深度教學(xué)理念下實(shí)數(shù)指數(shù)冪教學(xué)之探究

李晶晶 李 芹 陸立偉

(1.江蘇省鹽城市特殊教育中等專業(yè)學(xué)校 224000；2.江蘇省鹽城特殊教育學(xué)校 224000)

當(dāng)今社會(huì)正處于知識(shí)爆炸的年代，我們汲取知識(shí)的速度往往難以趕上知識(shí)更替的頻率，這就要求我們要學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)深度學(xué)習(xí)，用有限的時(shí)間獲取最大限量的知識(shí).“深度教學(xué)”要求我們必須超越具體知識(shí)和技能，深入到思維的層面實(shí)現(xiàn)思維品質(zhì)的提升，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，進(jìn)行有效地學(xué)習(xí).因而，數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)借助設(shè)置階梯型、體驗(yàn)型、合作型、反思型等能夠讓學(xué)生走向“最近發(fā)展區(qū)”的問題，激發(fā)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)、求證數(shù)學(xué)結(jié)論的好奇心，提升學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知水平，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維的提升與發(fā)展.

在具體的教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)中職《數(shù)學(xué)》(第一冊(cè))中第四章第1節(jié)《實(shí)數(shù)指數(shù)冪》的教材內(nèi)容比較瑣碎和復(fù)雜，使用起來不夠方便.對(duì)此，我特地做了一些思考和研究，認(rèn)為從知識(shí)的拓展與重建方面入手，或許更有助于知識(shí)的學(xué)習(xí)和理解.下面作簡(jiǎn)單說明.

1 由簡(jiǎn)到繁捋求知路，類比拓展見新思維

深度教學(xué)不是拔高教學(xué)難度，而是引導(dǎo)學(xué)生充分思考、發(fā)展學(xué)習(xí)能力的教學(xué).深度教學(xué)的實(shí)現(xiàn)離不開學(xué)生的參與.授課時(shí)教師要立足于深度教學(xué)的內(nèi)涵和特點(diǎn)，以學(xué)生為中心，引入數(shù)學(xué)思想方法，滲透數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，通過遷移經(jīng)驗(yàn)讓學(xué)生深入理解基礎(chǔ)知識(shí)，掌握學(xué)習(xí)方法，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)效果.

處于中職學(xué)段的學(xué)生都有著“數(shù)的拓展”的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，如圖1所示，重新整理一下如圖2所示.經(jīng)過拓展以后，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中關(guān)于數(shù)的知識(shí)框架如圖3所示.

圖1 圖2 圖3

關(guān)于指數(shù)冪，中職學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)是整數(shù)指數(shù)冪，部分基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生的現(xiàn)有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)只是正整數(shù)指數(shù)冪.鑒于上面“數(shù)的拓展”，結(jié)合學(xué)生的現(xiàn)有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)教師可以嘗試引導(dǎo)學(xué)生利用類比遷移的方法將(正)整數(shù)指數(shù)冪進(jìn)行推廣或拓展為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪乃至有理數(shù)指數(shù)冪，進(jìn)而推廣拓展到實(shí)數(shù)指數(shù)冪，如圖4所示.

圖4

2 精準(zhǔn)復(fù)習(xí)固舊知識(shí)，深度學(xué)習(xí)練新體會(huì)

首先，引導(dǎo)學(xué)生回憶整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算規(guī)則.

2.1 整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算規(guī)則(分類記憶)

am·an=am+n

(am)n=amn

(ab)m=am·bm

大部分學(xué)生可能只能回憶起前兩個(gè)公式，后面三個(gè)公式可能會(huì)有點(diǎn)混亂.此時(shí)，數(shù)學(xué)老師可以引導(dǎo)學(xué)生給公式起名并分類，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察，充分歸類.采用分類記憶法重新構(gòu)建整數(shù)指數(shù)冪知識(shí)樹，見表1.

表1

2.2 整數(shù)指數(shù)冪(深度復(fù)習(xí))

深度教學(xué)不僅僅是要求學(xué)生記住公式，還要讓學(xué)生懂得公式的來龍去脈，懂得如何推導(dǎo)公式，哪怕有一天公式忘記了，能夠根據(jù)公式推導(dǎo)原理隨時(shí)推導(dǎo)公式.

為了研究的方便，此處將整數(shù)指數(shù)冪分為指數(shù)為正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)的指數(shù)冪，并分別取名為“正整數(shù)指數(shù)冪”“零指數(shù)冪”和“負(fù)整數(shù)指數(shù)冪”.下面從深度教學(xué)的角度逐一講解.

2.2.1 正整數(shù)指數(shù)冪

2.2.2 零指數(shù)冪

零指數(shù)冪即a0=1，此項(xiàng)可以省略不研究，或者直接歸結(jié)到“正整數(shù)指數(shù)冪”行列.

2.2.3 負(fù)整數(shù)指數(shù)冪

(負(fù)整數(shù)指數(shù)“轉(zhuǎn)化為” 正整數(shù)指數(shù))

3 類比遷移探新問題，深度教學(xué)化新認(rèn)知

根據(jù)數(shù)的拓展知識(shí)，復(fù)習(xí)完整數(shù)指數(shù)冪，自然而然就會(huì)想到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.采用同樣的方法，以指數(shù)的正負(fù)進(jìn)行分類，將指數(shù)冪分為指數(shù)為正、負(fù)的指數(shù)冪，并命名為“正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪”和“負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪”，如下所示.

3.1 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

對(duì)于正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的學(xué)習(xí)，我們同樣不能只滿足于記憶公式，而是要懂得公式的來源與推導(dǎo)過程.接下來我們逐一推導(dǎo).

3.2 正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

【公式推導(dǎo)】

推導(dǎo)依據(jù)：冪的乘方運(yùn)算

思想方法：轉(zhuǎn)化思想、整體思想、設(shè)元思想

【反思】授人以魚不如授人以漁，要教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)用已有知識(shí)解決未知問題，即化未知為已知.幫助學(xué)生建立起知識(shí)樹，懂得知識(shí)原理，懂得溯源，懂得使用的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會(huì)歸納總結(jié)，實(shí)現(xiàn)有意義學(xué)習(xí).

3.3 負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

【公式推導(dǎo)】

推導(dǎo)依據(jù)：同底數(shù)冪相除

思想方法：轉(zhuǎn)化思想、整體思想、設(shè)元思想、發(fā)散思維

4 整合歸納建知識(shí)樹，新舊銜接強(qiáng)干枝葉

4.1 有理數(shù)指數(shù)冪與實(shí)數(shù)指數(shù)冪

通過上面的探究學(xué)習(xí)，我們可以很容易地將整數(shù)指數(shù)冪拓展到有理數(shù)指數(shù)冪，如圖5所示.

圖5

在有理數(shù)指數(shù)冪的基礎(chǔ)上做進(jìn)一步的推廣與拓展，將得到實(shí)數(shù)指數(shù)冪，如圖6所示.

4.2 實(shí)數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算規(guī)則

對(duì)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算規(guī)則作進(jìn)一步推廣，將得到實(shí)數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算規(guī)則，并重新做歸納分類，如表2.

表2

總之，教師應(yīng)該充分利用學(xué)生的現(xiàn)有學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，利用聯(lián)系、遷移、轉(zhuǎn)化等方法，盡可能創(chuàng)造“最近發(fā)展區(qū)”，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)化未知為已知，用已有的知識(shí)解決未知的問題.引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建自己的知識(shí)樹，拓展知識(shí)、豐富知識(shí)，在教師深度教學(xué)的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí).