(tǒng)穩(wěn)定性。

(3)利用有限時間的時變LQ終端控制和跟蹤控制算法，能有效避免控制過程中結(jié)構附加振動，使反射器形面調(diào)節(jié)過程更加平滑，提高系統(tǒng)靜態(tài)、動態(tài)性能。