關(guān)于分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

馬 勇

（甘肅省臨夏市第一中學(xué)，甘肅臨夏 731100）

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識和解決數(shù)學(xué)問題時，每項數(shù)學(xué)結(jié)論都有其相應(yīng)的成立條件，而且部分問題的結(jié)論并不是唯一的。教師應(yīng)用分類討論思想引導(dǎo)學(xué)生探究，可以將復(fù)雜的問題分解成若干小問題，然后根據(jù)不同的分類標(biāo)準(zhǔn)和題目要求逐一研究，最終達(dá)到有效學(xué)習(xí)和解題的目的。因此，教師應(yīng)當(dāng)明晰分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價值，合理選擇分類討論對象，啟發(fā)學(xué)生站在分類討論的角度學(xué)習(xí)新知、攻克難點(diǎn)，從而培育學(xué)生數(shù)學(xué)思維和分類探索意識。

一、分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價值

數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的分類討論思想，主要是指在數(shù)學(xué)對象不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究的情況下，將所有研究問題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，劃分為若干不同類別，把復(fù)雜的問題細(xì)化、條理化，再研究出每個分類問題的結(jié)論，經(jīng)過結(jié)果的綜合和歸納，得到數(shù)學(xué)對象的研究結(jié)論或問題的正確解答。經(jīng)過學(xué)情分析和廣泛的理論實踐研究，現(xiàn)將分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價值總結(jié)為如下三點(diǎn)。

（一）應(yīng)用分類討論思想有助于提高學(xué)生分析數(shù)學(xué)問題的能力

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，部分問題的結(jié)論或答案并不是唯一確定的，學(xué)生在解題時意識不到這一點(diǎn)，求出的結(jié)果不符合問題的特點(diǎn)和要求，這些都是學(xué)生分類討論思想薄弱的表現(xiàn)。教師加強(qiáng)應(yīng)用分類討論思想開展教學(xué)，最突出的價值就是有助于提高學(xué)生分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力。如針對結(jié)論存在多種情況的數(shù)學(xué)問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生分情況、分標(biāo)準(zhǔn)逐級討論，然后把各項討論結(jié)果匯總到一起，得出數(shù)學(xué)問題的完整答案，這樣學(xué)生就會逐步養(yǎng)成分類思考習(xí)慣和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，避免學(xué)生陷入片面化的數(shù)學(xué)問題分析誤區(qū)。

（二）應(yīng)用分類討論思想有助于優(yōu)化數(shù)學(xué)探究方式

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)以就題論題、死套模式為主，教師一般將數(shù)學(xué)知識或解題原理直接灌輸給學(xué)生，學(xué)生缺乏有效的探究活動過程，影響學(xué)生探究能力、邏輯思維的進(jìn)一步發(fā)展。在數(shù)學(xué)教學(xué)中引入分類討論思想，對優(yōu)化數(shù)學(xué)探究方式大有裨益。如在探索某項數(shù)學(xué)方法的適用范圍時，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生按照統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，對數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用途徑進(jìn)行分類，針對每個類別列舉相應(yīng)的應(yīng)用實例，組織學(xué)生合作交流、互相辯駁例子是否恰當(dāng)，最后得出數(shù)學(xué)方法的適用范圍，顯著加強(qiáng)學(xué)生的思辨能力、合作探究能力，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)清數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)，使初中數(shù)學(xué)教學(xué)真正擺脫灌輸模式。

（三）應(yīng)用分類討論思想有助于學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識

初中數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)，在于培養(yǎng)學(xué)生知識遷移和實踐運(yùn)用能力，目前大部分學(xué)生在分析和解答數(shù)學(xué)問題時，思維都不夠開闊，無法多角度思考問題、變通地應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識解決問題。教師基于分類討論思想實施數(shù)學(xué)教學(xué)，最顯著的優(yōu)勢就是能促進(jìn)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，如數(shù)學(xué)問題的已知量是用字母形式給出的，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對字母的取值范圍展開分類討論，得出與不同取值相對應(yīng)的題目結(jié)果；若數(shù)學(xué)問題涉及多項概念、定理和公式，教師可以啟發(fā)學(xué)生分類討論，運(yùn)用各項基礎(chǔ)知識探究問題的不同解法，從而確保學(xué)生解題方向正確、有效遷移運(yùn)用基礎(chǔ)知識技能。

