基于MATLAB的滾柱活齒傳動(dòng)滑動(dòng)特性研究

王冉 王士軍 杜雅寧 齊娜 鄭蘇芮

（山東理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山東 淄博 255000）

滾柱活齒傳動(dòng)與行星齒輪傳動(dòng)、諧波傳動(dòng)和RV傳動(dòng)相比具有很多優(yōu)點(diǎn)，如結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)比范圍廣、嚙合度高、承載能力大、傳動(dòng)效率高和制造成本低[1]。隨著活齒傳動(dòng)技術(shù)不斷發(fā)展，逐漸被廣泛應(yīng)用于工業(yè)自動(dòng)化、數(shù)控機(jī)床、衛(wèi)星技術(shù)、工業(yè)機(jī)器人和數(shù)控機(jī)床等領(lǐng)域。因此，研究滾柱活齒傳動(dòng)是一項(xiàng)具有巨大應(yīng)用前景的研究?；瑒?dòng)率和滑滾比作為滾柱活齒傳動(dòng)的重要參數(shù)，與傳動(dòng)效率和活齒嚙合過程中的磨損密切相關(guān)，然而針對(duì)活齒傳動(dòng)相關(guān)的滑動(dòng)率和滑動(dòng)比系統(tǒng)性研究非常少。因此，研究設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)滾柱活齒傳動(dòng)的滑動(dòng)率和滑滾比的影響變得越來越重要。

在目前的研究中，滾柱活齒傳動(dòng)的研究主要討論中心輪齒形設(shè)計(jì)、傳動(dòng)特性分析、嚙合剛度及承載性研究、嚙合建模與仿真。宜亞麗等提出一種計(jì)算對(duì)數(shù)修形復(fù)合滾柱活齒嚙合變形量的方法，分析了不同填充度對(duì)滾柱活齒嚙合剛度的影響規(guī)律，并通過有限元分析對(duì)嚙合處等效應(yīng)力圖進(jìn)行了對(duì)比分析[2]。王志剛等建立了滾柱活齒傳動(dòng)平移-純扭轉(zhuǎn)耦合動(dòng)力學(xué)模型，建立系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)微分方程，通過改變參數(shù)偏心距和嚙合阻尼，分析了參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)非線性動(dòng)態(tài)的影響[3]。韓曉娟等提出了一種新型可實(shí)現(xiàn)任意齒差數(shù)的活齒傳動(dòng)，推導(dǎo)出中心輪齒廓方程，并對(duì)中心輪齒廓曲率、重合度和壓力角進(jìn)行了影響因素分析[4]。Kato K提出了一種單球傳動(dòng)活齒減速器，提高了能量效率，減少了傳動(dòng)滑移，簡化了機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)[5]。李勇進(jìn)等用“等效機(jī)構(gòu)法”推導(dǎo)了二齒差滾柱活齒傳動(dòng)的嚙合曲線，提出了用矢量法求解激波凸輪中心輪實(shí)際齒廓線的方法，分析了不同參數(shù)修形方式與中心輪實(shí)際廓線曲率的關(guān)系[6]。陳楊等結(jié)合活齒嚙合原理，對(duì)滾柱活齒傳動(dòng)的嚙合副進(jìn)行研究，建立相關(guān)嚙合方程，采用可視化編程進(jìn)行了滾柱活齒傳動(dòng)的建模與仿真[7]。張帥等針對(duì)二齒差純滾動(dòng)活齒內(nèi)齒圈提出基于UG NX設(shè)計(jì)平臺(tái)的三維數(shù)字化設(shè)計(jì)與加工的方法，并進(jìn)行了建模與仿真，提高了工作效率[8]。

基于滾柱活齒傳動(dòng)的研究不少，但關(guān)于滾柱活齒的滑動(dòng)特性很少有人研究。在本文中，通過結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和工作原理推導(dǎo)出滾柱活齒傳動(dòng)的數(shù)學(xué)模型和運(yùn)動(dòng)學(xué)模型[9-10]，基于MATLAB軟件分析了設(shè)計(jì)參數(shù)激波器半徑、活齒半徑、傳動(dòng)比和偏心距對(duì)滑動(dòng)率和滑滾比的影響。

