基于電子齒輪箱的展成磨齒多軸同步自適應(yīng)控制＊

韓江 周廣鑫 夏鏈 黃曉勇 李彥青 田曉青

（①合肥工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，安徽 合肥 230009；②安徽省智能數(shù)控技術(shù)及裝備工程實驗室，安徽 合肥 230009）

展成磨齒是齒輪一種常見的主要精加工手段，數(shù)控磨齒實際加工中，其運動參數(shù)、受力狀態(tài)、熱變形以及轉(zhuǎn)矩實時變化，使得工件在進行磨削時出現(xiàn)形位偏差以及磨齒機床運動偏差明顯增加。磨齒高速高精度加工對多軸控制精度提出更高的要求，研究利用電子齒輪箱（EGB）進行磨齒機多軸控制就顯得尤為重要。在展成磨齒過程中，工件回轉(zhuǎn)軸、刀具回轉(zhuǎn)軸和各進給軸按照電子齒輪箱約束關(guān)系進行聯(lián)動，共同完成齒輪的磨削加工，但是由于整個運動系統(tǒng)出現(xiàn)的響應(yīng)延遲、加工過程中產(chǎn)生擾動、傳動絲桿自身制造誤差等導(dǎo)致磨齒機床各軸無法按照嚙合規(guī)則同時完成理想動作，這是產(chǎn)生齒輪加工誤差的主要原因[1]。采用合適的控制策略保障多軸聯(lián)動精度，補償系統(tǒng)的控制誤差，對于提高實際工況齒輪加工具有重要意義。

在高速磨齒時，磨削力實時波動，使得主軸轉(zhuǎn)速跟蹤誤差變大問題逐漸凸顯，目前主要研究方法包括建立轉(zhuǎn)速跟蹤誤差與齒形誤差之間的數(shù)學(xué)模型方法、磨削加工中的插補控制以及誤差補償?shù)萚2]。上述方法對于提高系統(tǒng)控制精度有一定參考價值，但展成磨齒在高速高精度工況下，由于多軸聯(lián)動延遲、擾動等因素，減小單軸跟蹤誤差并不能保證整體控制精度，各運動軸并未至理想位置。針對多軸同步運動控制問題，Sarachik P等人[3]提出交叉耦合（CCC）概念，使用計算產(chǎn)生的同步誤差逐步調(diào)整被控軸達到同步運動。Koren Y等人[4]對交叉耦合模型進行完善，首次實現(xiàn)了在數(shù)控系統(tǒng)中的應(yīng)用。田曉青等人[5]提出了一種將軟件式電子齒輪箱與交叉耦合控制策略相結(jié)合電子齒輪箱交叉耦合控制器（ECCC），結(jié)果顯示交叉耦合控制模型取得了較好的控制效果，能夠迅速、實時消除工況中的擾動，但為了得到合適的反饋信號，計算各軸軌跡輪廓誤差仍是難點。為了降低控制難度，簡化計算模型，學(xué)者們采用多種控制方法相結(jié)合來實現(xiàn)多軸之間高性能同步控制。其中包括PID控制、魯棒控制、最優(yōu)化控制和干擾觀測器等[6-7]。彭曉燕等人[8]提出一種適用多個電機同步PI補償控制的改進型偏差耦合控制結(jié)構(gòu)，仿真結(jié)果說明，該結(jié)構(gòu)具有更高同步精度。Jeong S K等人[9]提出了一種多軸回轉(zhuǎn)系統(tǒng)同步位置控制方法，保證魯棒性同時，使用最大誤差比較法減少各軸之間同步誤差，仿真與實驗表明可有效提高控制精度。為了解決實際工況系統(tǒng)性能參數(shù)的實時波動，干擾觀測器和自適應(yīng)控制是學(xué)者們主要選擇的控制方法，徐壯等人[10]比較了滑模觀測器與卡爾曼觀測器之間的特點，研究表明卡爾曼觀測器對外界噪聲等干擾更加敏感，位置感知更加優(yōu)秀，適合高速高精度的場合。

