改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法的機(jī)器人時(shí)間最優(yōu)軌跡規(guī)劃

劉 杰，卞新宇，王曉勇，栗 娟

（1.南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)大學(xué)江蘇省工業(yè)感知及智能制造裝備工程研究中心，江蘇 南京 210023；2.桂林電子科技大學(xué)海洋工程學(xué)院，廣西 桂林 541004）

1 引言

有越來越多的工業(yè)機(jī)器人軌跡規(guī)劃［1-4］應(yīng)用實(shí)例表明，僅考慮連續(xù)性和平滑度的軌跡規(guī)劃是不能滿足大多數(shù)工業(yè)需求的。這就需要針對(duì)不同的任務(wù)要求對(duì)基礎(chǔ)軌跡規(guī)劃添加能耗、效率、沖擊等約束條件，從而提升軌跡的性能。由于其計(jì)算過程復(fù)雜且繁瑣，一般采用智能優(yōu)化算法進(jìn)行計(jì)算［5-6］。常用于軌跡規(guī)劃研究的智能優(yōu)化算法有遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）、粒子群優(yōu)化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）等［7-10］。常用的軌跡優(yōu)化目標(biāo)包含時(shí)間最優(yōu)、能量最優(yōu)、沖擊最優(yōu)等，一般選取以上一種或多種目標(biāo)進(jìn)行軌跡優(yōu)化的研究。文獻(xiàn)［11］將遺傳算法與三次多項(xiàng)式插值相結(jié)合，以時(shí)間最優(yōu)為目標(biāo)，對(duì)多車型汽車生產(chǎn)流水線中的工業(yè)機(jī)器人做軌跡優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)了時(shí)間最短的優(yōu)化目的，但此算法的優(yōu)化結(jié)果受參數(shù)影響較大且全局搜索速度較慢。文獻(xiàn)［12］以時(shí)間、加速度、躍度為優(yōu)化目標(biāo)，提出一種自適應(yīng)罰函數(shù)的骨干粒子群優(yōu)化算法，并結(jié)合NURBS曲線應(yīng)用于機(jī)器人的零件加工，優(yōu)化后各關(guān)節(jié)躍度與加工誤差曲線表明優(yōu)化后的加工時(shí)間、平穩(wěn)性、加工精度均優(yōu)于優(yōu)化前的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，此算法搜索能力雖快，但依舊受參數(shù)影響較大。文獻(xiàn)［13］提出了一種改進(jìn)的引力搜索算法，其借鑒人工蜂群算法的貪婪搜索策略，有效提高了收斂速度，并將其應(yīng)用于六自由度重載機(jī)器人，結(jié)果表明該算法有效提高了解的質(zhì)量和收斂性能，但計(jì)算過程較為復(fù)雜。

近兩年，Seyedali Mirjalili和Andrew Lewis提出了一種新型元啟發(fā)式算法—鯨魚優(yōu)化算法（Whale Optimization Algorithm，WOA）［14］。WOA 雖容易陷入局部最優(yōu)解且收斂精度低，但相對(duì)于其他智能優(yōu)化算法具有參數(shù)少、結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點(diǎn)。由于考慮到在智能制造生產(chǎn)單元中，6R 工業(yè)機(jī)器人負(fù)責(zé)上、下料的生產(chǎn)任務(wù)，降低生產(chǎn)節(jié)拍，提高上下料運(yùn)送效率并減小沖擊振動(dòng)，這就需要將時(shí)間最優(yōu)作為優(yōu)化目標(biāo)來提升機(jī)器人的作業(yè)效率。

為得到更準(zhǔn)確的軌跡優(yōu)化結(jié)果，針對(duì)WOA的缺點(diǎn)并結(jié)合工業(yè)機(jī)器人對(duì)軌跡規(guī)劃的性能要求，這里提出一種非線性收斂因子并引入一種非線性慣性權(quán)重［15］以達(dá)到提高全局搜索能力、收斂精度和收斂速度的目的。將改進(jìn)后的WOA（簡稱MWOA）與五次多項(xiàng)式相結(jié)合，基于實(shí)際應(yīng)用場景對(duì)研究模型6R工業(yè)機(jī)器人做軌跡優(yōu)化。