1 滾柱活齒傳動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)原理

滾柱活齒傳動(dòng)主要有4個(gè)部分組成：激波器H、滾柱活齒G、中心輪K和活齒架M，如圖1所示。

圖1 滾柱活齒傳動(dòng)結(jié)構(gòu)圖

在滾柱活齒傳動(dòng)中激波器采用偏心凸輪，本文的研究對(duì)象中心輪是固定的，中心輪、活齒架和激波器是運(yùn)動(dòng)部件，利用機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)換法，假設(shè)給活齒施加一個(gè)與其周向角速度大小相等方向相反的角速度，此時(shí)活齒在活齒槽中作上下往復(fù)運(yùn)動(dòng)，設(shè)激波器的角速度為ωH，中心輪的角速度為ωK，滾柱活齒的角速度為ωG，根據(jù)三者的運(yùn)動(dòng)關(guān)系可以計(jì)算出傳動(dòng)比如式（1）所示。

本文的中心輪是固定的，激波器作為輸入帶動(dòng)滾柱活齒轉(zhuǎn)動(dòng)，在活齒架和中心輪的約束下，滾柱活齒驅(qū)動(dòng)活齒架輸出角速度，其中ωK為0，偏心凸輪作為激波器通常為一齒差結(jié)構(gòu)，計(jì)算傳動(dòng)比如式（2）所示。

式中：ZK為中心輪齒數(shù)；ZG為活齒齒數(shù)；“+”表示同向傳動(dòng)；“-”表示反向傳動(dòng)。

滾柱活齒傳動(dòng)的中心輪齒形設(shè)計(jì)對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)是十分重要的，通常需要根據(jù)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)來確定，首先根據(jù)激波器和活齒的運(yùn)動(dòng)軌跡確定滾柱活齒的運(yùn)動(dòng)曲線方程，中心輪的齒廓曲線則為滾柱活齒的外包絡(luò)曲線。

如圖2a所示為滾柱活齒傳動(dòng)結(jié)構(gòu)簡圖，在OXY坐標(biāo)系中已知中心輪固定，激波器作為輸入構(gòu)件以某一角速度順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，滾柱活齒在激波器的作用下與中心輪嚙合，在中心輪的約束下推動(dòng)活齒架以恒定角速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

設(shè)滾柱活齒中心曲線的徑向矢量OM=p，激波器半徑為Rd，激波器的偏心距為e，活齒的半徑為r。確定參數(shù)后可以得到中心輪理論齒廓線方程s-s方程為

式中：p為活齒中心的徑向矢量可以用方程表示為

式中：θH為激波器的轉(zhuǎn)角；θG為滾柱活齒的轉(zhuǎn)角。

如圖2b所示，中心輪實(shí)際齒廓線s′-s′為中心輪理論齒廓線的外等距線，α為y軸與s′-s′法線在嚙合點(diǎn)的夾角。中心輪的工作齒廓線可以表示為

通過包絡(luò)原理和如圖2所示結(jié)構(gòu)分析得到中心輪理論齒廓線s-s和實(shí)際齒廓線s′-s′進(jìn)而確定具體設(shè)計(jì)參數(shù)，如表1所示為本文研究的滾柱活齒傳動(dòng)基本設(shè)計(jì)參數(shù)。

表1 滾柱活齒基本設(shè)計(jì)參數(shù)

圖2 滾柱活齒傳動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

2 滾柱活齒傳動(dòng)滑動(dòng)模型的建立

滾柱活齒傳動(dòng)由兩個(gè)高副和一個(gè)低副組成，高副在運(yùn)動(dòng)過程中因接觸點(diǎn)切向速度不同會(huì)產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)。滾柱活齒和中心輪之間的嚙合狀態(tài)是滾動(dòng)與滑動(dòng)并存的，滑動(dòng)狀態(tài)的增加會(huì)產(chǎn)生較多的摩擦，造成運(yùn)動(dòng)構(gòu)件的損耗、傳動(dòng)不穩(wěn)定和傳動(dòng)效率低等問題。解決上述問題最好的方式就是提高滾柱活齒在工作過程中的滾動(dòng)狀態(tài)。