二、分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

（一）創(chuàng)設(shè)分類討論情境，引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)分類思想

分類討論在思維體系中，屬于一種直覺上的區(qū)別印象，即在某項標(biāo)準(zhǔn)下能夠迅速發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)區(qū)別。學(xué)生的分類討論思想還處于形成階段，教師在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用分類討論思想，必須先培育學(xué)生的分類意識和分類討論習(xí)慣，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)對象的區(qū)別印象。情境創(chuàng)設(shè)法適用于數(shù)學(xué)分類討論，教師應(yīng)該立足數(shù)學(xué)課程，聯(lián)系生活實際，創(chuàng)設(shè)多樣化的分類討論情境，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行逐類分類、分級，探討階段性結(jié)果，進(jìn)而按標(biāo)準(zhǔn)檢驗篩選結(jié)果、得出最終結(jié)論，這樣學(xué)生就能真正體會數(shù)學(xué)分類思想。

1.創(chuàng)設(shè)生活化分類討論情境。分類在生活中是無處不在的，教師創(chuàng)設(shè)分類討論情境應(yīng)該加強(qiáng)引入生活素材。如在關(guān)于直方圖的數(shù)學(xué)課程中，教師可以創(chuàng)設(shè)學(xué)校組織廣播體操比賽的生活情境，使用電子白板為學(xué)生出示一份身高調(diào)查表，同時提出分類討論問題：同學(xué)們，如果比賽要選拔身高差不多的同學(xué)參加，該如何對調(diào)查表上的身高數(shù)據(jù)進(jìn)行分類和分組呢？學(xué)生隨即展開熱烈討論，有學(xué)生表示要計算出身高數(shù)據(jù)最大值和最小值的差，有學(xué)生認(rèn)為應(yīng)該劃分出組距和組數(shù)，還有學(xué)生補(bǔ)充要編制出頻數(shù)分布表。教師認(rèn)同學(xué)生分類討論結(jié)果后，就可以讓學(xué)生分小組計算和繪圖，畫出和身高調(diào)查表相對應(yīng)的直方圖，然后引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)不同的身高取值范圍讀圖，最終得出人數(shù)最多的身高范圍，使學(xué)生在真實的生活情境中體驗到分類討論思想［1］。

2.利用舊知識引出分類討論情境。以舊知識做鋪墊創(chuàng)設(shè)分類討論情境，有助于學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)研究對象關(guān)聯(lián)的分類要素。如在探究一元二次方程根的判別式意義時，教師導(dǎo)學(xué)時可以提出復(fù)習(xí)問題：同學(xué)們，我們之前學(xué)過多種一元二次方程的解法，大家能分類列舉出來嗎？學(xué)生經(jīng)過討論和補(bǔ)充，完整闡述三種解法。隨后，教師在電子白板上根據(jù)學(xué)生提出的解法，列出三道對應(yīng)的方程式例題，鼓勵學(xué)生運(yùn)用解法比賽解方程，學(xué)生解出結(jié)果教師做記錄，之后提出分類討論問題：同學(xué)們，請大家認(rèn)真觀察白板上三個方程解答結(jié)果根的情況，是一致的還是不同的？如果不同，能詳細(xì)說出區(qū)別嗎？學(xué)生討論判別后表示根的情況是不同的，有的是存在兩個相等的實數(shù)根，有的存在兩個不相等的實數(shù)根，有的則沒有實數(shù)根。接下來，教師讓學(xué)生繼續(xù)討論方程根存在不同情況的原因，并出示教材例題，發(fā)布分類討論任務(wù)：同學(xué)們，請大家合作求解這道例題，探討例題分別在哪種情況下有兩個相等的實數(shù)根、兩個不相等的實數(shù)根以及沒有實數(shù)根。學(xué)生討論后準(zhǔn)確找到例題中根的判別式，教師適時向?qū)W生滲透判別式的表示符號和讀法，重新回扣到例題，鼓勵學(xué)生運(yùn)用判別式判別例題的根情況，這樣學(xué)生既習(xí)得分類討論的思想方法，也感知到數(shù)學(xué)思想的嚴(yán)密性［2］。

（二）數(shù)學(xué)概念分類討論，促進(jìn)學(xué)生掌握概念分類標(biāo)準(zhǔn)