2 研究模型及軌跡規(guī)劃

2.1 智能制造應(yīng)用場景說明

2.1.1 研究模型概述

這里的研究模型為六自由度串聯(lián)型工業(yè)機(jī)器人，如圖1 所示。將其主要參數(shù)整理，如表1所示。

表1 研究模型主要參數(shù)Tab.1 The Main Parameters of the Research Model

圖1 研究模型Fig.1 Research Model

2.1.2 應(yīng)用場景簡述

該研究本體在智能制造生產(chǎn)線中，主要完成上、下料的任務(wù)，整個(gè)工藝流程大致為取生料、放置生料、生料加工、取出加工后的物料、將物料置于料倉，最終回歸初始位置，主要涉及的主體包含6R工業(yè)機(jī)器人、加工中心和數(shù)字化立體料倉。通過Creo 4.0對(duì)以上三個(gè)單元建立簡化的三維等效模型，并按照實(shí)際應(yīng)用場景裝配，如圖2所示。

圖2 應(yīng)用場景及路徑點(diǎn)分布Fig.2 Application Scenarios and Path Point Distribution

為避免仿真實(shí)驗(yàn)的偶然性，隨機(jī)選取了兩個(gè)物料點(diǎn)，并編號(hào)為A11和A44。同時(shí)，為了避免該研究本體在完成工作任務(wù)時(shí)發(fā)生不必要的機(jī)械碰撞，在需經(jīng)過的路徑點(diǎn)中添加了幾個(gè)防撞點(diǎn)：P2、P3、P6-1以及P6-2。所有路徑點(diǎn)均在圖2 中用橙色點(diǎn)標(biāo)出。由于將未加工的毛料放至加工中心進(jìn)行加工需要一定的時(shí)間，故將整個(gè)工作任務(wù)分成兩個(gè)階段進(jìn)行研究分析，且將其對(duì)應(yīng)路徑分別定義為路徑一（依次經(jīng)過P0、P1、P2、P1、P3、P4、P3、P0）和路徑二（P0、P1、P2、P1、P3、P4、P3、P5-1/P5-2、P6-1/P6-2、P5-1/P5-2、P0）。

2.2 軌跡規(guī)劃

為保證其整個(gè)運(yùn)行過程的穩(wěn)定性，各關(guān)節(jié)的位置、角速度、角加速度在整個(gè)運(yùn)行時(shí)間內(nèi)需保持連續(xù)性變化。

這就要求在進(jìn)行插值計(jì)算時(shí)，插值函數(shù)需將各路徑點(diǎn)平滑地連接。常用的軌跡插值計(jì)算方法有三次多項(xiàng)式插值［16］、五次多項(xiàng)式插值［17］和高階多項(xiàng)式插值［18］。由于實(shí)際應(yīng)用場景要求路徑點(diǎn)需全部經(jīng)過，且各關(guān)節(jié)角速度與角加速度均需約束，故采取五次多項(xiàng)式插值的方法對(duì)該模型進(jìn)行軌跡規(guī)劃。

其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

各路徑點(diǎn)間的起止位置需滿足以下約束條件：

3 鯨魚優(yōu)化算法

WOA是由Seyedali Mirjalili和Andrew Lewis［14］提出的一種新型元啟發(fā)式算法，通過模擬座頭鯨的螺旋式捕食模式尋找獵物?，F(xiàn)將搜索空間近似為圓錐體（一色部分）、搜索路徑近似為環(huán)繞于圓錐表面呈上升狀的螺旋線（分別用一色實(shí)線與一色虛線表示兩條隨機(jī)搜索路線）、當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體和目標(biāo)位置近似為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)（一色部分），建立空間模型，如圖3所示。

圖3 螺旋式捕食模式Fig.3 Spiraling Patterns of Prey

座頭鯨捕食獵物的過程分為包圍獵物（即縮小搜索空間）、收縮包圍（即螺旋更新位置）和獵物搜尋（即搜尋目標(biāo)），針對(duì)上述三個(gè)捕食階段分別建立數(shù)學(xué)模型。