目前國內(nèi)外文獻(xiàn)中對(duì)滑動(dòng)率的研究非常少，本文基于對(duì)一般曲線的滑動(dòng)率和滑滾比的研究結(jié)合滾柱活齒的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將運(yùn)動(dòng)過程中滾柱活齒與中心輪的嚙合點(diǎn)相對(duì)滑動(dòng)速度和切向速度的比值定義為滑動(dòng)率。

式中：V1和V2分別為嚙合點(diǎn)1和2處的切向速度；S1和S2分別為嚙合點(diǎn)1和2的滑動(dòng)率。

滑滾比可通過下式計(jì)算得到：

以滾柱活齒為研究對(duì)象，將滾柱活齒的速度進(jìn)行分解：一是滾柱活齒在激波器驅(qū)動(dòng)和中心輪齒形的約束下作圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)的速度為VGg；二是滾柱活齒在活齒槽圍繞滾柱銷作自由轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)的速度為VGt；三是滾柱活齒在活齒架內(nèi)作上下往復(fù)運(yùn)動(dòng)，此時(shí)的速度為VGn，這3個(gè)方面的速度可用下式計(jì)算：

式中：VHt=VG/sinδi，VG=qωH，ωH=iωG，δi=π/2-ηi，μi=π-δi-γi，φi=2γi-ηi，

在滾柱活齒運(yùn)動(dòng)過程中有兩個(gè)方面會(huì)產(chǎn)生滑動(dòng)，一方面為激波器與滾柱活齒之間，一方面中心輪與滾柱活齒之間。如圖3所示建立了滾柱活齒傳動(dòng)滑動(dòng)模型，假設(shè)激波器和滾柱活齒在嚙合點(diǎn)N2處為純滾動(dòng)接觸，中心輪與滾柱活齒在嚙合點(diǎn)N1處運(yùn)動(dòng)規(guī)律不同又相互制約，因此中心輪與滾柱活齒之間一定會(huì)產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)。根據(jù)嚙合原理和一般曲線的滑動(dòng)率公式確定計(jì)算公式。

圖3 滾柱活齒傳動(dòng)滑動(dòng)模型

中心輪滑動(dòng)率S1計(jì)算公式為

滾柱活齒滑動(dòng)率S2計(jì)算公式為

滾柱活齒傳動(dòng)滑滾比S3計(jì)算公式為

式中：VKg=VGt。

3 參數(shù)對(duì)滑動(dòng)率和滑滾比的影響分析

通過上述建立的滑動(dòng)模型和方程，利用MATLAB軟件編寫程序，建立數(shù)值建模仿真[11]，分析滾柱活齒傳動(dòng)設(shè)計(jì)參數(shù)激波器半徑Rd、滾柱活齒半徑r、激波器偏心距e和傳動(dòng)比i對(duì)滑動(dòng)率和滑滾比的影響規(guī)律。

在保證其他設(shè)計(jì)參數(shù)不變的情況下，研究激波器半徑Rd對(duì)滾柱活齒傳動(dòng)滑動(dòng)率和滑滾比的影響，將激波器半徑從55 mm增加到75 mm，每次增加5 mm，經(jīng)過數(shù)值建模分析得到激波器半徑對(duì)滾柱活齒傳動(dòng)滑動(dòng)率和滑動(dòng)比影響如圖4所示。

由圖4a可知，當(dāng)活齒轉(zhuǎn)角θG從0逐漸增加到0.448 7 rad時(shí)，激波器轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，滾柱活齒完成從齒根到齒頂再次回到齒根的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，中心輪滑動(dòng)率S1先增大后減小，滑動(dòng)率的變化率先增大后減小，在齒頂滑動(dòng)率的變化率達(dá)到最小，在滾柱活齒和中心輪的嚙合點(diǎn)處，中心輪滑動(dòng)率的變化率最大。當(dāng)激波器半徑增加時(shí)，中心輪滑動(dòng)率峰值增大，激波器半徑每增加5 mm，中心輪滑動(dòng)率峰值增大約0.21%，滑動(dòng)率變化趨勢(shì)越來越平緩。