數(shù)學(xué)概念是分類討論的主要對象，包括對數(shù)學(xué)概念的分段定義，對數(shù)學(xué)公式、定理、法則的分段表達(dá)等。大部分?jǐn)?shù)學(xué)概念的成立條件都是特定的，需要區(qū)分不同的情況來定義，還有一些數(shù)學(xué)公式、性質(zhì)定義存在特殊的限制條件。教師在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)用分類討論思想時，應(yīng)該根據(jù)概念的實際運(yùn)用，結(jié)合概念的成立條件和限制條件，引導(dǎo)學(xué)生確定概念的分類標(biāo)準(zhǔn)開展討論，從而鞏固學(xué)生的概念基礎(chǔ)。

1.分類討論相似的數(shù)學(xué)概念。初中數(shù)學(xué)課程中，部分概念知識存在相似性，是教師實施分類討論的重點(diǎn)。如在學(xué)習(xí)絕對值概念時，學(xué)生容易混淆絕對值和相反數(shù)，教師可以利用生活中三個地點(diǎn)的距離問題，先引導(dǎo)學(xué)生用有理數(shù)表示出各地點(diǎn)之間的距離，然后在電子白板上畫出一條數(shù)軸，數(shù)軸原點(diǎn)表示位置居中的地點(diǎn)，讓學(xué)生在數(shù)軸上標(biāo)出另外兩個地點(diǎn)和原點(diǎn)的距離。接下來教師提問：同學(xué)們，觀察數(shù)軸上兩個點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生觀察思考后作答：數(shù)軸左右兩邊的點(diǎn)到原點(diǎn)距離相等。教師引導(dǎo)學(xué)生寫出相應(yīng)的正負(fù)數(shù)，繼續(xù)提問：那么這兩個數(shù)如果去掉正負(fù)號，它們存在什么關(guān)系？學(xué)生：相等。教師順勢引出相反數(shù)的概念，然后揭示分類討論任務(wù)：同學(xué)們再看數(shù)軸，兩個點(diǎn)到原點(diǎn)的距離和什么有關(guān)？和什么無關(guān)？學(xué)生討論后反饋：和點(diǎn)到原點(diǎn)的長度有關(guān)，和點(diǎn)對應(yīng)有理數(shù)的正負(fù)性無關(guān)。最后，教師讓學(xué)生對照教材，討論絕對值和相反數(shù)的區(qū)別，掌握絕對值的表示方法，這樣學(xué)生就通過分類討論明確了相似數(shù)學(xué)概念的不同點(diǎn)［3］。

2.分類討論數(shù)學(xué)概念的適用范圍。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師也可以應(yīng)用分類討論思想，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的適用范圍。如在探究函數(shù)圖像的增減性時，教師可以在電子白板上出示反比例函數(shù)的圖像，然后給出反比例函數(shù)自變量大于零和小于零的兩個值，引導(dǎo)學(xué)生分類討論在不同取值范圍下，函數(shù)圖像上點(diǎn)的增減變化規(guī)律。學(xué)生分類討論后得出結(jié)論：當(dāng)反比例函數(shù)自變量大于零時，圖像的兩支曲線位于一、三象限，每一象限內(nèi)y 的值隨x 的增大而減小，自變量小于零時，曲線分別位于二、四象限，每一象限內(nèi)y 的值隨x 的增大而增大。這樣學(xué)生在函數(shù)圖像中獲取信息的能力得到強(qiáng)化，同時分類討論得出反比例函數(shù)性質(zhì)和適用范圍。

（三）幾何問題分類討論，幫助學(xué)生認(rèn)清圖形性質(zhì)特點(diǎn)

數(shù)學(xué)幾何問題的探究，也適合應(yīng)用分類討論思想，主要針對圖形位置不確定、圖形形狀不確定兩種情況。教師在實際教學(xué)中，應(yīng)該利用幾何圖形位置或形狀的不確定性，帶領(lǐng)學(xué)生分類討論不同情況下幾何圖形的性質(zhì)或位置關(guān)系，幫助學(xué)生認(rèn)清圖形的性質(zhì)特點(diǎn)，同時向?qū)W生滲透分類討論、數(shù)形結(jié)合、類比等數(shù)學(xué)研究方法，提高學(xué)生解決幾何問題的效率。