3.1 縮小搜索空間

座頭鯨種群在某一搜索空間中搜尋到獵物時(shí)，距離獵物最近的座頭鯨（最優(yōu)個(gè)體）會(huì)由當(dāng)前位置通過隨機(jī)路線逐漸地接近獵物，種群中其他的座頭鯨會(huì)將最優(yōu)個(gè)體作為接近目標(biāo)間接接近獵物。建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，種群中的最優(yōu)個(gè)體對(duì)等于當(dāng)前最優(yōu)解。在WOA中假設(shè)座頭鯨種群的數(shù)量為N，搜索空間是D維，描述此種捕食行為的數(shù)學(xué)形式為：

3.2 螺旋更新位置

座頭鯨在捕食途中采取的是螺旋收縮包圍的方式，即座頭鯨的位置是呈螺旋更新的。將此行為應(yīng)用到算法中，則螺旋捕食行為的數(shù)學(xué)模型建立如下：

由于座頭鯨收縮包圍獵物的行為和螺旋上升的行為是同時(shí)發(fā)生的，在位置更新時(shí)，需考慮到以哪一種迭代方式進(jìn)行。此時(shí)將概率p作為判斷閾值，根據(jù)不同的概率值選擇對(duì)應(yīng)的迭代方式，具體表達(dá)式如下：

式中：p—［0，1］的隨機(jī)數(shù)；b—定義對(duì)數(shù)螺旋形狀的常數(shù)；l—［-1，1］的隨機(jī)數(shù)。

3.3 搜尋目標(biāo)

以上兩個(gè)階段是以已知獵物位置為前提條件（即 |A|<1），若在尚未找到獵物相關(guān)信息的情況下（即 |A|≥1），座頭鯨需通過不同的隨機(jī)方式搜索獵物，該過程即為搜尋目標(biāo)階段，數(shù)學(xué)表達(dá)式對(duì)應(yīng)如下：

4 改進(jìn)的WOA

WOA雖具有參數(shù)少、結(jié)構(gòu)簡單、收斂速度快等優(yōu)點(diǎn)，但是容易陷入局部最優(yōu)解且收斂精度低［19］。針對(duì)上述缺點(diǎn)并結(jié)合工業(yè)機(jī)器人對(duì)軌跡規(guī)劃的性能要求，提出一種非線性收斂因子并引入一種非線性慣性權(quán)重以達(dá)到提高全局搜索能力、收斂精度和收斂速度的目的。

4.1 引入慣性權(quán)重

為提高WOA的局部開發(fā)能力和收斂精度，通常在算法中引入慣性權(quán)重思想，但線性變化的慣性權(quán)重?zé)o法在實(shí)際迭代中得到良好的效果，故引入文獻(xiàn)［9］中提出的一種非線性慣性權(quán)重ω，表達(dá)式如下：

式中：μ—常數(shù)系數(shù)，經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)取值0.01［9］。此時(shí)，慣性權(quán)重ω隨著迭代數(shù)的增加非線性減少。

4.2 添加非線性收斂因子

在基本W(wǎng)OA的數(shù)學(xué)模型中，全局的探索能力主要受參數(shù)的影響，而影響的參數(shù)是收斂因子。若要提高WOA的全局搜索能力，就需要對(duì)收斂因子進(jìn)行修改。由于基本的WOA中的參數(shù)是收斂因子。若要提高WOA的全局搜索能力，就需要對(duì)收斂因子為線性收斂，這就導(dǎo)致WOA在全局搜索中極易陷入局部最優(yōu)，從而得到的計(jì)算結(jié)果不夠準(zhǔn)確。為保證實(shí)際尋優(yōu)過程中迭代前期收斂速度快且后期收斂精度高，現(xiàn)提出一種非線性收斂因子，表達(dá)式如下：

當(dāng) |A|≥1時(shí)，位置更新公式應(yīng)表示為：

4.3 MWOA算法步驟

算法基本步驟如下：

（1）將種群數(shù)量設(shè)置為N，隨機(jī)產(chǎn)生初始種群的位置；初始化參數(shù)和最大迭代數(shù)為tmax。

（2）計(jì)算種群中每個(gè)鯨魚個(gè)體（即搜索代理）的適應(yīng)度值，選擇適應(yīng)度值最小的座頭鯨個(gè)體，將其定義為當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體，用X*表示其位置向量。

（4）將位置更新后的種群中的個(gè)體進(jìn)行比較，確定出全局最優(yōu)個(gè)體及當(dāng)前位置。

（5）若迭代次數(shù)達(dá)到最大值，即達(dá)到了WOA中循環(huán)部分的終止條件，則輸出結(jié)果；否則，需返回到步驟（2），繼續(xù)計(jì)算，直至滿足終止條件。