磨齒加工精度由機床同步精度直接決定，常見能夠有效確保同步精度策略包括交叉耦合、最優(yōu)化控制、模糊控制與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、干擾觀測器等，通過對磨齒工藝分析，針對實際工況中時變擾動特點，選擇干擾觀測器中的擴展卡爾曼觀測器作為該系統(tǒng)的控制策略。本文針對磨齒工況中磨削力等擾動引起的同步精度問題，建立了一種基于電子齒輪箱的多軸聯(lián)動模型，給出加工齒輪誤差與工件軸誤差之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，設(shè)計了一種針對實際工況磨削力波動具有自適應(yīng)功能的擴展卡爾曼觀測器，將磨削力波動作為擾動參數(shù)輸入系統(tǒng)，對多軸聯(lián)動過程產(chǎn)生的磨削力進行觀測，并使用設(shè)計并驗證的前饋模型對其磨削力產(chǎn)生的位置誤差進行補償，大幅度降低系統(tǒng)控制誤差，通過實驗驗證本方法的有效性。

1 磨齒原理與電子齒輪箱結(jié)構(gòu)

1.1 磨齒加工運動原理

蝸桿砂輪磨齒加工原理及運動關(guān)系如圖1所示。實現(xiàn)磨齒運動包括：砂輪回轉(zhuǎn)運動B軸、工件回轉(zhuǎn)運動C軸、軸向進給運動Z軸、切向進給運動Y軸、徑向進給運動X軸與刀架回轉(zhuǎn)運動A軸。其中各進給軸控制磨削進給量，刀架回轉(zhuǎn)A軸控制刀具安裝角度。

圖1 蝸桿砂輪磨齒加工原理及運動關(guān)系

1.2 磨齒加工數(shù)學(xué)模型

根據(jù)蝸桿砂輪磨齒原理，加工過程中，砂輪和工件在電子齒輪箱控制下，按照一定速比關(guān)系實現(xiàn)展成磨削運動，刀具沿著工件軸線方向進行進給完成齒面磨削，為了磨削加工效果，在磨削量和加工速度較大時，需要砂輪沿自身軸線（Y軸）作竄刀運動。整個加工過程，被加工齒輪不僅需要與蝸桿砂輪保持一定嚙合關(guān)系，還必須和刀具進給運動保持一定約束關(guān)系。

在磨齒過程中，砂輪和工件之間相互運動遵循嚙合原理，C軸跟隨Z軸產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動為[11]

C軸跟隨Y軸產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動為

則工件回轉(zhuǎn)C軸與其他各軸的聯(lián)動關(guān)系為

式中：k為砂輪頭數(shù)；z為齒輪齒數(shù)；λ為砂輪安裝角；β為工件齒輪螺旋角；mn為齒輪法面模數(shù)；Ki(i=b、z、y)為各軸方向系數(shù)，取值為“1”或“-1”；Δi(i=Z、Y)為i軸跟蹤誤差，Δnic(i=z、y、b)為i軸附加在C軸上的轉(zhuǎn)動。

1.3 電子齒輪箱控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計

在磨齒中，設(shè)計電子齒輪箱結(jié)構(gòu)如圖2所示。

電子齒輪箱結(jié)構(gòu)模型采用主從式和平行式相結(jié)合的結(jié)構(gòu)模型，其中刀具主軸采用速度控制模式，各主動軸輸入插補信息經(jīng)過相應(yīng)的模塊后由編碼器反饋至電子齒輪箱模塊進行保存，在電子齒輪箱中根據(jù)各軸間展成關(guān)系運算后得到工件軸輸入插補信息，從而加工出符合要求的齒輪。由于電子齒輪箱使用主切削軸實際反饋位置對從運動軸進行控制，從運動必然相對主運動存在滯后，而系統(tǒng)各軸又為獨立控制，各軸同步精度取決于各軸對插補指令的跟蹤精度，為了進一步提升電子齒輪箱控制精度，必須要設(shè)計控制策略對其進行優(yōu)化。