由圖4b可知，隨著活齒轉(zhuǎn)角θG從0增加到0.448 7 rad，活齒滑動(dòng)率S2先減小后增大，活齒滑動(dòng)率變化率先增大后減小，在嚙合點(diǎn)處滑動(dòng)率變化率最大，在齒頂處變化率最小。隨著激波器半徑每增加5 mm，活齒滑動(dòng)率峰值減小約6.67%，滑動(dòng)率變化趨勢(shì)越來越平緩。

圖4 激波器半徑對(duì)滑動(dòng)率和滑滾比的影響

由圖4c可知，隨著活齒轉(zhuǎn)角θG從0增加到0.448 7 rad，滑滾比S3先減小后增大，在嚙合點(diǎn)處滑滾比的變化率最大，在齒頂處變化率最小，滑滾比的峰值出現(xiàn)在中心輪的齒根處，激波器半徑每增加5 mm，滑滾比峰值減小約1.62%。

在保證其他參數(shù)不變時(shí)，研究滾柱活齒半徑r對(duì)滾柱活齒傳動(dòng)的滑動(dòng)率和滑滾比影響，將滾柱活齒半徑從4 mm增加到8 mm，每次增加1 mm，得到滾柱活齒半徑對(duì)滑動(dòng)率和滑動(dòng)比的影響如圖5所示。

圖5 滾柱活齒半徑r對(duì)滑動(dòng)率和滑動(dòng)比的影響

由圖5a和5b可知，隨著活齒轉(zhuǎn)角θG從0到0.448 7 rad，中心輪滑動(dòng)率S1先增大后減小，滑動(dòng)率變化率較小。隨著滾柱活齒半徑的增大中心輪滑動(dòng)率峰值減小，在齒頂處達(dá)到峰值，每增大1 mm，峰值減小約0.54%?；铨X滑動(dòng)率S2正好相反，隨著活齒轉(zhuǎn)角θG增加，活齒滑動(dòng)率S2先減小后增大，滑動(dòng)率變化率較大，隨著活齒半徑的增大，活齒滑動(dòng)率峰值增大，每增大1 mm，峰值增大約10.3%。

由圖5c可知，隨著活齒轉(zhuǎn)角θG從0增加到0.448 7 rad，滑滾比S3先減小后增大，滑滾比變化率在嚙合點(diǎn)處最大，在齒頂處滑動(dòng)率變化率最小。隨著滾柱活齒半徑的增大，滑滾比峰值增大，增大的速度越來越慢。

當(dāng)保證其他參數(shù)不變時(shí)，研究偏心距e從2 mm增加到4 mm，每次增加0.5 mm對(duì)滾柱活齒傳動(dòng)的滑動(dòng)率和滑動(dòng)比的影響，如圖6所示。

圖6 偏心距e對(duì)滑動(dòng)率和滑滾比的影響

由圖6a和6b可知，隨著活齒轉(zhuǎn)角θG從0到0.448 7 rad，中心輪滑動(dòng)率S1先增大后減小，滑動(dòng)率變化率較小，活齒滑動(dòng)率S2先減小后增大，滑動(dòng)率變化率較大。隨著偏心距的增加，中心輪滑動(dòng)率峰值增大，每增加0.5 mm，中心輪滑動(dòng)率峰值增大約0.005，在齒頂處達(dá)到峰值。相反，隨著偏心距的增大，活齒滑動(dòng)率減小，每增大0.5 mm，活齒滑動(dòng)率峰值減小約0.011，在齒根處達(dá)到峰值。在拐點(diǎn)處，無論偏心距怎樣變化，中心輪滑動(dòng)率和活齒滑動(dòng)率都不改變，而且在拐點(diǎn)后滑動(dòng)率的變化趨勢(shì)越來越大。