（6）輸出結(jié)果，即全局最優(yōu)解X*。

4.4 算法性能對(duì)比實(shí)驗(yàn)與分析

為驗(yàn)證MWOA 的有效性，基于標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，如表2所示。其中，F(xiàn)1(x)、F2(x)、F3(x)為單峰測(cè)試函數(shù)，用來驗(yàn)證MWOA的收斂速度；F4(x)、F5(x)、F6(x)為多峰測(cè)試函數(shù)，用來驗(yàn)證收斂精度。

表2 標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)Tab.2 Standard Test Function

在進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)時(shí)，添加基本W(wǎng)OA、PSO、GA 和MWOA 四種算法進(jìn)行對(duì)比分析。將初始化種群的數(shù)量N設(shè)定為30，最大迭代數(shù)tmax為800，基于標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)對(duì)選取的各算法分別進(jìn)行40次運(yùn)算，取多次運(yùn)算結(jié)果的平均值和方差進(jìn)行對(duì)比結(jié)果，如表3所示。

表3 測(cè)試函數(shù)的計(jì)算結(jié)果Tab.3 The Result of the Test Function

將表3中各算法的均值和標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行比較可知：測(cè)試函數(shù)F1至F6的計(jì)算結(jié)果中，MWOA的均值和標(biāo)準(zhǔn)差均為最優(yōu)值，說明該算法的收斂精度、收斂速度和算法穩(wěn)定性均優(yōu)于算法WOA、PSO和GA。因此，MWOA 可用于后續(xù)軌跡優(yōu)化的研究中。現(xiàn)基于MATLAB R2018b平臺(tái)對(duì)算法WOA、PSO、GA以及MWOA進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如圖4所示。

圖4 測(cè)試函數(shù)的迭代收斂曲線圖Fig.4 Iterative Convergence Graph of the Test Function

由圖4可知：

（1）由圖4（a）～圖4（c）中各算法的收斂曲線可知：隨著迭代次數(shù)的增加，GA 與PSO 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值近似為1，WOA 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值小于上述兩種算法的函數(shù)值，而MWOA對(duì)應(yīng)的目標(biāo)值最小且無限接近于0，說明較于WOA、PSO和GA，MWOA具有更快的收斂速度；

（2）圖4（d）～圖4（f）結(jié)果顯示：GA對(duì)應(yīng)的三組函數(shù)值均大于1，PSO對(duì)應(yīng)的函數(shù)值略小于GA，WOA對(duì)應(yīng)的函數(shù)值雖比GA與PSO小，但仍大于MWOA，MWOA對(duì)應(yīng)的函數(shù)值在迭代次數(shù)未達(dá)到20次之前均已收斂至全局最小值，說明MWOA較于其他三種算法具有更高的收斂精度。

5 時(shí)間最優(yōu)軌跡規(guī)劃

5.1 軌跡優(yōu)化模型

由于該6R機(jī)器人完成一次上、下料任務(wù)消耗的時(shí)間主要與各關(guān)節(jié)的角速度和角加速度有關(guān)，若以時(shí)間為優(yōu)化目標(biāo)，需添加角速度、角加速度、角加加速度等運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的最大值作為約束條件，則約束條件可表示為：

式中：T—整個(gè)加工過程的總時(shí)間；T1T1—路徑一的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；T2T2—路徑二的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

現(xiàn)將軌跡優(yōu)化模型的約束條件和各路徑點(diǎn)對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)角度值分別整理，如表4、表5所示。

表4 關(guān)節(jié)約束條件Tab.4 Constraints on the Joint

表5 關(guān)節(jié)角度值Tab.5 The Angle of the Joint

5.2 軌跡優(yōu)化

現(xiàn)基于MWOA和五次多項(xiàng)式插值對(duì)研究本體做時(shí)間最優(yōu)軌跡優(yōu)化。該仿真實(shí)驗(yàn)的初始化種群數(shù)量N設(shè)定為30，最大迭代數(shù)tmax定義為500，優(yōu)化前各路徑的運(yùn)行時(shí)間均設(shè)定為t=［0，2，3，4，6，7，8，10］。