1.4 電子齒輪箱控制誤差模型

齒輪的加工精度直接由電子齒輪箱同步精度決定，當系統(tǒng)同步精度較差時，所加工齒輪存在嚴重誤差，如圖3所示，分別對齒形和齒向造成不同程度誤差，嚴重影響齒輪精度。為了提高系統(tǒng)同步精度，減小電子齒輪箱控制誤差，需研究系統(tǒng)控制誤差與齒輪加工誤差之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。

圖3 齒輪加工誤差示意圖

由于齒廓偏差受螺旋角、刀具等綜合影響，電子齒輪箱控制誤差在加工齒輪過程中主要體現(xiàn)在齒輪齒距偏差和螺旋線偏差上，對于圖2所示的電子齒輪箱結(jié)構(gòu)，由于采用主從式結(jié)構(gòu)跟隨主軸運動，主軸跟蹤誤差不會對電子齒輪箱精度造成影響，根據(jù)加工過程中刀具與工件相對位姿關(guān)系，綜合考慮安裝角、螺旋角、X、Y、Z軸跟蹤誤差等，得到齒距偏差Fp的數(shù)學(xué)模型為[1]

圖2 磨齒加工電子齒輪箱控制模型

綜合考慮得到螺旋線偏差Fβ數(shù)學(xué)模型為

根據(jù)磨齒過程中實際多軸聯(lián)動關(guān)系，綜合式（3）、（4）、（5），得到齒距偏差和螺旋線偏差相對于工件轉(zhuǎn)軸誤差的表達式分別為

式中：z為加工齒輪的齒數(shù)；λ為砂輪安裝角；β為工件齒輪螺旋角；mn為加工齒輪法面模數(shù)；Ki(i=b、z、y)為各軸方向系數(shù)；Kpi（i=c、y）、Kβi（i=c、y、z）為偏差方向系數(shù)，取“1”或“-1”；Ei(i=c、x、y)為i軸誤差。

分析式（6）和式（7）可得，在磨齒多軸聯(lián)動中，可以將各軸誤差通過聯(lián)動關(guān)系的方式累積到工件軸上，推導(dǎo)出電子齒輪箱控制誤差與齒輪展成加工誤差之間的映射關(guān)系，為加工過程中實時估算齒輪相關(guān)精度情況提供了可能。

為了能夠準確地實時估算出電子齒輪箱控制精度，確保系統(tǒng)的魯棒性，需要實時讀取能夠反應(yīng)磨齒過程中受到的擾動，并利用該參數(shù)保障系統(tǒng)同步精度，設(shè)計了一款能夠觀測該參數(shù)的濾波觀測器。

2 自適應(yīng)卡爾曼觀測器設(shè)計

2.1 觀測器模型原理與設(shè)計

在磨齒工況中，作用在工件運動軸上時變的等效磨削力會在電機內(nèi)部的電流中引入對應(yīng)擾動，使得電機在運行過程中出現(xiàn)干擾信號，從而引起誤差。為了探究工況中磨削力與電機最終輸出誤差之間的關(guān)系，設(shè)計補償策略，搭建工件運動軸觀測器如圖4，輸入信息為電子齒輪箱運算得到的插補，由傳感器得到的電流iq和轉(zhuǎn)速 ωc作為輸入?yún)?shù)進入觀測器中，觀測器將觀測得到的磨削力矩進行輸出。電流環(huán)部分按照永磁同步電機的運行原理進行搭建。

圖4 PMSM觀測器-控制器結(jié)構(gòu)框圖

其中電機運動方程為

工件回轉(zhuǎn)軸采用閉環(huán)控制，因為電磁時間常數(shù)遠遠小于機械時間常數(shù)，電流環(huán)穩(wěn)態(tài)時間相對速度環(huán)可以忽略。測量轉(zhuǎn)速和電流由傳感器返回。

綜上所述可以把電磁轉(zhuǎn)矩和摩擦轉(zhuǎn)矩引起的擾動全部等效為負載擾動。根據(jù)式（8）可得系統(tǒng)離散系統(tǒng)狀態(tài)空間和測量方程分別為

式中：xk為二維狀態(tài)向量；uk為輸入電流iq；Ts為離散時間常數(shù)取0.1ms；Ke為電流系數(shù)；?、B、H為狀態(tài)空間的系數(shù)矩陣。

由于建模偏差和測量誤差等問題，考慮動態(tài)噪聲與測量噪聲系統(tǒng)狀態(tài)方程與測量方程修正為

式中：ωk和vk+1vk+1為系統(tǒng)模型擾動與測量誤差。

由于卡爾曼觀測器對外界噪聲等干擾更加敏感，且在協(xié)方差矩陣合適情況下具有更高的觀測精度，適合高速高精度場合。因此針對磨齒選擇擴展卡爾曼觀測器進行控制。擴展卡爾曼觀測器可以使用相應(yīng)的協(xié)方差矩陣對輸出進行濾波，如圖5所示，包括預(yù)測和修正過程兩部分。其預(yù)測過程表達式為

圖5 自適應(yīng)卡爾曼觀測器原理框圖

修正過程表達式為：

為了能使得協(xié)方差矩陣Q能夠根據(jù)擾動和突變進行自適應(yīng)變化，建立k時刻協(xié)方差矩陣Qk為

2.2 前饋設(shè)計

為了運用改進觀測器觀測的磨削力，設(shè)計基于磨削力觀測值運算的前饋補償，需要建立以力矩形式反應(yīng)在工件軸磨削力與加工工件偏差之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。在Simulink中搭建工件軸仿真模型，通過前述研究將磨齒中磨削力進行疊加，得到反應(yīng)在工件整體上的磨削力數(shù)據(jù)，選取該參數(shù)為模型擾動引入，觀測模型輸出位置量與引入擾動之間數(shù)學(xué)關(guān)系，基于此邏輯設(shè)計前饋補償，來平衡擾動所帶來的誤差。結(jié)果如圖6所示，輸出位置加速度與引入擾動呈線性關(guān)系，選取適當比例系數(shù)k1積分補償模型為

圖6 輸入磨削力與輸出加速度示意圖

其中：T為輸入磨削力，a為輸出加速度，可以據(jù)此對工況中實時變化的擾動進行補償。

3 仿真及實驗結(jié)果

為了驗證設(shè)計系統(tǒng)的性能，在MATLAB Simulink環(huán)境下對其進行驗證，并在基于DSP28335的多電機控制平臺上進行試驗，實驗平臺如圖7所示，電機參數(shù)如表1所示。編碼器線數(shù)為2 500 PPR，四倍頻。系統(tǒng)工作頻率10 kHz，電流環(huán)周期0.1 ms。

圖7 多電機驅(qū)動控制實驗平臺

表1 電機參數(shù)

3.1 仿真結(jié)果分析

分別對觀測性能以及補償前后進行仿真試驗，給定電機轉(zhuǎn)速為60 r/min，接入擾動為前述磨削力參數(shù)，采樣周期為0.1 ms。圖8、圖9為在仿真條件下，傳統(tǒng)卡爾曼觀測器和改進自適應(yīng)觀測器，對于引入模型輸入磨削力和觀測器觀測到的磨削力之間的對比。由圖中可以看出，在最開始極短時間受啟動電流影響后，改進的自適應(yīng)擴展卡爾曼觀測器有效對電機產(chǎn)生的磨削力矩進行了觀測，誤差峰值不超過20 N ·cm，平均誤差小于3 N ·cm,且觀測系統(tǒng)整體滯后周期小于1 ms，可以得出其性能良好，觀測值可靠性高。圖10、圖11為在仿真環(huán)境下，系統(tǒng)引入擾動后是否進行前饋補償，加工齒輪螺旋線偏差和齒距偏差對比，可以看出，系統(tǒng)引入合適前饋，選擇適當補償系數(shù)k2，補償后偏差值減小到擾動情況下1/5以內(nèi)并且向0收斂，螺旋線平均偏差由26.32 μm降至3.77 μm，偏差幅值不超過7 μm；齒距平均偏差由41.63 μm降至6.92 μm，偏差幅值不超過11 μm。證明所建立的前饋補償?shù)挠行浴?/p>