由圖6c可知，隨著活齒轉(zhuǎn)角θG從0增大到0.448 7 rad，滑滾比S3先減小后增大，在嚙合點(diǎn)處，無論偏心距變大還是變小，滑滾比S3都是保持不變的。隨著偏心距的增大，滑滾比S3的變化率越來越大，在齒根處滑滾比達(dá)到最大值，在齒頂處達(dá)到最小值?；瑵L比的峰值隨著偏心距每增大0.5 mm，相應(yīng)增大約0.004。

當(dāng)保證其他參數(shù)不變時(shí)，研究傳動(dòng)比i從12到16，每次增加1，對(duì)滾柱活齒傳動(dòng)滑動(dòng)率和滑動(dòng)比的影響。因?yàn)閭鲃?dòng)比不同會(huì)導(dǎo)致滾柱活齒從齒根到齒頂再到齒根的活齒公轉(zhuǎn)角范圍發(fā)生改變，表2為不同傳動(dòng)比對(duì)應(yīng)的滾柱活齒公轉(zhuǎn)角。

表2 滾柱活齒公轉(zhuǎn)角

由圖7a、b可知，隨著活齒轉(zhuǎn)角θG增大，在對(duì)應(yīng)的滾柱活齒公轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)，中心輪滑動(dòng)率S1先增大后減小，滑動(dòng)率變化率較小，在齒頂處滑動(dòng)率達(dá)到最大值；活齒滑動(dòng)率S2先減小增大，滑動(dòng)率變化率較大，在齒根處活齒滑動(dòng)率達(dá)到最大值。隨著傳動(dòng)比增加，滾柱活齒在一個(gè)工作行程中公轉(zhuǎn)角范圍減少，中心輪活齒滑動(dòng)率減小，并且減小的趨勢(shì)變得緩慢；隨著傳動(dòng)比增大，活齒滑動(dòng)率增大，增大的速度保持恒定。

由圖7c可知，隨著活齒轉(zhuǎn)角θG增大，滑滾比S3先減小后增大，在齒根處滑滾比達(dá)到最大值，在齒頂處滑滾比達(dá)到最小值；滑滾比變化率在嚙合點(diǎn)處最大，在齒頂處最小。隨著傳動(dòng)比的增大，滑滾比增大，滑滾比增大的速度變得越來越緩慢。

圖7 傳動(dòng)比i對(duì)滑動(dòng)率和滑滾比的影響

4 結(jié)語

本文基于滾柱活齒傳動(dòng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和工作原理，建立了滾柱活齒傳動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，基于運(yùn)動(dòng)學(xué)原理，提出了滾柱活齒傳動(dòng)滑動(dòng)模型，利用數(shù)值分析建模的方法分析了設(shè)計(jì)參數(shù)的變化對(duì)滑動(dòng)率和滑動(dòng)比的影響。研究結(jié)果可以為設(shè)計(jì)滾柱活齒傳動(dòng)結(jié)構(gòu)參數(shù)提供依據(jù)，降低滑動(dòng)率和滑滾比，減少傳動(dòng)摩擦，提高傳動(dòng)效率。

（1）中心輪滑動(dòng)率S1和活齒滑動(dòng)率S2的絕對(duì)值和滑滾比S3隨著活齒轉(zhuǎn)角θG增大先減小后增大，在嚙合點(diǎn)處，滑動(dòng)率和滑滾比的變化率最大，在齒頂處變化率最小。

（2）隨著激波器半徑Rd和偏心距e增大，中心輪滑動(dòng)率S1增大，活齒滑動(dòng)率S2和滑動(dòng)比S3減小；當(dāng)滾柱活齒半徑r和傳動(dòng)比i增大時(shí)，中心輪滑動(dòng)率S1減小，活齒滑動(dòng)率S2和滑滾比S3增大。

（3）滾柱活齒半徑r對(duì)活齒滑動(dòng)率影響較大，隨著活齒半徑增大，每增大1 mm，活齒滑動(dòng)率峰值增大約10.3%。偏心距e對(duì)滑動(dòng)率和滑滾比變化率的影響較大，在嚙合點(diǎn)處無論偏心距怎樣變化，滑動(dòng)率和滑滾比保持不變，并且過了嚙合點(diǎn)偏心距越大，滑動(dòng)率和滑滾比的變化率越快。