為保證仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果的科學(xué)性，經(jīng)過多次仿真優(yōu)化，得到6R機(jī)器人兩段路徑的運(yùn)行總時(shí)間，如圖5所示。同時(shí)將每個(gè)路徑點(diǎn)之間的時(shí)間優(yōu)化結(jié)果整理，如表6所示。由于研究本體的第四個(gè)關(guān)節(jié)角度值在整個(gè)運(yùn)行過程中并未發(fā)生變化，因此不對(duì)其時(shí)間間隔作相關(guān)整理。

表6 關(guān)節(jié)角度值Tab.6 The Angle of the Joint

圖5 時(shí)間優(yōu)化的仿真結(jié)果Fig.5 Simulation Results of Time Optimization

由圖5 可知：（1）圖5（a）顯示：當(dāng)MWOA 迭代到約第470 次時(shí)，路徑一對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)目標(biāo)值幾乎收斂至最小值，即minT1=6.925s，相對(duì)于計(jì)劃時(shí)間縮短了3.075s；（2）由圖5（b）可知，當(dāng)MWOA迭代到約第411次時(shí)，路徑二中到達(dá)取料點(diǎn)A11對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)的目標(biāo)值收斂至最小值，即minT2_A11=5.101s，相對(duì)于計(jì)劃完成時(shí)間縮短了4.899s；（3）從圖5（c）可得到，當(dāng)MWOA迭代到第27次時(shí)，路徑二中到達(dá)取料點(diǎn)A44對(duì)應(yīng)的時(shí)間函數(shù)的目標(biāo)值收斂至最小值，即minT2_A44=7.94 s，相對(duì)于計(jì)劃完成時(shí)間縮短了2.06s。

基于上述理論基礎(chǔ)，經(jīng)MATLAB仿真，得到各路徑軌跡優(yōu)化的運(yùn)動(dòng)參數(shù)曲線圖，與優(yōu)化前的軌跡規(guī)劃結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，由于篇幅有限，只對(duì)路徑一和到達(dá)放料點(diǎn)A11的路徑二做軌跡規(guī)劃，如圖6、圖7所示。由圖6、圖7的仿真結(jié)果可知：（1）優(yōu)化前：路徑一與路徑二（A11）對(duì)應(yīng)的各關(guān)節(jié)角度、角速度與角加速度曲線圖均連續(xù)且光滑，整個(gè)過程無突變現(xiàn)象，說明軌跡優(yōu)化前的工業(yè)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過程穩(wěn)定性較好，且均按照規(guī)定的10s運(yùn)動(dòng)時(shí)間完成軌跡規(guī)劃；（2）優(yōu)化后：基于MWOA在原軌跡規(guī)劃的基礎(chǔ)上進(jìn)行時(shí)間優(yōu)化后，路徑一與路徑二（A11）的運(yùn)行時(shí)間分別縮短了3.075s和4.899s，且得到的各關(guān)節(jié)角度、角速度與角加速度曲線圖仍連續(xù)光滑無突變，說明該軌跡優(yōu)化結(jié)果實(shí)現(xiàn)了時(shí)間最優(yōu)的優(yōu)化目標(biāo)，且保證了原有的穩(wěn)定性。

圖6 路徑一的時(shí)間優(yōu)化仿真結(jié)果Fig.6 Time Optimization Simulation Results of Path 1

圖7 路徑二（A11）的時(shí)間優(yōu)化仿真結(jié)果Fig.7 Time Optimization Simulation Results of Path 2（A11）

6 結(jié)論

（1）提出一種非線性變化的收斂因子，并引入非線性慣性權(quán)重對(duì)基本W(wǎng)OA進(jìn)行改進(jìn)后得到MWOA。將此算法與基本W(wǎng)OA、PSO和GA的均值與標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果證明MWOA具有更高的收斂速度、收斂精度以及全局搜索能力。（2）將其應(yīng)用于智能制造單元中的6R工業(yè)機(jī)器人的軌跡優(yōu)化中，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于MWOA的軌跡優(yōu)化在保證研究本體運(yùn)行平穩(wěn)的同時(shí)，各路徑的運(yùn)行時(shí)間分別縮短了約30%、49%和20%，達(dá)到了時(shí)間優(yōu)化的目的，可為相關(guān)領(lǐng)域的研究提供一定的參考價(jià)值和理論支撐。