教師在基于幾何問題應(yīng)用分類討論思想時，必須根據(jù)數(shù)學(xué)課程選擇存在多種可能的分類研究對象。如在有關(guān)探究直線和圓位置關(guān)系的課程中，教師可以組織學(xué)生開展數(shù)學(xué)小實驗：同學(xué)們，請大家在驗算紙上用圓規(guī)畫一個圓，然后把格尺放在圓上面上下移動，假如我們將格尺的邊緣看作一條直線，你認(rèn)為格尺在上下移動過程中和圓存在幾種位置關(guān)系呢？學(xué)生旋即展開手動實驗操作，操作完畢后學(xué)生反饋三種位置關(guān)系的情況，即相交、相切和相離。緊接著，教師在白板上出示圓和直線三種位置關(guān)系的模擬動畫，提出分類討論問題：同學(xué)們，針對這三種位置關(guān)系情況，大家是否能逐一說明在不同位置關(guān)系中，圓和直線的公共點(diǎn)數(shù)量？學(xué)生分類討論期間，教師可以讓學(xué)生上臺指出每種位置關(guān)系的公共點(diǎn)，也可以在演算紙上標(biāo)出格尺移動時產(chǎn)生的公共點(diǎn)，學(xué)生分類討論后匯報：圓和直線相交時有兩個公共點(diǎn)，相切時有一個公共點(diǎn)，相離時沒有公共點(diǎn)。隨后，教師指導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)觀察模擬動畫，分析圓與直線位置關(guān)系變化時，圓心到直線的距離變化情況，分類討論直線和圓在相交、相切、相離三種情況下，比較圓心到直線和圓半徑的大小，學(xué)生經(jīng)過分類討論得出結(jié)論：圓和直線相交、相切和相離時，圓心到直線的距離分別小于、等于和大于圓半徑。這樣學(xué)生就能在類比、分類討論以及數(shù)形結(jié)合的角度，感受到幾何圖形數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的對應(yīng)與等價［4］。

（四）解題教學(xué)綜合分類，強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)實踐解題技能

分類討論思想除了適用于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)，在實際解題中也發(fā)揮著重要作用。學(xué)生遷移運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的能力有待加強(qiáng)，面對較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)應(yīng)用類問題，學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)思維混亂的現(xiàn)象，分析問題時忽略重要的隱含條件、看不清問題的本質(zhì)，這些都阻礙學(xué)生有效解題。教師在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中應(yīng)用分類討論思想時，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生綜合分類，先找出問題的已知、隱含和所求條件，再分析問題涉及的概念、定理或公式，通過分類討論構(gòu)建解題思路，從而強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)實踐解題技能。

如在一題多解的數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題探究中，教師可以先組織學(xué)生分析題面：同學(xué)們，認(rèn)真閱讀這道題，你能得到哪些有價值的信息？學(xué)生參與題面分析和討論時，教師在白板上寫出已知量、未知量、隱含條件三個關(guān)鍵詞，并在關(guān)鍵詞下方記錄學(xué)生反饋的分析信息。隨后，教師提問：同學(xué)們，觀察白板上列出的題設(shè)信息，這道題屬于什么問題？在學(xué)過的數(shù)學(xué)知識中，哪些定理或公式適用于解題？請大家分組討論。幾分鐘后，各組學(xué)生反饋討論結(jié)果，對比后學(xué)生發(fā)現(xiàn)每組提出的解題公式和定理并不完全相同，教師把每一種解題思路都列出來，組織各小組分類討論，讓提出解題公式和定理的小組闡述理由和依據(jù)，其他小組判斷是否合理。最后，教師把合理的解題方法匯總到一起，鼓勵學(xué)生根據(jù)不同的解題思路列式計算，核對解題結(jié)果是一致的，使學(xué)生經(jīng)歷在實踐解題中應(yīng)用分類討論思想的過程［5］。

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用分類討論思想，不但有助于提高學(xué)生分析數(shù)學(xué)問題的能力，也能優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)的探究方式，還能促進(jìn)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識。教師應(yīng)該根據(jù)數(shù)學(xué)課程創(chuàng)設(shè)分類討論情境，引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)分類思想，在數(shù)學(xué)概念、幾何問題以及解題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生開展分類討論活動，促使學(xué)生掌握概念分類標(biāo)準(zhǔn)，幫助學(xué)生認(rèn)清幾何圖形的性質(zhì)特點(diǎn)以及位置關(guān)系變化規(guī)律，鍛煉學(xué)生分類、簡化復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的技能，從而發(fā)揮分類討論思想的實踐教學(xué)功用。