圖8 傳統(tǒng)觀測器系統(tǒng)磨削力與觀測磨削力對比圖

圖9 改進觀測器系統(tǒng)磨削力與觀測磨削力對比圖

圖10 補償前后螺旋線偏差對比圖

圖11 補償前后齒距偏差對比圖

從仿真結(jié)果中可以看出，改進觀測器和前饋補償明顯減少了加工工件的誤差，提高系統(tǒng)的同步精度和魯棒性，確保了磨齒工況中的抗擾動性。

3.2 實驗結(jié)果分析

為了在實驗中驗證所設(shè)計的前饋補償有效性，將前述磨削力參數(shù)作為負載輸入到電機中，分別將系統(tǒng)在未加載、加載未補償、加載帶前饋補償3種不同情況下對工件偏差進行對比，將轉(zhuǎn)速控制在60 r/min情況下得到相應(yīng)數(shù)據(jù)，通過實驗平臺反饋的偏差對前饋補償進行檢驗。圖12是在上述3種情況下由傳感器和編碼器所獲得整個系統(tǒng)誤差，可以看出，未加載系統(tǒng)本身由于靜摩擦、粘性摩擦等，使得系統(tǒng)自初始即帶有一定的誤差。而在磨削力接入系統(tǒng)后，由于磨削力遠遠大于系統(tǒng)靜摩擦等擾動，可以將其均等效到磨削力上，將其引入系統(tǒng)后對工件偏差產(chǎn)生了較大的波動，使得加工工件的精度受到巨大影響。在運用觀測值運算出適合的前饋補償并接入后，可以看出，由等效磨削力引起的工件偏差明顯被所設(shè)計的前饋補償平衡，在取樣時間內(nèi)，偏差幅值由488 μm降至13 μm，極差由591 μm降至13 μm。

圖12 三種情況下偏差對比圖

對比仿真與實驗過程中出現(xiàn)的擾動與補償效果，研究表明進行的仿真與試驗有較好的吻合性，也說明仿真與試驗的有效性。

綜上所述，該前饋能夠較好地吸收工況中出現(xiàn)的實時波動干擾并有效做出補償，減小系統(tǒng)偏差，明顯增加系統(tǒng)抗擾動性，魯棒性大幅提高。

4 結(jié)語

通過研究電子齒輪箱控制模型與磨齒基本原理，基于齒輪螺旋線偏差、齒距偏差相對于同步等效工件運動軸偏差之間數(shù)學(xué)關(guān)系，結(jié)合擴展卡爾曼濾波算法，構(gòu)建了具有自適應(yīng)功能的觀測器與前饋，實現(xiàn)了磨齒中動態(tài)擾動觀測與補償。為了貼近實際工況，引入的磨削力數(shù)據(jù)為工況下多齒受到的實時波動磨削力疊加的擾動。運用磨削力觀測值，進行處理形成前饋對系統(tǒng)進行補償，在高速高精度的環(huán)境下具有更好的控制效果。通過仿真和實驗研究，所設(shè)計的觀測器擁有較好的觀測效果，可以準確地追蹤工況中實時波動的擾動。結(jié)果表明，所設(shè)計的前饋補償系統(tǒng)顯著減小了加工工件的螺旋線偏差和齒距偏差，提升了系統(tǒng)的同步精度和抗擾動性。